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27.2与圆有关的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
2．如图，PC是⊙O的切线，切点为C，割线PAB过圆心O，交⊙O于点A、B，PC=2，PA=1，则PB的长为（　 　）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．如图，∠AOB=30°，P为OA上的一点，且OP=5cm，若以P为圆心，r为半径的圆与OB相切，则半径r为( )
A．5cm B．cm C．cm D．cm
4．如图， 中， ， ，它的周长为．若 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图， AB是⊙O弦，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，OC交⊙O于点E. 若AB = BC = OA，则∠BOD与∠DOE的度数分别为（ ）.
A．20°，25° B．25°，20° C．30°，15° D．15°，30°
6．下列直线是圆的切线的是（ ）
A．经过半径外端的直线 B．垂直于半径的直线
C．与圆有公共点的直线 D．圆心到直线的距离等于这个圆的半径长的直线
7．如图，、、分别切于点、、，的半径为5，，则的周长为（ ）
A．18 B．20 C．24 D．30
8．已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
9．如图，的内切圆⊙与，，分别相切于点，，，且，的周长为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．已知矩形ABCD的边AB=15，BC=20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是（ ）
A．r＞15 B．15＜r＜20 C．15＜r＜25 D．20＜r＜25
11．如图，A,B,C是⊙O上三个点,∠AOB=2∠BOC,则下列说法中正确的是( )
A．∠OBA=∠OCA B．四边形OABC内接于⊙O C．.AB=2BC D．∠OBA+∠BOC=90°
12．如图，AB、AC切⊙O于B、C，AO交⊙O于D，过D作⊙O切线分别交AB、AC于E、F，若OB＝6，AO＝10，则△AEF的周长是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
二、填空题
13．如图，在矩形中，点为的中点，点为边上的动点，连结．将沿着翻折，使点的对应点恰好落在线段上．若三点共线，则的值为 ；若，且这样的点有且只有一个时，则的长为 ．
14．已知直线CD与圆O相切于点C，AB为直径，若BCD= 40°，则ABC的大小等于度 ．
15．如图，在直角坐标系中，点A坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），以B点为圆心，2长为半径的圆交轴于C、D两点，若P是⊙B上一动点，连接PA，以PA为一直角边作Rt△PAQ，使得，连接DQ，则DQ的最小值为
16．在中，，D为平面内一点，连接，连接．则线段的最小值为 ．
17．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．AD与BC相交于点F，连结BE，DC，已知EF=2，CD=5，则AD= .
三、解答题
18．如图，已知二次函数 的图像与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，连接；
(1)求顶点D的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接，求面积的最大值；
(4)以为直径，M为圆心作圆M，试判断直线与圆M的位置关系，并说明理由
19．如图，等边的边长为，是边上的动点，交边于点，在边上取一点，使，连接．
（1）请直接写出图中与线段相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）
（2）探究：当点在什么位置时，四边形是平行四边形？并判断四边形是什么特殊的平行四边形，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，以点为圆心，为半径作圆，根据与平行四边形四条边交点的总个数，求相应的的取值范围．
20．如图，AB与⊙O相切于点C，OA=OB，⊙O的直径为8cm，AB=10cm，求OA长．
21．如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，连接，作，交的延长线于点．求证：是的切线．

22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC＝AE；
（2）求△ACD外接圆的直径．
23．如图，是的直径，点C是劣弧中点，与相交于点E．连接，，与的延长线相交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D．求证：直线BC是⊙O的切线．
《27.2与圆有关的位置关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C A C D C B C C
题号 11 12
答案 D D
1．A
【分析】解决此题首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当A′B′与小圆相切时有一个公共点，此时可知A′B′最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围．
【详解】解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点，
在Rt△A′DO中，OD=3，OA′=5，
∴ ，
∴A′B′=8；
当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，
此时AB=10，
所以AB的取值范围是8≤AB≤10．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题这是常用的一种方法，也是解决本题的关键，注意临界值．
2．B
【分析】连接AC，BC，由PC为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ACP与三角形CBP相似，根据相似得比例列出关系式，将PC及PA的值代入即可求出PB的长．
【详解】连接AC，BC，如图所示：
∵PC为圆O的切线，
∴∠ACP=∠B，又∠P=∠P，
∴△ACP∽△CBP，
∴，
又∵PC=2，PA=1，
∴BP= 4.
故选B.
【点睛】本题考查的是圆，熟练掌握切线的性质是解题的关键.
3．C
【分析】作PD⊥OB于D，先根据直角三角形的性质求得PD的长，再根据直线和圆相切，则圆的半径等于圆心到直线的距离求解．
【详解】解答：
作PD⊥OB于D.
∵在直角三角形POD中,∠AOB=30°，P为边OA上一点，且OP=5cm，
∴PD=2.5(cm).
要使直线和圆相切，则r=2.5cm.
故答案为C.
【点睛】此题综合考查了直角三角形的性质和直线和圆的位置关系与数量之间的联系．
4．A
【分析】本题主要考查了切线长定理的应用，解题的关键是求出的值．根据切线长定理求出，，，得出等边三角形，推出，根据，求出，进而求出，即可求出答案．
【详解】解：∵与三边分别切于三点，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
5．C
【分析】连接根据半径OA等于弦AB，BC=AB，得∠ABO=60°，BC=OB，根据切线的性质定理，得BC⊥OB；在三角形ABC中，∠ABC=150°，∠BAC=15°；在等腰直角三角形BOC中，得∠BOE=45°，再根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数和圆周角定理，得∠BOD与∠DOE的度数.
【详解】连接
∵OA=AB=OB，
∴BC=OB，
∵BC⊥OB，
∴
∴
∵
故选C.
【点睛】考查切线的性质, 等腰三角形的性质, 等边三角形的性质, 圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
6．D
【分析】根据圆的切线的判定定理进行判断即可.
【详解】解：A. 经过半径外端的直线，但直线不一定垂直半径，故不能判断该直线是圆的切线；
B. 垂直于半径的直线，但直线不是经过半径外端，故不能判断该直线是圆的切线；
C. 与圆有公共点的直线，直线与圆相交也有公共点，故不能判断该直线是圆的切线；
D. 圆心到直线的距离等于这个圆的半径长的直线，能判断该直线是圆的切线.
故选D.
【点睛】本题主要考查圆的切线的判定定理，圆的切线必须与半径垂直，且过半径的外端.
7．C
【分析】根据切线的性质，得到直角三角形，根据勾股定理求得的长；根据切线长定理，得，，，从而求解．
【详解】解：∵、、分别切于点、、点，
∴，，，．
在直角三角形中，根据勾股定理，得，
∴的周长．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线长定理和切线的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
8．B
【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，即可判断直线和圆相切．
【详解】∵圆心到直线的距离5cm=5cm，
∴直线和圆相切，
故选B．
【点睛】本题考查了直线与圆的关系，解题的关键是能熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
9．C
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键．
根据切线长定理得到，，，由的周长为，可求的长．
【详解】解：根据题意得：
⊙与，，分别相切于点，，，
，，，
的周长为，
，
，
．
故选：．
10．C
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】在直角△BCD中CD=AB=15，BC=20，则BD===25．
由图可知15＜r＜25，
故选：C．
11．D
【详解】试题解析：过O作OD⊥AB于D交O于E，
则,
∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠AOE=∠BOE=∠BOC，
∴,
∴AE=BE=BC，
∴2BC>AB，故C错误；
∵OA=OB=OC，
∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；
∵点A，B，C在上，而点O是圆心，
∴四边形OABC不内接于O，故B错误；
故D正确；
故选D.
点睛：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.
12．D
【详解】解：∵AB切⊙O于B
∴∠ABO=90°
∵OB=6，AO=10，
∴AB=，
∵AB、AC切⊙O于B、C，AO交⊙O于D，过D作⊙O切线分别交AB、AC于E、F，
∴AB=AC，ED=EB，FD=FC，
∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AF+FD+DE+AE=AF+FC+AE+EB=AC+AB=8+8=16．
故选D．
13． 4
【分析】当A，，C三点共线时，连结三点，根据矩形的性质得出，，继而得出，即可，依题意以为半径的⊙A与相切，根据折叠的性质得出，继而根据含30度角的直角三角形的性质得出的长，进而即可求解．
【详解】如图，当A，，C三点共线时，连结三点，
∵在矩形中，点为的中点，
∴，，，，
∴
∴，
∴，
∴．
当这样的点有且只有一个时，
即以为半径的与相切，
∴
∵为的中点，则，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴，
∴．
∴
∵，
∴，
∴．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，求余弦值，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
14．50°/50度
【分析】连接OC，根据切线的性质得到，然后进行计算即可．
【详解】连接OC，如图所示：
∵直线CD与圆O相切于点C，
∴，
∴，
又∵BCD= 40°，
∴OCB=50°．
∵OC、OB都为圆O的半径，即OC=OB，
∴ABC=，
故答案是：50°．
【点睛】本题考查了切线的性质和运用了等腰三角形等边对等角，解决本题的关键是正确的做出辅助线．
15．/
【分析】由题意根据“瓜豆原理-主从联动”可得Q的点轨迹也是一个圆，找到此圆即可解决问题．
【详解】解：如图，取点M（2，-2），连接AM，MQ、PB，
∵∠MAB=∠QAP=90°，
∴∠MAQ=∠BAP，
∵，
∴△MAQ∽△BAP，
∴MQ= PB=1，
∴Q点在以M为圆心，以1为半径的圆上，
由图象可得：
DQ的最小值为：DM-MQ，
AD=OD-OA=6+2-2=6，
由勾股定理可得：DM=，
∴DQ的最小值等于： 1.
故答案为： 1．
【点睛】本题考查轨迹圆问题，熟悉掌握利用相似三角形的性质解决动点的轨迹是快速解题的关键．
16．-4
【分析】如图，以AC为边作等边三角形OAC，再以O为圆心，OA为半径作圆O，交BC于D2，由圆周角定理可得点D是圆O上一动点，AD2为直径，利用勾股定理可求得CD2，连接OB交圆O于D1，当点D在D1位置时，BD最小，过O作OE⊥BC于E，根据垂径定理和三角形的中位线性质求得OE、CE、BE，利用勾股定理求解OB即可解答．
【详解】解：∵∠ADC=30°，D为平面内一点，AC=4，
∴点以AC为边作等边三角形OAC，再以O为圆心，OA为半径作圆O，交BC于D2，由∠AOC=60°=2∠ADC可知点D是圆O上一动点，
∵∠ACB=90°，
∴AD2为直径，则AD2=2OA=2AC=8，
∴CD2= = ，
连接OB交圆于D1，当点D位于D1位置时，BD最小，
过O作OE⊥BC于E，则CE=ED2= CD2= ，
∴BE=BC-CE=，
∴OE为△ACD2的中位线，
∴OE= AC=2，
在Rt△OEB中，OB===，
∴BD最小值为-4．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形的中位线，借助隐形圆解决最值问题是解题的关键．
17．
【分析】根据三角形的内心的定义得到BD=CD，△BDF∽△ADB，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
【详解】∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，
∴，
∴BD=CD=5，
由圆周角定理得，∠CAD=∠CBD，
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠CAD，
∴∠DBE=∠DEB．
∴DE=DB=5，
∴DF=DE-EF=3，
∵∠DBC=∠BAD，∠BDF=∠ADB，
∴△BDF∽△ADB，
∴，
∴AD=，
故答案为．
【点睛】本题考查的是三角形的内接圆与内心、外接圆与外心，掌握三角形的内心的定义、圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
18．(1)
(2)
(3)16
(4)直线与圆M相切，理由见解析
【分析】（1）利用配方法将一般式解析式转化为顶点式解析式；
（2）先解得，再利用待定系数法，代入点B、C的坐标即可解答；
（3）设（），过点E作于H，利用，转化为二次函数求最值即可．
（4）根据中点公式解得点M的坐标，再利用两点间的距离公式解得的长，比较与半径的大小关系，得到直线与圆M的位置关系即可．
【详解】（1）解：
即顶点D的坐标；
（2）由（1）知
令得
解得
设直线的解析式：，代入点B、C
（3）如图，
设（），过点E作于H，
即当时，面积的最大值为16；
（4）直线与圆M的位置是相切，理由如下，
∵M为的中点，，
即，
∴半径为，
，，
∴，
∴点在圆上，点在圆外，且，
直线与圆M相切．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及配方法、待定系数法求一次函数的解析式、直线与圆的位置关系、勾股定理、中点公式、两点距离公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
19．（1）；（2）；（3）见解析
【分析】（1）由平行易得△BFE是等边三角形，那么各边是相等的；
（2）当点E是BC的中点时，△PEC为等边三角形，可得到PC=EC=BE=EF，也就得到了四边形EFPC是平行四边形，再有EF=EC可证为菱形；
（3）根据各点到圆心的距离作答即可．
【详解】解：（1）如图，∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠A=∠C=60°．
又∵EF∥AC，
∴∠BFE=∠A=60°，∠BEF=∠C=60°，
∴△BFE是等边三角形，PE=EB，
∴EF=BE=PE=BF；
（2）当点E是BC的中点时，四边形是菱形；
∵E是BC的中点，
∴EC=BE，
∵PE=BE，
∴PE=EC，
∵∠C=60°，
∴△PEC是等边三角形，
∴PC=EC=PE，
∵EF=BE，
∴EF=PC，
又∵EF∥CP，
∴四边形EFPC是平行四边形，
∵EC=PC=EF，
∴平行四边形EFPC是菱形；
（3）如图所示：
当点E是BC的中点时，EC=1，则NE=ECcos30°=，
当0＜r＜时，有两个交点；
当r=时，有四个交点；
当＜r＜1时，有六个交点；
当r=1时，有三个交点；
当r＞1时，有0个交点．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系, 等边三角形的性质, 平行四边形的判定, 菱形的判定.
20． cm
【详解】试题分析：连接OC，AB为切线，所以有OC⊥AB，根据题意，得C为△AOB的中点，即AC=5cm，根据勾股定理即可得出OA的长度．
试题解析：解：连接OC．∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB．∵OA=OB，∴AC=BC=5．在Rt△AOC中，（cm）．
答：OA的长为．
21．见解析
【分析】连接，利用圆周角定理可得，利用角平分线的性质及等量代换可得，利用等边对等角性质可得，进而可得，进而可求证结论．
【详解】证明：连接，如图所示：
是的直径，
，即，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
又是的半径，
是的切线．
【点睛】本题考查了圆周角定理、角平分线的性质、切线的判定，熟练掌握其基础知识是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）
【详解】分析：（1）由，根据90°的圆周角所对的弦为圆的直径得到AD为圆O的直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得为直角三角形，又AD是的角平分线，可得一对角相等，而这对角都为圆O的圆周角，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等可得CD=DE，利用HL可证明Rt△ACD≌Rt△AED,根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）由为直角三角形，根据AC及CB的长，利用勾股定理求出AB的长，由第一问的结论用可求出EB的长，再由（1）∠AED=,得到DE与AB垂直，可得∠BED=，设利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为CD的长，在中，由AC及CD的长，利用勾股定理即可求出AD的长．
详解：(1)∵,且∠ACB为圆O的圆周角，
∴AD为圆O的直径，
∴∠AED=，
又AD是△ABC的∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE；
(2)∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，
∴根据勾股定理得：
由(1)得到∠AED=,则有∠BED=，
设CD=DE=x，则DB=BC CD=12 x，EB=AB AE=AB AC=13 5=8，
在Rt△BED中,根据勾股定理得：
即
解得：
∴，又AC=5，△ACD为直角三角形，
∴根据勾股定理得：
外接圆的直径为.
点睛：考查了圆周角定理,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识点，综合性比较强，对知识点的考查比较全面，对学生综合能力要求较高.
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】连接，由圆周角定理得，再由等腰三角形性质及切线的判定定理可得结论；
根据同圆中等弧对等角、等角对等弧可得答案；
设为x，则为，根据勾股定理可得方程，求得的长，再根据三角形中位线定理可得答案．
此题考查的是圆周角定理、切线的判定与性质、勾股定理和三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决此题关键．
【详解】（1）解：连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
（2）解：∵点C是中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）解：如图：连接线，交于H，
∵，，
于点H，
设为x，则为，根据勾股定理，
，
解得：，
，
是中位线，
24．证明见解析
【分析】连接，则，根据角平分线的定义可得∠CAD＝∠OAD，等量代换可得∠CAD＝∠ODA，可得，进而可证明OD⊥BC，即可得证．
【详解】解：证明：如图，连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴，
∴∠ODB＝∠C，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，
即OD⊥BC，
∵OD过圆心O，
∴直线BC是⊙O的切线．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定，熟练掌握圆的切线的相关知识是解题的关键．
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