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27.3圆中的计算问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水部分的面积是（ ）
A．（）
B．（）
C．（）
D．（）
2．一个扇形的弧长是，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算弧长的式子中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．有下列说法：①任意三点确定一个圆；②圆的两条平行弦所夹的弧相等；③任意一个三角形有且仅有一个外接圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤直径是圆中最长的弦，其中错误的个数有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．如图，已知点O是的外心，，连结，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，， ，．将绕直角顶点逆时针旋转得 ，则点转过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（　　）
A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4）
8．秋千拉绳长3米,静止时踩板离地面0.5米,一小朋友荡该秋千时, 秋千最高处踩板离地面2米(左,右对称),则该秋千所荡过的圆弧长为( )
A．米 B．2米 C．米 D．米
9．如图，已知□ABCD的对角线BD=4cm，将□ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（ ）
A．4π cm B．3π cm C．2π cm D．π cm
10．下列说法正确的是(　　)
A．长度相等的弧是等弧 B．三点确定一个圆
C．圆周角是圆心角的一半 D．直径所对的圆周角是直角
11．如图，在中，，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
12．已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（ ）
A．12 B． C．24 D．
二、填空题
13．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，则弧AB的长为 （结果保留π）
14．到定点的距离为的点的轨迹是 ．
15．若扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积为 cm2．
16．圆心角为120°，半径长为6cm的扇形面积是 cm2．
17．如图，已知正五角星的面积为 5，正方形的边长为 2，图中对应阴影部分的面积分别是 S1、S2，则 S1﹣S2 的值为 ．
三、解答题
18．如图，已知线段是的一条弦．
(1)实践与操作：用尺规作图法作出圆心O；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：若弦，圆心O到的距离为4，求的半径．
19．“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

提出问题：
如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么A，，，四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，，的，在劣弧上取一点（不与A，重合），连接，，则（依据1），
∵，∴，
∴点A，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），
∴点，在点A，，所确定的上（依据2），
∴点A，，，四点在同一个圆上．
反思归纳：
（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________________________________________________；
依据2：__________________________________________________．
（2）如图3，在四边形中，，，则的度数为__________．
拓展探究：
（3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，，．求证：A，，，四点共圆．
20．已知正方形的边长为2，求右图中阴影部分的面积．
21．如图，，是的半径，弦于点，，若，求劣弧的长．
22．已知⊙外一点P，你能用尺规过点P作⊙的切线吗？你有几种方法？
23．在中，，，．
(1)请用尺规作图作出的外接圆，并在外接圆上找一点D，使；
(2)在上面得出的图形中，连接，求出的长度．
24．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积．
《27.3圆中的计算问题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A A B B B B C D
题号 11 12
答案 D C
1．A
【详解】解：如图：过点O作ODAB,垂足为C，连结OA,OB,则AC=BC= AB,OA=OB=OD=4，CD=2，所以在Rt△OAC中，OC=2，AC=,∠AOC=60°,
所以AB=,∠AOB=120°,所以阴影部分的面积=扇形AOB的面积-△OAB的面积
=，故选A．
2．B
【分析】先求出该扇形的半径，再求其面积即可；
【详解】解：该扇形的半径为：，
∴扇形的面积为：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查扇形面积的求解，掌握扇形面积的求解公式是解题的关键．
3．A
【分析】根据，即可得出答案．
【详解】,所以A不正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了弧长公式及其变形，掌握弧长公式是解题的关键．
4．A
【分析】根据圆的确定条件，圆心角、弧、弦的关系，三角形的外接圆的定义，垂径定理逐项判断即可．
【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故①错误；
圆的两条平行弦所夹的弧相等，故②正确；
任意一个三角形有且仅有一个外接圆，故③正确；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故④错误；
直径是圆中最长的弦，故⑤正确．
综上可知错误的个数有2个．
故选A．
【点睛】本题考查圆的确定条件、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系等知识，解题关键是熟记相关知识点，准确进行判断．
5．B
【分析】根据点O是的外心，可得，再由等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，
∵点O是的外心，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆的性质、圆周角定理．
6．B
【分析】先在中利用的余弦计算出，再根据旋转的性质得 ，然后根据弧长公式计算点转过的路径长．
【详解】解：在中，，，
，
，
绕直角顶点逆时针旋转得△，
，
弧的长．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，弧长公式等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
7．B
【分析】根据M为直角三角形的外心．∠ABC＝90°，得出点M为AC中点，利用中点坐标公式求出点C（-5，-2），根据AB⊥x轴，得出点A，B的横坐标相同都是3，根据BC∥x轴，得出点B、C的纵坐标相同都是-2即可．
【详解】解：∵M为Rt△ABC的外心．∠ABC＝90°，
∴点M为AC中点，
∵点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），
设点C横坐标为（x,y）,
∴，
解得x=-5，y=-2，
∴点C（-5，-2），
∵AB⊥x轴，
∴点A，B的横坐标相同都是3，
∵∠ABC＝90°，
∴BC∥x轴，
∴点B、C的纵坐标相同都是-2，
∴点B（3，-2）．
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的外心，中点坐标公式，平行x轴或y轴的点坐标特征，掌握直角三角形的外心的性质，中点坐标公式，平行x轴或y轴的点坐标特征是解题关键．
8．B
【分析】根据题意先作辅助线BG⊥AC于G，然后确定AG=1.5，根据在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，得∠BAG=60°，从而求得∠BAF=120°，最后求出弧长．
【详解】如图，AD垂直地面于D并交圆弧于C，BE垂直地面于E．由题意BE=2，AC=3，CD=0.5,
作BG⊥AC于G，则AG=AD-GD=AC+CD-BE=1.5．
由于AB=3，所以在直角三角形ABG中，∠BAG=60°．
根据对称性，知∠BAF=120°．
所以，秋千所荡过的圆弧长是 ，
故选B.
【点睛】本题考查了弧长公式,属于简单题,熟悉弧长公式的内容并且作出图形是解题关键.
9．C
【分析】点D所转过的路径长是一段弧，是一段圆心角为180°，半径为OD的弧，故根据弧长公式计算即可．
【详解】解：BD=4，
∴OD=2
∴点D所转过的路径长==2π．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了弧长公式：．
10．D
【分析】利用等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】A、长度相等的弧不一定是等弧，故错误，不符合题意；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，不符合题意；
C、同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，故错误，不符合题意；
D、直径所对的圆周角是直角，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了确定圆的条件、圆的认识及圆周角定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
11．D
【分析】由△ADE≌△CDF，推出∠DAE=∠DCF，因为∠AED=∠CEG，推出∠ADE=∠CGE=90°，推出A、C、G、D四点共圆，推出点G的运动轨迹为弧CD，利用弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，
∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADE=∠CDF=90°，CD=AD=DB，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠DAE=∠DCF，
∵∠AED=∠CEG，
∴∠ADE=∠CGE=90°，
∴A、C、G、D四点共圆，
∴点G的运动轨迹为弧CD，
∵AB=4，AB=AC，
∴AC=2，
∴OA=OC=，
∵DA=DC，OA=OC，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC=90°，
∴点G的运动轨迹的长为
故选：D．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、轨迹、勾股定理、全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确探究点G的轨迹，属于中考常考题型．
12．C
【分析】根据扇形面积计算公式“”可直接列出方程求出半径r．
【详解】由题得
解得
故选：C
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积计算公式是解决本题的关键．
13．．
【分析】利用弧长公式l=计算即可．
【详解】 ==，
故答案为：．
【点睛】本题考查弧长公式的应用，解题的关键是记住弧长公式．
14．以点为圆心，为半径的圆
【分析】根据到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆，据此即可解答．
【详解】到定点A的距离为9cm的点的轨迹是：以A为圆心，以9cm为半径的圆．
故答案是：以A为圆心，以9cm为半径的圆．
【点睛】此题考查点的轨迹，正确理解圆的定义是解题关键．
15．．
【详解】试题分析：扇形的面积=cm2．故答案为3π．
考点：扇形面积的计算．
16．12π
【分析】根据扇形的面积公式S扇形=，代入计算即可得出答案．
【详解】解：（平方厘米）
故答案为：12π．
【点睛】本题考查扇形的计算．
17．1
【分析】根据S1﹣S2=五角星面积-正方形面积,即可解题.
【详解】解：设空白部分面积为S,
则：S1﹣S2=（S1+S）-( S2+S)= 五角星面积-正方形面积,
∵正五角星的面积为 5，正方形的边长为 2，即正方形面积为4,
∴S1﹣S2=5-4=1
【点睛】本题考查了不规则图形面积之间的关系,属于简单题,运用割补法将不规则图形补充为规则图形是解题关键.
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了尺规作图—确定圆心，垂径定理，勾股定理：
（1）如图所示，在圆上取一点C，连接，分别作的垂直平分线，二者交于点O，点O即为所求；
（2）连接，由垂径定理得到，再由，即可利用勾股定理得到．
【详解】（1）解：如图所示，在圆上取一点C，连接，分别作的垂直平分线，二者交于点O，点O即为所求；
（2）解：如图所示，连接，
∵，，圆心O到的距离为4，
∴，
∴，
∴的半径为．
19．（1）圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；（2）45°；（3）见解析
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过不在同一直线上的三点确定一个圆解答即可；
（2）根据四点共圆、圆周角定理解答；
（3）根据轴对称的性质得到，，，，进而得到，即可证明结论．
【详解】解：（1）依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆．
故答案为：圆内接四边形对角互补 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆
（2）∵，
∴点A，，，四点在同一个圆上，
∴，
∵，
∴．
答案：45°
（3）证明：∵，
∴，
∵点与点关于对称，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴A，，，四点共圆．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质、轴对称的性质，正确理解四点共圆的条件是解题的关键．
20．2.28
【分析】先求出弓形的面积，然后即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：根据题意，则
．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，以及求弓形的面积，解题的关键是熟练掌握间接法求阴影部分图形的面积．
21．
【分析】先根据垂径定理得，，由平行线的性质得，证明，得，证明是等边三角形，可求得，根据弧长公式求解即可．
【详解】连接．

∵弦，
∴，
∴．
∵，
∴．
在与中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴劣弧的长为．
【点睛】本题考查垂径定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题关键．
22．能，见解析
【分析】连接，以为直径作，与相交于A，B两点，则，即为的切线．
【详解】如图，连接，以为直径作，与相交于A，B两点，则，即为的切线．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角等于90°，掌握切线的性质是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明是直角三角形，且，根据直径所对圆周角等于，易得的外接圆圆心即为线段的中点，作线段的垂直平分线即可；
（2）连接、，过点D作，交的延长线于点E，过点D作，交于点F，证明四边形为正方形，易证，根据即可求解．
【详解】（1）解：，，，
，，，
，
是直角三角形，且，
的外接圆圆心即为线段的中点，
如图所示，，点D即为所求，
（2）解：如图，连接、，过点D作，交的延长线于点E，过点D作，交于点F，
在中，
∵，，．
∴，
∴为直径．
∵，
∴，，平分，
又∵，，
∴．
∵，
∴四边形为矩形，
又，
∴四边形为正方形．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，三角形外接圆，垂直平分线的作法，圆周角定理，正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
24．（1）详见解析；（2）2﹣
【分析】（1）连接AD、OD，由AB为直径可得出点D为BC的中点，由此得出OD为△BAC的中位线，再根据中位线的性质即可得出OD⊥DF，从而证出DF是⊙O的切线；
（2）CF＝1，DF＝，通过解直角三角形得出CD＝2、∠C＝60°，从而得出△ABC为等边三角形，再利用分割图形求面积法即可得出阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：连接AD、OD，如图所示．
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，∵AC=AB，
∴点D为线段BC的中点．
∵点O为AB的中点，
∴OD为△BAC的中位线，
∴ODAC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：在Rt△CFD中，CF=1，DF=，
∴tan∠C==，CD=2，
∴∠C=60°，
∵AC=AB，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=4．
∵ODAC，
∴∠DOG=∠BAC=60°，
∴DG=OD tan∠DOG=2，
∴S阴影=S△ODG﹣S扇形OBD=DG OD﹣×OB2=2﹣．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线的判定、扇形面积的计算以及三角形面积的计算，解题的关键是：（1）证出OD⊥DF；（2）利用分割图形求面积法求出阴影部分的面积．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用分割图形求面积法求面积是解题的难点，在日常练习中应加强训练．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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