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27.4正多边形和圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，将正五边形绕中心顺时针旋转角度，与原正五边形构成新的图形，若要使该图形既是轴对称又是中心对称图形，则的最小角度为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是由边长为1的正六边形和六角星镶嵌而成的图案，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ）
A．12 B． C． D．
5．一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
6．下列说法正确的是（ ）
A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等
B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点
C．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根
D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等
7．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为的正三角形，母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠， 则小猫经过的最短路程是（　　）．
A． B．4 C． D．6
9．已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是( )
A． B． C． D．
10．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
12．我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，延长正五边形各边，使得，若，则的度数为 ．

14．利用等分圆可以作正多边形，只利用直尺和圆规不能作出的多边形是 .
15．如图，若五边形是的内接正五边形，则 ， ， ， ．
16．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为 ．
17．如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= °.
三、解答题
18．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．
（1）求图①中∠APB的度数；
（2）图②中，∠APB的度数是 ，图③中∠APB的度数是 ；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
19．已知n边形的内角和θ＝（n﹣2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取900°；而乙同学说，θ也能取800°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了540°，用列方程的方法确定x．
20．如图，正方形的边长为，剪去四个角后成为一个正八边形．求这个正八边形的边长和面积．
21．图（a）、图（b）、图（c）是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请在下图中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须在方格纸的格点上．
（1）在图（a）中画一个等腰三角形，使它的底边长是4，且面积是16；
（2）在图（b）中画一个等腰直角三角形，使它的面积是10；
（3）在图（c）中画一个四边形，使它既是轴对称又是中心对称图形，且面积是29．
22．如图，正方形内接于，为的中点．

(1)作等边三角形，使点，分别在和上（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，求的度数；
(3)若正方形的边长为4，求（1）中等边三角形的边长．
23．如图，已知的周长等于，求圆内接正六边形的面积．
24．如图所示，正方形中，为对角线，点为上一点，过作，交于，求证：.
《27.4正多边形和圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C C A B C D D
题号 11 12
答案 D A
1．C
【分析】根据题意，内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则正n边形的中心角为 ，由 可得结果．
【详解】解： 内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，
正n边形的中心角为，
，
n的值为6，
故选：C．
【点睛】本题考查了正n边形中心角的定义，熟记并理解正n边形中心角的定义是解决本题的关键．
2．B
【分析】由旋转后的图形既是轴对称又是中心对称图形可得旋转后的正五边形的五个顶点与旋转前的正五边形的五个顶点构成的图形是正十边形，然后根据正五边形和正十边形的中心角解答即可．
【详解】解：∵旋转后的图形既是轴对称又是中心对称图形，
∴旋转后的正五边形的五个顶点与旋转前的正五边形的五个顶点构成的图形是正十边形，
∵正五边形的中心角是72°，正十边形的中心角是36°，
∴的最小角度为36°．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质和正多边形的相关知识，正确理解题意、明确从中心角的角度解答是关键．
3．C
【分析】计算出1个正六边形的面积，利用矩形的面积减去图中未涂色部分的面积即可．
【详解】解：如图所示，
∵正六边形的中心角为60°，
∴每个边长为1的正六边形由六个全等的等边三角形组成，
∴，，，
因此每个正六边形的面积为：，
图中未涂色部分面积等于16个正六边形的面积：．
整个图形是一个矩形，长为12，宽为，
矩形的面积为：，
因此图中阴影部分的面积是：，
故选C．
【点睛】本题考查等边三角形相关计算，利用等边三角形计算出每个正六边形的面积是解题的关键．
4．C
【分析】根据题意可得，则，再根据平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦可得，，再根据可得是等边三角形，则，最后结合三角函数即可求解．
【详解】解：连接，交于点M，连接，
∵六边形是的内接正六边形，
∴，，
∴，
∵经过圆心O，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、三角函数综合和圆周角定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
5．C
【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，再根据正多边形的中心角与边数的关系即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，
是等边三角形，
，
则这个正多边形的边数为，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的中心角与边数的关系是解题关键．
6．A
【详解】试题分析：如图,∠AOB==60°，OA=OB，可得△AOB是等边三角形，所以AB=OA，即可得圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等，A正确；在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示不同一点，B错误；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）不一定有实数根，C错误；根据旋转变换的性质可知，将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE全等，D错误；故选A．
考点：正多边形和圆；根的判别式；点的坐标；旋转的性质．
7．B
【分析】根据正多边形的中心角＝计算即可．
【详解】解：设正多边形的边数为n．
由题意可得：＝72°，
∴n＝5，
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角＝．
8．C
【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．
【详解】解：圆锥主视图是边长为的正三角形，
圆锥的底面周长是，则，
，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．
如图，在圆锥侧面展开图中，，度．
在圆锥侧面展开图中．
故小猫经过的最短距离是．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
9．D
【分析】这个三角形的外接圆的半径就是三角形的外心到其中一个顶点的长度，把圆的问题解决为三角形的问题求值即可.
【详解】解：设正△ABC的中心为O，
如图，连接OB，作OD⊥BC，由正三角形的边长可知BC=12，∠OBD=30°，
BD=6，
OB=BD÷cos∠OBD=6÷ =4 .
故选D.
【点睛】本题考查了正多边形和圆．关键是画出正三角形及其中心，表示正三角形外接圆的半径，把问题转化到直角三角形中求解．
10．D
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
【详解】解：∵五边形是的内接正五边形，
∴五边形的中心角的度数为，
故选D．
【点睛】本题考查圆内接正多边形的中心角．熟练掌握正多边形的中心角的计算公式：，是解题的关键．
11．D
【分析】连接，先根据圆内接正多边形的性质可得点在上，且是和的角平分线，从而可得，再根据角的和差可得，然后根据圆周角定理可得，最后根据正多边形的性质即可得．
【详解】解：如图，连接，
四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，
点在上，且是和的角平分线，，
，
，
，
恰好是圆O的一个内接正边形的一边，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接正多边形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键．
12．A
【分析】求出正十二边形的中心角，利用十二边形周长公式求解即可．
【详解】解：∵十二边形是正十二边形，
∴，
∵于H，又，
∴，
∴圆内接正十二边形的周长，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，解直角三角形，求出正十二边形的周长是解题的关键．
13．/36度
【分析】根据正五边形的性质以及全等三角形的判定和性质，可求出正五边形的每个内角度数，再根据等腰三角形的性质得出是等腰三角形，并求出各个内角度数，由全等三角形的性质可求出答案．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴ ，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理可得，即五边形是正五边形，
在中，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形的圆，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，掌握正五边形的性质，三角形内角和定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．
14．正七边形
【详解】试题解析：直接利用圆的半径即可将圆等分为6份，这样即可得出正三角形，也可以得出正六边形，作两条互相垂直的直径即可将圆4等分，可得出正方形，但是无法利用圆规与直尺7等分圆，故无法得到正七边形．
故答案为正七边形．
15．
【分析】由五边形为正五边形，可得为周角的五分之一，求出即可；由内角和定理求出五边形的内角和，根据五边形的五个内角相等，求出每一个内角，可得到，及都相等，并求出度数，再由正五边形的边长相等可得，得到为等腰三角形，由顶角的度数求出底角和的度数，再由可得出的度数．
【详解】解：五边形是的内接正五边形，
，
又正五边形的内角和为，
，，
，
又，，
．
故答案为：；；；
【点睛】此题考查了正五边形的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，等腰三角形的性质，利用了转化的思想，结合图形找出已知条件与所求角的关系是解本题的关键．
16．4 cm
【分析】设AF=acm，根据切线长定理得出AF=AE，CE=CD，BF=BD，求出BD=BF=（9-a）cm，CD=CE=（13-a）cm，根据CD+BD=BC，代入求出a即可．
【详解】设AF=acm，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴AF=AE，CE=CD，BF=BD，
∵AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，
∴BD=BF=（9-a）cm，CD=CE=（13-a）cm，
∵BD+CD=BC=14cm，
∴（9-a）+（13-a）=14，
解得：a=4，
即AF=4cm．
故答案为4cm.
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，关键是推出AF=AE，CE=CD，BF=BD，用了方程思想．
17．60
【详解】∵四边形OABC为平行四边形，
∴∠AOC=∠B，∠OAB=∠OCB，∠OAB+∠B=180°．
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠D+∠B=180°．
又∠D＝∠AOC，
∴3∠D=180°，
解得∠D=60°．
∴∠OAB=∠OCB=180°-∠B=60°．
∴∠OAD+∠OCD=360°-（∠D+∠B+∠OAB+∠OCB）=360°-（60°+120°+60°+60°）=60°．
故答案为：60°．
【点睛】考点：①平行四边形的性质；②圆内接四边形的性质．
18．（1）120°；（2）=，=；（3）能，∠APB=
【分析】（1）由题意可得，根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得，在利用三角形外角的性质即可求解
（2）根据（1）的求解过程，即可求解
（3）结合（1），（2）的推理过程，即可得出结论
【详解】（1）∠APB=120°（如图①）
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM=∠CBN，
又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠APB=120°；
（2）同理可得：图②中∠APB=90°；图③中∠APB=72°．
（3）由（1），（2）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图n中，∠APB=．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，以及正多边形外角的求法，三角形外角的性质是解题关键．
19．（1）甲对，乙不对；（2）3
【分析】（1）首先根据题意列出方程，求解n的值，再根据n值是正整数，来确定是否从在.
（2）根据题意列方程求解即可.
【详解】解：（1）甲对，乙不对，理由如下：
∵当θ取900°时，900°＝（n﹣2）×180°，
解得n＝7；
当θ取800°时，800°＝（n﹣2）×180°，
解得n＝；
∵n为整数，
∴θ不能取800°；
答：甲同学说的边数n是7；
（2）依题意得，
（n﹣2）×180°+540°＝（n+x﹣2）×180°，
解得x＝3．
故x的值为3．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和的计算,应当熟练的掌握.
20．这个正八边形的边长是（4－4）cm，面积是（32－32）cm2．
【分析】设剪去的小直角三角形的两直角边均为xcm，根据勾股定理可得(4－2x)2＝x2＋x2，求出的值，即可得出4－2x的值，即为正八边形的边长，再根据正八边形的面积等于正方形的面积减去4个小等腰直角三角形的面积即可得出答案．
【详解】解：由正方形剪去四个角后成为一个正八边形，可知减去的每个角所组成的三角形为等腰直角三角形，设剪去的小直角三角形的两直角边均为xcm，
由题意可知(4－2x)2＝x2＋x2，
解得x1＝4＋2（舍去），x2＝4－2，
所以4－2x＝4－2×(4－2)＝4－4，
即这个正八边形的边长是(4－4)cm．
S正八边形＝S正方形－4S小三角形
＝42－4×·x·x
＝16－2(4－2)2
＝16－2(24－16)
＝32－32(cm2) ．
答：这个正八边形的边长是(4－4)cm，面积是(32－32)cm2．
【点睛】本题考查了正方形的性质、正八边形的性质、勾股定理、解一元二次方程，得出“减去的每个角所组成的三角形为等腰直角三角形”并能正确列出方程是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）根据三角形的面积公式，可得答案；
（2）根据等腰直角三角形的面积，可得腰长，可得答案；
（3）根据平行四边形的面积公式，可得答案．
【详解】如图所示：（1）如图a，高=8，底边=4，S.
（2）如图b,直角等腰三角形边=，，如图所示；
（3）一个四边形使它既是轴对称又是中心对称图形，则此四边形为正方形.使正方形边长为，.如图c所示；
【点睛】考点作图—应用与设计作图，解题关键在于利用平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质作图.
22．(1)见解析
(2)；
(3)等边三角形的边长为．
【分析】（1）如图所示，连接并延长交于，以为圆心，为半径画圆，交于点，，点，即为所求；
（2）利用等边三角形的性质及圆周角定理求得，，据此即可求解；
（3）如图，作辅助线，构建直角三角形，先根据勾股定理计算半径的长，再利用勾股定理求的长，可得等边三角形的边长．
【详解】（1）解：如图所示，连接并延长交于，以为圆心，为半径画圆，交于点，，点，即为所求，即得到等边三角形．

（2）解：连接，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，过O作于N，

∵，
∴，
中，，
∴，
中，，，
∴，
∴，
∴，
∴等边三角形的边长为．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：作等边三角形，圆内接三角形，还考查了正方形和等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
23．
【分析】首先过点作于点，连接，，由的周长等于可得的半径，又由圆的内接正多边形的性质，即可求得答案．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，，
，
的周长等于，
∴，
解得：
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
答：圆内接正六边形的面积为．
【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
24．见解析.
【分析】先根据正方形的性质可得∠CDA=90°，再根据得到∠AEF=90°，从而得证，，，共圆，，继而得出AE=FE.
【详解】在正方形ABCD中，,∠BDC=45°
∵
∴
∴∠ADC+∠AEF=180°
∴，，，共圆，
∴，
∴
∴.
【点睛】本题考查了正方形的性质，四点共圆，以及等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键
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