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吉林油田第十二中学·第三次综合模拟测试 二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）
7 3 x y = 5．（ 分）若关于 ， 的二元一次方程的解为 = 1 ，则这个方程可以是 ．
数学试题 8．（3分）分解因式：6m2+12m+6＝ ．
一．选择题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 9．（3分）如图，四边形 ABCD是平行四边形，点 E在 BC延长线上，连结 AE交 BD于点 F，交 CD于点 G，若 BF＝
1．（3分）下列实数的绝对值最大的是（ ）

A．﹣10 B．4 5 C．﹣23 D．（﹣3）2 2DF，则 的值是 ．
2．（3分）国产大模型 DeepSeek已经成为全球增长最快的 AI工具，其每月新增网站访问量已超过 OpenAI的 ChatGPT．据
报道，2025年 2月，DeepSeek访问量达到 525000000次，将数字 525000000用科学记数法表示为（ ）
A．5.25×106 B．5.25×108 C．5.25 10﹣× 6 D ﹣．5.25×10 8
3．（3分）如图所示的几何体是由 5个相同的小立方块搭成的，它的俯视图是（ ）
10．（3分）如图．△ABC内接于半圆 O，∠CBA＝2∠CAB，连接 AO并延长，交 CB的延长线于点 D．若∠D＝35°，
则∠C＝ °．
A B C D 11．（3 分）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝4，E是边 BC上的一点，F是 BC延长线上的一点，G为． ． ． ．
AF的中点，连接 EG．若 CF＝2BE，则 tan∠GEF的值为 ．
4．（3分）记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．“意思是：若乙
给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的 2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有 x只羊，乙有 y只羊，
可列出方程组是（ ）
A + 1 = 2( 1)． 1 = + 1
B 1 = 2( + 1)． + 1 = 1
三．解答题（共 11 小题，满分 87 分）
C 2( 1) = + 1． + 1 = 1 12．（6分）计算：| 3| (4 )0 + 2 60° + ( 1 )﹣13 ．
D 2( + 1) = 1． 1 = + 1
5．（3分）实数 m对应的点在数轴上的位置如图所示，则不等式组 + 2＞0 的解集为（ ）
≤ 0
13．（6分）春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注，小明和小
A．x＞﹣2 B．x≤m C．﹣2＜x≤m D．﹣2＜x＜m
亮摸卡片游戏，将两张相同形状大小的卡片球上分别标上 A哪吒、B敖丙，放入不透明的甲袋中；另外三张相同的
6．（3分）如图，扇形 AOB的圆心角为 60°点 C是 OA的中点，连接 CB．若 OA＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
卡片上分别标上 C太乙真人、D申公豹、E李靖，放入不透明的乙袋中．
（1）从甲袋中任意摸出一张卡片，卡片人物恰好是哪吒的概率是 ；
（2）先从甲袋中任意摸出一张卡片，再从乙袋中任意摸出一张卡片，求卡片人物恰好哪吒和李靖的概率．（请用“画
树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
4 8 4 8
A． 3 B． 3 C． 2 3 D． 2 3
3 3 3 3
— 1 —
14．（6分）去年“十一假期”，在山东泰山身驮重物“机器狗”在陡峭山路上“健步如飞”火遍全网，显示了信息技术 17．（7分）人工智能越来越多地应用于现实生活，某科技馆的人形机器人正在进行货物运输测试．机器人需要将一批
与科技创新给人类生活带来的便利．其实机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度 货物从地面运送到展示台 CDNM上，为此设计了可调节斜坡装置．当斜坡 BC与地面夹角为 30°时，运输速度快但
v（m/s）是载重后总质量 m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量 m＝60kg时，它的最快移动速度 v 能耗很大，为减少能耗，将斜坡加长 3米，此时斜坡 AC与地面夹角为 20°，机器人刚好能稳定行走，且耗能低．请
＝6m/s；求其载重后总质量 m＝90kg时，它的最快移动速度． 你计算展示台 CDNM的高度 CD及斜坡加长后多占多长一段地面？（结果保留小数点后一位）
17 47 9
（参考数据：sin20°≈ 50，cos20°≈ 50，tan20°≈ 25， 3 ≈ 1.7）
15．（7分）如图，在 7×7的网格中，A，B，C，D均在格点上，按下列要求作图：
（1）在图 1中，找出格点 E，连结 DE，使得 DE∥AC．
（2）在图 2中，将三角形 ABC沿着 BD的方向，平移 BD的长度得到三角形 A'C'D，请画出三角形 A'C'D． 18．（8分）综合与实践：为了提高学生的防溺水意识，某校举行了“珍爱生命，远离溺水”安全知识竞赛，并对收集
到的数据进行了整理、描述和分析．
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩（满分 100分，所有竞赛成绩均不低于 60分）组成一个样本．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成 A，B，C，D四组进行整理，如表．
组别 A B C D
成绩 x/分 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
人数 8 m 12 n
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如图两幅不完整的统计图．
其中 C组具体成绩的样本数据分别为：80，80，82，84，84，85，85，85，86，86，88，89．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：m＝ ，n＝ ，补全条形统计图．
（2）C组成绩的样本数据的众数是 ，样本数据的中位数是 ．
（3）若竞赛成绩 85分以上（含 85分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的 1000名学生中成绩为优秀的人数．
16．（7分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝kx+b与反比例函数 = ( ＞0)的图象交于点 A（1，n），B
（3，2）．
（1）求 n的值和反比例函数的解析式；
（2）若点 P在 x轴上，当△PAB的周长最小时，求出点 P的坐标．
— 2 —
19．（8分）小潘从家里出发骑车去舅舅家做客，他骑了一段时间后，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过 20．（10分）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学
的一家商店，买好礼物后继续骑车去舅舅家，如图是小潘离家的距离与随时间变化而变化的情况．观察图象并回答 们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．
下列问题： 在正方形 ABCD中，点 P在射线 AD上，将正方形纸片 ABCD沿 BP所在直线折叠，使点 A落在点 E处，连接 CE，
（1）图象表示了 和 两个变量的关系； 直线 CE交 BP所在直线于点 F，连接 AF．
（2）小潘家到舅舅家路程是 米；小潘在商店停留了 分钟； 【观察猜想】
（3）在去舅舅家的途中，小潘骑车最快的速度是多少米/分？ （1）如图 1，当∠ABP＝22.5°时，∠AFB＝ °．
【类比探究】
（2）如图 2，正方形 ABCD的边长为 4，∠ABP＝α（0°＜α＜90°），连接 AC，取 AC的中点 O，连接 OF，求∠
AFB的度数及线段 OF的长度．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，当△AFC被线段 OF分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段 AP的长度．
— 3 —
21．（10分）如图 1，在△ABC中，AB＝AC＝15，BC＝24，点 P以每秒 1个单位长度的速度，从点 A出发沿 AB方向 22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2﹣4x+3的对称轴为直线 l，直线 l与 x轴交于点 A、点 P、Q是
向终点 B运动，同时，点 Q以每秒 2个单位长度的速度，从点 B出发沿 BC方向向终点 C运动，当其中一个点到达 该抛物线上的两个点．点 P的横坐标为 m．
终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为 t秒，请解答下列问题： （1）该抛物线的顶点坐标为 ；
（1）当 t为何值时，PQ∥AC； （2）当点 Q在 x轴上，且点 P是该抛物线的顶点时，PQ＝ ；
（2）在点 P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻 t，使得△PCQ的面积等于 6？若存在，请求出 t的值；若不存在， （3）当点 Q在直线 l的右侧，点 P到直线 l的距离是点 Q的纵坐标时，若点 P、点 Q之间的部分的图象（包括点 P、
请说明理由． 点 Q）的最高点与最低点的纵坐标之差为 3，求 m的值；
（3）如图 2，E是 AC的中点，连接 BE，与 PQ交于点 O，是否存在某一时刻 t，使得 PQ⊥BE？若存在，请求出 t （4）过点 P作 PB⊥l于点 B，过点 Q作 QC⊥l于点 C，连结 AP、AQ，当 P、Q、A三点共线，且△ACQ的周长是
的值；若不存在，请说明理由． △ABP的周长的 4倍时，直接写出 m的值．
— 4 —
吉林油田第十二中学·第三次综合模拟测检测 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
数学 答题卡 13.（6分） 16.（7分）
（1） （1）
班级 姓名 考场号 座位号
（2）
注意事项 准考证号
1.答题前请将姓名、班级、考场、座号和准考证号
填写清楚。 [0 ] [0 ] [0 ] [0 ] [0 ] [0 ] [0 ] [0 ] [0 ]
（2）
2.客观题答题,必须使用2B铅笔填涂,修改时用橡皮 [ 1] [ 1] [ 1] [ 1] [ 1] [ 1] [ 1] [ 1] [ 1]
[ 2 ] [2 ] [ 2 ] [2 ] [ 2 ] [2 ] [ 2 ] [2 ] [2 ]
擦干净。
[ 3 ] [3 ] [ 3 ] [3 ] [ 3 ] [3 ] [ 3 ] [3 ] [3 ]
3.主观题必须使用黑色签字笔书写。
[4 ] [4 ] [4 ] [4 ] [4 ] [4 ] [4 ] [4 ] [4 ]
4.必须在题号对应的答题区域内作答,超出答题区 [ 5 ] [5 ] [ 5 ] [5 ] [ 5 ] [5 ] [ 5 ] [5 ] [5 ]
域书写无效。 [6 ] [6 ] [6 ] [6 ] [6 ] [6 ] [6 ] [6 ] [6 ]
5.保持答卷清洁完整。 [ 7 ] [7 ] [ 7 ] [7 ] [ 7 ] [7 ] [ 7 ] [7 ] [7 ]
[8 ] [8 ] [8 ] [8 ] [8 ] [8 ] [8 ] [8 ] [8 ]
[9 ] [9 ] [9 ] [9 ] [9 ] [9 ] [9 ] [9 ] [9 ]
考生禁填
缺考 违规
正确填涂 错误填涂 (由监考老师填涂)
14.（6分）
客观题 (共6题)
1 [A] [B ] [C] [D ] 4 [A ] [B ] [C ] [D ]
2 [A ] [B ] [C ] [D ] 5 [A ] [B ] [C ] [D ] 17.（7分）
3 [A ] [B ] [C ] [D] 6 [A ] [B ] [C ] [D]
填空题
7、
8、
9、
10、
11、 15.（7分）
主观题（共11题，共87分）
12.（6分）
18.（8分）
（1）
（2）
请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
第2页 共6页 第3页 共6页
第1页 共6页
请保持答题卡干净整洁，不要污损
请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
（3） （2） 22.（12分）
（1）
（1）续
（2）
19.（8分）
（3）
（1） （3）
（2）
21.（10分）
（1）
（3） （4）
（2）
（3）
20.（10分）
（1）
请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
第4页 共6页 第5页 共6页 第6页 共6页
吉林油田第十二中学·第三次综合模拟测试 2( + 1) = 1D． 1 = + 1
数学试题·参考答案 【解答】解：根据题意得：
+ 1 = 2( 1)
一．选择题（共 6 小题） 1 = + 1
，
题号 1 2 3 4 5 6 故选：A．
答案 A B． B A D D 5．（3分）实数 m对应的点在数轴上的位置如图所示，则不等式组 + 2＞0 的解集为（ ）
≤ 0
一．选择题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
1．（3分）下列实数的绝对值最大的是（ ）
3 2 A．x＞﹣2 B．x≤m C．﹣2＜x≤m D．﹣2＜x＜mA．﹣10 B．4 5 C．﹣2 D．（﹣3）
【解答】解：∵﹣23＝﹣8，（﹣3）2＝9，（4 5）2＝80，82
【解答】解：由题意可得：数轴的性质可得﹣2＜m＜﹣1，
＜80＜92，
+ 2＞0①
∴8＜4 5＜9， ，
3 ≤ 0②∴|﹣2 |＜|4 5|＜|（﹣3）2|＜|﹣10|，
分别求出两个不等式的解集可得：
∴绝对值最大的数是﹣10．
解不等式①得：x＞﹣2，
故选：A．
解不等式②得：x≤m，
2．（3分）国产大模型 DeepSeek已经成为全球增长最快的 AI工具，其每月新增网站访问量已超过 OpenAI的 ChatGPT．据
∴﹣2＜x≤m．
报道，2025年 2月，DeepSeek访问量达到 525000000次，将数字 525000000用科学记数法表示为（ ）
故选：C．
A．5.25×106 B．5.25×108 C．5.25×10﹣6 D．5.25×10﹣8
【解答】解：525000000＝5.25×108．
6．（3分）如图，扇形 AOB的圆心角为 60°点 C是 OA的中点，连接 CB．若 OA＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
故选：B．
3．（3分）如图所示的几何体是由 5个相同的小立方块搭成的，它的俯视图是（ ）
4 8 4 8
A． 3 B． 3 C． 2 3 D． 2 3
3 3 3 3
S = 60 π 42= 8 【解答】解： 扇形 AOB 360 × 3 ，
A． B． C． D．
∵点 C是 OA的中点，
∴OC= 12OA＝2，
【解答】解：由题干中的几何体可得其俯视图是 ， ∵OB＝OA＝4，
故选：B． ∴BC＝OB sin∠AOB 3＝4× 2 =2 3，
4．（3分）记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．“意思是：若乙
1 1
给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的 2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有 x只羊，乙有 y只羊， ∴S△BOC= 2OC BC= 2 ×2×2 3 =2 3，
可列出方程组是（ ）
A + 1 = 2( 1)
S S 8 ∴ 阴影＝ 扇形 AOB﹣S△BOC= 3 2 3．． 1 = + 1
故选：D．
B 1 = 2( + 1)． + 1 = 1 二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）
7 3 x y = 52( 1) = + 1 ．（ 分）若关于 ， 的二元一次方程的解为 = 1 ，则这个方程可以是 x+y＝﹣4（答案不唯一） ．C． + 1 = 1
【解答】解：∵x＝﹣5，y＝1，
∴x+y＝﹣5+1＝﹣4，
— 5—
∴这个方程可以是 x+y＝﹣4．
故答案为：x+y＝﹣4（答案不唯一）．
8．（3分）分解因式：6m2+12m+6＝ 6（m+1）2 ．
【解答】解：6m2+12m+6
＝6（m2+2m+1）
＝6（m+1）2， ∴∠BOC＝2x，∠CEA＝∠CBA＝2x，∠BCE＝∠BAE＝x，
故答案为：6（m+1）2． ∵△ABC内接于半圆 O，
9．（3分）如图，四边形 ABCD是平行四边形，点 E在 BC延长线上，连结 AE交 BD于点 F，交 CD于点 G，若 BF＝ ∴∠ECA＝90°，
1 ∴∠CEA+∠EAC＝∠CEA+∠CAB+∠OAB，
2DF，则 的值是 ．
3 即 3x+y＝90°①，∠D+∠EAC+∠DCA＝180°，即 2y+x＝55°②，
= 25°
①②联立：解得： = 15°，
∴∠ACB＝∠BCE+∠ECA＝15°+90°＝105°．
故答案为：105．
【解答】解：∵四边形 ABCD是平行四边形， 11．（3 分）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝4，E是边 BC上的一点，F是 BC延长线上的一点，G为
∴AD＝BC，AD∥BE， 3
ADF EBF AF的中点，连接 EG．若 CF＝2BE，则 tan∠GEF的值为 ．∴△ ∽△ ， 5
1 1
∴ = = ，从而 = ．
2 2
∴BC＝CE．
如图所示，作 FH∥BC交 CD于点 H，
【解答】解：∵∠ACB＝120°，AC＝BC＝4，
∴∠ACF＝60°
∴△DFH∽△DBC， ∵点 G为 AF的中点，
1 ∴AF＝2GF，
∴ = = ，
3 过点 A作 AH⊥CF，交 CF于 H，则 AH＝AC sin 60°＝2 3CH＝AC cos60°＝2，
1 过点 G作 GT⊥CF，交 CF于 T，则 AH∥GT，
∴ = ．
3
又∵△FHG∽△ECG，
1
∴ = = ．
3
1
故 答案为： ．
3

10 3 ABC ∴△AFH∽△GFT， = = =2，．（ 分）如图．△ 内接于半圆 O，∠CBA＝2∠CAB，连接 AO并延长，交 CB的延长线于点 D．若∠D＝35°，
则∠C＝ 105 °． 1 1
则 GT= 2AH= 3， = ， 2
则设 BE＝a，FC＝2a，
∴FH＝FC 1﹣CH＝2a﹣2，CE＝4﹣a，FT= 2FH＝a﹣1
则 CT＝2a﹣（a﹣1）＝a+1，
【解答】解：如图，连接 OC，OB，CE， ∴ET＝CE+CT＝4﹣a+a+1＝5，
设∠CAB＝x，∠OAB＝y，则∠CBA＝2x， 3
∴tan∠GEF= = 5 ，
— 6—
3
故答案为： ．
5
三．解答题（共 11 小题，满分 87 分）
12．（6分）计算：| 3| (4 )0 + 2 60° + ( 1 )﹣13 ．
【解答】解：| 3| (4 )0 + 2 60° + ( 1 ﹣13 )
= 3 1 + 2 × 32 + 3
= 3 1+ 3 + 3 【解答】解：（1）如图 1所示，两个点 E为所作；
= 2 3 + 2．
13．（6分）春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注，小明和小
亮摸卡片游戏，将两张相同形状大小的卡片球上分别标上 A哪吒、B敖丙，放入不透明的甲袋中；另外三张相同的
卡片上分别标上 C太乙真人、D申公豹、E李靖，放入不透明的乙袋中．
1
（1）从甲袋中任意摸出一张卡片，卡片人物恰好是哪吒的概率是 ；
2
（2）先从甲袋中任意摸出一张卡片，再从乙袋中任意摸出一张卡片，求卡片人物恰好哪吒和李靖的概率．（请用“画
树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【解答】解：（1）由题意知，共有 2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有 1种，
1 （2）如图 2所示，三角形 A′C′D为所作．
∴卡片人物恰好是哪吒的概率为 ．
2
16 7 ．（ 分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 y＝kx+b与反比例函数 = ( ＞0)的图象交于点 A（1，n），B1
故答案为： ．
2 （3，2）．
（2）列表如下： （1）求 n的值和反比例函数的解析式；
C D E （2）若点 P在 x轴上，当△PAB的周长最小时，求出点 P的坐标．
A （A，C） （A，D） （A，E）
B （B，C） （B，D） （B，E）
共有 6种等可能的结果，其中卡片人物恰好哪吒和李靖的结果有：（A，E），共 1种，
1
∴卡片人物恰好哪吒和李靖的概率为 ．
6
14．（6分）去年“十一假期”，在山东泰山身驮重物“机器狗”在陡峭山路上“健步如飞”火遍全网，显示了信息技术
与科技创新给人类生活带来的便利．其实机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度
v（m/s）是载重后总质量 m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量 m＝60kg时，它的最快移动速度 v 【解答】解：（1）把 B（3，2）代入反比例函数解析式得： = 2，3
＝6m/s；求其载重后总质量 m＝90kg时，它的最快移动速度．
∴m＝6，

【解答】解：反比例函数的解析式为 v= ， = 6∴ ，
∵该机器狗载重后总质量 m＝60kg时，它的最快移动速度 v＝6m/s，
A 1 6∴k＝vm＝60×6＝360， 把 （ ，n）代入反比例函数解析式得： = 1，
360
∴v= ∴n＝6； ，
（2）如图，作点 A关于 x轴的对称点 E，连接 EB交 x轴于 P，此时，△PAB的周长最小，
当 m 90 360＝ 时，v= 90 =4，
∴其载重后总质量 m＝90kg时，它的最快移动速度 4m/s．
15．（7分）如图，在 7×7的网格中，A，B，C，D均在格点上，按下列要求作图：
（1）在图 1中，找出格点 E，连结 DE，使得 DE∥AC．
（2）在图 2中，将三角形 ABC沿着 BD的方向，平移 BD的长度得到三角形 A'C'D，请画出三角形 A'C'D．
— 7—
在 Rt△ADC中，∠CAD＝20°，
则 AD＝AC cos∠CAD≈（6.38+3 × 47） 50 ≈8.82米，
∴AB＝AD﹣BD＝8.82﹣5.52＝3.3（米），
答：高度 CD的长约为 3.2米，斜坡加长后多占 3.3米．
18．（8分）综合与实践：为了提高学生的防溺水意识，某校举行了“珍爱生命，远离溺水”安全知识竞赛，并对收集
到的数据进行了整理、描述和分析．
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩（满分 100分，所有竞赛成绩均不低于 60分）组成一个样本．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成 A，B，C，D四组进行整理，如表．
∵A（1，6）， 组别 A B C D
∴E（1，﹣6）， 成绩 x/分 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
设直线 BE的解析式为 y＝mx+c，
人数 8 m 12 n
+ = 6
∴ 3 + = 2， 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如图两幅不完整的统计图．
其中 C组具体成绩的样本数据分别为：80，80，82，84，84，85，85，85，86，86，88，89．
= 4
解得 = 10， 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题．
BE y 4x 10 （1）填空：m＝ 14 ，n＝ 16 ，补全条形统计图．∴直线 的解析式为 ＝ ﹣ ，
∴当 y＝0时，x＝2.5 （2）C组成绩的样本数据的众数是 85 ，样本数据的中位数是 83 ．，
P 2.5 0 （3）若竞赛成绩 85分以上（含 85分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的 1000名学生中成绩为优秀的人数．∴点 的坐标为（ ， ）．
17．（7分）人工智能越来越多地应用于现实生活，某科技馆的人形机器人正在进行货物运输测试．机器人需要将一批
货物从地面运送到展示台 CDNM上，为此设计了可调节斜坡装置．当斜坡 BC与地面夹角为 30°时，运输速度快但
能耗很大，为减少能耗，将斜坡加长 3米，此时斜坡 AC与地面夹角为 20°，机器人刚好能稳定行走，且耗能低．请
你计算展示台 CDNM的高度 CD及斜坡加长后多占多长一段地面？（结果保留小数点后一位）
17 47
（参考数据：sin20°≈ 50，cos20°≈ 50，tan20 ≈
9
° 25， 3 ≈ 1.7）
【解答】解：（1）本次随机抽取的学生人数为 12÷24%＝50（人），
∴m＝50×28%＝14，
∴n＝50﹣8﹣12﹣14＝16；
【解答】解：设斜坡 BC的长为 x 补全条形统计图，米，则斜坡 AC的长为（x+3）米，
在 Rt△BDC中，∠CBD＝30°，
则 CD= 12BC=
1
2x米，
在 Rt△ADC中，∠CAD＝20°，
则 CD＝AC sin∠CAD≈ 1750（x+3）米，
1
∴ x= 1750（x+3），2
解得：x≈6.38，
∴CD= 12x＝3.19≈3.2（米）， 故答案为：14，16；
在 Rt△BDC中，∠CBD＝30°， 82+84（2）C组成绩的样本数据的众数是 85，样本数据的中位数是 =83，
2
则 BD＝BC cos∠CBD＝6.38× 32 ≈5.52米， 故答案为：85，83；
— 8—
3 1000× 23
∵∠ABP＝22.5°，
（ ） 50 =460（人）， 由折叠性质可知∠EBP＝∠ABP＝22.5°，且 AB＝BE．
答：估计该校参加竞赛的 1000名学生中成绩为优秀的人数有 460人． ∴∠ABE＝2×22.5°＝45°，
19．（8分）小潘从家里出发骑车去舅舅家做客，他骑了一段时间后，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过 ∴∠EBC＝90°﹣45°＝45°，
的一家商店，买好礼物后继续骑车去舅舅家，如图是小潘离家的距离与随时间变化而变化的情况．观察图象并回答 ∵AB＝BC，
下列问题： ∴BE＝BC．
（1）图象表示了 时间 和 距离 两个变量的关系；
∴∠ = ∠ = 12 (180° ∠ ) =
1
2 (180° 45°) = 67.5°，（2）小潘家到舅舅家路程是 1500 米；小潘在商店停留了 4 分钟；
（3）在去舅舅家的途中，小潘骑车最快的速度是多少米/分？ ∴∠BEF＝180°﹣67.5°＝112.5°，
∴∠BFE＝180°﹣∠EBP﹣BEF＝45°，
∵AB＝BE，∠ABF＝∠EBF，BF＝BF，
∴△ABF≌△EBF．
∴∠AFB＝∠EFB＝45°，
故答案为：45；
（2）由折叠可知∠EBF＝∠ABF＝α，AB＝EB，
∴∠EBC＝90°﹣2α，
∵四边形 ABCD为正方形，
∴AB＝BC．
【解答】解：（1）图象表示了时间和距离两个变量的关系； 又∵BE＝AB，
故答案为：时间，距离； ∴BE＝BC，
（2）小潘家到舅舅家路程是 1500米；小潘在商店停留了：12﹣8＝4（分钟），
∠ = ∠ = 180° ∠ ∴ 2 = 45° + ，故答案为：1500，4；
（3）0至 4分钟的速度为：1200÷4＝300（米/分钟）， 又∵∠BEC＝∠BFC+∠EBF＝∠BFC+α，
12至 14分钟的速度为：（1500﹣600）÷（14﹣12）＝450（米/分钟）， ∴∠BFC＝45°，
所以小潘骑车最快的速度是 450米/分． 由折叠的性质可得∠AFB＝∠BFC＝45°，
20．（10分）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学 ∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝90°，
们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． ∵点 O为 AC的中点，
在正方形 ABCD中，点 P在射线 AD上，将正方形纸片 ABCD沿 BP所在直线折叠，使点 A落在点 E处，连接 CE，
= 1∴ ，
直线 CE交 BP所在直线于点 F，连接 AF． 2
【观察猜想】 在正方形 ABCD中，∠ABC＝90°，
（1）如图 1，当∠ABP＝22.5°时，∠AFB＝ 45 °． ∴ = 2 + 2 = 4 2，
【类比探究】
= 1∴ = 2 2；
（2）如图 2，正方形 ABCD的边长为 4，∠ABP＝α（0°＜α＜90°），连接 AC，取 AC的中点 O，连接 OF，求∠ 2
AFB的度数及线段 OF的长度． （3）情况一：当△AOF是等边三角形，△FOC是等腰三角形时，如图：
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，当△AFC被线段 OF分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段 AP的长度．
此时∠AOF＝60°，
∵∠AOP＝2∠ABP，
∴∠ABP＝30°，
【解答】解：（1）在正方形 ABCD中，∠ABC＝90°，
— 9—
AB 4 Rt ABP 30° = = 4 3
理由如下：
已知 ＝ ，在 △ 中， 4 ，解得 3 ； 过点 A作 AF⊥BC于 F，作 PH⊥BC于 H，如图 1，
情况二：当△FOC是等边三角形，△AOF是等腰三角形时：
则 AF∥PH，
∴△BPH∽△BAF，

∴ = ，

此时∠AOF＝120°，则∠ABP＝60°， ∵AB＝AC，AF⊥BC，

在 Rt△ABP中， 60° = 4 ，解得 = 4 3； ∴BF＝CF=
1
2BC＝12，
4 3 ∴AF= 2 2 = 152 122 =9，
综上所述：线段 AP的长度为 或 4 3．
3 15
21．（10分）如图 1，在△ABC中，AB＝AC ∴ = ，＝15，BC＝24，点 P以每秒 1个单位长度的速度，从点 A出发沿 AB方向 9 15
向终点 B运动，同时，点 Q以每秒 2个单位长度的速度，从点 B出发沿 BC方向向终点 C运动，当其中一个点到达
∴PH＝9 3t，
终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为 t秒，请解答下列问题： 5
（1）当 t为何值时，PQ∥AC； ∵S△PCQ＝6，
（2）在点 P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻 t，使得△PCQ的面积等于 6？若存在，请求出 t的值；若不存在， 1 1
∴ CQ PH＝6 3，即 （24﹣2t）（9 5t）＝6，请说明理由． 2 2
（3）如图 2，E是 AC的中点，连接 BE，与 PQ交于点 O，是否存在某一时刻 t，使得 PQ⊥BE？若存在，请求出 t 解得：t1＝10，t2＝17，
的值；若不存在，请说明理由． ∵0＜t≤12，
∴t＝10，
∴当 t＝10时，△PCQ的面积等于 6．
3 t= 285（ ）存在 59 ，使得 PQ⊥BE．
理由如下：
如图 2，过点 A作 AF⊥BC于 F，AM⊥BE于 K，交 BC于 M，过点 E作 EN⊥BC于 N，
【解答】解：（1）由题意得：AP＝t，BQ＝2t，
∴BP＝15﹣t，CQ＝24﹣2t，
∵15÷1＝15，24÷2＝12，
∴0＜t≤12，
∵PQ∥AC，
15 2
∴ = ，即 = ，
15 24 则 AF＝9，BF＝CF＝12，
20 ∵E是 AC的中点，
解得：t= 3 ，
∴AE 1 15 1 9 1＝EC= 2AC= 2 ，EN= 2AF= 2，CN= 2CF＝6，20
∴当 t= 3 时，PQ∥AC； ∴BN＝BC﹣CN＝24﹣6＝18，
（2）存在某一时刻 t，使得△PCQ的面积等于 6．
— 10 —
令 y＝0，得：x2﹣4x+3＝0，
在 Rt△BEN中，BE= 2 + 2 = 182 + ( 92 )
2 = 9 172 ， 解得 x＝1或 x＝3，
∵S△ABC＝2S△ABE， ∴Q（1，0）或 Q（3，0）；
1 1 ∵点 P是该抛物线的顶点，
∴ AF BC＝2× BE AK，
2 2 ∴P（2，﹣1），
1 1×9×24 当 Q（1，0）时， = (2 1)
2 + ( 1 0)2 = 2，
AK= 2 = 2 = 24 17∴ 9 17 17 ， 当 Q（3，0）时， = (2 3)2 + ( 1 0)2 = 2；
2 ∴ = 2；
Rt ABK BK= 2 2 = 152 ( 24 17 57 17
故答案为： 2；
在 △ 中， 217 ) = 17 ， （3）由（1）可知，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∵∠BNE＝∠BKM＝90°，∠EBN＝∠MBK， ∴抛物线的对称轴为直线 x＝2；
∴△BMK∽△BEN， ①当 m＜2时，
57 17 当最高点为 Q，最低点是（2，﹣1）时，

∴ = = ，即 9 = =
17
， ∴2﹣m﹣（﹣1）＝3，
9 17 18
2 2 ∴m＝0（不合题意，舍去）；
57 17 57 当最高点为 P时，最低点是（2，﹣1）时，
∴MK= 68 ，BM= 4 ， ∴（m﹣2）2﹣1﹣（﹣1）＝3，
24 17 57 17 9 17 解得 = 2 + 3（不合题意，舍去）或 = 2 3；
∴AM＝AK+MK= 17 + 68 = 4 ， ②当 m＞2时，
∵PQ⊥BE，AM⊥BE， P为最高点，Q为最低点时，
∴PQ∥AM， （m﹣2）2﹣1﹣（m﹣2）＝3，
15 2
∴ = ，即 =
15 57
， 解得 = 5 17 = 5+ 172 （不合题意，舍去）或 2 ；4
285 Q为最高点，P为最低点时，
解得：t= 59 ； m﹣2﹣（m﹣2）2+1＝3，方程无解；
285 17
∴存在 t= 59 ，使得 PQ⊥BE． 综上所述，m的值为 = 2 3 =
5+
或 2 ；
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2﹣4x+3的对称轴为直线 l，直线 l与 x轴交于点 A、点 P、Q是 3 5
（4）m的值为 = 或 = ．理由如下：
该抛物线上的两个点．点 P的横坐标为 m． 2 2
（1）该抛物线的顶点坐标为 （2，﹣1） ； 由（1）可知，A（2，0），则 OA＝2；
（2）当点 Q在 x轴上，且点 P是该抛物线的顶点时，PQ＝ 2 ； ∵PB⊥l于点 B，QC⊥l于点 C，
（3）当点 Q在直线 l的右侧，点 P到直线 l的距离是点 Q的纵坐标时，若点 P、点 Q之间的部分的图象（包括点 P、 ∴∠ABP＝∠ACQ＝90°，
点 Q）的最高点与最低点的纵坐标之差为 3，求 m的值； ∵∠PAB＝∠QAC，
（4）过点 P作 PB⊥l于点 B，过点 Q作 QC⊥l于点 C，连结 AP、AQ，当 P、Q、A三点共线，且△ACQ的周长是 ∴△APB∽△AQC，
△ABP的周长的 4倍时，直接写出 m的值． ∵△ACQ的周长是△ABP的周长的 4倍，
∴AB：AC＝BP：CQ＝1：4，
即 AC＝4AB，CQ＝4BP，
如图 1，当 m＜2时，PB＝2﹣m，P（m，m2﹣4m+3），
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点为（2，﹣1）；
故答案为：（2，﹣1）；
（2）点 P、Q是该抛物线 y＝x2﹣4x+3上的两个点，点 Q在 x轴上时，
— 11 —
∴AB＝﹣（m2﹣4m+3），
∴CQ＝4BP＝8﹣4m，即 xQ﹣2＝8﹣4m，
∴xQ＝10﹣4m，
∴Q（10﹣4m，﹣4（m2﹣4m+3）），
∵点 Q在抛物线上，
（10﹣4m）2﹣4（10﹣4m）+3＝﹣4（m2﹣4m+3），
解得： = 3 52或 = 2（不合题意，舍去）；
如图 2，当 m＞2时，PB＝m﹣2，P（m，m2﹣4m+3），
∴AB＝﹣（m2﹣4m+3），
∴CQ＝4BP＝4m﹣8，即 xQ﹣2＝8﹣4m，
∴xQ＝10﹣4m，
∴Q（10﹣4m，﹣4（m2﹣4m+3）），
∵点 Q在抛物线上，
（10﹣4m）2﹣4（10﹣4m）+3＝﹣4（m2﹣4m+3），
3
解得： = 2（舍去）或 =
5
2，
3 5
综上所述，m的值为 = 2或 = 2．
— 12 —

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