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第讲　共点力的平衡
(对应人教版必修第一册相关内容及问题)
　第三章第5节[例题2]，三力的平衡用什么方法解决？
提示：有三种方法：(1)两个力的合力和第三个力平衡的方法；(2)用正交分解的方法；(3)按效果分解法。
　第三章第5节[练习与应用]T4，四个力的平衡问题，如何求拉力F
提示：利用正交分解的方法结合平衡条件求解。
　第三章[复习与提高]B组T5，该题应该用什么方法分析求解？
提示：用图解法分析求解。
　第三章[复习与提高]B组T6。
提示：(1)G，G；(2)G。
考点一　共点力的平衡
1．平衡状态
物体保持静止或匀速直线运动的状态。
2．共点力平衡的条件
(1)F合＝0或者
(2)平衡条件的推论
①二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反。
②三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余两个力的合力大小相等，方向相反；并且这三个力的矢量可以形成一个首尾相接的矢量三角形。
③多力平衡：如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余几个力的合力大小相等，方向相反。
1．物体的速度为零即处于平衡状态。(　　) 2．物体处于平衡状态时，加速度等于零。(　　) 答案：1.×　2.√
1．求解共点力的平衡问题的常用方法
方法 内容
合成与分解法 物体受三个共点力的作用而平衡，将任意两个力合成，则该合力一定与第三个力大小相等，方向相反；或将其中某一个力沿另外两个力的反方向分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交分解法 物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解到两个相互垂直的x轴、y轴上，则Fx合＝0，Fy合＝0。选择x、y轴方向时，要使尽可能多的力落在x轴、y轴上，被分解的力要尽可能是已知力
矢量三角形法 对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移，使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，结合数学知识求解未知力
2.应用共点力平衡条件解题的步骤
(1)选取研究对象：根据解题需要，选取一个平衡体(单个物体或系统，也可以是结点)作为研究对象。
(2)画受力示意图：对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
(3)合成或分解：按照合成与分解法或正交分解法进行合成或分解。
(4)列方程求解：根据平衡条件列出平衡方程，解平衡方程，对结果进行讨论。
例1 (2023·广东高考)如图所示，可视为质点的机器人通过磁铁吸附在船舷外壁面检测船体。壁面可视为斜面，与竖直方向夹角为θ。船和机器人保持静止时，机器人仅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用，磁力垂直壁面。下列关系式正确的是(　　)
A．Ff＝G B．F＝FN
C．Ff＝Gcosθ D．F＝Gsinθ
[答案]　C
[解析]　将重力G沿壁面方向和垂直于壁面方向进行分解，机器人保持静止，由平衡条件得：Ff＝Gcosθ，F＝FN＋Gsinθ，故C正确，A、B、D错误。
例2 (2025·四川省高三上第一次学业水平选择性模拟)如图所示，超市货架陈列着四个完全相同的篮球，不计摩擦，挡板均竖直，则4球中对圆弧面压力最小的球是(　　)
A．a球 B．b球
C．c球 D．d球
[答案]　D
[解析]　对任一个球进行受力分析，如图所示，设圆弧面对球的支持力与竖直方向的夹角为α，根据平衡条件，有N＝，故α越小，N越小，则圆弧面对d球支持力最小，根据牛顿第三定律，可知对圆弧面压力最小的球是d球。故选D。
例3 如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α＝70°，则β等于(　　)
A．45° B．55°
C．60° D．70°
[答案]　B
[解析]　甲物体拴牢在O点，且甲、乙两物体的质量相等，则与甲相连的竖直细线和与乙相连的绳子对O点的拉力大小相等。对O点受力分析，如图所示，根据几何关系有：2β＋α＝180°，解得β＝55°，故B正确。
考点二　共点力的动态平衡问题
动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用方法：解析法、图解法、相似三角形法、正弦定理法、辅助圆法。
1．解析法
确定研究对象并进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
2．图解法
(1)适用情况：物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变(通常是重力)，另两个力中有一个力的方向不变。
(2)分析方法：首先画出初始状态下力的平行四边形或力的矢量三角形，然后根据题意画出其他不同状态时力的平行四边形或力的矢量三角形，根据力的平行四边形或力的矢量三角形边长的变化情况，判断两个变力的变化情况。
3．相似三角形法
(1)适用情况：物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变，其他两个力的方向均变化，能找到与力的矢量三角形相似的线、杆等围成的几何三角形。示例如图，基本关系式为＝＝。
(2)分析方法：画出力的矢量三角形，找到与力的矢量三角形相似的几何三角形，建立比例关系，根据几何三角形中边长的变化，得出变力的变化情况。
4．正弦定理法
(1)适用情况：物体受三个力作用而处于平衡状态，三个力构成的矢量三角形的三个角变化情况已知。
(2)分析方法：画出力的矢量三角形，根据三角形的正弦定理列出三个力的关系式，根据关系式判断变力的变化情况。
5．辅助圆法
(1)适用情况：物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变(通常是重力)，另两个力方向、大小都在变，但它们的夹角不变。
(2)分析方法
①构建力的矢量三角形。
②画矢量三角形的外接圆，恒力对应的弦长不变，其对应的圆周角也不变。
③分析变力的变化情况。
注：当两个变力的夹角是90°时，恒力对应外接圆的直径。
例4 如图所示，将截面为三角形的斜面体P固定在水平地面上，其右端点与竖直挡板MN靠在一起，在P和MN之间放置一个光滑均匀的圆柱体Q，整个装置处于静止状态。若用外力使竖直挡板MN以N点为轴缓慢地顺时针转动至挡板MN水平之前，斜面体P始终静止不动，在此过程中，下列说法正确的是(　　)
A．MN对Q的弹力先减小后增大
B．MN对Q的弹力先增大后减小
C．P对Q的弹力一直增大
D．P对Q的弹力先减小后增大
[答案]　A
[解析]　对圆柱体Q受力分析，受重力G、斜面体的弹力FP和挡板的弹力FMN，根据平衡条件可知，斜面体的弹力和挡板的弹力的合力与Q的重力大小相等、方向相反，挡板以N点为轴顺时针缓慢地转动至水平位置的过程中，Q的重力G大小、方向均不变，FP方向不变，FMN方向由水平向左顺时针转动至竖直向上，根据平行四边形定则作出受力分析动态图，如图所示，可得斜面体P对Q的弹力FP逐渐减小，挡板MN对Q的弹力FMN先减小后增大，故A正确，B、C、D错误。
例5 如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，在圆环的最高点有一个光滑小孔，一根轻绳的下端系着小球，上端穿过小孔用力F拉住，开始时绳与竖直方向的夹角为θ，小球处于静止状态，现缓慢拉动轻绳，使小球沿光滑圆环上升一小段距离，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是(　　)
A．绳与竖直方向的夹角为θ时，F＝mgcosθ
B．小球沿光滑圆环上升过程中，轻绳拉力逐渐增大
C．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力逐渐增大
D．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力大小不变
[答案]　D
[解析]　小球受到竖直向下的重力mg、圆环对小球沿半径向外的支持力FN以及沿绳方向的拉力F，因小球受力平衡，则三力可构成首尾相接的矢量三角形，如图所示，分析可知，矢量三角形与几何三角形AOB相似，设圆环的半径为R，AB的长度为L，则有＝＝，解得FN＝mg，F＝mg。绳与竖直方向的夹角为θ时，L＝2Rcosθ，则F＝2mgcosθ，A错误；小球沿光滑圆环上升过程中，FN＝mg不变，L变小，则F变小，故D正确，B、C错误。
例6 (2025·吉林省长春市高三上模拟预测)如图所示为超市中运送货物常用的“L”形小推车，其中底板与支架垂直。初始时小推车支架与水平地面垂直，运送货物时先将“L”形小推车绕O点逆时针缓慢转动45°，然后推动小推车沿水平地面运动。在小推车绕O点逆时针缓慢转动的过程中，支架对货物的弹力为N1，底板对货物的弹力为N2，不计货物与小推车间的摩擦，下列说法正确的是(　　)
A．N1逐渐减小 B．N1先减小后增大
C．N2逐渐减小 D．N2先减小后增大
[答案]　C
[解析]　解法一(解析法)：对货物受力分析，如图1所示，根据平行四边形定则画出N1和N2的合力F，根据平衡条件有F＝mg，由于底板始终与支架垂直，根据几何关系可知，N1＝Fsinθ＝mgsinθ，N2＝Fcosθ＝mgcosθ，在小推车绕O点逆时针缓慢转动的过程中，θ从0°逐渐增大到45°，可知N1逐渐增大，N2逐渐减小，故A、B、D错误，C正确。
解法二(正弦定理法)：对货物受力分析，画出力的矢量三角形如图2所示，根据正弦定理有＝＝，解得N1＝mg，N2＝mg，在小推车绕O点逆时针缓慢转动的过程中，α＝90°不变，β从90°逐渐减小到45°，γ从0°逐渐增大到45°，可知N1逐渐增大，N2逐渐减小，故A、B、D错误，C正确。
解法三(辅助圆法)：对货物受力分析，画出力的矢量三角形如图2所示，在小推车绕O点逆时针缓慢转动的过程中，α＝90°不变，则力的矢量三角形的直角顶点在以mg为竖直直径的外接圆上，从最高点向下移动，如图3所示，由题意知，该直角顶点最低下移到与圆心O等高处，根据图3可知，N1逐渐增大，N2逐渐减小，故A、B、D错误，C正确。
7(共29张PPT)
第二章　相互作用
第3讲　共点力的平衡
目录
1
2
3
教材阅读指导
考点一　共点力的平衡
考点二　共点力的动态平衡问题
教材阅读指导
(对应人教版必修第一册相关内容及问题)
　　第三章第5节[例题2]，三力的平衡用什么方法解决？
　　第三章第5节[练习与应用]T4，四个力的平衡问题，如何求拉力F
提示：有三种方法：(1)两个力的合力和第三个力平衡的方法；(2)用正交分解的方法；(3)按效果分解法。
提示：利用正交分解的方法结合平衡条件求解。
　　第三章[复习与提高]B组T5，该题应该用什么方法分析求解？
　　第三章[复习与提高]B组T6。
提示：用图解法分析求解。
考点一　共点力的平衡
静止
匀速直线运动
相等
相反
②三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余两个力的合力大小______，方向______；并且这三个力的矢量可以形成一个首尾相接的矢量_________。
③多力平衡：如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余几个力的合力大小_______，方向_______。
相等
相反
三角形
相等
相反
1．物体的速度为零即处于平衡状态。(　　)
2．物体处于平衡状态时，加速度等于零。(　　)
×
√
1．求解共点力的平衡问题的常用方法
方法 内容
合成与分解法 物体受三个共点力的作用而平衡，将任意两个力合成，则该合力一定与第三个力大小相等，方向相反；或将其中某一个力沿另外两个力的反方向分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交分解法 物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解到两个相互垂直的x轴、y轴上，则Fx合＝0，Fy合＝0。选择x、y轴方向时，要使尽可能多的力落在x轴、y轴上，被分解的力要尽可能是已知力
矢量三角形法 对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移，使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，结合数学知识求解未知力
2.应用共点力平衡条件解题的步骤
(1)选取研究对象：根据解题需要，选取一个平衡体(单个物体或系统，也可以是结点)作为研究对象。
(2)画受力示意图：对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
(3)合成或分解：按照合成与分解法或正交分解法进行合成或分解。
(4)列方程求解：根据平衡条件列出平衡方程，解平衡方程，对结果进行讨论。
例1 (2023·广东高考)如图所示，可视为质点的机器人通过磁铁吸附在船舷外壁面检测船体。壁面可视为斜面，与竖直方向夹角为θ。船和机器人保持静止时，机器人仅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用，磁力
垂直壁面。下列关系式正确的是(　　)
A．Ff＝G B．F＝FN
C．Ff＝Gcosθ D．F＝Gsinθ
解析　将重力G沿壁面方向和垂直于壁面方向进行分解，机器人保持静止，由平衡条件得：Ff＝Gcosθ，F＝FN＋Gsinθ，故C正确，A、B、D错误。
例2 (2025·四川省高三上第一次学业水平选择性模拟)如图所示，超市货架陈列着四个完全相同的篮球，不计摩擦，挡板均竖直，则4球中对
圆弧面压力最小的球是(　　)
A．a球 B．b球
C．c球 D．d球
例3 如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上
O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相
连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向
的夹角分别为α和β。若α＝70°，则β等于(　　)
A．45° B．55° C．60° D．70°
解析　甲物体拴牢在O点，且甲、乙两物体的质量相等，则
与甲相连的竖直细线和与乙相连的绳子对O点的拉力大小相等。对
O点受力分析，如图所示，根据几何关系有：2β＋α＝180°，解得
β＝55°，故B正确。
考点二　共点力的动态平衡问题
动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用方法：解析法、图解法、相似三角形法、正弦定理法、辅助圆法。
1．解析法
确定研究对象并进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
2．图解法
(1)适用情况：物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变(通常是重力)，另两个力中有一个力的方向不变。
(2)分析方法：首先画出初始状态下力的平行四边形或力的矢量三角形，然后根据题意画出其他不同状态时力的平行四边形或力的矢量三角形，根据力的平行四边形或力的矢量三角形边长的变化情况，判断两个变力的变化情况。
4．正弦定理法
(1)适用情况：物体受三个力作用而处于平衡状态，三个力构成的矢量三角形的三个角变化情况已知。
(2)分析方法：画出力的矢量三角形，根据三角形的正弦定理列出三个力的关系式，根据关系式判断变力的变化情况。
5．辅助圆法
(1)适用情况：物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变(通常是重力)，另两个力方向、大小都在变，但它们的夹角不变。
(2)分析方法
①构建力的矢量三角形。
②画矢量三角形的外接圆，恒力对应的弦长不变，其对应的圆周角也不变。
③分析变力的变化情况。
注：当两个变力的夹角是90°时，恒力对应外接圆的直径。
例4 如图所示，将截面为三角形的斜面体P固定在水平地面上，其右端点与竖直挡板MN靠在一起，在P和MN之间放置一个光滑均匀的圆柱体Q，整个装置处于静止状态。若用外力使竖直挡板MN以N点为轴缓慢地顺时针转动至挡板MN水平之前，斜面体P始终静止不动，在此过程中，下列说法正确的是(　　)
A．MN对Q的弹力先减小后增大
B．MN对Q的弹力先增大后减小
C．P对Q的弹力一直增大
D．P对Q的弹力先减小后增大
解析　对圆柱体Q受力分析，受重力G、斜面体的弹力
FP和挡板的弹力FMN，根据平衡条件可知，斜面体的弹力和
挡板的弹力的合力与Q的重力大小相等、方向相反，挡板以
N点为轴顺时针缓慢地转动至水平位置的过程中，Q的重力G
大小、方向均不变，FP方向不变，FMN方向由水平向左顺时针转动至竖直向上，根据平行四边形定则作出受力分析动态图，如图所示，可得斜面体P对Q的弹力FP逐渐减小，挡板MN对Q的弹力FMN先减小后增大，故A正确，B、C、D错误。
例5 如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，在圆环的最高点有一个光滑小孔，一根轻绳的下端系着小球，上端穿过小孔用力F拉住，开始时绳与竖直方向的夹角为θ，小球处于静止状态，现缓慢拉动轻绳，使小球沿光滑圆环上升一小段距离，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是(　　)
A．绳与竖直方向的夹角为θ时，F＝mgcosθ
B．小球沿光滑圆环上升过程中，轻绳拉力逐渐增大
C．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力逐渐增大
D．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力大小不变
例6 (2025·吉林省长春市高三上模拟预测)如图所示为超市中运送货物常用的“L”形小推车，其中底板与支架垂直。初始时小推车支架与水平地面垂直，运送货物时先将“L”形小推车绕O点逆时针缓慢转动45°，然后推动小推车沿水平地面运动。在小推车绕O点逆时针缓慢转动的过程中，支架对货物的弹力为N1，底板对货物的弹力为N2，不计货物与小推车间的摩擦，下列说法正确的是(　　)
A．N1逐渐减小
B．N1先减小后增大
C．N2逐渐减小
D．N2先减小后增大
解析　解法一(解析法)：对货物受力分析，如图1所示，根据平行四边形定则画出N1和N2的合力F，根据平衡条件有F＝mg，由于底板始终与支架垂直，根据几何关系可知，N1＝Fsinθ＝mgsinθ，N2＝Fcosθ＝mgcosθ，在小推车绕O点逆时针缓慢转动的过程中，θ从0°逐渐增大到45°，可知N1逐渐增大，N2逐渐减小，故A、B、D错误，C正确。
解法三(辅助圆法)：对货物受力分析，画出力的矢量三角形如图2所示，在小推车绕O点逆时针缓慢转动的过程中，α＝90°不变，则力的矢量三角形的直角顶点在以mg为竖直直径的外接圆上，从最高点向下移动，如图3所示，由题意知，该直角顶点最低下移到与圆心O等高处，根据图3可知，N1逐渐增大，N2逐渐减小，故A、B、D错误，C正确。

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