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2025届高三下学期复习备考高考数学模拟预测试题
一、单选题
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．等轴双曲线C过点，则双曲线C的右焦点到其中一条渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆台的母线长为4，下底面的半径是上底面半径的3倍，母线与底面所成的角为60°，那么圆台的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数满足恒成立，则当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．若存在，使得成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对、两个社区随机选择100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示）.甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、，乙组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、.则下列判断正确的有（ ）.
A．且. B．且.
C．且. D．.
10．如图1，在中，，，，、分别在AB，AC上，且.将沿翻折得到图2，其中.记三棱锥外接球球心为，球表面积为，三棱锥外接球球心为，球表面积为，则在图2中，下列说法正确的有（ ）

A．
B．直线与所成角的正弦值为
C．平面
D．
11．斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于M、N两点，为抛物线的准线上任意一点.则（ ）
A．
B．以为直径的圆与直线相切
C．为等边三角形，则
D．为抛物线的切线，则
三、填空题
12．直线被圆截得的弦长为 .
13．要安排4名学生到3个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有 种.
14．函数的最小值为 ．
四、解答题
15．在中，已知角，边，且．
(1)证明：；
(2)若点在上，且为角平分线，求的长度．
16．在四棱锥中，底面为边长为的菱形，，底面，且，点为中点，点为上靠近点的一个三等分点，点在线段上的动点．
(1)若平面，求出点的位置；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
17．某游戏有三个骰子，其面数如下：骰子：四个面，分别标有数字1，1，3，4；骰子：四个面，分别标有数字2，4，5，6；骰子：六个面，分别标有数字1，3，5，7，9，11；玩家按骰子面数比例随机选择一个骰子（即选择概率等于其面数占总面数的比例），然后掷该骰子两次，记录两次结果的最大值．请解答以下问题：
(1)若玩家选择骰子，求两次投掷的最大值为4的概率；
(2)求两次投掷的最大值为4的概率；
(3)设奖金为最大值的平方（单位：元），若玩家获得的奖金超过16元，求玩家选择骰子的概率．
18．已知函数，其中为常数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数在区间内存在两个不同的极值点，求的取值范围．
19．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，设椭圆和双曲线的离心率分别为和．
(1)求证：；
(2)设点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，求的最小值，并求此时与的值；
(3)在（2）的条件下，设点为椭圆上任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的垂线（点不在两条渐近线上），垂足分别为和，试问面积是否有最大值，如果有最大值，求出此时的值，如果没有最大值，请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B C C D B D ABD AC
题号 11
答案 BCD
1．B
【分析】由集合的补集和交集运算可得结果.
【详解】由题知，，则，故．
故选：B．
2．A
【分析】利用复数的除法法则求得复数，可求的虚部.
【详解】，故的虚部是.
故选：A．
3．B
【分析】先求出抛掷两枚质地均匀的骰子的不同结果数，再列举出向上的点数之和为4的倍数的结果数，应用古典概率的求法求概率.
【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子共有种不同的结果，
向上的点数之和为4的倍数，
共有（1，3），（3，1），（2，2），（3，5），（5，3），（2，6），（6，2），（4，4），（6，6），共9种情况，
所以概率为．
故选：B．
4．C
【分析】由题意，先求出等轴双曲线的方程，得到焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式进行求解即可．
【详解】设等轴双曲线方程为，代入点，可得，所以双曲线方程为，
所以双曲线的右焦点为，渐近线方程为，
所以右焦点到渐近线的距离为.
故选：C．
5．C
【分析】利用两角和与差的余弦公式展开，化简得到与的关系，再根据正切函数定义求出的值，从而确定答案.
【详解】由，可得
，
则，则，
故选：C．
6．D
【分析】由圆台的几何结构特征，以及球的截面圆性质及表面积公式可得结果.
【详解】因为母线与底面所成的角为60°，则圆台的高，上底面半径，下底面半径，
设外接球的半径为，球心到上底面的距离为，则，解得，
所以，所以.
故选：D．

7．B
【分析】先根据函数的对称性，确定的值，利用辅助角公式把函数化成的形式，再利用数形结合法，观察曲线与在的交点个数.
【详解】因为恒成立，所以为的一条对称轴，
那么，所以，
解得，，
与的图象如图所示：
由图可知，曲线与的交点个数为4．
故选：B
8．D
【分析】对求导，根据的单调性，结合可得，进而构造函数，利用导数求解函数单调性，即可求解最值得解.
【详解】由，则，对求导，所以，
当时，，，所以，在上单调递减．
当时，，当时，，所以的值域是．
又,,，所以，那么．
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，则的最大值为．
故选：D．
9．ABD
【分析】根据频率分布直方图的中位数，平均数公式，众数公式，可判断结果，标准差是衡量数据的离散程度，数据越集中，标准差越小，从而可判断标准差.
【详解】中位数的计算与比较：
由图甲可判断甲组数据的中位数在[7，10.5)内，
第一组[0，3.5)的数据的频率为0.01×3.5=0.035，第二组[3.5，7)频率为0.10×3.5=0.35，
则，解得 ，
由图乙可判断乙组数据的中位数在[10.5，14)内，
则，解得，所以< .
平均数的计算与比较：
甲组平均数 ：
.
乙组平均数 ：
.
所以 .
众数的计算与比较：
由图甲可得甲组众数 ；
由图乙可得乙组众数，所以 .
标准差的比较：
因甲组数据分布相对分散，乙组数据相对集中在中间区间，所以.
对于A，由前面计算可知<且 ，故A 正确；
对于B，因 且，故B正确；
对于C，由前分析得，，，
，，，故C错误；
对于D ，因，，，则 ，故D正确 .
故答案选 ABD.
10．AC
【分析】根据勾股定理和线面垂直的判定定理、性质定理可判断A，根据，确定为异面直线与所成角的平面角，求解后可判断B；确定为的中点，为的中点，可得，进而得平面，从而可判断C；根据球的表面积公式计算即可判断D.
【详解】选项A：由图1，在直角中，，，
因为，所以，且，
，，，，
由图2，在直角中，，
因为，且，所以，
所以在直角中，，又，
所以，所以，
又因为，，平面，所以平面，
又平面，所以；
在中，，，，所以，
即，又，平面，所以平面，故A正确；
选项B：因为，所以即为所求，
因为平面，平面，所以，
所以在直角中，，故B不正确；
选项C：由上可知平面，，则的中点到距离相等，
因为平面，，则的中点到距离相等，所以为的中点，
同理可知为的中点，所以，平面，平面，所以平面，故C正确；
选项D：由选项C可知：球的半径，球的半径，
所以，故D不正确.
故选：AC.
11．BCD
【分析】由准线方程求出判断A；利用抛物线的定义，结合圆的切线判断B；设出直线方程，与抛物线方程联立，借助韦达定理求解判断C；利用导数的几何意义求出切线方程求解判断D.
【详解】对于A，抛物线的准线为，则，解得，A错误；
对于B，设，则，
线段的中点到准线的距离为，因此以为直径的圆与直线相切，B正确；
对于C，由（1）知，，设直线方程为，由得，
则，线段的中点，线段中垂线方程为
，则点，，
而，由为等边三角形，
得，即，解得，C正确；
对于D，由求导得，直线的方程为，
则，直线的斜率，
因此，，D正确.
故选：BCD
12．4
【分析】首先得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，再由垂径定理及勾股定理计算可得.
【详解】圆的圆心为，半径，
又点到直线的距离，
所以弦长.
故答案为：
13．36
【分析】部分平均分组，先分组，再进行全排列，利用排列组合知识进行求解
【详解】由题意，这4名学生只能进行1,1,2的安排，
故不同的安排方法有种.
故答案为：36
14．2
【分析】由题意，根据函数常见不等关系，结合绝对值不等式性质，利用放缩法，可得答案.
【详解】令，则，令，解得，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
故，则.
因为，所以
当且仅当时等号成立，因此的最小值为2．
故答案为：.
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用余弦定理结合立方和公式，可得到证明；
（2）利用方程组思想求出两边长，再结合三角形面积相等公式，即可求出长度.
【详解】（1）由余弦定理可知，，即，
又，
所以，
解得．
（2）由
及，
可以解得，再与联立解得：或，
利用三角形的面积相等公式，
即，
不妨用代入可得：．
16．(1)为上靠近的三等分点
(2)
【分析】（1）假设为上靠近的三等分点，利用线面平行的判定定理直接证明即可；
（2）过点作垂线，利用线面垂直判定定理可得平面，以为原点，所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用向量法直接求解线面夹角正弦值即可得到结果.
【详解】（1）假设为上靠近的三等分点，
分别为、的三等分点，
，
，
，
又平面，平面，
平面，
所以为上靠近的三等分点．
（2）在平面内，过点作垂线，
底面，，
，，平面，
平面，
以为原点，所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，
设，，
，，
，
且，，
设平面的一个法向量，
则，，
，
设直线与平面所成角为，
则，
当时，，．
即直线与平面所成角的正弦值的最大值为.

17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由独立事件乘法公式及对立事件概率计算求解即可；
（2）由全概率公式代入数据即可求解；
（3）由全概率公式及条件概率公式求解即可.
【详解】（1）骰子的面为1，1，3，4，每个面出现的概率为，两次投掷共有16种可能的结果组合，
最大值是4的情况包括至少有一次掷出4，两次都不出现4的概率为，
因此至少有一次出现4的概率为．
（2）玩家选择骰子的概率分别为（骰子）、（骰子）和（骰子）；
计算各骰子最大值为4的概率：骰子：概率为；
骰子：两次投掷共有个结果，两次投掷的最大值为4的情况是两次结果都不超过4且至少有一次为4，
共有3种情况（（2，4），（4，2），（4，4）），故概率为；
骰子：没有数字4，因此概率为0．
总概率为：．
（3）奖金超过16元意味着最大值超过4，
计算各骰子最大值超过4的概率：
骰子：不可能超过4，概率为0；
骰子：至少有一次掷出5或6共有种，故概率为；
骰子：共有个结果，至少有一次掷出超过4，共有，故概率为．
设最大值超过4为事件，选择骰子为事件，
计算全概率：，
则．
18．(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1），求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程；
（2）求定义域，求导，结合导函数特征，分，和三种情况，解不等式，求出函数单调性；
（3）在（2）基础上，得到，由二次函数对称轴得到，且，解得．
【详解】（1）当时，，，
，此时，
因此曲线在点处的切线方程为．
（2）函数的定义域为，，
当，即时，，令，解得，
令得，令得，
此时函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，中，，
当，即时，
方程在上仅有一个正根，
令得，令得，
此时函数在上单调递增，在上单调递减；
当，即时，
方程在上有两个不等正根，
分别为，，
，
故，
令令得，令得，
此时函数在和上单调递增，
在上单调递减．
综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在和上单调递增，
在上单调递减；
（3）由（2）可知，若函数在区间内存在两个不同的极值点，则，
函数的对称轴为，且，
故，且，解得．
19．(1)证明见解析
(2)3，，
(3)有，
【分析】（1）根据椭圆、双曲线参数之间的关系，进行证明.
（2）利用椭圆、双曲线的定义即焦点三角形的性质，结合余弦定理和基本不等式可求的最小值，并得到取到最小值时与的值.
（3）利用点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，表示出的面积，求出其最大值，进一步确定的值.
【详解】（1）如图：

已知椭圆与双曲线有公共的焦点，即，
两边平方，得，
移项，得到．
（2）设椭圆和双曲线在第一象限的交点为，
所以.
又，利用余弦定理，得到方程，
即，
因此，
当且仅当，即，时等号成立，
因此解得椭圆离心率和双曲线的离心率．
（3）设，渐近线斜率分别为和，
不妨设点在渐近线上，倾斜角为，则，
同理，
在四边形中，，
，
，
，
，
，
此时．
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