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填空题常见考点 预测练
2025年高考数学三轮复习备考
一、填空题
1．已知平面向量，，且，则 ．
2．的展开式中的系数为 （用数字作答）．
3．已知定义在上的函数的导函数为，为偶函数，且，则 ．
4．已知函数，若，则 ．
5．展开式中的系数为 ．
6．平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线的距离的最小值为 ．
7．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点，为原点，则的面积的取值范围是 ．
8．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球的表面积是 ．
9．写出一个同时具有下列性质的函数的解析式： ．
①是奇函数 ②是偶函数 ③函数有极值
10．的展开式中的系数为 .
11．已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
12．如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，若，则三棱锥外接球体积的最小值为 ．

13．已知平面向量，，若，则实数的值为 .
14．在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距长为.若和抛物线交于，两点，且为正三角形，则的离心率为 .
15．已知随机变量，相互独立，且，，则 ；若，则 .
16．已知函数的导数为，函数的“牛顿数列”满足，若，则 ．
17．在长方体中，，点B到平面的距离为，则 ．
18．如图，在长方形ABCD中，，以AB为直径在长方形内作半圆E，以BC为直径在长方形外作半圆F，M，N分别是半圆E和半圆F上的动点，则的最大值为 ．
19．某工厂生产的一批零件的尺寸服从正态分布，且，规定零件的尺寸与的误差不超过即为合格，现从这批零件中抽取件，估计合格零件的个数为 个.
20．已知定义在上的奇函数满足，则 .
21．已知函数，若存在实数使得函数图象上的最低点或最高点恰有2个在椭圆的内部（包含边界），则的取值范围是 .
参考答案
1．
【分析】先求出的坐标，再利用即可.
【详解】由题意得，，
又，则，解得．
故答案为：．
2．120
【分析】先得到的展开式的通项，得到，，从而得到展开式中含的系数为．
【详解】的展开式的通项式，
当时，，
当时，，
的展开式中含的系数为．
故答案为：120．
3．
【分析】由为偶函数推出相关等式，两边求导得的对称中心，结合其对称轴推出周期，求出特殊点函数值，利用周期性计算从1到2025的和.
【详解】由为偶函数得，
则．
两边同时求导，得①．
所以的图象关于点对称，即，
由的图象关于点对称，得②．
①-②，得，所以，
又，所以，
即的周期为4，，，
．
故答案为．
4．
【分析】设，，得到，再结合分段函数讨论求解即可.
【详解】设，，，
当时，，，无解，不符合题意；
当时，，；
当时，，，无解，不符合题意；
当时，，．
故答案为：
5．136
【分析】应用二项式展开式结合组合数计算求解.
【详解】展开式中的系数．
故答案为：136.
6．/0.08
【分析】设整点，由点到线的距离公式，得到是5的倍数，进而可求解.
【详解】设整点，则，
，，，
，是5的倍数，
，，．
故答案为：
7．
【分析】先求出抛物线方程，设直线的方程，联立方程组，求，最后根据即可求出.
【详解】由题意可知，则，，
因直线的斜率不可能为，故设，，
联立，得，
则，，，
则，
则，
因，则，
故的面积的取值范围是.
故答案为：.
8．
【分析】由题意推出球心到四个顶点的距离相等，利用直角三角形，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．
【详解】
如图，为正三角形的中心，为三棱锥外接球球心，
因为正三棱锥中，底面边长为3，侧棱长为2，
所以，则
所以高．
由球心到四个顶点的距离相等，
在直角三角形中，，，
由，得，，
所以外接球的半径为，表面积为：，
故答案为：．
9．（答案不唯一）
【分析】根据①③可取，再根据正弦函数的性质结合诱导公式写出符合题意的函数形式即可.
【详解】因为是奇函数及函数有极值，
因此不妨假设，
可知，因为是偶函数，
所以，可以取，所以
故答案为：（答案不唯一）
10．30
【分析】先将看作一个整体，求出其展开式的通项确定的次数，再确定的次数即可求解.
【详解】由，
其展开式的通项为，，，
令，得的展开式的通项为，，，
令，得，
则的展开式中的系数为.
故答案为：30.
11．（中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：（中任意一个皆可以）．
12．
【分析】利用外接球球心在过底面外接圆圆心的垂线上，通过球心到各顶点的距离想等来求解即可.
【详解】如图，取中点，连接，则，，

又，，平面，则平面，
因为平面，则，
又，，，平面，
所以平面，
所以三棱锥的外接球球心必在过的中心且平行于的直线上，
且，
设，则，，
设三棱锥的外接球半径为，则有，
当时，，
故三棱锥外接球体积的最小值为．
故答案为：.
13．
【分析】先求出，根据向量平行得到方程，求出实数的值.
【详解】，，
，.
故答案为：
14．
【分析】由对称性可知、为与抛物线的交点，联立求出其中一个交点坐标，代入双曲线方程，结合焦距得到，进而求出离心率.
【详解】由对称性知、关于轴对称，为正三角形，
则由正三角形对称性可知、为与抛物线的交点，
联立与得或0（舍去），当时，，
故其中一个交点为，
设双曲线方程为，故，解得，
在双曲线上，，，
故离心率为；
故答案为：
15．
【分析】根据二项分布写出概率再结合独立事件概率乘积公式计算即可；根据概率求和结果倒序相加计算求解.
【详解】，，
.
并利用，
记原式，
倒序相加.
故答案为：.
16．
【分析】求，根据题意得，然后用迭代法求解即可.
【详解】因为，所以，所以，
则.
因为，所以．
故答案为：
17．
【分析】过点B作于点P，可证平面．即，进而可求解.
【详解】如图，过点B作于点P，连接，BD，因为平面，在平面内，
所以，又为平面内两条相交直线，则平面．
由直角三角形的面积可得：，
解得．
故答案为：
18．
【分析】首先根据向量坐标求出数量积的表达式，然后利用辅助角公式将其化简为只含有一个三角函数的形式，最后根据三角函数的性质以及给定的角的范围求出最大值.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，设，
则
，
其中，．因为，所以当时，取得最大值，最大值为．
故答案为：.
19．
【分析】利用正态密度曲线的对称性求出，乘以即可得出答案.
【详解】因为服从正态分布，且，
则，
因此，从这批零件中抽取件，估计合格零件的个数为.
故答案为：.
20．2026
【分析】法一：由题意利用列举法写出函数值，整理等式可得递推公式，根据累加法，可得答案；法二：由题意利用列举法写出函数值，设出函数解析式，利用等式检验，可得答案.
【详解】法一：
由函数是上的奇函数，则，
由，令，则；
则
，
由
.
法二：
由函数是上的奇函数，则，
由，令，则；
由，令，则；
设，则，，即，符合题意，
所以.
故答案为：.
21．
【分析】令即可求出最值处的横坐标，由最值点在椭圆内部，故可将最值点的坐标代入中，得出关于的不等式，因存在两个最值点，故不等式存在两个相邻的，最后利用两端点距离范围为可求解.
【详解】令，则，
因存在实数使得函数图象上的最低点或最高点恰有2个在椭圆的内部（包含边界），
则存在两个相邻的，使得成立，
即，则，
则，
则，得，
故的取值范围是.
故答案为：
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