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上实验2024-2025学年第二学期高一年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题满分40分,共有10题）
1．已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长为 ．
2．已知角的终边过点，则 ．
3. 若，则 ．
4. 已知，则 ．
5. 已知，则 ．
6．函数的严格增区间为 ．
7．已知为等腰三角形，且，则 ．
8．函数的图象在区间上恰有个最高点，则的取值范围为 ．
9.若关于的方程在上有两解，则的取值范围是 ．
10．已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，.则函数在区间上零点的个数为 ．
二、选择题（本大题满分16分，共有4题）
11． （ ）
A． B．
C． D．
12．已知两个单位向量的夹角为，则下列结论中正确的是（ ）
A．在上的投影向量为 B．
C． D．
13．山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度，他在塔的附近找到一座建筑物，高为米，在地面上点处（在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部，建筑物顶部的仰角分别为和，在处测得木塔顶部的仰角为，则可估算木塔的高度为（ ）.
A．米
B．米
C．米
D．米
14．设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（ ）.
函数的值域是， 函数的图象关于对称，函数是偶函数 ， 方程只有一个实数根.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
三、解答题(本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤)
15．（本题满分10分, 第（1）题5分，第（2）题5分）
已知，与的夹角，求：
（1）；
（2）向量和的夹角余弦值.
16．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
在中，分别是角的对边，且．
（1）求的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
17．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
已知，，且，求：
（1）的值；
（2）的值．
18．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
已知函数
(1)求的最小值；
(2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到 的图象，求函数的对称轴和对称中心；
(3)当时，的值域为，求的值．
四、附加题
19．（本题满分10分，第1小题满分3分，第2小题满分7分）.
汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图1，某汽车四轮中心分别为向左转向，左前轮转向角为，右前轮转向角为，转向中心为. 设该汽车左右轮距为米，前后轴距为米.
（1）试用、和表示；
（2）如图2，有一直角弯道，为内直角顶点，为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮与路边相距2米，测得左右轮距米，前后轴距米.试依据如下假设，回答问题，并说明理由.
假设：①转向过程中，左前轮转向角固定，为；
②设转向中心到路边的距离为.
（2-1）（a）请你用文字描述：“汽车通过弯道”的限制条件;（1分）
（b）以下条件中选择两个，使得汽车能够通过这一弯道：①，②, ③,④。你的选择是_________。（2分）
（2-2）基于你在第（2-1）的选择，建立合适的坐标系，确立转向中心的位置，使得汽车能够顺利通过弯道。（4分）
20．（本题满分10分，第1小题满分2分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）.
对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”．
（1）若集合，，求集合A相对的“余弦方差”；
（2）判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由；
（3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出．
上实验2024-2025学年第二学期高一年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题满分40分,共有10题）
1．已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长为 ．
【答案】
2．已知角的终边过点，则 ．
【答案】
3. 若，则 ．
【答案】
4. 已知，则 ．
【答案】
5. 已知，则 ．
【答案】
6．函数的严格增区间为 ．
【答案】
7．已知为等腰三角形，且，则 ．
【答案】
8．函数的图象在区间上恰有个最高点，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由于，所以，由于图象在区间上恰有2个最高点，则，解得：.所以的取值范围为；
9.若关于的方程在上有两解，则的取值范围是 ．
【答案】
10．已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，.则函数在区间上零点的个数为 ．
【答案】
【详解】由题设，易知时，有，
，故在无零点，
同理在也无零点.
∵，故将的图象向右平移个单位后，图象纵向伸长为原来的两倍，∴在平面直角坐标系，、在上如图所示：
又，
故、在上的图象共有4047个不同交点，下证：当，有且只有一个零点.
【此处可由推证】
此时，而，故在上为减函数，
故当，有，当且仅当时等号成立.
综上，、在上的图象共有4048个不同交点，即在有4048个不同的零点，故答案为：4048
二、选择题（本大题满分16分，共有4题
11．（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
12．已知两个单位向量的夹角为，则下列结论中正确的是（ ）.
A．在上的投影向量为 B． C． D．
【答案】D
13．山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度，他在塔的附近找到一座建筑物，高为米，在地面上点处（在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部，建筑物顶部的仰角分别为和，在处测得木塔顶部的仰角为，则可估算木塔的高度为（ ）.
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】D
【详解】，
在中，，
在中，，
则，
由正弦定理，得，所以，
在中，.故选：D.
14．设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（ ）.
①函数的值域是 ②函数的图象关于对称，
③函数是偶函数 ④方程只有一个实数根.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】函数的定义域为R，
因为，所以为偶函数，
当时，，
则，
当时，，
当时，，
所以函数的图象如下图所示
由可知，
在内，，
当，Z时，，
当，且，Z时，，
当或，Z时，，
因为，
所以为偶函数，
则函数的图象如下图所示
故选项A和C正确，B错误；
对于方程，当时，方程有一个实数根，
当时，，此时，方程没有实数根，
当时，，此时，方程没有实数根，
所以方程只有一个实数根，故D正确.
三、解答题(本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤)
15．（本题满分10分, 第（1）题5分，第（2）题5分）
已知，与的夹角，求：
（1）；
（2）向量和的夹角余弦值.
【答案】（1） （2）
【详解】（1）
（2）
16．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
在中，分别是角的对边，且．
（1）求的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】（1） （2）
【详解】（1）由题意得，因为，
所以，
得，得，因为，所以．
（2）由，得．
由余弦定理，得，
得，得，所以的周长为．
17．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
已知，，且，求：
（1）的值；
（2）的值．
【答案】（1） （2）
【详解】（1）由，解得，
所以；
（2），
由，，得，
所以，
因为，，所以，所以，
又，，所以，所以，
所以，所以．
18．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
已知函数
(1)求的最小值；
(2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到 的图象，求函数的对称轴和对称中心；
(3)当时，的值域为，求的值．
【答案】（1） （2） （3）或.
【解析】（1）由题意可得：．
因为，所以的最小值为.
（2）由平移变换知，
又因为，则，解得，
又因为，可得，所以，
令，对称轴为，
令，对称中心为
（3）当时，则，此时的值域为，
因为，可知，
且，可得，
则，解得，可得，
由可知，解得，
且，或，解得，或，所以的值为或.
四、附加题
19．（本题满分10分，第1小题满分3分，第2小题满分7分）.
汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图1，某汽车四轮中心分别为向左转向，左前轮转向角为，右前轮转向角为，转向中心为. 设该汽车左右轮距为米，前后轴距为米.
（1）试用、和表示；
（2）如图2，有一直角弯道，为内直角顶点，为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮与路边相距2米，测得左右轮距米，前后轴距米.试依据如下假设，回答问题，并说明理由.
假设：①转向过程中，左前轮转向角固定，为；
②设转向中心到路边的距离为.
（2-1）（a）请你用文字描述：“汽车通过弯道”的限制条件;（1分）
（b）以下条件中选择两个，使得汽车能够通过这一弯道：①，②, ③,④。你的选择是_________。（2分）
（2-2）基于你在第（2-1）的选择，建立合适的坐标系，确立转向中心的位置，使得汽车能够顺利通过弯道。（4分）
【答案】（1） （2-1）（a）见解析 （b）②③ （2-2）
【解析】（1）由已知，，
所以，，
进而. 【3分】
（2-1）（a）请你用文字描述：“汽车通过弯道”的限制条件;【1分】
——右前轮与左后轮同时能够顺利过弯（不碰到边界）；
——车子能够在不碰到边界的前提下，顺利过弯；
（b）以下条件中选择两个，使得汽车能够通过这一弯道：①，②, ③,④.你的选择是____②③_____.【2分】
（2-2）以和分别为轴和轴建立坐标系，
则.，， 1分
设，，，
， 2分
由，得，进而，
由，得， 3分
所以当时，且，此时汽车可以通过弯道. 4分
20．（本题满分10分，第1小题满分2分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）.
对于集合和常数，定义：
为集合A相对的的“余弦方差”．
（1）若集合，，求集合A相对的“余弦方差”；
（2）判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由；
（3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出．
【答案】（1） （2）是，理由见解析
（3）所以或时，
【解析】（1）因为集合，，所以；
（2）由“余弦方差”的定义得：，
，
，
.所以是与无关的定值.
（3）由“余弦方差”的定义得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
,
，
要使是一个与无关的定值，则，
因为，所以与的终边关于y轴对称或关于原点对称，
又，所以与的终边只能关于y轴对称，
所以，因为，，
当时，，当时，，
所以或时，
相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值

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