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2024年浙江省丽水市中考数学模拟预测题
1．（2024九下·丽水模拟）某班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了（　　）分．
A．86 B．83 C．87 D．80
2．（2024九下·丽水模拟）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·丽水模拟）近十年来，我国城镇新增就业年均13000000人以上，13000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·丽水模拟）为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如图，则在这组数据中，这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是(　　)
A．8，9 B．8，8.5 C．16，8.5 D．16，14
5．（2024九下·丽水模拟）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024九下·丽水模拟）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置(∠ABC＝30°)，并且顶点A，C分别落在直线m，n上，若∠1＝38°，则∠2的度数是(　　)
A．20° B．22° C．28° D．38°
7．（2024九下·丽水模拟）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·丽水模拟）点 ， ， ， 在反比例函数 图象上，则 ， ， ， 中最小的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九下·丽水模拟）四个边长为5的大正方形按如图方式摆放，在中间形成一个边长为3的小正方形，则正方形ABCD的面积为(　　)
A．16 B．29 C．34 D．39
10．（2024九下·丽水模拟）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）
A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°
C．MN∥CD D．MN=3CD
11．（2024九下·丽水模拟）因式分解： 　 　.
12．（2024九下·丽水模拟） 一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是　 　.
13．（2024九下·丽水模拟）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是　 　．
14．（2024九下·丽水模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．（2024九下·丽水模拟）如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是　 　．
16．（2024九下·丽水模拟）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．
（1）若，则图1阴影部分的面积是　 　；
（2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是　 　．
17．（2024九下·丽水模拟）计算：．
18．（2024九下·丽水模拟）先化简，再求值：，其中．
19．（2024九下·丽水模拟）如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取1.732）
　　
20．（2024九下·丽水模拟）某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度；
（2）补全条形统计图；
（3）该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
21．（2024九下·丽水模拟）2022年7月19日亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元．
（1）若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
（2）在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
22．（2024九下·丽水模拟）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；
（2）变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．
23．（2024九下·丽水模拟）已知点和在二次函数是常数，的图像上．
（1）当时，求和的值；
（2）若二次函数的图象经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围；
（3）求证：．
24．（2024九下·丽水模拟）如图，在中，为直角，点O在上，以为半径的圆与相切于点E，与相交于点D，已知，，点P，Q分别在上（不与端点重合），且满足．设，．
（1）求圆O的半径．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，过点Q作于点R，连结．
①当为直角三角形时，求x的值．
②把线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，当落在圆O上时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，
则
表示得了80分，
故答案为：D．
【分析】选择平均分为标准记为0，超过部分记为正，不足部分记为负，据此即可求解.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
【分析】根据如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐项判断即可.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．据此即可解答．
4．【答案】A
【知识点】条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：∵睡眠8小时出现的次数最多，为16次，
∴众数是8，
∵被调查的学生人数为3+16+14+7=40（人），
∴总共有40个数据，
将这些数据按从小到大进行排序后，
第20个数和第21个数据分别为9，9，
则中位数是9，
故答案为 ：A．
【分析】根据众数的定义：众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据和中位数的定义：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）分别求出众数和中位数即可得．
5．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
解①得：x＞﹣1，
解②得：x≤2，
故不等式组的解集为：﹣1＜x≤2，
在数轴上表示解集为：
．
故答案为 ：A．
【分析】分别解不等式进而得出不等式组的解集，然后根据"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到"，据此得到公共解集，进而在数轴上表示即可．
6．【答案】B
【知识点】角的运算；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图：
∵AB∥CD，
∴
∵物距为，像距为
∴
∵蜡烛火焰倒立的像的高度是
∴
∴
故答案为 ：A.、
【分析】由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得，根据相似三角形对应边上的高之比等于相似比得，即可作答．
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由反比例函数解析式 可知： ，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点 ， ， ， 在反比例函数 图象上，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的性质求解即可。
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图所示：
由正方形的性质得：AF=DG=5，EF=GF=3，∠AFD＝90°，
∴DF＝DG﹣GF＝5﹣3＝2，
∴AD2＝AF2+DF2＝52+22＝29，
∴正方形ABCD的面积＝AD2＝29.
故答案为 ：B.
【分析】由正方形的性质得出AF=DG=5，EF=GF=3，∠AFD＝90°，根据线段和差得DF＝DG﹣GF＝2，在Rt△ADF中，由勾股定理得出AD2＝29，最后根据正方形面积计算公式即可得出答案.
10．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；同旁内角互补，两直线平行；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故A选项正确；
∵OM=ON=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON，
∴∠OCD=∠OCM= ，
∴∠MCD=，
又∠CMN=∠AON=∠COD，
∴∠MCD+∠CMN=180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误.
故答案为：D．
【分析】由作图知CM=CD=DN，根据同圆中，相等得弦所对的圆心角相等可得∠COM=∠COD，据此可判断A选项；根据三边相等的三角形是等边三角形得△OMN是等边三角形，由等边三角形的每一个内角都等于60°及同圆中，相等得弦所对的圆心角相等可得∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，据此可判断B选项；根据三角形的内角和定理及等边对等角得∠OCD=∠OCM= ，推出∠MCD=，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠CMN=∠AON=∠COD，从而可根据同旁内角互补，两直线平行推出MN∥CD，据此可判断C选项；根据两点之间线段最短可判断D选项.
11．【答案】3（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： .
【分析】先提取公因式3，再根据平方差公式分解因式.
12．【答案】6
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵ 一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为
∴，
解得n=6，
经检验x=6为原方程的解，
故答案为：6
【分析】根据简单事件的概率结合题意即可列出方程，进而即可求解。
13．【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】根据等腰三角形的性质得到：，然后根据垂直平分线的性质得到，进而根据线段间的等量代换即可求解.
14．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长FA交⊙A于点G，
∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴AB=2，，
∴∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为：．
【分析】延长FA交⊙A于点G，根据正多边形的性质得AB=2，，从而得∠FAB=120°，进而利用扇形面积公式进行求解.
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
【分析】设正方形的边长为m，根据题意得到，即可得到，然后把B、E点坐标代入解析式可得，求出m值即可解题．
16．【答案】；
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；转化思想
【解析】【解答】解：（1），图1阴影部分的面积是，
故答案为：25；
（2）∵图1阴影部分的面积为3，
∴，
∵，．
∴(am-bn)2=4，(an+bm)2=16，
即a2m2-2abmn+b2n2=4①，a2n2+b2m2+2abmn=16②，
①+②得a2m2+b2n2+a2n2+b2m2=20，
∴(a2+b2)(m2+n2)=20，
∴3(m2+n2)=20，
∴m2+n2=，
∴在图2中，S阴影=S四边形ABCD-(m2+n2)=5-=.
故答案为：．
【分析】（1）根据正方形的面积公式及阴影部分的面积等于两个正方形面积之和进行计算即可求解；
（2）根据正方形面积计算公式由“ 图1阴影部分的面积为3”可得a2+b2=3，将am-bn=2及an-bm=4两个等式两边分别平方后再相加可得(a2+b2)(m2+n2)=20，进而可得m2+n2=，然后根据S阴影=S四边形ABCD-(m2+n2)整体代入计算即可.
17．【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值进行化简，然后计根据乘法计算法则最后从左向右依次计算即可.
18．【答案】解：原式，
当时，原式
19．【答案】解：过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，
在中，，，
∵
∴(cm)，
在中，，，
∵，
∴(cm)，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴(cm)．
答：点与桌面的距离约为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，分别在和中，在和中利用三角函数计算出CF和DE的长度，根据矩形的性质得到：，则，最后代值计算即可.
20．【答案】（1）50；72
（2）解：由题意可得：选“B：足球”的学生人数为：（人），
选“E：乒乓球”的学生人数为：（人）
补全条形统计图如下；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种；
∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)由题意可得：该班的总人数为：（人），
学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：50；72；
【分析】（1）利用“篮球”的学生人数除以其所占的百分比即可求得该班学生的总人数，再利用学生选“羽毛球”的人数除以总人数，再乘以，即可求得结果；
（2）利用选足球的学生的百分比乘以总人数求得选足球的人数，再利用总人数减去其他课程的人数求得选乒乓球的学生人数，最后不补全条形统计图即可；
（3）利用树状图画出所有可能情况，然后找出符合题意的情况，最后根据概率计算公式计算即可.
21．【答案】（1）解：设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的根，且符合实际意义．
．
答：甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元
（2）解：设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元
根据题意，得
，
解得，
，
，
随的增大而增大．
当时，最小值．
故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元，根据" 用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同"，据此列出方程，解此方程即可；
（2）设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元，进而得到：，然后根据一次函数的增减性即可求解.
22．【答案】解：（2）变式探究：，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解决问题：连接、，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是正方形的中心，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
在中，，即，
解得，（舍去），，
∴正方形的边长为：
【知识点】正方形的判定与性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）问题发现：∵和都是等边三角形，
∴A，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到：A，，，进而得到：，利用定理证明，进而即可求证；
（2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可；
（3）连接、，根据相似三角形的性质得到：，求出，设，，则根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
23．【答案】（1）解：当时，图像过点和，
∴，解得，
∴，
∴
（2）解：∵函数图象过点和，
∴函数图象的对称轴为直线．
∵图像过点，
∴根据图像的对称性得．
∵，
∴
（3）解：∵图像过点和，
∴根据图像的对称性得．
∴，顶点坐标为．
将点和分别代人表达式可得
①②得，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据题意可知图象过点和，然后将两个点代入解析式得到：，进而解此方程组即可求解；
（2）根据二次函数图象与系数的关系得到：函数图象的对称轴为直线，然后根据题干信息可知抛物线过点，结合图象的对称性得到：，最后再结合即可解答；
（3）根据二次函数图象与系数的关系得到：，进而可得到：，顶点坐标为，然后把点和分别代入表达式并进行运算可得，进而得到，然后化简即可求解.
24．【答案】（1）解：如图：连接
∵为直角，、
∴
∵以为半径的圆与相切于点E
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴圆O的半径为3
（2）解：∵圆O的半径为3 ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即
（3）解：①由题意易得：，当时，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，解得：；
当时，
∵，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
过Q作，
∴，
∴，即，解得：．
综上x的值为或．
②如图
由①可得：，，
∴，
∴，
∴， P和重合，
∴，，
∵，，
∴，解得：，即，
∵落在圆O上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，解得：或2（不满足题意舍弃），
∴，，
∴
【知识点】解直角三角形；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，利用勾股定理求出AC的长度，然后利用证即可根据相似三角形对应边的性质得到：，进而得到关于的方程：，解此方程即可；
（2）由圆的性质可得，进而求出AD的长度，则，然后根据列式得：，化简即可；
（3）①根据题意可知需分三种情况进行讨论，分别为、、三种情况，依次利用矩形的性质、解直角三角形明确线段之间的关系，然后列方程求解即可；
②先根据题目已知条件说明P和重合，然后再求得、，再证，可得，据此列方程：，解方程得，再求得，最后代入计算即可．
1 / 12024年浙江省丽水市中考数学模拟预测题
1．（2024九下·丽水模拟）某班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了（　　）分．
A．86 B．83 C．87 D．80
【答案】D
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，
则
表示得了80分，
故答案为：D．
【分析】选择平均分为标准记为0，超过部分记为正，不足部分记为负，据此即可求解.
2．（2024九下·丽水模拟）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
【分析】根据如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐项判断即可.
3．（2024九下·丽水模拟）近十年来，我国城镇新增就业年均13000000人以上，13000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．据此即可解答．
4．（2024九下·丽水模拟）为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如图，则在这组数据中，这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是(　　)
A．8，9 B．8，8.5 C．16，8.5 D．16，14
【答案】A
【知识点】条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：∵睡眠8小时出现的次数最多，为16次，
∴众数是8，
∵被调查的学生人数为3+16+14+7=40（人），
∴总共有40个数据，
将这些数据按从小到大进行排序后，
第20个数和第21个数据分别为9，9，
则中位数是9，
故答案为 ：A．
【分析】根据众数的定义：众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据和中位数的定义：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）分别求出众数和中位数即可得．
5．（2024九下·丽水模拟）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
解①得：x＞﹣1，
解②得：x≤2，
故不等式组的解集为：﹣1＜x≤2，
在数轴上表示解集为：
．
故答案为 ：A．
【分析】分别解不等式进而得出不等式组的解集，然后根据"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到"，据此得到公共解集，进而在数轴上表示即可．
6．（2024九下·丽水模拟）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置(∠ABC＝30°)，并且顶点A，C分别落在直线m，n上，若∠1＝38°，则∠2的度数是(　　)
A．20° B．22° C．28° D．38°
【答案】B
【知识点】角的运算；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
7．（2024九下·丽水模拟）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图：
∵AB∥CD，
∴
∵物距为，像距为
∴
∵蜡烛火焰倒立的像的高度是
∴
∴
故答案为 ：A.、
【分析】由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得，根据相似三角形对应边上的高之比等于相似比得，即可作答．
8．（2024九下·丽水模拟）点 ， ， ， 在反比例函数 图象上，则 ， ， ， 中最小的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由反比例函数解析式 可知： ，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点 ， ， ， 在反比例函数 图象上，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的性质求解即可。
9．（2024九下·丽水模拟）四个边长为5的大正方形按如图方式摆放，在中间形成一个边长为3的小正方形，则正方形ABCD的面积为(　　)
A．16 B．29 C．34 D．39
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图所示：
由正方形的性质得：AF=DG=5，EF=GF=3，∠AFD＝90°，
∴DF＝DG﹣GF＝5﹣3＝2，
∴AD2＝AF2+DF2＝52+22＝29，
∴正方形ABCD的面积＝AD2＝29.
故答案为 ：B.
【分析】由正方形的性质得出AF=DG=5，EF=GF=3，∠AFD＝90°，根据线段和差得DF＝DG﹣GF＝2，在Rt△ADF中，由勾股定理得出AD2＝29，最后根据正方形面积计算公式即可得出答案.
10．（2024九下·丽水模拟）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）
A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°
C．MN∥CD D．MN=3CD
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；同旁内角互补，两直线平行；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故A选项正确；
∵OM=ON=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON，
∴∠OCD=∠OCM= ，
∴∠MCD=，
又∠CMN=∠AON=∠COD，
∴∠MCD+∠CMN=180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误.
故答案为：D．
【分析】由作图知CM=CD=DN，根据同圆中，相等得弦所对的圆心角相等可得∠COM=∠COD，据此可判断A选项；根据三边相等的三角形是等边三角形得△OMN是等边三角形，由等边三角形的每一个内角都等于60°及同圆中，相等得弦所对的圆心角相等可得∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，据此可判断B选项；根据三角形的内角和定理及等边对等角得∠OCD=∠OCM= ，推出∠MCD=，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠CMN=∠AON=∠COD，从而可根据同旁内角互补，两直线平行推出MN∥CD，据此可判断C选项；根据两点之间线段最短可判断D选项.
11．（2024九下·丽水模拟）因式分解： 　 　.
【答案】3（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： .
【分析】先提取公因式3，再根据平方差公式分解因式.
12．（2024九下·丽水模拟） 一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是　 　.
【答案】6
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵ 一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为
∴，
解得n=6，
经检验x=6为原方程的解，
故答案为：6
【分析】根据简单事件的概率结合题意即可列出方程，进而即可求解。
13．（2024九下·丽水模拟）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是　 　．
【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】根据等腰三角形的性质得到：，然后根据垂直平分线的性质得到，进而根据线段间的等量代换即可求解.
14．（2024九下·丽水模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长FA交⊙A于点G，
∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴AB=2，，
∴∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为：．
【分析】延长FA交⊙A于点G，根据正多边形的性质得AB=2，，从而得∠FAB=120°，进而利用扇形面积公式进行求解.
15．（2024九下·丽水模拟）如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
【分析】设正方形的边长为m，根据题意得到，即可得到，然后把B、E点坐标代入解析式可得，求出m值即可解题．
16．（2024九下·丽水模拟）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．
（1）若，则图1阴影部分的面积是　 　；
（2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是　 　．
【答案】；
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；转化思想
【解析】【解答】解：（1），图1阴影部分的面积是，
故答案为：25；
（2）∵图1阴影部分的面积为3，
∴，
∵，．
∴(am-bn)2=4，(an+bm)2=16，
即a2m2-2abmn+b2n2=4①，a2n2+b2m2+2abmn=16②，
①+②得a2m2+b2n2+a2n2+b2m2=20，
∴(a2+b2)(m2+n2)=20，
∴3(m2+n2)=20，
∴m2+n2=，
∴在图2中，S阴影=S四边形ABCD-(m2+n2)=5-=.
故答案为：．
【分析】（1）根据正方形的面积公式及阴影部分的面积等于两个正方形面积之和进行计算即可求解；
（2）根据正方形面积计算公式由“ 图1阴影部分的面积为3”可得a2+b2=3，将am-bn=2及an-bm=4两个等式两边分别平方后再相加可得(a2+b2)(m2+n2)=20，进而可得m2+n2=，然后根据S阴影=S四边形ABCD-(m2+n2)整体代入计算即可.
17．（2024九下·丽水模拟）计算：．
【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值进行化简，然后计根据乘法计算法则最后从左向右依次计算即可.
18．（2024九下·丽水模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式，
当时，原式
19．（2024九下·丽水模拟）如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取1.732）
　　
【答案】解：过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，
在中，，，
∵
∴(cm)，
在中，，，
∵，
∴(cm)，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴(cm)．
答：点与桌面的距离约为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，分别在和中，在和中利用三角函数计算出CF和DE的长度，根据矩形的性质得到：，则，最后代值计算即可.
20．（2024九下·丽水模拟）某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度；
（2）补全条形统计图；
（3）该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
【答案】（1）50；72
（2）解：由题意可得：选“B：足球”的学生人数为：（人），
选“E：乒乓球”的学生人数为：（人）
补全条形统计图如下；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种；
∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)由题意可得：该班的总人数为：（人），
学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：50；72；
【分析】（1）利用“篮球”的学生人数除以其所占的百分比即可求得该班学生的总人数，再利用学生选“羽毛球”的人数除以总人数，再乘以，即可求得结果；
（2）利用选足球的学生的百分比乘以总人数求得选足球的人数，再利用总人数减去其他课程的人数求得选乒乓球的学生人数，最后不补全条形统计图即可；
（3）利用树状图画出所有可能情况，然后找出符合题意的情况，最后根据概率计算公式计算即可.
21．（2024九下·丽水模拟）2022年7月19日亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元．
（1）若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
（2）在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
【答案】（1）解：设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的根，且符合实际意义．
．
答：甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元
（2）解：设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元
根据题意，得
，
解得，
，
，
随的增大而增大．
当时，最小值．
故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元，根据" 用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同"，据此列出方程，解此方程即可；
（2）设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元，进而得到：，然后根据一次函数的增减性即可求解.
22．（2024九下·丽水模拟）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；
（2）变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．
【答案】解：（2）变式探究：，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解决问题：连接、，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是正方形的中心，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
在中，，即，
解得，（舍去），，
∴正方形的边长为：
【知识点】正方形的判定与性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）问题发现：∵和都是等边三角形，
∴A，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到：A，，，进而得到：，利用定理证明，进而即可求证；
（2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可；
（3）连接、，根据相似三角形的性质得到：，求出，设，，则根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
23．（2024九下·丽水模拟）已知点和在二次函数是常数，的图像上．
（1）当时，求和的值；
（2）若二次函数的图象经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围；
（3）求证：．
【答案】（1）解：当时，图像过点和，
∴，解得，
∴，
∴
（2）解：∵函数图象过点和，
∴函数图象的对称轴为直线．
∵图像过点，
∴根据图像的对称性得．
∵，
∴
（3）解：∵图像过点和，
∴根据图像的对称性得．
∴，顶点坐标为．
将点和分别代人表达式可得
①②得，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据题意可知图象过点和，然后将两个点代入解析式得到：，进而解此方程组即可求解；
（2）根据二次函数图象与系数的关系得到：函数图象的对称轴为直线，然后根据题干信息可知抛物线过点，结合图象的对称性得到：，最后再结合即可解答；
（3）根据二次函数图象与系数的关系得到：，进而可得到：，顶点坐标为，然后把点和分别代入表达式并进行运算可得，进而得到，然后化简即可求解.
24．（2024九下·丽水模拟）如图，在中，为直角，点O在上，以为半径的圆与相切于点E，与相交于点D，已知，，点P，Q分别在上（不与端点重合），且满足．设，．
（1）求圆O的半径．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，过点Q作于点R，连结．
①当为直角三角形时，求x的值．
②把线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，当落在圆O上时，直接写出的值．
【答案】（1）解：如图：连接
∵为直角，、
∴
∵以为半径的圆与相切于点E
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴圆O的半径为3
（2）解：∵圆O的半径为3 ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即
（3）解：①由题意易得：，当时，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，解得：；
当时，
∵，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
过Q作，
∴，
∴，即，解得：．
综上x的值为或．
②如图
由①可得：，，
∴，
∴，
∴， P和重合，
∴，，
∵，，
∴，解得：，即，
∵落在圆O上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，解得：或2（不满足题意舍弃），
∴，，
∴
【知识点】解直角三角形；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，利用勾股定理求出AC的长度，然后利用证即可根据相似三角形对应边的性质得到：，进而得到关于的方程：，解此方程即可；
（2）由圆的性质可得，进而求出AD的长度，则，然后根据列式得：，化简即可；
（3）①根据题意可知需分三种情况进行讨论，分别为、、三种情况，依次利用矩形的性质、解直角三角形明确线段之间的关系，然后列方程求解即可；
②先根据题目已知条件说明P和重合，然后再求得、，再证，可得，据此列方程：，解方程得，再求得，最后代入计算即可．
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