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2024年浙江省部分学校中考适应性考试一模数学模拟试题
1．（2024九下·浙江模拟）的相反数是（　　）
A．2024 B． C． D．
【答案】A
【知识点】判断两个数互为相反数
【解析】【解答】解：的相反数是 2024.
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义即可得出答案。
2．（2024九下·浙江模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、4a-2a=2a≠2，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、-(a-b)=-a+b，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；由去括号法则（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），可判断D选项.
3．（2024九下·浙江模拟）经核算和评价认证，杭州亚运会和亚残运会共排放温室气体882900吨，在亚运会、亚残运会历史上首次实现碳中和，其中数据882900用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】 用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
4．（2024九下·浙江模拟）小浙计划周末在“嘉兴南湖”“丽水浙西南革命根据地纪念馆”“宁波四明山抗日根据地旧址群”三个地点中随机选择一个地点研学．他选中“嘉兴南湖”的概率为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解： 三个地点中随机选择一个地点研学共有3种可能，选中“嘉兴南湖”的只有1种结果，
∴选中“嘉兴南湖”的概率为.
故答案为：D.
【分析】三个地点中随机选择一个地点研学共有3种可能，选中“嘉兴南湖”的只有1种结果，再根据概率公式求解即可得到答案。
5．（2024九下·浙江模拟）由4个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则其三视图中两种视图完全一样的是（　　）
A．主视图和俯视图 B．左视图和俯视图
C．主视图和左视图 D．以上都不正确
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的主视图：底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，
左视图：底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，
俯视图：底层是一个小正方形，上层左边是两个小正方形，
所以，主视图和左视图相同，
故答案为：C．
【分析】根据几何体的三视图即可判断.
6．（2024九下·浙江模拟）某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是：168，184，187，188，197．现用一名身高为178cm的队员换下场上身高为197cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（　　）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：原来的平均数为：，
原来的方差为：
=89.36，
现在的平均数为：，
现在的方差为：
=54.5.
∴平均数变小，方差变小.
故答案为：A.
【分析】根据平均数和方差的定义计算即可得到答案.
7．（2024九下·浙江模拟）下列选项中，可以用来证明命题“两个无理数的乘积一定是无理数”是假命题的反例是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【知识点】无理数的概念；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数”是假命题，故A选项错误；
B、，能说明两个无理数的乘积一定是无理数”是假命题，故B选项正确；
C、2与3不是无理数，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数”是假命题，故C选项错误；
D、2不是无理数，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数”是假命题，故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】证明一个命题是假命题的反例，需要满足命题的已知条件，但不满足命题的结论，据此逐一判断得出答案.
8．（2024九下·浙江模拟）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、将2x-y＞2的两边同时加y，得2x＞y+2，将2x＞y+2的两边同时减3，得2x-3＞y-1，故A选项错误；
B、将2x-y＞2的两边同时加y，得2x＞y+2，将2x＞y+2的两边同时减3，得2x-3＞y-1，故B选项错误；
C、将2x-y＞2的两边同时加y，得2x＞y+2，将2x＞y+2的两边同时减4，得2x-4＞y-2，故C选项错误；
D、将2x-y＞2的两边同时加y，得2x＞y+2，将2x＞y+2的两边同时加2，得2x+2＞y+4，
∵y+4＞y+1，
∴2x+2＞y+1，
故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一 一判断得出答案.
9．（2024九下·浙江模拟）有一块半径为8米，圆心角为45°的扇形空地需要美化，某同学的设计图如图所示，在扇形空地上修建一个正方形水池，正方形的一条边在边上，点在边上，其他部分种上花圃，已知花圃的面积为16平方米，设的长为米，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算；列一元二次方程
10．（2024九下·浙江模拟）已知点，，均在抛物线的图象上，且，点和也在此抛物线上，则下列说法正确的是（　　）
A．若恒成立，则 B．若恒成立，则
C．若恒成立，则 D．若恒成立，则
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意可得对称轴一定在点A的右侧，在点B的左侧，
∴若恒成立，则 ， 若恒成立，则
故答案为：A.
【分析】首先确定抛物线开口向下，对称轴一定在点A的右侧，在点B的左侧，然后根据二次函数的性质，即可得到答案.
11．（2024九下·浙江模拟）二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵次根式有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，据此得到，即可求出答案．
12．（2024九下·浙江模拟）因式分解： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】a2-9=（a+3）（a-3）。
故答案为：（a+3）（a-3）。
【分析】由平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）可得。
13．（2024九下·浙江模拟）圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的母线长为　 　．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴l=6
故答案为：6.
【分析】根据圆锥的侧面积公式：进行计算，即可得到答案.
14．（2024九下·浙江模拟）如图，已知，直线分别与，相交于，两点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如下图，
∵
∴
∵，且
∴
∴
解得
故答案为：.
【分析】先由对顶角相等，得出，然后根据两直线平行，同旁内角互补，得，然后代入计算即可.
15．（2024九下·浙江模拟）如图，平行于轴，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，若四边形的面积为，则实数的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：点在函数的图象上，
设，
∵轴，
∴点纵坐标为，
∵点在图象上，
∴，
∴，
即点，
∴，
设直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴直线的解析式为：，
∵，
∴设直线的解析式为：，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴直线的解析式为：，
∴点，
∵，
∴，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴实数的值为，
故答案为：．
【分析】设，得到点，求出直线的解析式为：，再求出直线的解析式为：，得到点，最后根据四边形的面积为l，列出方程，解此方程即可求解.
16．（2024九下·浙江模拟）如图，在矩形中，，是线段上一动点，点，绕点逆时针旋转得到点，，若在运动过程中的度数最大值恰好为，则的长度为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；点与圆的位置关系；旋转的性质
【解析】【解答】解：作中点，中点，分别以、为圆心画圆，连接、，，
由旋转的性质，矩形的性质，可得：，，
在旋转的过程中当时，，
∵，
∴，即：，
∵点在线段上，
∴，
∴，即，
由旋转的性质可得：，
∴，
∴当可以取到最大值3时，的度数最大值恰好为，
当，时，即点与点重合时，，
在中，，
故答案为：．
【分析】作中点，中点，分别以、为圆心画圆，连接、，，由，得到，根据，得到，结合，得到，由旋转的性质可得，根据可以取最大值3，即可求解，
17．（2024九下·浙江模拟）计算：．
【答案】解：，
，
．
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】首先代入特殊角的三角函数值，同时根据负整数指数幂、零次幂及二次根式的性质分别化简，进而合并同类二次根式及进行有理数的加法运算即可.
18．（2024九下·浙江模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：，
，
，
将代入上式有，
．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行运算，再合并同类项化简，最后将a的值代入进行求值，即可得到答案.
19．（2024九下·浙江模拟）如图，四边形是平行四边形，是对角线的中点，过点的直线分别交边，于点，，连接，．
（1）求证：；
（2）作的平分线交于点，若，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，
是对角线的中点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，，
四边形是平行四边形，
为的角平分线，
，
，
，，
，
，
四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质得到，，利用线段中点的定义得到，然后利用"ASA"证明，得到，最后根据线段间的数量关系进行等量代换即可；
（2）由（1）可得，四边形是平行四边形，利用角平分线性质得到，然后根据两直线行线，内错角相等得到，，最后根据菱形的判定定理即可求证.
20．（2024九下·浙江模拟）某中学为了解本校九年级男生1000米跑的成绩，从九年级240名男生中随机抽取了部分男生进行测试，并把测试成绩进行统计，绘制成如下图表（每小组成绩包含最小值，不包含最大值）．
九年级若干名男生1000米跑成绩的频数分布表
组别（秒） 频数 频数
1
8
5
2
合计 1
请根据上面的图表，回答下列问题：
（1）________，________，________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若男生1000米跑在秒以内的同学为优秀，请你估计该校九年级240名男生中1000米跑的成绩优秀的人数．
【答案】（1）
（2）解：由（1）知，
补全频数分布直方图如图所示：
（3）解：20名学生中，成绩在224.5秒以内的同学有：，
∴估计该校九年级240名男生成绩优秀的人数为：（人）
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次调查的学生一共有：（人），
∴，
，
，
故答案为：．
【分析】（1）用处在范围的频数除以频率即可得到总人数；然后用总人数乘以的频率即可求出m；最后用的频数除以总人数即可求出n；
（2）根据（1）中的值，即可将频数分布直方图补充完整；
（3）用频数分布表中的数据在224.5秒以内的同学人数占总人数的比例乘以240即可求解.
21．（2024九下·浙江模拟）根据以下素材，探索完成任务：
测算雷锋塔的高度
素材1 如图1，雷峰塔前有一斜坡，长为10米，坡度为，高为
素材2 利用测角仪在斜坡底的点处测得塔尖点的仰角为，在斜坡顶的点处测得塔尖点的仰角为（其中点，，在同一直线上，如图2）
素材3 查阅锐角三角函数表 ，，
任务1 获取数据 计算斜坡的高度
任务2 分析计算 通过观察，计算雷峰塔的高度（结果保留整数）
【答案】解：任务一：斜坡的坡度是，
，设，则，
又在中，，
，
∴，
解得：，
∴，
斜坡的高为6．
任务二：
如图，过作于，结合题意可得：
四边形是矩形，
∴，，
设，
∵，
，
∴，，
在斜坡顶的点处测得楼顶的仰角为，
∴，
∴，
解得：，
米，
米，
故雷峰塔的高度为米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据坡度可得，即可设，则，然后在中根据勾股定理得到，则，进而即可求解；
（2）过作于，根据矩形的性质得到：，，设，根据正切值求边长得，，再根据列出方程：，解此方程得到AH的长度，最后根据线段间的数量关系计算即可.
22．（2024九下·浙江模拟）已知，两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从地出发到地，乙骑自行车，甲骑摩托车．图中、折线分别表示甲、乙离开地的路程与时间的函数关系的图象，根据图象填空：
（1）甲、乙两人相遇前乙的速度为________，相遇后乙的速度为________；
（2）求甲离开地的路程与时间的函数表达式；
（3）若甲、乙两人之间的距离表示为，请在图2中画出距离与时间的函数关系图象．
【答案】（1），；
（2）解：设甲离开地的路程与时间的函数表达式为，
由图知，过点，，
，解得，
其函数表达式为
（3）解：设两人相遇前乙的路程与时间的函数表达式为，
有，解得，
两人相遇前乙的路程与时间的函数表达式为，
设两人相遇后乙的路程与时间的函数表达式为，
，
有，解得，
两人相遇后乙的路程与时间的函数表达式为，
当时，即，解得，
，
甲、乙两人之间的距离为，
可列表如下：
0 1 1.5 2.5 3.5
0 20 0 30 0
距离与时间的函数关系图象如下：
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图知，两人相遇前乙的速度为：（），
相遇后乙的速度为：（），
故答案为：，．
【分析】（1）根据图象得到相遇前后乙的路程和时间，然后利用速度=路程÷时间即可求解；
（2）设甲离开地的路程与时间的函数表达式为，由图知，过点，，进而将两个坐标代入到解析式即可求解；
（3）设两人相遇前乙的路程与时间的函数表达式为，把代入得到两人相遇前乙的路程与时间的函数表达式为；设两人相遇后乙的路程与时间的函数表达式为，把代入得到两人相遇后乙的路程与时间的函数表达式为，结合已知条件求出点D的坐标，进而即可求解.
23．（2024九下·浙江模拟）【基础巩固】（1）如图1，已知于点，于点，是上一点，，，求证：；
【尝试应用】（2）如图2，已知，，点，分别在边和上，是上一点，且，，求的值；
【拓展提高】（3）如图3，已知，，点，分别在直线和直线上，是边上一点，且，，的两条直角边长之比为，直接写出此时的长度．
【答案】解：（1）∵，，
∴
∴
∵
∴；
（2）分别过点作，如图
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
即
∴，
设
∵
∴
∴
在和中
∴
∴
∴
∴
∴
∴；
（3）∵的两条直角边长之比为，
∴①当时，分别过点作，如图
与（2）同理，，
∴
∴
∵
∴
∴
设
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
②当，过点分别作的延长线上于点J，如图：
∵
∴
∴
即
∴
设
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴解得
则
∴
综上或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义和角之间的数量关系推出，进而利用"AAS"即可求证；
（2）分别过点作，利用勾股定理求出CF的长度，证明，根据相似三角形对应边的性质得出，，设，利用"AAS"证明，则，列式得出，即可作答．
（3）由题意可知需分两种情况讨论，①当，②当，然后作图，根据相似三角形的判定与性质，运用数形结合思想，列式计算，即可作答.
24．（2024九下·浙江模拟）如图，内接于圆，是的高线，，，，连接．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求证：；
（3）若点是上一动点，交于点．
①若与相似，求的长；
②当的面积与的面积差最大时，直接写出此时的长．
【答案】（1）证明：∵是的高线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）证明：连接，延长交于点，交于点，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：①过点作交于点，点是上一动点，交于点，如图：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
②∵，即，
∴，，
∴，
由题知，要使的面积与的面积差最大，必须使和最大，
∴当点与点重合时，最大，最大，如图：
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据三角形高线的定义和勾股定理求出AC的长度，然后根据正切函数的定义即可求出BD的长度，最后根据线段间的数量关系计算即可；
（2）连接，延长交于点，交于点，根据等腰三角形的性质和角之间的数量关系及等量代换易证是的角平分线，则根据角平分线的性质得到，进而证明，结合相似三角形对应角的性质即可求证；
（3）①过点作交于点，点是上一动点，交于点，先证明，则，利用勾股定理和三角函数得到OH、OC的长度，设，则，根据线段间的数量关系列出方程：，解此方程即可求解；
②根据已知条件得到：，则要使的面积与的面积差最大，必须使和最大，当点与点重合时，最大，最大，根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质得到：，进而求得，即可求出.
1 / 12024年浙江省部分学校中考适应性考试一模数学模拟试题
1．（2024九下·浙江模拟）的相反数是（　　）
A．2024 B． C． D．
2．（2024九下·浙江模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·浙江模拟）经核算和评价认证，杭州亚运会和亚残运会共排放温室气体882900吨，在亚运会、亚残运会历史上首次实现碳中和，其中数据882900用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·浙江模拟）小浙计划周末在“嘉兴南湖”“丽水浙西南革命根据地纪念馆”“宁波四明山抗日根据地旧址群”三个地点中随机选择一个地点研学．他选中“嘉兴南湖”的概率为（　　）
A． B． C．1 D．
5．（2024九下·浙江模拟）由4个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则其三视图中两种视图完全一样的是（　　）
A．主视图和俯视图 B．左视图和俯视图
C．主视图和左视图 D．以上都不正确
6．（2024九下·浙江模拟）某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是：168，184，187，188，197．现用一名身高为178cm的队员换下场上身高为197cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（　　）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
7．（2024九下·浙江模拟）下列选项中，可以用来证明命题“两个无理数的乘积一定是无理数”是假命题的反例是（　　）
A．， B．， C．， D．，
8．（2024九下·浙江模拟）若，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九下·浙江模拟）有一块半径为8米，圆心角为45°的扇形空地需要美化，某同学的设计图如图所示，在扇形空地上修建一个正方形水池，正方形的一条边在边上，点在边上，其他部分种上花圃，已知花圃的面积为16平方米，设的长为米，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024九下·浙江模拟）已知点，，均在抛物线的图象上，且，点和也在此抛物线上，则下列说法正确的是（　　）
A．若恒成立，则 B．若恒成立，则
C．若恒成立，则 D．若恒成立，则
11．（2024九下·浙江模拟）二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2024九下·浙江模拟）因式分解： 　 　．
13．（2024九下·浙江模拟）圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的母线长为　 　．
14．（2024九下·浙江模拟）如图，已知，直线分别与，相交于，两点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，，则的度数为　 　．
15．（2024九下·浙江模拟）如图，平行于轴，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，若四边形的面积为，则实数的值为　 　．
16．（2024九下·浙江模拟）如图，在矩形中，，是线段上一动点，点，绕点逆时针旋转得到点，，若在运动过程中的度数最大值恰好为，则的长度为　 　．
17．（2024九下·浙江模拟）计算：．
18．（2024九下·浙江模拟）先化简，再求值：，其中．
19．（2024九下·浙江模拟）如图，四边形是平行四边形，是对角线的中点，过点的直线分别交边，于点，，连接，．
（1）求证：；
（2）作的平分线交于点，若，求证：四边形是菱形．
20．（2024九下·浙江模拟）某中学为了解本校九年级男生1000米跑的成绩，从九年级240名男生中随机抽取了部分男生进行测试，并把测试成绩进行统计，绘制成如下图表（每小组成绩包含最小值，不包含最大值）．
九年级若干名男生1000米跑成绩的频数分布表
组别（秒） 频数 频数
1
8
5
2
合计 1
请根据上面的图表，回答下列问题：
（1）________，________，________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若男生1000米跑在秒以内的同学为优秀，请你估计该校九年级240名男生中1000米跑的成绩优秀的人数．
21．（2024九下·浙江模拟）根据以下素材，探索完成任务：
测算雷锋塔的高度
素材1 如图1，雷峰塔前有一斜坡，长为10米，坡度为，高为
素材2 利用测角仪在斜坡底的点处测得塔尖点的仰角为，在斜坡顶的点处测得塔尖点的仰角为（其中点，，在同一直线上，如图2）
素材3 查阅锐角三角函数表 ，，
任务1 获取数据 计算斜坡的高度
任务2 分析计算 通过观察，计算雷峰塔的高度（结果保留整数）
22．（2024九下·浙江模拟）已知，两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从地出发到地，乙骑自行车，甲骑摩托车．图中、折线分别表示甲、乙离开地的路程与时间的函数关系的图象，根据图象填空：
（1）甲、乙两人相遇前乙的速度为________，相遇后乙的速度为________；
（2）求甲离开地的路程与时间的函数表达式；
（3）若甲、乙两人之间的距离表示为，请在图2中画出距离与时间的函数关系图象．
23．（2024九下·浙江模拟）【基础巩固】（1）如图1，已知于点，于点，是上一点，，，求证：；
【尝试应用】（2）如图2，已知，，点，分别在边和上，是上一点，且，，求的值；
【拓展提高】（3）如图3，已知，，点，分别在直线和直线上，是边上一点，且，，的两条直角边长之比为，直接写出此时的长度．
24．（2024九下·浙江模拟）如图，内接于圆，是的高线，，，，连接．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求证：；
（3）若点是上一动点，交于点．
①若与相似，求的长；
②当的面积与的面积差最大时，直接写出此时的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】判断两个数互为相反数
【解析】【解答】解：的相反数是 2024.
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、4a-2a=2a≠2，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、-(a-b)=-a+b，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；由去括号法则（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），可判断D选项.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】 用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
4．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解： 三个地点中随机选择一个地点研学共有3种可能，选中“嘉兴南湖”的只有1种结果，
∴选中“嘉兴南湖”的概率为.
故答案为：D.
【分析】三个地点中随机选择一个地点研学共有3种可能，选中“嘉兴南湖”的只有1种结果，再根据概率公式求解即可得到答案。
5．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的主视图：底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，
左视图：底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，
俯视图：底层是一个小正方形，上层左边是两个小正方形，
所以，主视图和左视图相同，
故答案为：C．
【分析】根据几何体的三视图即可判断.
6．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：原来的平均数为：，
原来的方差为：
=89.36，
现在的平均数为：，
现在的方差为：
=54.5.
∴平均数变小，方差变小.
故答案为：A.
【分析】根据平均数和方差的定义计算即可得到答案.
7．【答案】B
【知识点】无理数的概念；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数”是假命题，故A选项错误；
B、，能说明两个无理数的乘积一定是无理数”是假命题，故B选项正确；
C、2与3不是无理数，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数”是假命题，故C选项错误；
D、2不是无理数，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数”是假命题，故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】证明一个命题是假命题的反例，需要满足命题的已知条件，但不满足命题的结论，据此逐一判断得出答案.
8．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、将2x-y＞2的两边同时加y，得2x＞y+2，将2x＞y+2的两边同时减3，得2x-3＞y-1，故A选项错误；
B、将2x-y＞2的两边同时加y，得2x＞y+2，将2x＞y+2的两边同时减3，得2x-3＞y-1，故B选项错误；
C、将2x-y＞2的两边同时加y，得2x＞y+2，将2x＞y+2的两边同时减4，得2x-4＞y-2，故C选项错误；
D、将2x-y＞2的两边同时加y，得2x＞y+2，将2x＞y+2的两边同时加2，得2x+2＞y+4，
∵y+4＞y+1，
∴2x+2＞y+1，
故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一 一判断得出答案.
9．【答案】A
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算；列一元二次方程
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意可得对称轴一定在点A的右侧，在点B的左侧，
∴若恒成立，则 ， 若恒成立，则
故答案为：A.
【分析】首先确定抛物线开口向下，对称轴一定在点A的右侧，在点B的左侧，然后根据二次函数的性质，即可得到答案.
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵次根式有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，据此得到，即可求出答案．
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】a2-9=（a+3）（a-3）。
故答案为：（a+3）（a-3）。
【分析】由平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）可得。
13．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴l=6
故答案为：6.
【分析】根据圆锥的侧面积公式：进行计算，即可得到答案.
14．【答案】
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如下图，
∵
∴
∵，且
∴
∴
解得
故答案为：.
【分析】先由对顶角相等，得出，然后根据两直线平行，同旁内角互补，得，然后代入计算即可.
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：点在函数的图象上，
设，
∵轴，
∴点纵坐标为，
∵点在图象上，
∴，
∴，
即点，
∴，
设直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴直线的解析式为：，
∵，
∴设直线的解析式为：，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴直线的解析式为：，
∴点，
∵，
∴，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴实数的值为，
故答案为：．
【分析】设，得到点，求出直线的解析式为：，再求出直线的解析式为：，得到点，最后根据四边形的面积为l，列出方程，解此方程即可求解.
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；点与圆的位置关系；旋转的性质
【解析】【解答】解：作中点，中点，分别以、为圆心画圆，连接、，，
由旋转的性质，矩形的性质，可得：，，
在旋转的过程中当时，，
∵，
∴，即：，
∵点在线段上，
∴，
∴，即，
由旋转的性质可得：，
∴，
∴当可以取到最大值3时，的度数最大值恰好为，
当，时，即点与点重合时，，
在中，，
故答案为：．
【分析】作中点，中点，分别以、为圆心画圆，连接、，，由，得到，根据，得到，结合，得到，由旋转的性质可得，根据可以取最大值3，即可求解，
17．【答案】解：，
，
．
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】首先代入特殊角的三角函数值，同时根据负整数指数幂、零次幂及二次根式的性质分别化简，进而合并同类二次根式及进行有理数的加法运算即可.
18．【答案】解：，
，
，
将代入上式有，
．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行运算，再合并同类项化简，最后将a的值代入进行求值，即可得到答案.
19．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，
是对角线的中点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，，
四边形是平行四边形，
为的角平分线，
，
，
，，
，
，
四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质得到，，利用线段中点的定义得到，然后利用"ASA"证明，得到，最后根据线段间的数量关系进行等量代换即可；
（2）由（1）可得，四边形是平行四边形，利用角平分线性质得到，然后根据两直线行线，内错角相等得到，，最后根据菱形的判定定理即可求证.
20．【答案】（1）
（2）解：由（1）知，
补全频数分布直方图如图所示：
（3）解：20名学生中，成绩在224.5秒以内的同学有：，
∴估计该校九年级240名男生成绩优秀的人数为：（人）
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次调查的学生一共有：（人），
∴，
，
，
故答案为：．
【分析】（1）用处在范围的频数除以频率即可得到总人数；然后用总人数乘以的频率即可求出m；最后用的频数除以总人数即可求出n；
（2）根据（1）中的值，即可将频数分布直方图补充完整；
（3）用频数分布表中的数据在224.5秒以内的同学人数占总人数的比例乘以240即可求解.
21．【答案】解：任务一：斜坡的坡度是，
，设，则，
又在中，，
，
∴，
解得：，
∴，
斜坡的高为6．
任务二：
如图，过作于，结合题意可得：
四边形是矩形，
∴，，
设，
∵，
，
∴，，
在斜坡顶的点处测得楼顶的仰角为，
∴，
∴，
解得：，
米，
米，
故雷峰塔的高度为米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据坡度可得，即可设，则，然后在中根据勾股定理得到，则，进而即可求解；
（2）过作于，根据矩形的性质得到：，，设，根据正切值求边长得，，再根据列出方程：，解此方程得到AH的长度，最后根据线段间的数量关系计算即可.
22．【答案】（1），；
（2）解：设甲离开地的路程与时间的函数表达式为，
由图知，过点，，
，解得，
其函数表达式为
（3）解：设两人相遇前乙的路程与时间的函数表达式为，
有，解得，
两人相遇前乙的路程与时间的函数表达式为，
设两人相遇后乙的路程与时间的函数表达式为，
，
有，解得，
两人相遇后乙的路程与时间的函数表达式为，
当时，即，解得，
，
甲、乙两人之间的距离为，
可列表如下：
0 1 1.5 2.5 3.5
0 20 0 30 0
距离与时间的函数关系图象如下：
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图知，两人相遇前乙的速度为：（），
相遇后乙的速度为：（），
故答案为：，．
【分析】（1）根据图象得到相遇前后乙的路程和时间，然后利用速度=路程÷时间即可求解；
（2）设甲离开地的路程与时间的函数表达式为，由图知，过点，，进而将两个坐标代入到解析式即可求解；
（3）设两人相遇前乙的路程与时间的函数表达式为，把代入得到两人相遇前乙的路程与时间的函数表达式为；设两人相遇后乙的路程与时间的函数表达式为，把代入得到两人相遇后乙的路程与时间的函数表达式为，结合已知条件求出点D的坐标，进而即可求解.
23．【答案】解：（1）∵，，
∴
∴
∵
∴；
（2）分别过点作，如图
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
即
∴，
设
∵
∴
∴
在和中
∴
∴
∴
∴
∴
∴；
（3）∵的两条直角边长之比为，
∴①当时，分别过点作，如图
与（2）同理，，
∴
∴
∵
∴
∴
设
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
②当，过点分别作的延长线上于点J，如图：
∵
∴
∴
即
∴
设
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴解得
则
∴
综上或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义和角之间的数量关系推出，进而利用"AAS"即可求证；
（2）分别过点作，利用勾股定理求出CF的长度，证明，根据相似三角形对应边的性质得出，，设，利用"AAS"证明，则，列式得出，即可作答．
（3）由题意可知需分两种情况讨论，①当，②当，然后作图，根据相似三角形的判定与性质，运用数形结合思想，列式计算，即可作答.
24．【答案】（1）证明：∵是的高线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）证明：连接，延长交于点，交于点，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：①过点作交于点，点是上一动点，交于点，如图：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
②∵，即，
∴，，
∴，
由题知，要使的面积与的面积差最大，必须使和最大，
∴当点与点重合时，最大，最大，如图：
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据三角形高线的定义和勾股定理求出AC的长度，然后根据正切函数的定义即可求出BD的长度，最后根据线段间的数量关系计算即可；
（2）连接，延长交于点，交于点，根据等腰三角形的性质和角之间的数量关系及等量代换易证是的角平分线，则根据角平分线的性质得到，进而证明，结合相似三角形对应角的性质即可求证；
（3）①过点作交于点，点是上一动点，交于点，先证明，则，利用勾股定理和三角函数得到OH、OC的长度，设，则，根据线段间的数量关系列出方程：，解此方程即可求解；
②根据已知条件得到：，则要使的面积与的面积差最大，必须使和最大，当点与点重合时，最大，最大，根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质得到：，进而求得，即可求出.
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