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浙江省杭州钱塘区2024年学业水平测试（一）九年级数学模拟试题
1．（2024·钱塘模拟）2024年春节档电影《热辣滚烫》引发热议，其中的台词“一切来得及，记得爱自己”“如果没有特别幸运，那就请特别努力”鼓舞着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦．据统计，截至2024年3月14日，电影《热辣滚烫》票房高达34.45亿元．数据34.45亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024·钱塘模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·钱塘模拟）某中学开展“好书伴我成长”读书活动，为了解2月份九年级学生读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
册数 1 2 3 4 5
人数 4 12 16 17 1
关于这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．平均数是3 B．方差是3 C．中位数是3 D．众数是17
4．（2024·钱塘模拟）在平面直角坐标系中，若两点的坐标分别是，将点向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点，则关于点的位置关系描述正确的是（　　）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
5．（2024·钱塘模拟）下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024·钱塘模拟）如图，已知直线，直线分别交直线于点，点在直线上，连结．若，，则的度数为（　　）．
A．45° B．50° C．55° D．60°
7．（2024·钱塘模拟）如图，点A，B，C在上，C为弧的中点．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
8．（2024·钱塘模拟）如图，在菱形中，过顶点作，，垂足分别为，，连接，若，的面积为，则菱形的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024·钱塘模拟）已知二次函数，当时，的取值范围是，且该二次函数的图象经过点，两点，则的值不可能是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024·钱塘模拟）如图，已知正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，得到正方形，连接并延长交于点，设正方形的面积为，正方形的面积为，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024·钱塘模拟）计算：　 　．
12．（2024·钱塘模拟）文明出行，遵守交通规则“红灯停，绿灯行”．已知一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮24秒，黄灯亮6秒，则当圆圆经过这个路口时，信号灯恰好是绿灯的概率为　 　．
13．（2024·钱塘模拟）已知，，则的值为　 　．
14．（2024·钱塘模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．当时，x的取值范围是　 　．
15．（2024·钱塘模拟）如图，分别以等边的顶点为圆心，以长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形叫做莱洛三角形．若莱洛三角形的周长为，则莱洛三角形的面积为　 　．
16．（2024·钱塘模拟）如图，点是矩形边上一点，沿折叠，点恰好落在边上的点处．设，则关于的函数表达式是　 　．
17．（2024·钱塘模拟）解不等式：．
18．（2024·钱塘模拟）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
（1）如图1，在线段上找一点，使得．
（2）如图2，在三角形内寻找格点，使得．
19．（2024·钱塘模拟）某学校近期开展了“亮眼控肥”系列活动，旨在增强学生爱眼护眼和预防肥胖的意识，使学生在日常生活中保持良好的用眼，饮食和运动习惯．为了了解学生对于“亮眼控肥”知识的掌握情况，该学校采用随机抽样的调查方式，且对收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）该学校抽样调查的学生人数是__________．
（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数．
（3）若该学校共有学生1600人，请估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握情况为“合格”和“待合格”的总人数．
20．（2024·钱塘模拟）如图，在中，，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
21．（2024·钱塘模拟）某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡角，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为，在D处测得建筑物顶端A的仰角为．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）
（1）求点D到地面的距离；
（2）求该建筑物的高度．
22．（2024·钱塘模拟）如图，在中，点分别在边上，连接与交于点．已知四边形是平行四边形，且．
（1）若，求线段的长．
（2）若四边形的面积为48，求的面积．
23．（2024·钱塘模拟）已知二次函数（是常数，）．
（1）若，求该函数图象顶点坐标；
（2）若该二次函数图象经过三个点中的一个点，求该二次函数的表达式；
（3）若，当时，的最大值记为，最小值记为，求的最小值．
24．（2024·钱塘模拟）如图，是半圆的直径，点是半圆上的点，且，连结交于点．
（1）求证：．
（2）如图，连结，若，求与的面积之比．
（3）如图，连结，作交于点，连结．求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：34.45亿=
故答案为：B.
【分析】绝对值大于10的数的科学记数法可以表示为n取原数的整数位数减1.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
因此A，B，C错误，D正确
故答案为：D.
【分析】本题考查的是二次根式的化简，依据：解决即可.
3．【答案】C
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：这组数据共有50个，而中位数为第25个数和第26个数的平均数，从图表上来看，第25个数和第26个数都是3，故其中位数为3，因此A，B，D错误，C正确
故答案为：C.
【分析】本题可以采用排除法解决问题，抓住几个统计量的概念是解决问题的关键，对于中位数根据中间位置的一个数或两个数的平均数求出即可.
4．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵
∴C的坐标为（4，4）
∵A（4，-4）
∴A，C关于X的对称
故答案为：A.
【分析】先按照平移规律：左减右加，上加下减，得出点C的坐标，再观察A，C坐标关系，得出结论.
5．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，故该选项错误；
B、，故该选项正确；
C、不能用完全平方公式分解，故该选项错误；
D、，故该选项错误；
故答案为：B．
【分析】根据平方差计算法则计算即可判断A项和B项；根据完全平方公式计算法则即可判断C项和D项.
6．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：C．
【分析】根据两直线平行，同位角相等即可得，再由三角形外角性质得到，进而代入计算即可．
7．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图：
∵C为的中点．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据圆周角定理求出，根据已知条件和等腰三角形的性质得到：，最后根据三角形内角和定理求解即可．
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，
，，
，
四边形是菱形，
，，，
在和中，
，
，
，
，
即，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】过点作，交的延长线于点，利用"AAS"证明，得到，进而推出，设，由可得，进而根据锐角三角函数得到，则，根据三角形的面积公式求出，再根据勾股定理求出，即可求解．
9．【答案】D
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由题意知：抛物线的对称轴为：
因此关于对称轴的对称点为：M'（-5，m+1）
∴-5∠d∠3
故答案为：D.
【分析】先求出抛物线的对称轴，找出点M关于直线x=-1的对称点，从而得出d的范围：-5∠d∠3.
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【解答】解：，
设，，
正方形的边长为，正方形的边长为，
即，，
设，，
依题意得：，，，，，，，都全等，
，，
，，
，
解得：，
，，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线，即，
又四边形是正方形，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据题意设，，则正方形的边长为，正方形的边长为，设，，根据题意则，，进而根据线段间的数量关系得到方程组：，解得：，则，，进而证明，则，最后根据线段的和差求出、即可求解．
11．【答案】
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：，
故答案是：．
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则计算即可．
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解： 当圆圆经过这个路口时，信号灯恰好是绿灯的概率为
故答案为：.
【分析】根据概率公式：事件A的概率=计算即可.
13．【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
14．【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过，
∴，
∴，
又反比例函数的图象经过，
∴，
∴，
观察图象可知：当时，图中一次函数的函数值大于反比例函数的函数值，则x的取值范围为：或．
故答案为：或．
【分析】根据题意求出m的值，得到反比例函数解析式，进而求出一次函数解析式，最后写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方时对应的自变量的取值范围即可．
15．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：莱洛三角形的周长可转化为半径为的圆的周长的一半
，
，即等边的边长为2，
如图所示，过点作于，
则，
，
莱洛三角形的面积为．
故答案为：．
【分析】根据题意把莱洛三角形的周长可转化为半径为的圆的周长的一半，求出等边三角形的边长，进而利用割补法计算面积即可.
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
17．【答案】解：3（x+1）-6≤2(2x-1)
3x+3-6≤4x-2
x≥-1
故原不等式的解集为x≥-1.
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】不等式两边同时乘以6去分母，再取括号，移项合并同类项，最后系数化为1即可.
18．【答案】（1）解：分别取格点，，使，且，连接，交于点，
则，
，
则点即为所求；
（2）解：分别作线段、的垂直平分线，相交于点，连接、，则点、、在以点为圆心，的长为半径的圆上，
，
则点即为所求．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）分别取格点，，使，且，连接，交于点，即可求解；
（2）分别作线段、的垂直平分线，相交于点，连接、，则点、、在以点为圆心，的长为半径的圆上，根据圆周角定理即可求解．
19．【答案】（1）80人
（2）解：良好的人数为：（人），补全图如图所示，
合格部分对应圆心角为：；
（3）解：合格和待合格的总人数为：（人）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）该学校抽样调查的学生人数是（人）
故答案为：80人.
【分析】（1）由优秀人数除以其所占的百分比即可求总人数；
（2）用总人数减去优秀，合格，待合格三者的和即可得出良好的人数，求出合格的占比再乘即可求出合格部分对应圆心角的度数；
（3）用样本数据取估计总体，先求出合格与待合格的总占比，再乘1600即可．
20．【答案】（1）证明：，
，
，，
，
又，
在和中，
，
（2）解：，，
，
在中，，
，
在中，，
的长为
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得，然后根据垂直的定义得，利用"AAS"即可求证；
（2）根据题意可得，在中，根据勾股定理求出，进而求出BD的长度，最后在中，利用勾股定理即可求解．
21．【答案】（1）解：过点D作，
由题意可得，
∴在Rt中，，
即点D到地面的距离为5米
（2）解：如图，
由题意可得，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴在Rt中，，即，
解得，
在Rt中，，即，
解得，
答：该建筑物的高度为15米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点D作，根据坡角的概念及含直角三角形的性质分析求解；
（2）通过证明，然后根据平行线的性质求出，最后利用解直角三角形即可求解.
22．【答案】（1）解：四边形是平行四边形
（2）解：，
四边形的面积为48
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，即可证明，，再根据相似三角形对应边的性质得到线段间的比例关系即可求解；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的性质即可．
23．【答案】（1）解：当时，
∴
∴顶点坐标为（2，-）
（2）当x=1时，y=a-2+2-a=0≠-2，
当x=-1时，y=a+2+2-a=4≠1，
故抛物线过（2，-5）
把（2，-5）代入抛物线得：
4a-4+2-a=-5
a=-1
∴
（3）解：∵
∵
∴
∵，当x=时，y有最大值为m=
当x=-3时，y有最小值为n=8a+8
∴=a()-8a-8
=
=
=
∵
当a=-5时，有最小值为-4.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²的性质
【解析】【分析】（1）把a的值代入二次函数，再把二次函数化为顶点式即可
(2)先把x=1和x=-1代入原抛物线得出：抛物线过（2，-5），再把（2，-5）代入抛物线求出a值即可
(3)由a的值，求出，再根据，求出y的最大值m和最小值n，再代入am-n得出：am-n=，再根据得出：有最小值为-4.
24．【答案】（1）证明：∵是半圆的直径，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵是半圆的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点四点共圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（）根据直径所对的圆周角为直角得到，再根据两直线平行，同位角相等可得，即可求证；
（）由可得，根据三角函数可得，由根据平行线之间距离相等可得，即可得到；
（）连接，先证明点四点共圆，得到，进而可得，又由，可得，即得到，即可求证．
1 / 1浙江省杭州钱塘区2024年学业水平测试（一）九年级数学模拟试题
1．（2024·钱塘模拟）2024年春节档电影《热辣滚烫》引发热议，其中的台词“一切来得及，记得爱自己”“如果没有特别幸运，那就请特别努力”鼓舞着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦．据统计，截至2024年3月14日，电影《热辣滚烫》票房高达34.45亿元．数据34.45亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：34.45亿=
故答案为：B.
【分析】绝对值大于10的数的科学记数法可以表示为n取原数的整数位数减1.
2．（2024·钱塘模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
因此A，B，C错误，D正确
故答案为：D.
【分析】本题考查的是二次根式的化简，依据：解决即可.
3．（2024·钱塘模拟）某中学开展“好书伴我成长”读书活动，为了解2月份九年级学生读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
册数 1 2 3 4 5
人数 4 12 16 17 1
关于这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．平均数是3 B．方差是3 C．中位数是3 D．众数是17
【答案】C
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：这组数据共有50个，而中位数为第25个数和第26个数的平均数，从图表上来看，第25个数和第26个数都是3，故其中位数为3，因此A，B，D错误，C正确
故答案为：C.
【分析】本题可以采用排除法解决问题，抓住几个统计量的概念是解决问题的关键，对于中位数根据中间位置的一个数或两个数的平均数求出即可.
4．（2024·钱塘模拟）在平面直角坐标系中，若两点的坐标分别是，将点向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点，则关于点的位置关系描述正确的是（　　）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵
∴C的坐标为（4，4）
∵A（4，-4）
∴A，C关于X的对称
故答案为：A.
【分析】先按照平移规律：左减右加，上加下减，得出点C的坐标，再观察A，C坐标关系，得出结论.
5．（2024·钱塘模拟）下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，故该选项错误；
B、，故该选项正确；
C、不能用完全平方公式分解，故该选项错误；
D、，故该选项错误；
故答案为：B．
【分析】根据平方差计算法则计算即可判断A项和B项；根据完全平方公式计算法则即可判断C项和D项.
6．（2024·钱塘模拟）如图，已知直线，直线分别交直线于点，点在直线上，连结．若，，则的度数为（　　）．
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：C．
【分析】根据两直线平行，同位角相等即可得，再由三角形外角性质得到，进而代入计算即可．
7．（2024·钱塘模拟）如图，点A，B，C在上，C为弧的中点．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图：
∵C为的中点．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据圆周角定理求出，根据已知条件和等腰三角形的性质得到：，最后根据三角形内角和定理求解即可．
8．（2024·钱塘模拟）如图，在菱形中，过顶点作，，垂足分别为，，连接，若，的面积为，则菱形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，
，，
，
四边形是菱形，
，，，
在和中，
，
，
，
，
即，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】过点作，交的延长线于点，利用"AAS"证明，得到，进而推出，设，由可得，进而根据锐角三角函数得到，则，根据三角形的面积公式求出，再根据勾股定理求出，即可求解．
9．（2024·钱塘模拟）已知二次函数，当时，的取值范围是，且该二次函数的图象经过点，两点，则的值不可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由题意知：抛物线的对称轴为：
因此关于对称轴的对称点为：M'（-5，m+1）
∴-5∠d∠3
故答案为：D.
【分析】先求出抛物线的对称轴，找出点M关于直线x=-1的对称点，从而得出d的范围：-5∠d∠3.
10．（2024·钱塘模拟）如图，已知正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，得到正方形，连接并延长交于点，设正方形的面积为，正方形的面积为，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【解答】解：，
设，，
正方形的边长为，正方形的边长为，
即，，
设，，
依题意得：，，，，，，，都全等，
，，
，，
，
解得：，
，，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线，即，
又四边形是正方形，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据题意设，，则正方形的边长为，正方形的边长为，设，，根据题意则，，进而根据线段间的数量关系得到方程组：，解得：，则，，进而证明，则，最后根据线段的和差求出、即可求解．
11．（2024·钱塘模拟）计算：　 　．
【答案】
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：，
故答案是：．
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则计算即可．
12．（2024·钱塘模拟）文明出行，遵守交通规则“红灯停，绿灯行”．已知一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮24秒，黄灯亮6秒，则当圆圆经过这个路口时，信号灯恰好是绿灯的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解： 当圆圆经过这个路口时，信号灯恰好是绿灯的概率为
故答案为：.
【分析】根据概率公式：事件A的概率=计算即可.
13．（2024·钱塘模拟）已知，，则的值为　 　．
【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
14．（2024·钱塘模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．当时，x的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过，
∴，
∴，
又反比例函数的图象经过，
∴，
∴，
观察图象可知：当时，图中一次函数的函数值大于反比例函数的函数值，则x的取值范围为：或．
故答案为：或．
【分析】根据题意求出m的值，得到反比例函数解析式，进而求出一次函数解析式，最后写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方时对应的自变量的取值范围即可．
15．（2024·钱塘模拟）如图，分别以等边的顶点为圆心，以长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形叫做莱洛三角形．若莱洛三角形的周长为，则莱洛三角形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：莱洛三角形的周长可转化为半径为的圆的周长的一半
，
，即等边的边长为2，
如图所示，过点作于，
则，
，
莱洛三角形的面积为．
故答案为：．
【分析】根据题意把莱洛三角形的周长可转化为半径为的圆的周长的一半，求出等边三角形的边长，进而利用割补法计算面积即可.
16．（2024·钱塘模拟）如图，点是矩形边上一点，沿折叠，点恰好落在边上的点处．设，则关于的函数表达式是　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
17．（2024·钱塘模拟）解不等式：．
【答案】解：3（x+1）-6≤2(2x-1)
3x+3-6≤4x-2
x≥-1
故原不等式的解集为x≥-1.
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】不等式两边同时乘以6去分母，再取括号，移项合并同类项，最后系数化为1即可.
18．（2024·钱塘模拟）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
（1）如图1，在线段上找一点，使得．
（2）如图2，在三角形内寻找格点，使得．
【答案】（1）解：分别取格点，，使，且，连接，交于点，
则，
，
则点即为所求；
（2）解：分别作线段、的垂直平分线，相交于点，连接、，则点、、在以点为圆心，的长为半径的圆上，
，
则点即为所求．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）分别取格点，，使，且，连接，交于点，即可求解；
（2）分别作线段、的垂直平分线，相交于点，连接、，则点、、在以点为圆心，的长为半径的圆上，根据圆周角定理即可求解．
19．（2024·钱塘模拟）某学校近期开展了“亮眼控肥”系列活动，旨在增强学生爱眼护眼和预防肥胖的意识，使学生在日常生活中保持良好的用眼，饮食和运动习惯．为了了解学生对于“亮眼控肥”知识的掌握情况，该学校采用随机抽样的调查方式，且对收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）该学校抽样调查的学生人数是__________．
（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数．
（3）若该学校共有学生1600人，请估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握情况为“合格”和“待合格”的总人数．
【答案】（1）80人
（2）解：良好的人数为：（人），补全图如图所示，
合格部分对应圆心角为：；
（3）解：合格和待合格的总人数为：（人）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）该学校抽样调查的学生人数是（人）
故答案为：80人.
【分析】（1）由优秀人数除以其所占的百分比即可求总人数；
（2）用总人数减去优秀，合格，待合格三者的和即可得出良好的人数，求出合格的占比再乘即可求出合格部分对应圆心角的度数；
（3）用样本数据取估计总体，先求出合格与待合格的总占比，再乘1600即可．
20．（2024·钱塘模拟）如图，在中，，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，，
，
又，
在和中，
，
（2）解：，，
，
在中，，
，
在中，，
的长为
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得，然后根据垂直的定义得，利用"AAS"即可求证；
（2）根据题意可得，在中，根据勾股定理求出，进而求出BD的长度，最后在中，利用勾股定理即可求解．
21．（2024·钱塘模拟）某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡角，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为，在D处测得建筑物顶端A的仰角为．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）
（1）求点D到地面的距离；
（2）求该建筑物的高度．
【答案】（1）解：过点D作，
由题意可得，
∴在Rt中，，
即点D到地面的距离为5米
（2）解：如图，
由题意可得，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴在Rt中，，即，
解得，
在Rt中，，即，
解得，
答：该建筑物的高度为15米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点D作，根据坡角的概念及含直角三角形的性质分析求解；
（2）通过证明，然后根据平行线的性质求出，最后利用解直角三角形即可求解.
22．（2024·钱塘模拟）如图，在中，点分别在边上，连接与交于点．已知四边形是平行四边形，且．
（1）若，求线段的长．
（2）若四边形的面积为48，求的面积．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形
（2）解：，
四边形的面积为48
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，即可证明，，再根据相似三角形对应边的性质得到线段间的比例关系即可求解；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的性质即可．
23．（2024·钱塘模拟）已知二次函数（是常数，）．
（1）若，求该函数图象顶点坐标；
（2）若该二次函数图象经过三个点中的一个点，求该二次函数的表达式；
（3）若，当时，的最大值记为，最小值记为，求的最小值．
【答案】（1）解：当时，
∴
∴顶点坐标为（2，-）
（2）当x=1时，y=a-2+2-a=0≠-2，
当x=-1时，y=a+2+2-a=4≠1，
故抛物线过（2，-5）
把（2，-5）代入抛物线得：
4a-4+2-a=-5
a=-1
∴
（3）解：∵
∵
∴
∵，当x=时，y有最大值为m=
当x=-3时，y有最小值为n=8a+8
∴=a()-8a-8
=
=
=
∵
当a=-5时，有最小值为-4.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²的性质
【解析】【分析】（1）把a的值代入二次函数，再把二次函数化为顶点式即可
(2)先把x=1和x=-1代入原抛物线得出：抛物线过（2，-5），再把（2，-5）代入抛物线求出a值即可
(3)由a的值，求出，再根据，求出y的最大值m和最小值n，再代入am-n得出：am-n=，再根据得出：有最小值为-4.
24．（2024·钱塘模拟）如图，是半圆的直径，点是半圆上的点，且，连结交于点．
（1）求证：．
（2）如图，连结，若，求与的面积之比．
（3）如图，连结，作交于点，连结．求证：．
【答案】（1）证明：∵是半圆的直径，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵是半圆的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点四点共圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（）根据直径所对的圆周角为直角得到，再根据两直线平行，同位角相等可得，即可求证；
（）由可得，根据三角函数可得，由根据平行线之间距离相等可得，即可得到；
（）连接，先证明点四点共圆，得到，进而可得，又由，可得，即得到，即可求证．
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