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2024年浙江省中考数学适应性二模练习试题
1．（2024九下·浙江模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九下·浙江模拟）如图是由个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是 （　　）
A． B． C． D．
3．（2024九下·浙江模拟）2023年“亚运双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共接待游客约13000000人次，将数据13000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·浙江模拟）某校举行了趣味数学竞赛，某班学生的成绩统计如下表：
成绩（分） 60 70 80 90 100
人数 5 15 9 6 5
则该班学生成绩的众数和中位数分别是（　　）
A．70分，80分 B．70分，75分 C．60分，80分 D．70分，85分
5．（2024九下·浙江模拟）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜的折射后，折射光线交于主光轴MN上一点．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九下·浙江模拟）若点、、、分别在反比例函数的图象上，则下列值最小的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·浙江模拟）小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·浙江模拟）年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（　　）
A．10 B．16 C．18 D．20
9．（2024九下·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（　　）
A．2 B．3 C． D．
10．（2024九下·浙江模拟）如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点P，若，则线段的长等于（　　）
A．22 B．20 C．18 D．16
11．（2024九下·浙江模拟）因式分解： 　 　.
12．（2024九下·浙江模拟）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有5个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是　 　个．
13．（2024九下·浙江模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是　 　米．
14．（2024九下·浙江模拟）图1是一个地铁站人口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为　 　．
15．（2024九下·浙江模拟）如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中两个顶点在y轴正坐标轴上，一个顶点在x轴负半轴上，顶点D在反比例函数的图象上，若，则　 　
16．（2024九下·浙江模拟）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=12，AD=10，点E是CD的中点．将这张纸片依次折叠两次；如图2，第一次折叠纸片使点A与点E重合，折痕为MN，连接ME、NE；如图3，第二次折叠纸片使点N与点E重合，点B落在处，折痕为HG，连接HE，则　 　．
17．（2024九下·浙江模拟）（1）计算：．
（2）化简：．
18．（2024九下·浙江模拟）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
19．（2024九下·浙江模拟）宪法是国家的根本法，是治国安邦的总章程．学法辨是非、知法明荣辱、守法正社风、用法止纷争，弘扬并践行宪法精神是当代青少年的义务与担当．某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分100分）分为4个等级：A等级，B等级，C等级，D等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图：
（1）本次抽取的学生共有 ___________人，他们成绩的中位数落在 ___________等级；
（2）补全频数分布直方图，扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为 ___________；
（3）若竞赛成绩为优秀，估计全校1000名学生中成绩达到优秀的人数；
（4）九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法．请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
20．（2024九下·浙江模拟）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图． 已知屋面的倾斜角为，真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米，水平横管的长度米．（参考数据：）
（1）求水平横管到水平线的距离．
（2）求真空管与屋面的长度差．
21．（2024九下·浙江模拟）某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：
批发价（元） 零售价（元）
红色文化衫 25 45
蓝色文化衫 20 35
（1）学校购进红、蓝文化衫各几件？
（2）若学校再次购进红、蓝两种颜色的文化衫300件，其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的2倍，请设计一个方案：学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润，最大利润是多少？
22．（2024九下·浙江模拟）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
（1）若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
（2）若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
23．（2024九下·浙江模拟）【基础巩固】（1）如图1，已知于点，于点，是上一点，，，求证：；
【尝试应用】（2）如图2，已知，，点，分别在边和上，是上一点，且，，求的值；
【拓展提高】（3）如图3，已知，，点，分别在直线和直线上，是边上一点，且，，的两条直角边长之比为，直接写出此时的长度．
24．（2024九下·浙江模拟）如图，内接于圆，是的高线，，，，连接．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求证：；
（3）若点是上一动点，交于点．
①若与相似，求的长；
②当的面积与的面积差最大时，直接写出此时的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：0-2024=-2024
故答案为：D.
【分析】互为相反数的两个数之和为0.
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】 解：从上面看，图形有2行，第一行有2个正方形，左下方有1个正方体，
故选：B.
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，结合图形，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：13000000 =
故答案为：B.
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字从左往右数第一个数后面整数的位数.
4．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解： 由统计表中的信息可知，70分出现15次，是出现次数最多的数据，所以众数为70分；
由于一共调查了人，
所以中位数为第20、21个数据的平均数，即中位数为（分，
故答案为：B.
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；根据定义并结合题意可求解.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ABP+∠BPM=180°，∠CDP+∠DPM=180°，
∵，
∴∴∠MPB=30°，∠MPD=10°，
∴，
故答案为：C．
【分析】先由两直线平行，同旁内角互补得到，再根据j角的和差与对顶角的性质求解即可.
6．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点、、、分别在反比例函数的图象上，
∴，，，，
∴；
∴函数值最小的是；
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征分别求出四个点的纵坐标，再比较即可得到答案.
7．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：把自主阅读记作A、把体育活动记作B、把科普活动记作C，列树状图如下：
观察可得，共有9中等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有1种，故小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为 .
【分析】把自主阅读记作A、把体育活动记作B、把科普活动记作C，列树状图表示出所有可能的结果性以及小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果数，再利用概率公式即可得到答案.
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
①－②×2得：y=60－26×2=8.
把y=8代入②，可得x=18.
故1艘大船可以满载游客的人数为人，1艘小船可以满载游客的人数为8人，
故答案为：C
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意可得等量关系：2艘大船可载的人数+3艘小船可载的人数＝，1艘大船可载的人数＋1艘小船可载的人数＝．据此列出二元一次方程组并求解即可．
9．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵是O的切线，
∴，
∴在Rt△PQO中，，
∵当时，线段OP最短，OQ=2，
∴当时，线段PQ最短，
∵、，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
11．【答案】3（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： .
【分析】先提取公因式3，再根据平方差公式分解因式.
12．【答案】20
【知识点】等可能事件的概率；概率的简单应用
【解析】【解答】
故答案为：20.
【分析】当实验的结果是有限多个且每种结果发生的可能性大小相同时，某事件的概率就等于事件包含的结果数与总结果数的比值，故摸到黑色棋子的概率=，不难求得棋子总数。
13．【答案】
【知识点】垂径定理的实际应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：连接交于，连接，
点为运行轨道的最低点，
，
（米，
在中，（米，
点到弦所在直线的距离米，
故答案为：．
【分析】连接交于，连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，最后根据线段间的数量关系即可求解．
14．【答案】
【知识点】点到直线的距离；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示过作于，过作于，
则 中，，
同理可得，，
又点与之间的距离为，
通过闸机的物体的最大宽度为，
故答案为：76．
【分析】过作于，过作于，根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半求出和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴小正方形边长为2，
∴，，，
如图， 作轴，垂足为点E，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，，
同理，
，
即，
∴，
∴
∴，
∵点D在反比例函数图象上，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据三角形面积求出小正方形的边长，再利用，，求出点D的坐标，然后把D的坐标代入求出k值解题．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知，，，，是线段的垂直平分线
∴，
∴
∴是的中点
∴是斜边上的中线
∴
∴
设，则
在中，由勾股定理得即
解得
∴
如图，作
∵
∴四边形是矩形
∵
∴
∴
∴即
解得
∴
∴
∴
故答案为：．
【分析】由折叠的得到，是的中点，是斜边上的中线，即可得到，设，则，在中，运用勾股定理得到，求出的长，再作，则四边形是矩形，得到，即可得到，求出的长，进而得到长，利用，得到的值，即可解题．
17．【答案】解：（1）计算：
=
=1．
（2）化简：
．
【知识点】分式的加减法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据实数的加减运算法则结合负整数指数幂和二次分式的性质，进行运算即可；
（2）首先把分式的分子、分母分解因式，约分后进行加减运算即可．
18．【答案】（1）证明：∵∴
在△ABC和△DCE中
∴△ABC≌△DCE
（2）解：由（1）可得BC=CE=5
在直角三角形ACE中
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）运用AAS证明△ABC≌△DCE即可得到结论；
（2）运用勾股定理解题即可．
19．【答案】（1）50；B
（2）补全直方图如下：
.
（3）解：（人），
答：估计全校1000名学生中成绩达到优秀的人数为320人；
（4）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果数为8，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．

【知识点】总体、个体、样本、样本容量；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次抽取的学生人数为（人），
成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，从扇形统计图看这两个数据落在B等级，所以他们成绩的中位数落在B等级；
故答案为：50；B；
（2）B等级人数为（人），A等级人数为（人），
∴可补全直方图如下：
扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为，
故答案为：；
【分析】（1）由C等级人数÷其所占百分比可得总人数，依据中位数的定义和在扇形统计图中的找法可得答案；
（2）用总人数×其所占百分比可求出B等级人数，进而可计算A等级的人数，即可补全图形，用360°乘以D等级人数所占比例即可得出答案；
（3）用总人数1000×样本中A等级人数所占比例即可估算出大概人数；
（4）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
20．【答案】（1）解：过点B作BF⊥AD于点F，如图所示：
由题意可得，△ABF和△AED是直角三角形，四边形BFDC是矩形，
∴FD=BC=0.25，BF=CD.
在Rt△AED中，，设AD=x，
∴，.
在Rt中，，
∴4BF=3AF，
∴
解得：x=2.25
∴m，
故水平横管到水平线的距离为1.5米.
（2）解：∵在Rt中，，AD=2.25米，
米，
在Rt中，米，
米，
（米）
∴真空管与屋面的长度差为0.1米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作于F，设AD=x，在Rt中，由正切函数，则可得DE的长度，进而可表示出AF和BF的长.在Rt中，根据列方程，求出x的值，代入BF，即水平横管到水平线的距离．
（2）在Rt中，根据求出的长度，在Rt中，根据求出的长度，相减即可求出与的长度差.
21．【答案】（1）解：设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件，
依题意，得：，
解得，，
答：学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件
（2）解：设学校再次购进红文化衫件，蓝文化衫件， 则利润为 ，
∴，
由题意得，
解得，
∵ ， ，
∴随的增大而增大，
∴当时，最大利润元，
∴学校购进红色文化衫200件时获得最大利润，最大利润是5500元．
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，列方程组求解即可；
（2）利用利润公式求出， 再求出 随的增大而增大， 最后求解即可。
22．【答案】（1）（1）①如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是
（2）解：的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴，
解得，
代入，得．
所以的最小值为
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)①由顶点A(2，2)得， 设 再根据抛物线过点(0，1.5)，可得a的值，从而解决问题；
②由对称轴知点(0，1.5)的对称点为(4，1.5)， 则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
③根据 求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案；
(2)当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，设点，，，代入解析式求出m，h值解题即可.
23．【答案】解：（1）∵，，
∴
∴
∵
∴；
（2）分别过点作，如图
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
即
∴，
设
∵
∴
∴
在和中
∴
∴
∴
∴
∴
∴；
（3）∵的两条直角边长之比为，
∴①当时，分别过点作，如图
与（2）同理，，
∴
∴
∵
∴
∴
设
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
②当，过点分别作的延长线上于点J，如图：
∵
∴
∴
即
∴
设
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴解得
则
∴
综上或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义和角之间的数量关系推出，进而利用"AAS"即可求证；
（2）分别过点作，利用勾股定理求出CF的长度，证明，根据相似三角形对应边的性质得出，，设，利用"AAS"证明，则，列式得出，即可作答．
（3）由题意可知需分两种情况讨论，①当，②当，然后作图，根据相似三角形的判定与性质，运用数形结合思想，列式计算，即可作答.
24．【答案】（1）证明：∵是的高线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）证明：连接，延长交于点，交于点，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：①过点作交于点，点是上一动点，交于点，如图：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
②∵，即，
∴，，
∴，
由题知，要使的面积与的面积差最大，必须使和最大，
∴当点与点重合时，最大，最大，如图：
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据三角形高线的定义和勾股定理求出AC的长度，然后根据正切函数的定义即可求出BD的长度，最后根据线段间的数量关系计算即可；
（2）连接，延长交于点，交于点，根据等腰三角形的性质和角之间的数量关系及等量代换易证是的角平分线，则根据角平分线的性质得到，进而证明，结合相似三角形对应角的性质即可求证；
（3）①过点作交于点，点是上一动点，交于点，先证明，则，利用勾股定理和三角函数得到OH、OC的长度，设，则，根据线段间的数量关系列出方程：，解此方程即可求解；
②根据已知条件得到：，则要使的面积与的面积差最大，必须使和最大，当点与点重合时，最大，最大，根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质得到：，进而求得，即可求出.
1 / 12024年浙江省中考数学适应性二模练习试题
1．（2024九下·浙江模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：0-2024=-2024
故答案为：D.
【分析】互为相反数的两个数之和为0.
2．（2024九下·浙江模拟）如图是由个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】 解：从上面看，图形有2行，第一行有2个正方形，左下方有1个正方体，
故选：B.
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，结合图形，即可求解.
3．（2024九下·浙江模拟）2023年“亚运双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共接待游客约13000000人次，将数据13000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：13000000 =
故答案为：B.
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字从左往右数第一个数后面整数的位数.
4．（2024九下·浙江模拟）某校举行了趣味数学竞赛，某班学生的成绩统计如下表：
成绩（分） 60 70 80 90 100
人数 5 15 9 6 5
则该班学生成绩的众数和中位数分别是（　　）
A．70分，80分 B．70分，75分 C．60分，80分 D．70分，85分
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解： 由统计表中的信息可知，70分出现15次，是出现次数最多的数据，所以众数为70分；
由于一共调查了人，
所以中位数为第20、21个数据的平均数，即中位数为（分，
故答案为：B.
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；根据定义并结合题意可求解.
5．（2024九下·浙江模拟）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜的折射后，折射光线交于主光轴MN上一点．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ABP+∠BPM=180°，∠CDP+∠DPM=180°，
∵，
∴∴∠MPB=30°，∠MPD=10°，
∴，
故答案为：C．
【分析】先由两直线平行，同旁内角互补得到，再根据j角的和差与对顶角的性质求解即可.
6．（2024九下·浙江模拟）若点、、、分别在反比例函数的图象上，则下列值最小的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点、、、分别在反比例函数的图象上，
∴，，，，
∴；
∴函数值最小的是；
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征分别求出四个点的纵坐标，再比较即可得到答案.
7．（2024九下·浙江模拟）小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：把自主阅读记作A、把体育活动记作B、把科普活动记作C，列树状图如下：
观察可得，共有9中等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有1种，故小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为 .
【分析】把自主阅读记作A、把体育活动记作B、把科普活动记作C，列树状图表示出所有可能的结果性以及小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果数，再利用概率公式即可得到答案.
8．（2024九下·浙江模拟）年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（　　）
A．10 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
①－②×2得：y=60－26×2=8.
把y=8代入②，可得x=18.
故1艘大船可以满载游客的人数为人，1艘小船可以满载游客的人数为8人，
故答案为：C
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意可得等量关系：2艘大船可载的人数+3艘小船可载的人数＝，1艘大船可载的人数＋1艘小船可载的人数＝．据此列出二元一次方程组并求解即可．
9．（2024九下·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵是O的切线，
∴，
∴在Rt△PQO中，，
∵当时，线段OP最短，OQ=2，
∴当时，线段PQ最短，
∵、，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短．
10．（2024九下·浙江模拟）如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点P，若，则线段的长等于（　　）
A．22 B．20 C．18 D．16
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
11．（2024九下·浙江模拟）因式分解： 　 　.
【答案】3（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： .
【分析】先提取公因式3，再根据平方差公式分解因式.
12．（2024九下·浙江模拟）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有5个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是　 　个．
【答案】20
【知识点】等可能事件的概率；概率的简单应用
【解析】【解答】
故答案为：20.
【分析】当实验的结果是有限多个且每种结果发生的可能性大小相同时，某事件的概率就等于事件包含的结果数与总结果数的比值，故摸到黑色棋子的概率=，不难求得棋子总数。
13．（2024九下·浙江模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是　 　米．
【答案】
【知识点】垂径定理的实际应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：连接交于，连接，
点为运行轨道的最低点，
，
（米，
在中，（米，
点到弦所在直线的距离米，
故答案为：．
【分析】连接交于，连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，最后根据线段间的数量关系即可求解．
14．（2024九下·浙江模拟）图1是一个地铁站人口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为　 　．
【答案】
【知识点】点到直线的距离；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示过作于，过作于，
则 中，，
同理可得，，
又点与之间的距离为，
通过闸机的物体的最大宽度为，
故答案为：76．
【分析】过作于，过作于，根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半求出和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
15．（2024九下·浙江模拟）如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中两个顶点在y轴正坐标轴上，一个顶点在x轴负半轴上，顶点D在反比例函数的图象上，若，则　 　
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴小正方形边长为2，
∴，，，
如图， 作轴，垂足为点E，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，，
同理，
，
即，
∴，
∴
∴，
∵点D在反比例函数图象上，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据三角形面积求出小正方形的边长，再利用，，求出点D的坐标，然后把D的坐标代入求出k值解题．
16．（2024九下·浙江模拟）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=12，AD=10，点E是CD的中点．将这张纸片依次折叠两次；如图2，第一次折叠纸片使点A与点E重合，折痕为MN，连接ME、NE；如图3，第二次折叠纸片使点N与点E重合，点B落在处，折痕为HG，连接HE，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知，，，，是线段的垂直平分线
∴，
∴
∴是的中点
∴是斜边上的中线
∴
∴
设，则
在中，由勾股定理得即
解得
∴
如图，作
∵
∴四边形是矩形
∵
∴
∴
∴即
解得
∴
∴
∴
故答案为：．
【分析】由折叠的得到，是的中点，是斜边上的中线，即可得到，设，则，在中，运用勾股定理得到，求出的长，再作，则四边形是矩形，得到，即可得到，求出的长，进而得到长，利用，得到的值，即可解题．
17．（2024九下·浙江模拟）（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】解：（1）计算：
=
=1．
（2）化简：
．
【知识点】分式的加减法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据实数的加减运算法则结合负整数指数幂和二次分式的性质，进行运算即可；
（2）首先把分式的分子、分母分解因式，约分后进行加减运算即可．
18．（2024九下·浙江模拟）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵∴
在△ABC和△DCE中
∴△ABC≌△DCE
（2）解：由（1）可得BC=CE=5
在直角三角形ACE中
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）运用AAS证明△ABC≌△DCE即可得到结论；
（2）运用勾股定理解题即可．
19．（2024九下·浙江模拟）宪法是国家的根本法，是治国安邦的总章程．学法辨是非、知法明荣辱、守法正社风、用法止纷争，弘扬并践行宪法精神是当代青少年的义务与担当．某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分100分）分为4个等级：A等级，B等级，C等级，D等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图：
（1）本次抽取的学生共有 ___________人，他们成绩的中位数落在 ___________等级；
（2）补全频数分布直方图，扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为 ___________；
（3）若竞赛成绩为优秀，估计全校1000名学生中成绩达到优秀的人数；
（4）九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法．请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）50；B
（2）补全直方图如下：
.
（3）解：（人），
答：估计全校1000名学生中成绩达到优秀的人数为320人；
（4）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果数为8，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．

【知识点】总体、个体、样本、样本容量；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次抽取的学生人数为（人），
成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，从扇形统计图看这两个数据落在B等级，所以他们成绩的中位数落在B等级；
故答案为：50；B；
（2）B等级人数为（人），A等级人数为（人），
∴可补全直方图如下：
扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为，
故答案为：；
【分析】（1）由C等级人数÷其所占百分比可得总人数，依据中位数的定义和在扇形统计图中的找法可得答案；
（2）用总人数×其所占百分比可求出B等级人数，进而可计算A等级的人数，即可补全图形，用360°乘以D等级人数所占比例即可得出答案；
（3）用总人数1000×样本中A等级人数所占比例即可估算出大概人数；
（4）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
20．（2024九下·浙江模拟）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图． 已知屋面的倾斜角为，真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米，水平横管的长度米．（参考数据：）
（1）求水平横管到水平线的距离．
（2）求真空管与屋面的长度差．
【答案】（1）解：过点B作BF⊥AD于点F，如图所示：
由题意可得，△ABF和△AED是直角三角形，四边形BFDC是矩形，
∴FD=BC=0.25，BF=CD.
在Rt△AED中，，设AD=x，
∴，.
在Rt中，，
∴4BF=3AF，
∴
解得：x=2.25
∴m，
故水平横管到水平线的距离为1.5米.
（2）解：∵在Rt中，，AD=2.25米，
米，
在Rt中，米，
米，
（米）
∴真空管与屋面的长度差为0.1米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作于F，设AD=x，在Rt中，由正切函数，则可得DE的长度，进而可表示出AF和BF的长.在Rt中，根据列方程，求出x的值，代入BF，即水平横管到水平线的距离．
（2）在Rt中，根据求出的长度，在Rt中，根据求出的长度，相减即可求出与的长度差.
21．（2024九下·浙江模拟）某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：
批发价（元） 零售价（元）
红色文化衫 25 45
蓝色文化衫 20 35
（1）学校购进红、蓝文化衫各几件？
（2）若学校再次购进红、蓝两种颜色的文化衫300件，其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的2倍，请设计一个方案：学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件，
依题意，得：，
解得，，
答：学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件
（2）解：设学校再次购进红文化衫件，蓝文化衫件， 则利润为 ，
∴，
由题意得，
解得，
∵ ， ，
∴随的增大而增大，
∴当时，最大利润元，
∴学校购进红色文化衫200件时获得最大利润，最大利润是5500元．
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，列方程组求解即可；
（2）利用利润公式求出， 再求出 随的增大而增大， 最后求解即可。
22．（2024九下·浙江模拟）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
（1）若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
（2）若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
【答案】（1）（1）①如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是
（2）解：的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴，
解得，
代入，得．
所以的最小值为
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)①由顶点A(2，2)得， 设 再根据抛物线过点(0，1.5)，可得a的值，从而解决问题；
②由对称轴知点(0，1.5)的对称点为(4，1.5)， 则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
③根据 求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案；
(2)当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，设点，，，代入解析式求出m，h值解题即可.
23．（2024九下·浙江模拟）【基础巩固】（1）如图1，已知于点，于点，是上一点，，，求证：；
【尝试应用】（2）如图2，已知，，点，分别在边和上，是上一点，且，，求的值；
【拓展提高】（3）如图3，已知，，点，分别在直线和直线上，是边上一点，且，，的两条直角边长之比为，直接写出此时的长度．
【答案】解：（1）∵，，
∴
∴
∵
∴；
（2）分别过点作，如图
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
即
∴，
设
∵
∴
∴
在和中
∴
∴
∴
∴
∴
∴；
（3）∵的两条直角边长之比为，
∴①当时，分别过点作，如图
与（2）同理，，
∴
∴
∵
∴
∴
设
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
②当，过点分别作的延长线上于点J，如图：
∵
∴
∴
即
∴
设
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴解得
则
∴
综上或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义和角之间的数量关系推出，进而利用"AAS"即可求证；
（2）分别过点作，利用勾股定理求出CF的长度，证明，根据相似三角形对应边的性质得出，，设，利用"AAS"证明，则，列式得出，即可作答．
（3）由题意可知需分两种情况讨论，①当，②当，然后作图，根据相似三角形的判定与性质，运用数形结合思想，列式计算，即可作答.
24．（2024九下·浙江模拟）如图，内接于圆，是的高线，，，，连接．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求证：；
（3）若点是上一动点，交于点．
①若与相似，求的长；
②当的面积与的面积差最大时，直接写出此时的长．
【答案】（1）证明：∵是的高线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）证明：连接，延长交于点，交于点，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：①过点作交于点，点是上一动点，交于点，如图：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
②∵，即，
∴，，
∴，
由题知，要使的面积与的面积差最大，必须使和最大，
∴当点与点重合时，最大，最大，如图：
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据三角形高线的定义和勾股定理求出AC的长度，然后根据正切函数的定义即可求出BD的长度，最后根据线段间的数量关系计算即可；
（2）连接，延长交于点，交于点，根据等腰三角形的性质和角之间的数量关系及等量代换易证是的角平分线，则根据角平分线的性质得到，进而证明，结合相似三角形对应角的性质即可求证；
（3）①过点作交于点，点是上一动点，交于点，先证明，则，利用勾股定理和三角函数得到OH、OC的长度，设，则，根据线段间的数量关系列出方程：，解此方程即可求解；
②根据已知条件得到：，则要使的面积与的面积差最大，必须使和最大，当点与点重合时，最大，最大，根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质得到：，进而求得，即可求出.
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