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2024年浙江省九年级中考数学最后一卷
1．（2024九下·浙江模拟）下列各数中最大的数是（　　）
A． B．0 C． D．
2．（2024九下·浙江模拟）下面计算正确的是（　　）
A．3a﹣2a＝1 B．2a2+4a2＝6a4
C．（x3）2＝x5 D．x8÷x2＝x6
3．（2024九下·浙江模拟）今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《·逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据80.16亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024九下·浙江模拟）下列立体图形中，主视图是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九下·浙江模拟）在数轴上表示不等式x﹣2≤0的解集，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2024九下·浙江模拟）随着自动驾驶技术的不断发展，某知名汽车制造公司近期对研发的自动驾驶汽车进行了一次大规模的路测，有45辆自动驾驶汽车参与了这次测试．测试结束后，技术部门对每辆汽车的性能进行评估（车辆的自动驾驶技术、安全性、反应速度等综合表现），得分如下：
得分（分） 75 80 85 90
车辆（辆） 5 16 14 10
得分的中位数和众数分别是（　　）
A．80，80 B．82.5，80 C．80，85 D．85，80
7．（2024九下·浙江模拟）如图，线段是的直径，于点，若，，则的长是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．（2024九下·浙江模拟）《九章算术》中曾记载：“今有牛五羊二，直金十两；牛二羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024九下·浙江模拟）二次函数的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在函数图象上，四边形为菱形，且，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九下·浙江模拟）如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点B的对应点为点F，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点D的对应点为点H，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（　　）．
A． B． C． D．
11．（2024九下·浙江模拟）因式分解： 　 　．
12．（2024九下·浙江模拟）实现中国梦，必须弘扬中国精神．在如图所示除正面图案不同外，其余无差别的四张不透明卡片上分别写有“红船精神”、“长征精神”、“延安精神”、“特区精神”，将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取一张，则所抽取卡片为“特区精神”的概率为　 　．
13．（2024九下·浙江模拟）若式子在实数范围内有意义，则x的值可以是　 　．（写出一个即可）
14．（2024九下·浙江模拟）如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看像一张拉满弦的弓，若弧长为米，“弓”所在圆的半径1.2米，则“弓”所对的圆心角的度数为　 　．
15．（2024九下·浙江模拟）如图，点为反比例函数的图象上一点，轴于点，点是轴正半轴上一点，连接，交轴于点，若，则的值为　 　．
16．（2024九下·浙江模拟）如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为　 　．
17．（2024九下·浙江模拟）计算或化简：
（1）；
（2）．
18．（2024九下·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）作关于y轴对称的；
（2）将绕原点顺时针旋转，得到，作出并求点C旋转到点所经过的路径长．
19．（2024九下·浙江模拟）2023年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓．引导学生爱该书．读好书，善读书，贵阳市某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书时间进行抽样调查．将调查结果的数据分成A、B、C、D、E五个等级并绘制成表格和扇形统计图如下．
等级 周平均读书时间t（单位：小时） 人数
A 4
B a
C 20
D 15
E 5
每个等级人数扇形统计图
（1）求统计图表中______，______．
（2）已知该校共有2800名学生，试估计该校每周读书时间至少3小时的人数为______．
（3）请写出一条你对读书的建议．
20．（2024九下·浙江模拟）我国是世界上最早发明历法的国家之一，《周礼》中记载：垒土为圭，立木为表，测日影，正地中，定四时，如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．
在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型，如图2，地面上放置一根长2米的杆，向正北方向画一条射线，在上取点，测得，．
（1）判断：这个模型中与是否垂直．答：______（填“是”或“否”）；你的理由是：______．
（2）利用这个圭表模型，测定某市冬至正午阳光与日影夹角，夏至正午阳光与日影夹角为，请求出这个模型中该市冬至与夏至的日影的长度差（结果保留根号）．
21．（2024九下·浙江模拟）如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A、C重合，AC与EF交于点H．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AB＝4，BC＝8，求△ABE的面积．
22．（2024九下·浙江模拟）我市某镇组织辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共吨到外地销售．按计划，辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，解答以下问题．
脐橙品种 A B C
每辆汽车运载量（吨）
每吨脐橙获利（元）
（1）设转运A种脐橙的车辆数为x，转运B种脐橙的车辆数为y，求y与x的函数表达式；
（2）如果转运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？
（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值．
23．（2024九下·浙江模拟）定义：平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．
（1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，，中，是矩形“梦之点”的是________；
（2）如图②，已知、是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点：
①求出，，三条线段的长度；
②判断的形状，并说明理由．
24．（2024九下·浙江模拟）如图，内接于圆，是的高线，，，，连接．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求证：；
（3）若点是上一动点，交于点．
①若与相似，求的长；
②当的面积与的面积差最大时，直接写出此时的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵-5＜0，-1＜0，，
∴最大的数是，
故答案为：D．
【分析】根据正数大于零，零大于负数，直接比较即可.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵3a﹣2a＝a，故A错误，不符合题意；
B、∵2a2+4a2＝6a2，故B错误，不符合题意；
C、∵（x3）2＝x6，故C错误，不符合题意；
D、∵x8÷x2＝x6，故D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】A、合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数都不变，所以3a﹣2a＝a≠1，故A错误，不符合题意；
B、合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数都不变，所以2a2+4a2＝6a2≠6a4，故B错误，不符合题意；
C、幂的乘方，底数不变，指数相乘，所以（x3）2＝x6≠x5，故C错误，不符合题意；
D、同底数幂的除法，底数不变，指数相减，所以x8÷x2＝x6，故D正确，符合题意.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：80.16亿=80.16×108=，
故答案为：B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A.主视图为长方形，此项不符合题意；
B.主视图为三角形，此项符合题意；
C.主视图为圆，此项不符合题意；
D.主视图为长方形，此项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据从前面看到的几何图形逐项判断解题．
5．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式x﹣2≤0，得： ，
把不等式的解集在数轴上表示出来为：
．
故答案为：C
【分析】先解不等式，求出解集，然后由用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”据此表示出来即可.
6．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：有45辆自动驾驶汽车参与了这次测试，45个分数，按大小顺序排列最中间的数据是第23个数：85，
故得分的中位数是85（分），
得80分的人数最多，有16人，故众数为80.
故答案为：D．
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
线段是的直径，于点，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理的应用．连接，根据垂径定理可得：，代入数据可求出，再根据勾股定理求出，再利用线段的运算可得：，代入数据可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为，
故答案为：A．
【分析】设每头牛、每只羊分别值金x两、y两，根据单价乘以数量等于总价，由“5头牛，2只羊，值金10两”列出方程5x+2y=10，由“2头牛，5只羊，值金8两”列出方程2x+5y=8，联立两方程即可.
9．【答案】B
【知识点】菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接交于D，如图，
四边形为菱形，
，
，
，
，
设，则，
，
把代入，
得，
解得（舍去），
，
，，
故C点坐标为：．
故答案为：B．
【分析】本题考查菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征．连接交于D，如图，根据菱形的性质得，，利用含30度的直角三角形三边的关系得，设，则，，利用二次函数图象上点的坐标特征：把把代入，可得，解方程可求出t的值，据此可求出，，再根据菱形的性质得出C点坐标．
10．【答案】C
【知识点】解分式方程；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似多边形
【解析】【解答】解：在矩形中，设，
则，，
由翻折得，
四边形是正方形，
同理，四边形是正方形，
，
，
矩形矩形，
，即，
解得：（负值舍去），
经检验，是原方程的解，
故选：C．
【分析】本题考查矩形的性质、翻折的性质及相似多边形性质，设，利用矩形的性质可得
，，利用翻折的性质可得，据此可证明四边形是正方形，四边形是正方形，利用正方形的性质可得，利用线段的运算可得：，利用相似三角形的性质可得：， 解方程可求出x的值，据此可求出CD的长度.
11．【答案】a（a+2）（a-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=a（a+2）（a-2）.
故答案为a（a+2）（a-2）.
【分析】根据因式分解的提公因式法和公式法中的平方差公式即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】概率的意义；等可能事件的概率
13．【答案】0（答案不唯一）
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
解得．
∴x的值可以是0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此可列出不等式，解不等式可求出x的取值范围，据此可求出x的值，求出答案.
14．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 设“弓”所在的圆的弧长圆心角度数是，
则，
解得：，
故答案为：．
【分析】本题考查弧长公式.设“弓”所在的圆的弧长圆心角度数是，利用弧长公式可列出方程，解方程可求出n的值，求出答案.
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解：轴于点，轴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
过点作轴，
则四边形是矩形，
∴
∵反比例函数图象在第二象限，
，
故答案为：.
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，过A点向y轴作垂线，交y轴与M.k的绝对值的几何意义就是矩形ABOM的面积，先证ABCD是平行四边形，从而说明四边形ABCD的面积等于矩形ABOM的面积，再考虑图像在第二象限，所以k值为分“-”问题得到解决。
16．【答案】、、
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；圆与四边形的综合
【解析】【解答】设的半径为，当经过的中点，即经过的中点，
∴，
当经过的中点，则，
∴，，
在中，
∴
解得：（负值舍去）
当经过的中点，即经过的中点，设的中点为，
∴
∴
解得：
综上所述，半径为、、
故答案为：、、．
【分析】
本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，圆的定义；分三种情况讨论：①当经过的中点，；②当经过的中点，，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出r；③经过的中点，如图在Rt△AOM中，利用勾股定理求出r.
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
【知识点】整式的混合运算；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用零指数幂性质“a0=1(a≠0)”、绝对值的代数意义以及负整数指数幂性质“”分别计算，再计算有理数的加减法运算即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式分别展开，再合并同类项即可．
18．【答案】（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求，
由题意可知，，
∴点C旋转到点所经过的路径长．
【知识点】弧长的计算；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】本题考查作图-轴对称变换，旋转变换，以及求弧长；
（1）根据点关于轴对称的性质分别找到对应的点，，，再进行连接可作出； ；
（2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接可作出， ，利用勾股定理可求出OC得长度，再利用弧长公式求得点经过的路径长．
（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求，
由题意可知，，
∴点C旋转到点所经过的路径长．
19．【答案】（1）6，40
（2）1120
（3）根据表格可建议：全校学生一周内平均读书时间．
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由等级D得到学生总数人，
∴，
，，
故答案为：6，40．
（2）人，
故该校2800名学生每周读书时间至少3小时的人数为1120人．
故答案为：1120．
【分析】本题考查扇形统计图，样本估计总体．
（1）l利用D等级除以所占的比例可求出学生总数，利用总人数可求出其它几组的人数可求出a，据此可求出C等级的占比为，再进行计算可求出m的值；
（2）先求出该校每周读书时间至少3小时的比例，再乘以2800，可求出对应的人数；
（3）根据表格可得：全校学生一周内平均读书时间．
（1）解：由等级D得到学生总数人，
∴，
，，
故答案为：6，40．
（2）人，
故该校2800名学生每周读书时间至少3小时的人数为1120人．
故答案为：1120．
（3）根据表格可建议：全校学生一周内平均读书时间．
20．【答案】（1）是；，由勾股定理的逆定理可知．
（2）解：如图，由题意可得：，，，，
∴
∴，
同理：
∴
∴该市冬至与夏至的日影的长度差为．
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】（1）解：是，理由：
由测量结果可知得，，而，
∵，
∴
∴，
∴．
故答案为：是；，由勾股定理的逆定理可知；
【分析】（1）在△ABD中，满足，利用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）先画图，利用∠AEB与∠AFB的正切三角函数及特殊锐角三角函数值求BE和BF，从而根据EF=BF-BE计算可得答案．
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD矩形，
∴ADBC，
∴∠AFE=∠FEC，
由折叠的性质得：∠AEF=∠FEC，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF．
（2）解：根据折叠的性质可得AE=EC，设BE=x，则AE=EC=8-x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：x=3，
∴BE=3，
∴AB BE=×4×3=6．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】本题考查折叠问题以及矩形的性质的运用.（1）根据矩形的性质可得：ADBC，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等，据此可得∠AFE=∠FEC，再根据折叠的性质可得：∠AFE=∠AEF，根据等角对等边可得：AE=AF．
（2）设BE=x，则AE=EC=8-x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得方程，解方程可求出x的值，据此可求出BE的长，再根据三角形面积计算公式进行计算可求出答案．
（1）证明：∵四边形ABCD矩形，
∴ADBC，
∴∠AFE=∠FEC，
由折叠的性质得：∠AEF=∠FEC，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF．
（2）解：根据折叠的性质可得AE=EC，
设BE=x，则AE=EC=8-x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：x=3，
∴BE=3，
∴AB BE=×4×3=6．
22．【答案】（1）根据题意，装运A种水果的车辆数为x，装运B种水果的车辆数为y，∴装运C种水果的车辆数为，
∴，
整理得．
（2）由（1）知，装运A，B，C三种水果的车辆数分别为x，，x，由题意得，
解得，
∵，
∴．
∵x为整数，
∴x的值为，，，，，
∴安排方案共有种．
（3）设利润为W元，∴
，
因为，且x的值为，，，，，
∴W的值随x的增大而减小，
∴当时，销售利润最大．
当装运A种水果4车，B种水果12车，C种水果4车，销售获利最大．
最大利润（元）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】本题考查利用一次函数的模型解决实际问题.（1）根据，装运A种水果的车辆数为x，装运B种水果的车辆数为y，可得装运C种水果的车辆数为，据此可列出式子：，整理后即可得到，可求出答案；
（2）根据装运每种水果的车辆数都不少于4辆，，，解不等式组可得：．再根据x为整数，据此可求出x的值，求出方案的个数.
（3）设利润为W元，则，根据，且x的值为，，，，，利用一次函数的增减性可得：当时，销售利润最大，再进行计算可求出最大利润，求出答案.
（1）根据题意，装运A种水果的车辆数为x，装运B种水果的车辆数为y，
∴装运C种水果的车辆数为，
∴，
整理得．
（2）由（1）知，装运A，B，C三种水果的车辆数分别为x，，x，
由题意得，
解得，
∵，
∴．
∵x为整数，
∴x的值为，，，，，
∴安排方案共有种．
（3）设利润为W元，
∴
，
因为，且x的值为，，，，，
∴W的值随x的增大而减小，
∴当时，销售利润最大．
当装运A种水果4车，B种水果12车，C种水果4车，销售获利最大．
最大利润（元）．
23．【答案】（1），，
（2）解：①、是抛物线上的“梦之点”，∴，
解得：，
当时，，当时，，
∴，
∵，
∴顶点坐标为，
∴，
，
；
②是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，，
∴矩形的“梦之点”满足，
∴点，，是矩形的“梦之点”，不是矩形的“梦之点”．
故答案为：，，
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、勾股定理，勾股定理逆定理.（1）根据矩形的顶点坐标分别是，，，，据此可得矩形的“梦之点”满足，进而可判断这几个点是否在矩形的内部或者边上，据此可求出答案；
（2）①根据、是抛物线上的“梦之点”，利用“梦之点”的定义可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出，A，B的坐标，再求出顶点C坐标，利用两点间的距离公式可计算出，，的长；
②根据勾股定理逆定理可得：，据此可判断三角形的形状.
（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，，
∴矩形的“梦之点”满足，
∴点，，是矩形的“梦之点”，不是矩形的“梦之点”．
故答案为：，，
（2）解：①、是抛物线上的“梦之点”，
∴，
解得：，
当时，，当时，，
∴，
∵，
∴顶点坐标为，
∴，
，
；
②是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
24．【答案】（1）证明：∵是的高线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）证明：连接，延长交于点，交于点，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：①过点作交于点，点是上一动点，交于点，如图：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
②∵，即，
∴，，
∴，
由题知，要使的面积与的面积差最大，必须使和最大，
∴当点与点重合时，最大，最大，如图：
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据三角形高线的定义和勾股定理求出AC的长度，然后根据正切函数的定义即可求出BD的长度，最后根据线段间的数量关系计算即可；
（2）连接，延长交于点，交于点，根据等腰三角形的性质和角之间的数量关系及等量代换易证是的角平分线，则根据角平分线的性质得到，进而证明，结合相似三角形对应角的性质即可求证；
（3）①过点作交于点，点是上一动点，交于点，先证明，则，利用勾股定理和三角函数得到OH、OC的长度，设，则，根据线段间的数量关系列出方程：，解此方程即可求解；
②根据已知条件得到：，则要使的面积与的面积差最大，必须使和最大，当点与点重合时，最大，最大，根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质得到：，进而求得，即可求出.
1 / 12024年浙江省九年级中考数学最后一卷
1．（2024九下·浙江模拟）下列各数中最大的数是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵-5＜0，-1＜0，，
∴最大的数是，
故答案为：D．
【分析】根据正数大于零，零大于负数，直接比较即可.
2．（2024九下·浙江模拟）下面计算正确的是（　　）
A．3a﹣2a＝1 B．2a2+4a2＝6a4
C．（x3）2＝x5 D．x8÷x2＝x6
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵3a﹣2a＝a，故A错误，不符合题意；
B、∵2a2+4a2＝6a2，故B错误，不符合题意；
C、∵（x3）2＝x6，故C错误，不符合题意；
D、∵x8÷x2＝x6，故D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】A、合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数都不变，所以3a﹣2a＝a≠1，故A错误，不符合题意；
B、合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数都不变，所以2a2+4a2＝6a2≠6a4，故B错误，不符合题意；
C、幂的乘方，底数不变，指数相乘，所以（x3）2＝x6≠x5，故C错误，不符合题意；
D、同底数幂的除法，底数不变，指数相减，所以x8÷x2＝x6，故D正确，符合题意.
3．（2024九下·浙江模拟）今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《·逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据80.16亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：80.16亿=80.16×108=，
故答案为：B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．（2024九下·浙江模拟）下列立体图形中，主视图是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A.主视图为长方形，此项不符合题意；
B.主视图为三角形，此项符合题意；
C.主视图为圆，此项不符合题意；
D.主视图为长方形，此项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据从前面看到的几何图形逐项判断解题．
5．（2024九下·浙江模拟）在数轴上表示不等式x﹣2≤0的解集，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式x﹣2≤0，得： ，
把不等式的解集在数轴上表示出来为：
．
故答案为：C
【分析】先解不等式，求出解集，然后由用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”据此表示出来即可.
6．（2024九下·浙江模拟）随着自动驾驶技术的不断发展，某知名汽车制造公司近期对研发的自动驾驶汽车进行了一次大规模的路测，有45辆自动驾驶汽车参与了这次测试．测试结束后，技术部门对每辆汽车的性能进行评估（车辆的自动驾驶技术、安全性、反应速度等综合表现），得分如下：
得分（分） 75 80 85 90
车辆（辆） 5 16 14 10
得分的中位数和众数分别是（　　）
A．80，80 B．82.5，80 C．80，85 D．85，80
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：有45辆自动驾驶汽车参与了这次测试，45个分数，按大小顺序排列最中间的数据是第23个数：85，
故得分的中位数是85（分），
得80分的人数最多，有16人，故众数为80.
故答案为：D．
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
7．（2024九下·浙江模拟）如图，线段是的直径，于点，若，，则的长是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
线段是的直径，于点，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理的应用．连接，根据垂径定理可得：，代入数据可求出，再根据勾股定理求出，再利用线段的运算可得：，代入数据可求出答案.
8．（2024九下·浙江模拟）《九章算术》中曾记载：“今有牛五羊二，直金十两；牛二羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为，
故答案为：A．
【分析】设每头牛、每只羊分别值金x两、y两，根据单价乘以数量等于总价，由“5头牛，2只羊，值金10两”列出方程5x+2y=10，由“2头牛，5只羊，值金8两”列出方程2x+5y=8，联立两方程即可.
9．（2024九下·浙江模拟）二次函数的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在函数图象上，四边形为菱形，且，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接交于D，如图，
四边形为菱形，
，
，
，
，
设，则，
，
把代入，
得，
解得（舍去），
，
，，
故C点坐标为：．
故答案为：B．
【分析】本题考查菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征．连接交于D，如图，根据菱形的性质得，，利用含30度的直角三角形三边的关系得，设，则，，利用二次函数图象上点的坐标特征：把把代入，可得，解方程可求出t的值，据此可求出，，再根据菱形的性质得出C点坐标．
10．（2024九下·浙江模拟）如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点B的对应点为点F，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点D的对应点为点H，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解分式方程；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似多边形
【解析】【解答】解：在矩形中，设，
则，，
由翻折得，
四边形是正方形，
同理，四边形是正方形，
，
，
矩形矩形，
，即，
解得：（负值舍去），
经检验，是原方程的解，
故选：C．
【分析】本题考查矩形的性质、翻折的性质及相似多边形性质，设，利用矩形的性质可得
，，利用翻折的性质可得，据此可证明四边形是正方形，四边形是正方形，利用正方形的性质可得，利用线段的运算可得：，利用相似三角形的性质可得：， 解方程可求出x的值，据此可求出CD的长度.
11．（2024九下·浙江模拟）因式分解： 　 　．
【答案】a（a+2）（a-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=a（a+2）（a-2）.
故答案为a（a+2）（a-2）.
【分析】根据因式分解的提公因式法和公式法中的平方差公式即可得出答案.
12．（2024九下·浙江模拟）实现中国梦，必须弘扬中国精神．在如图所示除正面图案不同外，其余无差别的四张不透明卡片上分别写有“红船精神”、“长征精神”、“延安精神”、“特区精神”，将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取一张，则所抽取卡片为“特区精神”的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率的意义；等可能事件的概率
13．（2024九下·浙江模拟）若式子在实数范围内有意义，则x的值可以是　 　．（写出一个即可）
【答案】0（答案不唯一）
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
解得．
∴x的值可以是0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此可列出不等式，解不等式可求出x的取值范围，据此可求出x的值，求出答案.
14．（2024九下·浙江模拟）如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看像一张拉满弦的弓，若弧长为米，“弓”所在圆的半径1.2米，则“弓”所对的圆心角的度数为　 　．
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 设“弓”所在的圆的弧长圆心角度数是，
则，
解得：，
故答案为：．
【分析】本题考查弧长公式.设“弓”所在的圆的弧长圆心角度数是，利用弧长公式可列出方程，解方程可求出n的值，求出答案.
15．（2024九下·浙江模拟）如图，点为反比例函数的图象上一点，轴于点，点是轴正半轴上一点，连接，交轴于点，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解：轴于点，轴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
过点作轴，
则四边形是矩形，
∴
∵反比例函数图象在第二象限，
，
故答案为：.
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，过A点向y轴作垂线，交y轴与M.k的绝对值的几何意义就是矩形ABOM的面积，先证ABCD是平行四边形，从而说明四边形ABCD的面积等于矩形ABOM的面积，再考虑图像在第二象限，所以k值为分“-”问题得到解决。
16．（2024九下·浙江模拟）如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为　 　．
【答案】、、
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；圆与四边形的综合
【解析】【解答】设的半径为，当经过的中点，即经过的中点，
∴，
当经过的中点，则，
∴，，
在中，
∴
解得：（负值舍去）
当经过的中点，即经过的中点，设的中点为，
∴
∴
解得：
综上所述，半径为、、
故答案为：、、．
【分析】
本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，圆的定义；分三种情况讨论：①当经过的中点，；②当经过的中点，，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出r；③经过的中点，如图在Rt△AOM中，利用勾股定理求出r.
17．（2024九下·浙江模拟）计算或化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
【知识点】整式的混合运算；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用零指数幂性质“a0=1(a≠0)”、绝对值的代数意义以及负整数指数幂性质“”分别计算，再计算有理数的加减法运算即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式分别展开，再合并同类项即可．
18．（2024九下·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）作关于y轴对称的；
（2）将绕原点顺时针旋转，得到，作出并求点C旋转到点所经过的路径长．
【答案】（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求，
由题意可知，，
∴点C旋转到点所经过的路径长．
【知识点】弧长的计算；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】本题考查作图-轴对称变换，旋转变换，以及求弧长；
（1）根据点关于轴对称的性质分别找到对应的点，，，再进行连接可作出； ；
（2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接可作出， ，利用勾股定理可求出OC得长度，再利用弧长公式求得点经过的路径长．
（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求，
由题意可知，，
∴点C旋转到点所经过的路径长．
19．（2024九下·浙江模拟）2023年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓．引导学生爱该书．读好书，善读书，贵阳市某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书时间进行抽样调查．将调查结果的数据分成A、B、C、D、E五个等级并绘制成表格和扇形统计图如下．
等级 周平均读书时间t（单位：小时） 人数
A 4
B a
C 20
D 15
E 5
每个等级人数扇形统计图
（1）求统计图表中______，______．
（2）已知该校共有2800名学生，试估计该校每周读书时间至少3小时的人数为______．
（3）请写出一条你对读书的建议．
【答案】（1）6，40
（2）1120
（3）根据表格可建议：全校学生一周内平均读书时间．
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由等级D得到学生总数人，
∴，
，，
故答案为：6，40．
（2）人，
故该校2800名学生每周读书时间至少3小时的人数为1120人．
故答案为：1120．
【分析】本题考查扇形统计图，样本估计总体．
（1）l利用D等级除以所占的比例可求出学生总数，利用总人数可求出其它几组的人数可求出a，据此可求出C等级的占比为，再进行计算可求出m的值；
（2）先求出该校每周读书时间至少3小时的比例，再乘以2800，可求出对应的人数；
（3）根据表格可得：全校学生一周内平均读书时间．
（1）解：由等级D得到学生总数人，
∴，
，，
故答案为：6，40．
（2）人，
故该校2800名学生每周读书时间至少3小时的人数为1120人．
故答案为：1120．
（3）根据表格可建议：全校学生一周内平均读书时间．
20．（2024九下·浙江模拟）我国是世界上最早发明历法的国家之一，《周礼》中记载：垒土为圭，立木为表，测日影，正地中，定四时，如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．
在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型，如图2，地面上放置一根长2米的杆，向正北方向画一条射线，在上取点，测得，．
（1）判断：这个模型中与是否垂直．答：______（填“是”或“否”）；你的理由是：______．
（2）利用这个圭表模型，测定某市冬至正午阳光与日影夹角，夏至正午阳光与日影夹角为，请求出这个模型中该市冬至与夏至的日影的长度差（结果保留根号）．
【答案】（1）是；，由勾股定理的逆定理可知．
（2）解：如图，由题意可得：，，，，
∴
∴，
同理：
∴
∴该市冬至与夏至的日影的长度差为．
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】（1）解：是，理由：
由测量结果可知得，，而，
∵，
∴
∴，
∴．
故答案为：是；，由勾股定理的逆定理可知；
【分析】（1）在△ABD中，满足，利用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）先画图，利用∠AEB与∠AFB的正切三角函数及特殊锐角三角函数值求BE和BF，从而根据EF=BF-BE计算可得答案．
21．（2024九下·浙江模拟）如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A、C重合，AC与EF交于点H．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AB＝4，BC＝8，求△ABE的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD矩形，
∴ADBC，
∴∠AFE=∠FEC，
由折叠的性质得：∠AEF=∠FEC，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF．
（2）解：根据折叠的性质可得AE=EC，设BE=x，则AE=EC=8-x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：x=3，
∴BE=3，
∴AB BE=×4×3=6．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】本题考查折叠问题以及矩形的性质的运用.（1）根据矩形的性质可得：ADBC，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等，据此可得∠AFE=∠FEC，再根据折叠的性质可得：∠AFE=∠AEF，根据等角对等边可得：AE=AF．
（2）设BE=x，则AE=EC=8-x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得方程，解方程可求出x的值，据此可求出BE的长，再根据三角形面积计算公式进行计算可求出答案．
（1）证明：∵四边形ABCD矩形，
∴ADBC，
∴∠AFE=∠FEC，
由折叠的性质得：∠AEF=∠FEC，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF．
（2）解：根据折叠的性质可得AE=EC，
设BE=x，则AE=EC=8-x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：x=3，
∴BE=3，
∴AB BE=×4×3=6．
22．（2024九下·浙江模拟）我市某镇组织辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共吨到外地销售．按计划，辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，解答以下问题．
脐橙品种 A B C
每辆汽车运载量（吨）
每吨脐橙获利（元）
（1）设转运A种脐橙的车辆数为x，转运B种脐橙的车辆数为y，求y与x的函数表达式；
（2）如果转运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？
（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值．
【答案】（1）根据题意，装运A种水果的车辆数为x，装运B种水果的车辆数为y，∴装运C种水果的车辆数为，
∴，
整理得．
（2）由（1）知，装运A，B，C三种水果的车辆数分别为x，，x，由题意得，
解得，
∵，
∴．
∵x为整数，
∴x的值为，，，，，
∴安排方案共有种．
（3）设利润为W元，∴
，
因为，且x的值为，，，，，
∴W的值随x的增大而减小，
∴当时，销售利润最大．
当装运A种水果4车，B种水果12车，C种水果4车，销售获利最大．
最大利润（元）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】本题考查利用一次函数的模型解决实际问题.（1）根据，装运A种水果的车辆数为x，装运B种水果的车辆数为y，可得装运C种水果的车辆数为，据此可列出式子：，整理后即可得到，可求出答案；
（2）根据装运每种水果的车辆数都不少于4辆，，，解不等式组可得：．再根据x为整数，据此可求出x的值，求出方案的个数.
（3）设利润为W元，则，根据，且x的值为，，，，，利用一次函数的增减性可得：当时，销售利润最大，再进行计算可求出最大利润，求出答案.
（1）根据题意，装运A种水果的车辆数为x，装运B种水果的车辆数为y，
∴装运C种水果的车辆数为，
∴，
整理得．
（2）由（1）知，装运A，B，C三种水果的车辆数分别为x，，x，
由题意得，
解得，
∵，
∴．
∵x为整数，
∴x的值为，，，，，
∴安排方案共有种．
（3）设利润为W元，
∴
，
因为，且x的值为，，，，，
∴W的值随x的增大而减小，
∴当时，销售利润最大．
当装运A种水果4车，B种水果12车，C种水果4车，销售获利最大．
最大利润（元）．
23．（2024九下·浙江模拟）定义：平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．
（1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，，中，是矩形“梦之点”的是________；
（2）如图②，已知、是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点：
①求出，，三条线段的长度；
②判断的形状，并说明理由．
【答案】（1），，
（2）解：①、是抛物线上的“梦之点”，∴，
解得：，
当时，，当时，，
∴，
∵，
∴顶点坐标为，
∴，
，
；
②是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，，
∴矩形的“梦之点”满足，
∴点，，是矩形的“梦之点”，不是矩形的“梦之点”．
故答案为：，，
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、勾股定理，勾股定理逆定理.（1）根据矩形的顶点坐标分别是，，，，据此可得矩形的“梦之点”满足，进而可判断这几个点是否在矩形的内部或者边上，据此可求出答案；
（2）①根据、是抛物线上的“梦之点”，利用“梦之点”的定义可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出，A，B的坐标，再求出顶点C坐标，利用两点间的距离公式可计算出，，的长；
②根据勾股定理逆定理可得：，据此可判断三角形的形状.
（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，，
∴矩形的“梦之点”满足，
∴点，，是矩形的“梦之点”，不是矩形的“梦之点”．
故答案为：，，
（2）解：①、是抛物线上的“梦之点”，
∴，
解得：，
当时，，当时，，
∴，
∵，
∴顶点坐标为，
∴，
，
；
②是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
24．（2024九下·浙江模拟）如图，内接于圆，是的高线，，，，连接．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求证：；
（3）若点是上一动点，交于点．
①若与相似，求的长；
②当的面积与的面积差最大时，直接写出此时的长．
【答案】（1）证明：∵是的高线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）证明：连接，延长交于点，交于点，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：①过点作交于点，点是上一动点，交于点，如图：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
②∵，即，
∴，，
∴，
由题知，要使的面积与的面积差最大，必须使和最大，
∴当点与点重合时，最大，最大，如图：
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据三角形高线的定义和勾股定理求出AC的长度，然后根据正切函数的定义即可求出BD的长度，最后根据线段间的数量关系计算即可；
（2）连接，延长交于点，交于点，根据等腰三角形的性质和角之间的数量关系及等量代换易证是的角平分线，则根据角平分线的性质得到，进而证明，结合相似三角形对应角的性质即可求证；
（3）①过点作交于点，点是上一动点，交于点，先证明，则，利用勾股定理和三角函数得到OH、OC的长度，设，则，根据线段间的数量关系列出方程：，解此方程即可求解；
②根据已知条件得到：，则要使的面积与的面积差最大，必须使和最大，当点与点重合时，最大，最大，根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质得到：，进而求得，即可求出.
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