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2024-2025学年第二学期山东省济南市八年级期末数学模拟试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．）
中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，
下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
4．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB//DC，AD//BC B．AB=DC，AD=BC
C．AO=CO，BO=DO D．AB//DC，AD=BC
如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到相应的△ADE，若点D恰在线段BC的延长线上，
则下列选项中错误的是（ ）
A．∠BAD＝∠CAE B．∠CDE＝90° C．∠ABC＝45° D．∠ACB＝120°
6．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．不变 D．缩小3倍
7. 如图，是内一点，，，，，
若、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（ ）

A． B． C． D．
8．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
如图，四边形是菱形，按以下步骤作图：
①以顶点为圆心，长为半径作弧，交于点；
②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，
连接，若，菱形的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
如图，矩形的面积为，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形，
对角线交于点，以，为邻边作平行四边形，…
以此类推，平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
11．分解因式： ．
12．将边长相等的正五边形和正八边形按照如图所示的方式放置，则 °．
13．代数式与代数式的值相等，则x ＝ ．
如图，点，，在同一条直线上，正方形，的边长分别为，，
为线段的中点，则图中阴影部分的面积是 ．

正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过点A作AE的垂线交DE于点P，
若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：
①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；③S正方形ABCD＝1＋．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.解不等式（组）：，并求出它的所有整数解的和．
17．(1)分解因式：3a3－6a2＋3a；
(2)先化简，再求值：其中a＝5．
18．在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接DE、BF，求证：DE＝BF．
19．解分式方程：
(1)； (2)．
如图，已知A，B，C是平面直角坐标系上的三个点．

请画出关于原点O对称的；
将向右平移8个单位得到，请画出；
与是否也关于某个点成中心对称？如果是，请写出它们对称中心的坐标，
如果不是，请说明理由．
如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；
同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，
连接、，设点P、Q运动的时间为．
(1)当t为何值时，四边形是矩形；
(2)当t为何值时，四边形是菱形．
端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．
根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，
节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．
根据以上信息，解答下列问题：
该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，
并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，
那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，
这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，
然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？
【数学模型】
如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小．
解决方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．
此时，的值最小，且．
【模型应用】
问题1．如图2，在正方形中，，点E在边上，且，
点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ．
问题2．如图3，在平面直角坐标系中，点，点．
（1）请在x轴上确定一点P，使的值最小，求出点P的坐标；
（2）请直接写出的最小值．
【模型迁移】
问题3．如图4，在菱形中，对角线相交于点O，，．点P和点E分别为上的动点，求的最小值．
24．如图，已知直线经过，两点．
（1）求直线的解析式；
（2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转得到CD，此时点D恰好落在直线AB上
①求点C和点D的坐标；
②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标，否则说明理由．

25．在正方形ABCD中，点P是CD边上点，点E在AP的延长线上，
将线段AE绕点A顺时针旋转90°，到线段AF，连接DE
（1）如图1，连接BF，求证：BF＝DE；
（2）如图2，若EF正好经过点B，
①求证：DE⊥EF；
②探究BE、BF、BA三条线段的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，当EF经过点C时，若CF＝4，CE＝2，请直接写出此时正方形边的长度）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024-2025学年第二学期山东省济南市八年级期末数学模拟试题解答
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．）
中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，
下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
2．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质．解题的关键是要注意不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：A．∵，∴，故此选项不符合题意；
B．∵，∴，故此选项不符合题意；
C．∵，∴，故此选项不符合题意；
D．∵，∴，故此选项符合题意．
故选：D．
下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了完全平方公式分解因式，熟知是解题的关键．
【详解】解：A、，能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
B、不能用完全平方公式分解因式，符合题意；
C、，能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
D、，能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
故选：B．
4．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB//DC，AD//BC B．AB=DC，AD=BC
C．AO=CO，BO=DO D．AB//DC，AD=BC
【答案】D
【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．
故选D．
如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到相应的△ADE，若点D恰在线段BC的延长线上，
则下列选项中错误的是（ ）
A．∠BAD＝∠CAE B．∠CDE＝90° C．∠ABC＝45° D．∠ACB＝120°
【答案】D
【分析】根据旋转的性质及等腰三角形的性质逐一判断即可得出答案．
【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到相应的△ADE，
，
，
∴，
∴A，B，C选项正确．
而∠ACB＝120°推不出来，
故选：D．
6．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．不变 D．缩小3倍
【答案】D
【分析】把x，y都扩大3倍后分别变为3x，3y，然后再代入分式中进行化简计算，即可判断．
【详解】解：把x，y都扩大3倍后分别变为3x，3y，
那么分式的值=，
所以，如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值缩小3倍．
故选：D．
7. 如图，是内一点，，，，，
若、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出，，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵、、、分别是的中点，
∴，，
∴四边形的周长，
又∵，
∴四边形的周长，
故选：C．
8．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式组无解得出，再求出a的取值范围即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵不等式组无解，
∴，
∴，
故选：D．
如图，四边形是菱形，按以下步骤作图：
①以顶点为圆心，长为半径作弧，交于点；
②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，
连接，若，菱形的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查尺规作图作高线、菱形性质及面积公式以及三角函数，解题的关键是过点作交于点，根据矩形的判定和性质，则四边形是矩形，则，；根据菱形的性质，则，根据，求出，；根据勾股定理求出，推出，根据，即可．
【详解】由作图可知，，，，
过点作交于点，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
如图，矩形的面积为，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形，
对角线交于点，以，为邻边作平行四边形，…
以此类推，平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积是上一个图形的面积的 ，然后求解即可．
【详解】解：设矩形的面积为，
∵矩形的对角线交于点，
∴平行四边形底边AB上的高等于 ，
∴平行四边形的面积等于 ，
∵平行四边形的对角线交于点，
∴平行四边形的边AB上的高等于平行四边形的底边AB上高的 ，
∴平行四边形的面积等于 ，
由此类推，
平行四边形的面积等于 ．
故选：A．
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
11．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因数，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．将边长相等的正五边形和正八边形按照如图所示的方式放置，则 °．
【答案】
【分析】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式．先分别求出正五边形和正八边形的每个内角，再根据角的和差求解即可．
【详解】解：正五边形的每个内角为：，
正八边形的每个内角为：，
，
故答案为：．
13．代数式与代数式的值相等，则x ＝ ．
【答案】7
【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可．
【详解】解：∵代数式与代数式的值相等，
∴，
去分母
，
去括号号
，
解得，
检验：当时，，
∴分式方程的解为．
故答案为：7．
如图，点，，在同一条直线上，正方形，的边长分别为，，
为线段的中点，则图中阴影部分的面积是 ．

【答案】
【分析】根据正方形的性质得出是直角三角形，为斜边上的中线，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵点，，在同一条直线上，正方形，的边长分别为，，
∴，，
∴
∴是直角三角形，
∴，
∵为线段的中点，
∴图中阴影部分的面积是，
故答案为：．
正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过点A作AE的垂线交DE于点P，
若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：
①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；③S正方形ABCD＝1＋．
其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②
【分析】①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB；②利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定EB⊥ED；③由①可得∠BEP=90°，故BE不垂直于AE过点B作BF⊥AE延长线于F，由①得∠AEB=135°所以∠EFB=45°，所以△EFB是等腰Rt△，故B到直线AE距离为BF；④连接BD，根据三角形的面积公式得到S△BPD，根据S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD即可判定．
【详解】解：∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∵在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS）；故①正确；
∴∠ADP=∠ABE，而对顶角相等，
∴∠BED=∠BAD=90°，即EB⊥ED，故②正确；
由△APD≌△AEB得，∠AEP=∠APE=45°，从而∠APD=∠AEB=135°，
所以∠BEP=90°，
过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，则BF的长是点B到直线AE的距离，
在△AEP中，由勾股定理得PE=，
在△BEP中，PB=，PE=，由勾股定理得：BE==PD，
∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°，AE=AP，
∴∠AEP=45°，
∴∠BEF=180°-45°-90°=45°，
∴∠EBF=45°，
∴EF=BF，
在△EFB中，由勾股定理得：EF=BF=，故③错误；
连接BD，则S△BPD=PD×BE=，
∵S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△BEP==，
所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=，
所以S正方形ABCD=2S△ABD=，故④错误；
综上可知，正确的有①②，
故答案为：①②．
三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.解不等式（组）：，并求出它的所有整数解的和．
【答案】不等式组的解集为：，所有数解的和：
【分析】本题考查了求不等式组的解集，正确地解每一个不等式是解题的关键．先解每个不等式，求得不等式组的解集，然后找出所有整数解求和即可．
【详解】解：
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：，
所有数解的和：．
17．(1)分解因式：3a3－6a2＋3a；
(2)先化简，再求值：其中a＝5．
【答案】(1)
(2)；7
【分析】（1）先提公因式3a，在利用完全平方公式因式分解即可；
（2）先化简分式，再代值求解即可；
【详解】（1）解：原式=
=．
（2）解：原式=
=
=
将a＝5代入得，．
18．在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接DE、BF，求证：DE＝BF．
【答案】见解析
【分析】证明△ADE≌△CBF（SAS），即可．
【详解】在平行四边形ABCD中，AD＝BC，，
∴∠DAE＝∠BCF，
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF．
19．解分式方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，准确计算，注意最后要进行检验．
（1）按照解分式方程的步骤和方法计算即可；
（2）先将原式化为，再按照解分式方程的步骤逐一计算即可；
【详解】（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
化系数为得：，
检验：将代入得：，
是原方程的根；
（2）解：原式可化为：，
去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
检验：将代入得，
是原方程的增根，即原分式方程无解．
如图，已知A，B，C是平面直角坐标系上的三个点．

请画出关于原点O对称的；
将向右平移8个单位得到，请画出；
与是否也关于某个点成中心对称？如果是，请写出它们对称中心的坐标，
如果不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)与关于点对称，理由见解析
【分析】（1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到A、B、C对应点，然后顺次连接即可；
（2）先根据平移方式找到的对应点，然后顺次连接即可；
（3）求出的中点是同一点，即，则与关于点对称．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；

（3）解：与关于点对称，理由如下：
由题意得，，，，，，，
∴的中点坐标分别为，，，即的中点是同一点，
∴与关于点对称．
如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；
同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，
连接、，设点P、Q运动的时间为．
(1)当t为何值时，四边形是矩形；
(2)当t为何值时，四边形是菱形．
【答案】(1)当时，四边形为矩形
(2)当时，四边形为菱形
【分析】本题考查了菱形、矩形的判定与性质解决此题注意结合方程的思想解题．
（1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值；
（2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t；
【详解】（1）解：由已知可得，，，
在矩形中，，，
当时，四边形为矩形，
，
得
故当时，四边形为矩形．
（2）由（1）可知，四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形，
即时，四边形为菱形，
解得，
故当时，四边形为菱形．
端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．
根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，
节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．
根据以上信息，解答下列问题：
该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，
并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，
那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)节后每千克A粽子的进价为10元
(2)节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元
【分析】（1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，解方程即可；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，
根据题意得：
，
解得：，，
经检验，都是原方程的解，但不符合实际舍去，
答：节后每千克A粽子的进价为10元．
（2）解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据题意得：
，
∵，
∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取最大值，且最大值为：，
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，
这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，
然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？
【数学模型】
如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小．
解决方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．
此时，的值最小，且．
【模型应用】
问题1．如图2，在正方形中，，点E在边上，且，
点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ．
问题2．如图3，在平面直角坐标系中，点，点．
（1）请在x轴上确定一点P，使的值最小，求出点P的坐标；
（2）请直接写出的最小值．
【模型迁移】
问题3．如图4，在菱形中，对角线相交于点O，，．点P和点E分别为上的动点，求的最小值．
【答案】问题1：；问题2：（1）；（2）的最小值；问题3：．
【分析】问题1：连接，则，，即的最小值是长度，再根据勾股定理求出答案即可．
问题2：（1）由待定系数法可求的解析式，即可求解；
（2）由，则当点A，点P，点三点共线时，的最小值为的长，由勾股定理可求解；
问题3：由菱形的性质可得，，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，即可求解．
【详解】问题1：连接，
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值是BE长度，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
故答案为：；
问题2：（1）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求．
此时，的值最小，
∵点．
∴，
设直线的解析式为，
∵点，点．
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴点P的坐标；
（2）的最小值；
问题3：如图5，过A作，交于P，连接，
此时线段最小，且，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
即：
∴的最小值是．
24．如图，已知直线经过，两点．
（1）求直线的解析式；
（2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转得到CD，此时点D恰好落在直线AB上
①求点C和点D的坐标；
②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标，否则说明理由．

【答案】（1）； （2）①C ，D ；②存在，，或
【分析】（1）由题意根据点A，B的坐标，利用待定系数即可求出直线的解析式；
（2）①根据题意过点D作于点E，利用全等三角形的判定先证△BOC≌△CED，可求出DE、OC的长，进而即可得出点C和点D的坐标；
②根据题意设点Q的坐标为（n，- n+3），分CD为边和CD为对角线两种情况考虑：当CD为边时，由C，D的坐标及点P的横坐标可求出n值，进而可得出点Q，Q′的坐标；当CD为对角线时，由C，D的坐标及点P的横坐标，利用平行四边形的对角线互相平分可求出n值，进而可得出点Q″的值．
【详解】解：（1）将，代入得：
解得
直线AB得表达式为．
（2）①过点D作于点E，

，，
．又，
，
，．
设，则点D得坐标为，
点D在直线AB上，
，
，
点C得坐标为，点D得坐标为．
②存在点Q得坐标为，或．
理由如下：
设点Q的坐标为（n，- n+3）．
分两种情况考虑，如图2所示：

当CD为边时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴0-n=4-1或n-0=4-1，
∴n=-3或n=3，
∴点Q的坐标为（3，），点Q′的坐标为（-3，）；
当CD为对角线时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴n+0=1+4，
∴n=5，
∴点Q″的坐标为（5，）．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
点Q的坐标为（3，），（-3，）或（5，）．
25．在正方形ABCD中，点P是CD边上点，点E在AP的延长线上，
将线段AE绕点A顺时针旋转90°，到线段AF，连接DE
（1）如图1，连接BF，求证：BF＝DE；
（2）如图2，若EF正好经过点B，
①求证：DE⊥EF；
②探究BE、BF、BA三条线段的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，当EF经过点C时，若CF＝4，CE＝2，请直接写出此时正方形边的长度）．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②BE2+BF2=2AB2，理由见解析；（3）
【分析】（1）由正方形的性质和旋转的性质可得AB=AD，AE=AF，∠EAF=90°=∠BAD，由“SAS”可证△ABF≌△ADE，可得BF=DE；
（2）①由等腰直角三角形的性质可得∠AFE=∠AEF=45°，由全等三角形的性质可得∠AFB=∠AED=45°，可得结论；
②由正方形的性质和勾股定理可求BD2=2AB2，在Rt△DBE中，BE2+DE2=DB2，可得结论；
（3）连接AC，过点A作AH⊥EF于H，由等腰直角三角形的性质可得AH=FH=EH=3，由勾股定理可得AH2+CH2=AB2+BC2，即可求解．
【详解】解：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∵将线段AE绕点A顺时针旋转90°，到线段AF，
∴AE=AF，∠EAF=90°=∠BAD，
∴∠BAF=∠DAE，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴BF=DE；
（2）①∵AE=AF，∠EAF=90°，
∴∠AFE=∠AEF=45°，
∵△ABF≌△ADE，
∴∠AFB=∠AED=45°，
∴∠DEF=∠AED+∠AEF=90°，
∴DE⊥DF；
②BE2+BF2=2AB2；
理由如下：如图2，连接DB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴AB2+AD2=BD2，
∴BD2=2AB2，
∵∠DEF=90°，
∴BE2+DE2=DB2，
∴BE2+BF2=2AB2；
（3）如图4，连接AC，过点A作AH⊥EF于H，
∵CF=4，CE=2，
∴EF=6，
∵AE=AF，∠EAF=90°，AH⊥EF，
∴AH=FH=EH=3，
∴CH=1，
∵AC2=AH2+CH2=AB2+BC2，
∴9+1=2AB2，
∴AB=，
∴正方形的边长为．
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