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湖南省娄底市2025年初中毕业学业作业（二）数学试题卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．年月日，在巴黎奥运会跳水女子双人米台比赛中，中国组合全红婵/陈芋汐夺得金牌，她们每一跳的成绩分别是，，，，．这组数（成绩）的中位数是（　　）
A． B． C． D．
4．下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若一个正多边形的外角和是其内角和的，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图，四边形内接于平分，若，则（　　）
A．5 B． C．6 D．4
7．如图，在菱形中，，内切于菱形，则的面积与菱形的面积之比是（　　）
A． B． C． D．
8．若不等式组的解集不是空集，则的取值范围为（　　）
A． B． C．或 D．或
9．如图是函数的图象，下列说法正确的有（　　）
①当时，随的增大而减小；
②是由先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的；
③与直线没有交点；
④若的图象与的图象只有1个交点，则或0
A．③ B．②③④ C．③④ D．①②③
10．如图，在中，，，点、分别在边、上，，连接、，则和周长之和的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．的平方根是 ．
12．函数自变量x的取值范围是 .
13．2024年巴黎奥运会共有206个国家10500位运动员参与，10500用科学记数法表示为 ．
14．容融要从波月洞、紫鹊界梯田、湄江国家地质公园、天籁寺、曾国藩故居中选一个作为暑假旅游景点，其中选中天籁寺的概率为 ．
15．若是方程的两个实数根，则 ．
16．一个直角三角形的两直角边长度分别为、，将这个直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 ．
17．如图，在中，，，点E、F在对角线上，且，，连接，则 ．
18．如图，长为8的线段的两个端点分别在轴和轴上滑动，设线段的中点的运动轨迹为，当的图象与只有1个交点时， ．
三、解答题
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中为正整数且．
21．为了了解学生在周末的上网情况，某中学随机抽取了部分学生对他们周末的上网时间(）进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图．
(1)本次调查的学生共_____名；
(2)补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，所对应的圆心角为_____；
(4)根据调查结果，请你针对周末的上网时间为学生提一条合理化的建议．
22．如图，是的直径，点、在上，且，，过点的直线与的延长线交于点．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的长．
23．中考在即，为了缓减学生的学习压力，某中学组织九年级450名师生前往曾国藩故居开展研学活动，如果租用10辆A型巴士和8辆B型巴士，则有10人没有座位，如果租用8辆A型巴士和10辆B型巴士，则还有10个空座位．
(1)求每辆A型巴士和每辆B型巴士的座位数；
(2)学校决定租用两种型号的巴士共20辆，且B型巴士最多租8辆，已知每辆A型巴士和每辆B型巴士的租金分别为750元和900元，若要使参加活动的师生均有座位，则共有多少种租车方案？最低租车费用是多少？
24．几位同学在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 篮球架的结构
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 篮球架（如实物图所示）的结构示意图如下：立柱垂直地面，横梁平行地面，篮筐与横梁在同一直线上，点、、在同一条垂直于地面的直线上．
测绘过程与数据信息 ①用测角仪在处测得后拉杆与水平面的夹角，在处测得伸臂与水平面的夹角； ②用皮尺测得后拉杆的长为，伸臂的长为，箱体的高度为； ③用计算器计算得到：，，，，，．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）
(1)求立柱的高度；
(2)已知墩墩站立时手臂举至最高处，手掌距地面最大高度为，若墩墩站在地面上想摸到篮筐，则墩墩至少跳多高才能摸到篮筐？
25．如图1，，以直角三角形的三条边为边分别向外作等边三角形．
(1)求证：；
(2)如图2，连接、、，已知三线交于点，
①求证：；
②若，求的长．
26．如图1，抛物线与轴相交于点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．
(1)请直接写出点、、的坐标；
(2)如图1，过定点的直线与此抛物线交于两点，连接，当时，求直线的解析式；
(3)如图2，若点、是此抛物线上的两个动点，且，连接，以、分别为切点作此抛物线的切线，两切线交于点，过点作轴交于点，求证：线段的长度为定值．
《湖南省娄底市2025年初中毕业学业作业（二）数学试题卷》参考答案
1．D
解：，
的倒数是，
故选：D．
2．B
解：A中，和不是同类项，不能合并，故选项错误，故不符合题意；
B中，，故选项正确，故符合题意；
C中，，故选项错误，故不符合题意；
D中，，故选项错误，故不符合题意；
故选：B．
3．A
解：将这个数按照从小到大排列为： ，，，，，
这组数（成绩）的中位数是，
故选：A．
4．C
解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B中、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C中、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
D中、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．C
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得，
解得，
故选：C．
6．A
解：如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
7．D
解：如图：设、、上的切点分别为，连接，则，
∵内切于菱形，
，
平分，平分，
，
，
∵菱形中，，
∴，
，
，
，
，
，
故选：D．
8．C
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集不是空集，
∴，
当时，解得，
当时，则，解得，
当时，则，解得，
综上，的取值范围为或．
故选：C．
9．C解：观察图象知：当时，随的增大而减小；是由先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的；
故①、②错误；
当时，无意义，
∴与直线没有交点，
故③正确；
联立方程组，
化简得，
当时，
∵的图象与的图象只有1个交点，
∴，
解得，
当时，方程可化为，解得，符合题意，
综上，的图象与的图象只有1个交点，则或，
故④正确，
故选：C．
10．B
解：∵，
∴的周长的周长
，
∴的周长的周长最小值时，则最小即可，
如图，在上截取，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
平移至，连接，连接交于点，
此时，，
∵，
∴当三点共线时，最小，最小值为，
根据平移可得，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，即点与点重合，
此时，，
过点作交于点，过点作交于点，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴，
∴的周长的周长最小值，
故选：B．
11．
解：∵，
∴的平方根是，
故答案为：．
12．x≥1且x≠3
解：根据题意得：，
解得x≥1，且x≠3，
即：自变量x取值范围是x≥1且x≠3．
故答案为x≥1且x．
13．
解：，
故答案：．
14．/
解：从波月洞、紫鹊界梯田、湄江国家地质公园、天籁寺、曾国藩故居中选一个作为暑假旅游景点，其中选中天籁寺的概率为，
故答案为：．
15．
解：∵是方程的两个实数根，
，
，
∴，
，
故答案为：．
16．
解：直角三角形的斜边长为，
设斜边上的高为，
则直角三角形面积为，
∴，
将这个直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周所得几何体是两个共底的圆锥，
其底面半径为，母线长分别为、，
∴其表面积为．
17．5
解：∵，
∴
∴
∴
∵
∴，，
在中，，，
由勾股定理，得
即
∴
∴，，
设对角线线相交 于O，如图，
∵
∴，，
在中，由勾股定理，得
∴．
故答案为：5．
18．
解：设，
则，
∵，
∴，
∴，且，
故点的运动轨迹为以4为半径的，
在中，令，则，即，
令，则，即，
则，
当的图象与只有1个交点时，
即与的图象相切，
此时，
如图，则，即，
解得：，
故答案为：．
19．
解：
．
20．化简得，求值得
解：
，
∵为正整数且，且，，
∴，
∴原式．
21．(1)200
(2)见详解
(3)45
(4)见详解
（1）解：（名），
∴本次调查的学生共 200 名，
故答案为：200；
（2）解：组所占百分比为，
组所占百分比为，
组人数为人，
组人数为人，
补图，如下：
（3）解：，
故答案为：；
（4）解：学生应控制周末的上网时间．
22．(1)见详解
(2)
（1）证明：连接，
∵，，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴与相切；
（2）解：过点作，
根据（1）可得是等边三角形，
∴，
根据（1）可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
23．(1)每辆A型巴士的座位数为20个，每辆B型巴士的座位数为30个
(2)共有4种租车方案，最低租车费用为15750元
（1）解：设每辆A型巴士的座位数为m个，每辆B型巴士的座位数为n个，
根据题意，得，
解得，
答：每辆A型巴士的座位数为20个，每辆B型巴士的座位数为30个；
（2）解：设租用A型巴士x辆，租用B型巴士辆，
根据题意，得，
解得，
∵x为整数，
∴x的取值为12、13、14、15，
∴共有4种租车方案，
设租车总费用为w元，
则，
∵，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w取最小值，最小值为，
答：共有4种租车方案，最低租车费用为15750元．
24．(1)
(2)
（1）解：由题意可得，
∵，的长为，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作延长线于点，过点作于点，延长交于点，
∵是水平线，立柱垂直地面，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵平行地面，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵手掌距地面最大高度为，
∴
∴墩墩至少跳才能摸到篮筐．
25．(1)见详解
(2)①见详解；②
（1）证明：过点分别作的垂线，垂足分别为，如图，
∴，
在等边中，
∴，
则，
∴，
同理可得：，
；
又 ∵在 中，，
．
（2）①证明：在等边和等边中，，
，
，
在和中，
，
，
，
在等边和等边中，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
②解：∵，
，
设交于点O，
在和中，
∵，
∴，且，
过点作，垂足为点，如图，
，
，
又，
，
∴，
则，
，
，
设，则，
即，
，
，
解得：，
，
，
，
又 ∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
∴，
又 ∵，
∴；
∵，，
∴；
设交于点P，
在和中，
∵，
∴，
∴，
又 ∵，
∴，
又 ∵，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
解得：，
当时，即，则，
又 ∵，则不合题意，故舍去，
当时，即，
则，符合条件，
过点作，交的延长线于点，如图，
∴，
又 ∵，
∴，
则，
，
，
又，
．
26．(1)，，
(2)或
(3)1
（1）∵，
当时，，
∴，
当时，，
解得，，
∴，；
（2）∵，
∴顶点，
∵过定点的直线与此抛物线交于两点，
∴如图所示，设点，连接，
∴轴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
将代入得，，
∴，
∴，
∴将直线和抛物线联立得，
，
整理得，，
∴，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为或；
（3）证明：设，
，
则，
∴，
待定系数法求得直线的解析式为：，
联立，
解得，
，
设解析式为，
联立得，
∵与抛物线相切线交于点，
∴与抛物线只有1个交点，此交点为，
则，
，
，
同理可得，
联立，
解得：，
又∵ ，
，
则，
∵轴，
，
将代入，
得，
，
∴线段的长度为定值．

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