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湖南省常德市石门县2025年初中毕业模拟考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．月球表面的白天平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作（ ）
A． B． C． D．
2．生活中有许多对称美的图形，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．蝶，通称为“蝴蝶”，属于节肢动物，体表具有分节的外骨骼，身体分为头、胸、腹三个部分，胸部长有两对翅膀，翅膀上各式各样的色彩上和斑纹是由翅膀上的鳞片组成．如图，是一只蝴蝶标本，已知表示蝴蝶两“翅膀尾部”、两点的坐标分别为，，则表示蝴蝶身体“尾部”点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，是直径为的圆柱形排水管的截面示意图．已知管内积水（即弓形部分）的水面宽为，则积水的深度为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，平行四边形中，，交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，交于点，连接，若，的周长为7，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（ ）
A． B． C．或1 D．或3
10．如图是二次函数的图象，有下面四个结论：；；；，其中正确的结论是
A． B． C． D．
二、填空题
11．若式子有意义，则实数的取值范围是 ．
12．分解因式： ．
13．如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则 ．
14．有四张完全一样正面分别写有汉字“中”“考”“必”“胜”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 ．
15．已知是一元二次方程的一个解，则代数式的值为 ．
16．如图，一个半径长为1厘米的半圆面，将它沿直线作顺时针方向翻动，翻动一周，那么圆心所经过的路程是 厘米．
17．如图，O是坐标原点，菱形的顶点C在x轴的负半轴上，，函数的图象经过顶点B，则k的值为 ．
18．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在△内作等边三角形，使它的一边在轴上，一个顶点在边上，作出的第个等边三角形是△，第个等边三角形是△，第3个等边三角形是，…则第2024个等边三角形的边长等于 ．
三、解答题
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．【跨学科组合】
小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，．
(1)求证：；
(2)求的长
22．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，倾斜屋顶上的处到水平线的距离为米，、、在同一直线上，且．求安装热水器的铁架水平横管的长度（参考数据：，，，，，，结果精确到米）．
23．为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示.
(1)本次共抽查了________人；并补全上面条形统计图；
(2)本次抽查学生捐款的中位数为________；众数为________；
(3)全校有八年级学生1100人，估计捐款金额超过15元（不含15元）的有多少人？
24．某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售高于1750千克时，均以固定价格42.5元销售．设一次性销售利润为y元，一次性销售量为x千克．
(1)当一次性销售量为800千克时，求利润为多少元？
(2)当一次性销售量为时，求一次性销售利润y的最大值．
25．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．

(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；
(3)在（2）的条件下，求的值．
26．图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．

(1)求这个二次函数的解析式．
(2)如图，二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值．
(3)如图，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
《湖南省常德市石门县2025年初中毕业模拟考试数学试题》参考答案
1．B
解：平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作，
故选：B．
2．D
A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，同时又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3．C
解：，
故选：C．
4．A
解：该蝴蝶两“翅膀尾部”、两点的坐标分别为，,,可建立坐标系如图：
则由图表示蝴蝶身体“尾部”点的坐标为,
答案选A．
5．D
解：∵第二次比第一次增加6人，且第二次分钱的人数为x人，
∴第一次分钱的人数为人，
根据题意得：，
故选：D．
6．A
解：连接，如图所示：
的直径为，
，
由题意得：，，
，
，
积水的深度，
故选：A．
7．B
解：由作法得垂直平分
∴
∵四边形为平行四边形
∴
∵的周长为7，
∴，即，
∴
故选：B．
8．C
解：当时，反比例函数过一、三象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过一、三、四象限，故B、D不正确；
当时，反比例函数过二、四象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一、二、三四象限， 故A不正确，C正确
故选：C．
9．A
解：依题意得：，
即：，
，
解得：或，
当时，原方程为：，
，则不符合题意；
当时，原方程为：，
，则符合题意；
综上所述，的值为，
故选A．
10．D
①根据抛物线开口方向得到，根据对称轴得到，根据抛物线与轴的交点在轴下方得到，所以，故①正确.
②时，由图像可知此时，即，故②正确.
③由对称轴，可得，所以错误，故③错误；
④当时，由图像可知此时，即，将③中变形为，代入可得，故④正确.
故答案选D.
11．
解：二次根式中被开方数，所以．
故答案为：．
12．/
解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）．
故答案为：2（m+3）（m-3）．
13．8
解：，
，
与是位似图形，
，，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：8．
14．
解：列表如下：
中 考 必 胜
中 （中，中） （中，考） （中，必） （中，胜）
考 （考，中） （考，考） （考，必） （考，胜）
必 （必，中） （必，考） （必，必） （必，胜）
胜 （胜，中） （胜，考） （胜，必） （胜，胜）
共有16种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的结果有4种，
∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率为．
故答案为：．
15．
解：∵，
∴，
解得：，
∵是一元二次方程的一个解，
∴当时，，
当时，，
∴代数式的值为，
故答案为：．
16．
解：依题意得圆心所经过的路程是两个圆与两条等于圆弧长的线段的长度的和，
∴圆心所经过的路程是．
故答案为：．
17．
解：如图，连接相交于点E，过点B作轴与点D，
四边形为菱形，
，，，
，
，，
，
即，
解得：，
，
，
函数的图象经过顶点B，
，
故答案为：．
18．
解：如图，过点作轴于点D，
∵直线与x、y轴交于B、C两点，
∴当时，，当时，，
∴点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴第1个等边三角形的边长，
同理：第2个等边三角形的边长，
第3个等边三角形的边长，
……，
由此发现：第n个等边三角形的边长等于，
∴第2024个等边三角形的边长等于．
故答案为：．
19．
解：原式
．
20．，5
解：
，
当时，
原式．
21．(1)见解析
(2)
（1）∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
（2）由题意得：
由（1）得：，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．
解：如图所示，过点B作于G，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴安装热水器的铁架水平横管的长度约为．
23．(1)50，补图见解析
(2)15，15
(3)220人
（1）解： （人，
“捐款为15元”的学生有（人，补全条形统计图如下：
（2）学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元，
将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元，
故答案为：15，15；
（3）捐款金额超过15元（不含15元）的人数（人），
所以全校八年级学生为1100名，捐款金额超过15元（不含15元）的人数为220人，
24．(1)16000元
(2)22500元
（1）解：根据题意，当时，，
当一次性销售量为800千克时利润为16000元；
（2）一次性销售量时，
销售价格为，
，
，，
当时，有最大值，最大值为，
一次性销售量时的最大利润为22500元．
25．(1)见解析
(2)
(3)
（1）如图1，连接OC，

∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵AE＝4BE，OA＝OB，
设BE＝x，则AB＝3x，
∴OC＝OB＝1.5x，
∵AD∥OC，
∴∠COE＝∠DAB，
∴；
（3）由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x，
∴，
∵FG⊥AB，
∴∠AGF＝90°，
∴∠AFG+∠FAG＝90°，
∵∠COE+∠E＝90°，∠COE＝∠DAB，
∴∠E＝∠AFH，
∵∠FAH＝∠CAE，
∴△AHF∽△ACE，
∴．
26．(1)；
(2)；
(3)存在，或
（1）∵点，在二次函数图象上，
∴，
∴，
∴．
（2）∵与轴有两个交点，
∴，
∴点，
∴对称轴为：，
∵，
∴设直线的解析式为：，
∴，
∴，
∵点在直线上，且横坐标为，
∴点，
过点作的平行线，当点与二次函数有且仅有一个交点时，即面积有最大值，
设直线的解析式为：，
∵直线与二次函数有且仅有一个交点，
∴有一个实数根，
∴，
∴，
∴设直线的解析式为：，
∴得，
过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，
∴的面积等于梯形减去梯形减去梯形，
∴．
（3）存在，理由如下：
∵点与点关于直线对称
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴连接，交点为点，
∴点是，的中点，
∵，，
∴，
∴，
设点，
∴，
∴，
∴点，，
∵点是，的中点，
∴，，
设点，
∵点，，
∴，
∴点，
∵点，，
∴，
点；
综上所述，点或．

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