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2024-2025学年第二学期九年级第一次模拟考试数学试卷
一、选择题（共30分）
1．（3分）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，相交于点F，若时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，已知的半径长是1，，分别切于点A，B，连结并延长交于点C，连结，．若四边形是菱形，则的长是（　　）
A． B．3 C． D．4
5．（3分）外观相同的5件产品中有2件为不合格产品．现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，轴于点C，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．（3分）如图，D，E分别是的边，上的点，且，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，内接于，，，则的半径为（ ）
A．4 B． C． D．
9．（本题3分）图中几何体的主视图是（ ）
A．B． C． D．
10．（3分）如图，直线与反比例函数相交于点，与轴交于点，将射线绕点逆时针旋转，交反比例函数图象于点，则点构成的三角形面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共24分）
11．（3分）设，是方程的两个根，则 ．
12．（3分）已知是关于x的二次函数，且当时，y随x的增大而增大，则k的值为 ．
13．（3分）如图，在正方形中，E是的中点，F是延长线上一点，，绕点A按逆时针方向旋转到的位置，旋转的最小角度为 ．
14．（3分）如图，正六边形的边长为1，则对角线的长是 ．
15．（3分）如图，在轴上方，直线与和的图象分别交于、两点，交轴于点，且，连接、，若的面积为5，则 ．
16．（3分）如图，在中，点在的延长线上，点在边上，交于，若，则 ．
17．（3分）如图，是的半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点．若，，则线段的长为 ．
18．（3分）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最少有 个．
三、解答题（共66分）
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕原点按逆时针方向旋转，得到（点A，，的对应点分别为点，，）．
(1)求出顶点，的坐标；
(2)在图中画出．
20．（8分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中m满足．
21．（6分）如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料围成一个面积为300平方米矩形花园，求的长．
22．（6分）如图，在等腰中，，，是上一点，将绕点逆时针旋转到，连接、．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
23．（8分）如图，在中，，，以为直径的交于点，是上一点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长度．
24．（8分）如图，一次函数与反比例函数相交于，两点，过点A作轴于点C，连接并延长，交反比例函数的图象于点D，连接．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求的面积．
25．（8分）如图，的直径⊥弦，垂足为E，以为邻边作平行四边形，交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，求直径和的长．
26．（6分）如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求和的长．
27．（10分）如图，已知抛物线过点，与轴交于点，点在轴上，，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上一点．
(1)（3分）求抛物线的解析式和点坐标；
(2)（3分）若点关于直线的对称点在轴上，求点的坐标；
(3)（4分）点是抛物线对称轴上的一动点（点不与点、重合），过点作直线的垂线交于点，交轴于点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
答案
1-5 ACBBC 6-10 ACACD
11． 12．2 13． 14．2 15． 16． 17． 18．7
19．(1)
（2）如图：即为所求．
20．（1）；（2），
21．设矩形花园，则，
则有，
解得：或，
墙最长可利用28米，
，
，
的长为；
22．（1） 中，，，
，
由旋转可知：，，
∴，
∴，
在与中，
，
；
（2）
，
；
．
23．（1）连接，设交于，如图所示：
和所对的弧都是，和都是圆周角，
，
，
，
是直径，
，
，
，，
，
，
，
又 和所对的弧都是，和都是圆周角，
，
，
即，
是的切线；
（2）连接，，设交于，如图所示：
，，，
，
，
，，
在中，，，
，
，
，
，
，
．
24．（1）∵点在反比例函数上，
∴，
解得，
∵点在反比例函数上，
∴，
解得，
即，
∵轴于点C，
∴，
设直线的函数表达式为，将、代入得，
，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）令，
解得，，
当时，，
∴，
由（1）可得，
，
即的面积为5．
25．（1）如图，连接，
的直径⊥弦，
，
，
，
四边形为内接四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
；
（2）如图，连接，
，
，
，
∵是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
直径为，
如图，过点作交于点，
根据勾股定理可得，
四边形为平行四边形，
，，
，
根据平行四边形的面积等于，
可得，
，
,
，
26．（1），平分，
，．
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
（2），，，
在中，，
．
，
在中，，，
．
四边形是菱形，
．
27．（1）抛物线过点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴；
（2）如图，设交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵点，关于直线的对称，
∴垂直平分
∴，
∴，
∴为的中点，则，
∵，
∴，
设直线的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴M点坐标为或；
（3）当在轴下方时，连接，如图，
依题意，当是等腰三角形时，只能，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴为的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
当在轴上方时，
①当时，如图，连接，
∴，
∵，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
②当时，如图，设，交于点，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
解得：（舍去）或，
∴，
③当为等腰三角形，时，如图，
，
，
∴，
综上所述，为等腰三角形时，请直接写出点的坐标为或或或．

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