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湖南省汨罗市第二中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．2
2．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
3．等差数列中，为其前项的和，若，，则（ ）
A．50 B．100 C．400 D．500
4．甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有（ ）
A．3种 B．6种 C．9种 D．12种
5．下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量服从正态分布，且，则；
B．若事件相互独立，，则；
C．对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是；
D．若决定系数越大，则两个变量的相关性越强.
6．在平面直角坐标系中，为曲线上位于第一象限内的一点，为在轴上的射影，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A． B．1 C． D．
8．已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知随机变量服从二项分布，，下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．的最大值为
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．精确到0.01的近似值为0.85
D．除以15的余数为3
11．如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．关于直线对称
B．的弦长最大值大于
C．直线被截得弦长的最大值为
D．的面积小于
三、填空题
12．命题.写出该命题的否定 ．
13．已知，则 .
14．已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为 .
四、解答题
15．已知等差数列满足：，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，记数列的前n项和为，求证：；
16．如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，.
(1)求证平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
17．甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”．根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表：
甲 乙 丙
第一轮回答正确的概率
第二轮回答正确的概率
若三人各自比赛时互不影响．
(1)求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率；
(2)在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率．
18．在平面直角坐标系中，，，若点P是平面上一动点，且的周长为，设动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线与曲线C交于A，B两点，且，，求k的值.
19．已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点．
(1)求椭圆方程；
(2)设椭圆的左顶点为A，下顶点为，线段交轴于点，线段交轴于点，若的面积是的6倍，求点的坐标；
(3)点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点S，当最大时，求直线方程．
20．近年来，宠物逐渐成为人们的精神寄托，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为．
(1)把频率作为概率，从中国家庭中随机取4户，求这4户中至少有3户养宠物的概率；
(2)随机抽取200名成年人，得到如下列联表：
成年男性 成年女性 合计
养宠物 38 60 98
不养宠物 62 40 102
合计 100 100 200
是否有的把握认为是否养宠物与性别有关？
(3)记2018-2023年的年份代码依次为1，2，3，4，5，6，中国宠物经济产业年规模为（单位：亿元），由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得关于的回归方程为，且．求相关系数，并判断该回归方程是否有价值．
参考公式：，其中，时有99%的把握认为变量有关联．
回归方程，其中，，相关系数，若，则认为与有较强的相关性．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D C B B D A ABD AC
题号 11
答案 ACD
1．A
根据交集的概念和运算求解出结果.
【详解】由，，得．
故选：A．
2．B
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．
【详解】对于A，，是反比例函数，是奇函数又在区间上单调递减，不符合题意；
对于B，，是幂函数，既是奇函数又在区间上单调递增，符合题意；
对于C，，是偶函数，不是奇函数，不符合题意；
对于D，，其定义域为，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意．
故选：B．
3．D
根据等差求和公式即可代入求解.
【详解】，
故选：D
4．C
甲有种选法，乙可以选一门或者选两门，有种选法，根据分步乘法计数原理计算即可．
【详解】由题意得，甲只选一门，有种选法，乙可以选一门或者选两门，有种选法，
故不同的报名学习方式有种，
故选：C．
5．B
利用正态曲线可判断A选项；利用并事件的公式计算判断B选项；利用经验回归方程过样本中心点计算C选项；根据决定系数的意义判断D选项.
【详解】对于A选项，随机变量服从正态分布，均值，
正态曲线的对称轴为，
，，
由对称性知，，，故A正确；
对于B选项，若事件相互独立，
则，故B错误；
对于C选项，经验回归方程过样本中心点，将代入中得，
，解得，故C正确；
对于D选项，决定系数越大，回归模型的拟合效果越好，两个变量的相关性越强，故D正确.
故选：B.
6．B
设，则，构造函数，利用导数求出函数取得最大值时，点的坐标，进而可得出答案.
【详解】设，
则，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
又，所以此时最大，
此时，
所以的最大值为.
故选：B.
7．D
【详解】令，
则，
故选：D.
8．A
【详解】的定义域为，
，所以，
所以的图象关于对称，
由，所以，
即，
由于，所以在上单调递增，
所以，解得，
故选：A
9．ABD
根据二项分布的期望方差公式判断A、C，根据二项分布的概率公式判断B，由，令，利用导数求出函数的最大值，即可判断D.
【详解】因为，
由，解得，所以，故A正确．
，故B正确．
由，解得或，所以或，故C错误．
，
设函数，
则．
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以的最大值为，故D正确．
故选：ABD
10．AC
赋值法可判断A；由求出，由二项式系数和可判断B；，由二项式定理展开，取展开式前3项可判断C；，由二项式定理展开可判断D.
【详解】在中，
令，则，故A正确；
因为，所以，
所以，故B错误；
，
取展开式前3项，则精确到0.01的近似值为．故C正确；
，其中，
所以能被15整除，
所以除以15的余数为1，故D错误．
故选：AC．
11．ACD
对于A，求函数的反函数，结合反函数性质判断A，对于B，联立证明直线与曲线有两个交点，设右侧的交点为，左侧的交点为，求交点的距离，判断B，设为曲线的切线，结合导数的几何意义求，结合对称性判断C，证明左侧交点的横坐标大于，过点做的切线，再做该切线关于对称的直线，过，做切线的垂线，与两切线分别交于，求矩形的面积，判断D.
【详解】对于A：由，
所以函数的反函数为，
所以关于直线对称，故A正确；
对于B：有.
设，则，
由.
由，
所以在上单调递减，在上单调递增.
且，
所以存在，使得，另.
所以曲线与直线有两个交点，设右侧的交点为，左侧的交点为，
则，所以，
结合图象可得，的弦长最大值小于，故B错误；
对于C：因为直线与直线垂直，
设为曲线的切线，由，
所以切点为，所以切线方程为.
直线与的距离为.
所以直线被截得弦长的最大值为，即.故C正确；
对于D：由，所以B中.
过点做的切线，再做该切线关于对称的直线，
过，做切线的垂线，与两切线分别交于，
如图所示，构成矩形，
该矩形将图形包含在内，所以的面积小于矩形的面积.
又，
所以矩形的面积为.所以D正确.
故选：ACD.
12．，使得
利用命题的否定，写出结果即可.
【详解】命题，则该命题的否定是：，使得，
故答案为：，使得
13．
变形后用余弦二倍角公式进行求解.
【详解】.
故答案为：
14．
设，由题设可得的单调性，从而得到 ，利用同构可得，参变分离后可求参数的取值范围.
【详解】因为，所以
令函数，则在上单调递减，
所以在上恒成立，所以，
即.令函数，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，，当时，，
且由题干可知，，即，
若，则恒成立，
当时，恒成立等价于当时，，
故时，恒成立，故.
令函数，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值，所以；
综上所述，正实数的取值范围为.
故答案为：.
15．(1)或
(2)证明见解析
（1）根据等比数列结合等差数列的通项公式计算求解即可；
（2）应用裂项相消法求和得出，再结合单调性证明即可.
【详解】（1）设数列的公差为d，依题意：成等比数列，
所以，解得：或
当时，，当时，
所以数列的通项公式为或
（2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知
则
所以，故
而随n的增大而增大，则，故成立
16．(1)证明见解析
(2)
（1）取的中点，连接，先证四边形为平行四边形，然后由线线平行可得线面平行；
（2）取的中点，连接，根据已知可得平面，过点作直线的垂线交于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.
【详解】（1）取的中点，连接，则且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）取的中点，连接，
因为四边形为等腰梯形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
过点作直线的垂线交于点，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为为直径，所以，
所以，，，
在等腰梯形中，，，
所以，
所以，
所以，，
，，
设平面的法向量为，则，
所以，
令，则，，所以，
设平面的法向量为，则，
所以，
令，则，，所以，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
17．(1)
(2)
（1）先用来表示甲、乙、丙三人的“通关”事件并求对应的概率，然后利用对立事件的性质和独立事件的乘法公式即可求解.
（2）利用独立事件的乘法公式分别计算三人小组获得“团体奖”的概率和甲乙丙同时通关的概率，进而利用条件概率的计算公式即可求解.
【详解】（1）记事件“甲通关”、 “乙通关”、 “丙通关”，
则，.
甲、乙两人至少有1人“通关”的对立事件为甲、乙两人都不“通关”，
所以,甲、乙两人至少有1人“通关”的概率等于.
故甲、乙两人至少有1人“通关”的概率为.
（2）由题意得.
事件“三人小组获得团体奖”，
则
.
甲乙丙同时通关的概率.
所以.
故该三人小组获得“团体奖”的条件下，甲乙丙同时通关的概率为.
18．(1)
(2)
（1）将三角形周长的条件转化为动点P到，的距离和为定值，利用椭圆的定义即可求解；
（2）联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理以及中点坐标公式和垂直平分线的性质即可求解.
【详解】（1）由题意可知：，
.
由椭圆的定义知，动点P的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.
可设方程为，
则，，解得，则，
故曲线的方程为.
（2）联立方程组，消去，整理可得.
则.
设，，的中点为，
则由韦达定理可知：，.
，.
∵，，则，如图所示.
又，
则，即，解得.
19．(1)
(2)或
(3)
（1）根据题意列出方程组求出得解；
（2）根据三角形面积公式及面积比，利用相似转化为关于点的坐标的方程，求解即可；
（3）利用直线斜率之积为常数，转化为斜率之间的关系，再由两角差的正切公式及基本不等式求解即可．
【详解】（1）由题意，，则，
椭圆方程为：
（2）如图，
设，则，
对，令，
所以由相似三角形可得：，
所以，
又因为，所以，，
解得或，所以对应的分别为或，
所以或．
（3）设，
则，
则．
又因为，
所以，则，
设，直线倾斜角为，直线倾斜角为，
所以，
则，
因为，所以，此时，
所以直线方程为．
20．(1)
(2)有关联
(3)，有价值
【详解】（1）由题意得4户中至少有3户养宠物的概率为．
（2）因为，
所以有的把握认为是否养宠物与性别有关联．
（3）由的取值依次为，得，
因为回归方程为，
所以，
所以，
所以．
因为，所以与有较强的相关性，该回归方程有价值．

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