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2025年河北省秦皇岛市青龙满族自治县中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．与的结果相等的是 （ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面内作已知直线的平行线，可作平行线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
3．下列各数满足不等式的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．电影《大圣归来》中，齐天大圣的一个筋斗云是108000里，108000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，借助量角器，可以计算的度数为 （ ）
A． B． C． D．
6．分解因式：，则的值为 （ ）
A．7 B． C．25 D．
7．关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．两根之和为0 D．两根之积为5
8．《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：今有空车日行八十里，重车日行六十里；今载太仓粟输上林，五日三返，问太仓去上林几何 译文如下：有人用车把米从太仓运到上林，空车时每天行驶80里，装米时每天行驶60里，载货去，空车返回，5天往返3次．问太仓到上林的距离是 （ ）
A．里 B．里 C．里 D．里
9．学完矩形的判定以后，张老师想让同学们通过测量来判定一个四边形纸片是否为矩形．嘉嘉准备了一把刻度尺，淇淇准备了一个量角器，他俩谁的工具能判定这张纸片是矩形（ ）
A．嘉嘉能，淇淇不能 B．淇淇能，嘉嘉不能 C．他俩都能 D．他俩都不能
10．一副三角板如图所示摆放，，以A为旋转中心，逆时针旋转三角板，当点E再次落到边上时，点D走过的长度为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在中，，，点D为斜边上一点（点D不与点A，B重合），作，交边于点E，则下列结论错误的是 （ ）
A．
B．存在3个值使是等腰三角形
C．当时，
D．
12．已知直线过点，二次函数的图象和直线交于点C，D（C在D的左侧），若，则满足条件的a的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．如图．数轴上点A、B分别表示，点C在线段AB上，且点C表示无理数，则点C表示的数可以是 （写出一个满足条件的数即可）．
14．a，b均为正整数，且满足．则的值为 ．
15．如图．已知点，将反比例函数的图象向左平移m个单位长度，若使平移后的反比例函数图象和线段有交点，则m的取值范围是 ．
16．如图，边长为6的正六边形内接于圆O，点P为劣弧的中点，连接，．
（1）的度数为 ；
（2）连接交于点，则 ．
三、解答题
17．数学课上，张老师为了提高学生的数学兴趣，设计了一个掷骰子的小游戏，游戏规则如下：游戏开始时，老师先说出一个数字，然后投掷骰子，骰子朝上的点数1，2，3，4，5，6分别代表计算法则：“＋1”，“平方”，“立方”，“”，“＋5”，“”，根据投掷的点数按照相应的计算法则进行计算．例如：开始数字为10时，投掷两次骰子的点数依次为5和2，则计算结果为： ．
(1)开始数字为，投掷三次骰子的点数依次为4，2，6，计算其结果；
(2)开始数字为m，投掷两次骰子的点数依次为1和3，计算结果为，求m的值．
18．整式A、B、C、D如表所示．
整式 整式
(1)将整式进行因式分解；
(2)化简整式，当时，计算a和b的值．
19．为了解学生对春节传统习俗的了解程度，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置四个选项：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不太了解．将调查结果整理后绘制了如图所示不完整的统计图．
(1)求此次调查一共抽取了多少名学生；
(2)请补全条形统计图中B选项的人数，求出扇形统计图中“C．基本了解”所对应的圆心角度数，并借助三角尺或量角器补全扇形统计图；
(3)学校挑出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四名同学中随机抽取两名同学去参加教育局组织的春节传统习俗知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
20．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下：
信息二：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米．
信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题
(1)求喷泉的半径；
(2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3.14，结果保留整数）
21．如图，已知一次函数的图象经过点．
(1)求这个一次函数；
(2)若点在该函数图象上，连接，求的面积；
(3)若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是否能落在第三象限，若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由．
22．如图，某公园内有一个垂直于地面的信号塔，小高同学位于点C的位置观测信号塔，眼睛距地面高度为米，，测得塔顶B的仰角为，小高向着信号塔的方向前进到点E处，此时小高距信号塔的水平距离为27米，测得塔顶B的仰角为﹒
(1)求小高前进的距离；（取，结果保留整数）
(2)此时，小高发现，前方5米的地面上有一个气球正在缓缓升起，假设气球升起的方向是垂直向上的，3秒后，气球恰好挡住小高的视线无法看到塔顶B的位置，求气球升起的平均速度．
23．掷实心球是中学体育常见的一项运动，图1是嘉嘉同学体育课上投掷实心球，实心球运动路线为抛物线，行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为2米，当水平距离为4米时，实心球行进至最高点米处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求这次投掷中嘉嘉的成绩是多少米；
(3)如图3，下课后嘉嘉将这次投掷的路线画在纸上，并试图通过调整出手角度，使成绩提高2米．他绘制了调整后的抛物线的图象，抛物线和与y轴交点相同，对称轴相同．
①请你帮助嘉嘉求出调整出手角度后，实心球的最大高度；
②直接写出调整前后，实心球飞行水平距离是多少米时实心球的高度相等；
③直接写出抛物线和之间的最大竖直距离．
24．如图1，，点，分别为，上的点，且，连接，将沿直线折叠，得到．设．
(1)的值为_____时，为直角三角形；
(2)如图，当时．
利用尺规作图找出的外心；（保留作图痕迹，不写过程）
连接，，，求的长及四边形的面积．
(3)试说明：无论如何改变的值，点始终在的平分线上；
(4)如图，设的外心为，连接，直接写出的最小值．
《2025年河北省秦皇岛市青龙满族自治县中考一模数学试题》参考答案
1．B
解：；
故选B．
2．D
解：在同一平面内，与已知直线平行的直线有无数条，
所以作已知直线m的平行线，可作无数条．
故选：D．
3．C
解：∵，
∴，
∴满足不等式的是3；
故选：C．
4．C
解：，
故选：C．
5．A
解：如图，设这个量角器所在的圆为，与交于点，
由量角器得：，
则由圆周角定理得：，
故选：A．
6．D
解：∵，
∴，
∴；
故选D．
7．B
解：关于的一元二次方程根的判别式为，
∵，
∴，
∴这个方程有两个不相等的实数根；
由一元二次方程的根与系数的关系得：两根之和，两根之积为，
综上所述，选项B正确，
故选：B．
8．A
解：设太仓到上林的距离是里，
由题意得：，
解得，
即太仓到上林的距离是里，
故选：A．
9．C
解：嘉嘉用刻度尺可以分别测量四边形的四条边长和两条对角线的长度，如果四边形的两组对边的长度相等且两条对角线的长度相等，即可判定这张纸片是矩形；
淇淇用量角器测量四边形的四个内角的度数，如果有3个角是直角，即可判定这张纸片是矩形；
故他俩都能判定这张纸片是矩形；
故选C．
10．A
解：由题意，得：，，
∴，
∴，
∵旋转，
∴，
∴为等边三角形，
∴，即：旋转角为，
∴，
∴点D走过的长度为为；
故选A．
11．B
解：∵在中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，则选项A正确；
∵在中，，，
∴，
①当时，是等腰三角形，
∴，
∴，
∴，此时点与点重合，不符合题意，舍去；
②当时，是等腰三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
③当时，是等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，存在2个值，使是等腰三角形，则选项B错误；
当时，，
∴，
在和中，
，
∴，则选项C正确；
由上已证：，
∴，
∴，
设，则，
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
由二次函数的性质可知，在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
∴，则选项D正确；
故选：B．
12．C
解：设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
联立得：，
∴，
解得或，
由题意，设点的坐标为，点的坐标为，且，
∴是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
由①当时，，
则，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得或，经检验，都是方程的解，且符合题设；
②当时，，
则，
同理可得：，
∴，
解得或（不符合题设，舍去），
经检验，是方程的解，且符合题设；
综上，满足条件的的值有或或，共3个，
故选：C．
13．（答案不唯一）
解：设点C表示的数为c，
根据数轴可知：，
∵点C表示无理数，
∴可以是，
故答案为：（答案不唯一）
14．或
解：∵，
∴与是同类二次根式，
∵a，b均为正整数，，
∴或，
∴或；
故答案为：或．
15．
解：将反比例函数的图象向左平移个单位长度，使平移后的函数图象和线段有交点，相当于将线段向右平移个单位长度后，与反比例函数的图象有交点，
∵，
∴点平移后的坐标为，点平移后的坐标为，
由题意，有以下两个临界位置：
①当反比例函数的图象恰好经过点时，
则，解得；
②当反比例函数的图象恰好经过点时，
则，解得；
所以要使平移后的函数图象和线段有交点，则，
故答案为：．
16． /度
解：（1）如图，连接，交于点，
∵边长为6的正六边形内接于圆，
∴，
∵点为劣弧的中点，
∴，
由圆周角定理得：，，
∴，
故答案为：．
（2）∵点为劣弧的中点，，
∴，
∴在中，，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
由圆周角定理得：，
由（1）已得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．(1)
(2)
（1）解：；
（2）由题意，得：，
∴，
∴．
18．(1)
(2)，
（1）解：由表可知，
．
（2）解：由表可知，，，，，
∴
，
，
∵，
∴，，
∴，即，
联立，
解得．
19．(1)此次调查一共抽取了100名学生
(2)，图见解析
(3)
（1）解：（名）；
答：此次调查一共抽取了100名学生；
（2）选项的人数为：（人）；
选项的圆心角度数为：；
选项的圆心角度数为：；
D选项的圆心角度数为：；
补全统计图如图：
（3）由题意，画出树状图如下：
共12种等可能的结果，其中一男一女的情况有8种，
∴．
20．(1)喷泉的半径为5米
(2)大约需要安装25盏景观灯
（1）解：连接，设喷泉的半径为，则：，
∴，
∵D是弦的中点，
∴平分弦，，
∴，
∴，
∴，
∴米；
答：喷泉的半径为5米；
（2）解：由题意，得：米，
（盏）；
答：大约需要安装25盏景观灯．
21．(1)
(2)12
(3)能，
（1）解：将点代入得：，
解得，
所以这个一次函数的解析式为．
（2）解：将点代入一次函数得：，
解得，
∴，
∴的边上的高为，
又∵，
∴，
∴的面积为．
（3）解：将点代入一次函数得：，
∴，
由题意，有以下两个临界位置：
①如图，当轴时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上，
∵点坐标为，
∴此时，
解得；
②如图，当将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上时，
过点作轴于点，
∴，
∵点坐标为，
∴，
∵轴，，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∴将线段绕点顺时针旋转得到线段，点能落在第三象限，此时．
22．(1)小高前进的距离约为20米
(2)气球升起的平均速度为米/秒
（1）解：如图，连接，并延长交于点，
由题意得：，， ，米，米，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，，，
∴，四边形是矩形，
∴，，米，
在中，米，
在中，米，
∴米，
∴（米），
答：小高前进的距离约为20米﹒
（2）解：如图，过点作于点，交于点，交于点，
则四边形是矩形，
∴，米，，
由题意得：米，
∴米，
在中，米，
∴米，
∵气球升起的方向是垂直向上的，3秒后，气球恰好挡住小高的视线无法看到塔顶的位置，
∴气球升起的平均速度为（米/秒），
答：气球升起的平均速度为米/秒．
23．(1)
(2)这次投掷中嘉嘉的成绩是米
(3)①这次投掷中嘉嘉的成绩是米；②调整前后，实心球飞行水平距离是米时实心球的高度相等；③抛物线和之间的最大竖直距离为
（1）解：∵掷出时起点处高度为2米，当水平距离为4米时，实心球行进至最高点米处．
设抛物线的解析式为，代入得，
解得：
∴
（2）解：当时，
解得：（舍去）或
答：这次投掷中嘉嘉的成绩是米；
（3）解：①∵成绩提高2米．则与轴的交点为
∵抛物线和与y轴交点相同，对称轴相同．
设解析式为，代入，得
解得：
答：调整出手角度后，实心球的最大高度为米；
②由①可得解析式为
联立
∴
解得：（舍去），
答：调整前后，实心球飞行水平距离是米时实心球的高度相等
③解：设和之间的竖直距离为，当时，
∵，当时，取得最大值，最大值为
当时，，
∵时，随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为
答：抛物线和之间的最大竖直距离为
24．(1)或；
(2)作图见解析；
，；
(3)证明见解析；
(4)
（1）解：，
若为直角三角形，
则或，
当时，，
则有，
又，
，
解得：，
即的值为；
当时，，
则有，
又，
，
解得：，
即的值为；
综上所述，当的值为或时，为直角三角形，
故答案为：或；
（2）解：当时，
，
，
又，
是等边三角形，
根据折叠的性质可知也是等边三角形，
如下图所示，分别作、的垂直平分线，
两条垂直平分线相交于点，
点即为的外心；
如下图所示，
点是的外心，是等边三角形，
、分别是和的平分线，，
，
是等边三角形，
，
，
又，
平分，
，
，
，
又，
，
在中，,
，
同理可得：，
；
（3）证明：如下图所示，过点作，，
点是的外心，
，
，
在四边形中，，
，，
，
又，
，
在和中，，
，
，
是的平分线；
无论如何改变的值，点始终在的平分线上；
（4）解：如下图所示，连接、、，
根据折叠的性质可知，点与点关于对称，
，，
，
，
，
，
当最小时最小，
两点之间线段最短，
当点、、三点共线且垂直于时，最小，
由折叠的性质可知是等边三角形时，最小，
此时，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
，
的最小值为

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