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九五高中协作体·山东
2025高三年级质量检测（九五联考）
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，则复数z在复平面内所对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，集合，则
A． B． C． D．
3．已知实数x，y满足，则
A．11 B．12 C．16 D．17
4．将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象．若的图象关于y轴对称，则的最小值为
A． B． C． D．
5．已知为正项等差数列，若4a3-a7=8，则a1a3的最大值为
A．4 B．6 C．8 D．10
6．已知连续型随机变量，为使随机变量ξ在的概率不小于0.9545
（若，则），则实数a的最小值为
A．8 B．16 C．32 D．64
7．已知，若向量与向量互相垂直，则λ=
A． B． C．5 D．
8．已知F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线左支上一点，满足与双曲线右支交于点Q，若，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．给定一组不全相同的样本数据x1，x2，…，xn，关于样本数据2x1-1，2x2-1，…，2xn-1的说法正确的是
A．与原数据相比，极差一定变大
B．与原数据相比，众数一定变大
C．与原数据相比，平均数一定变大
D．与原数据相比，方差一定变大
10．已知函数，则
A．有3个零点
B．过原点作曲线的切线，有且仅有一条
C．与交点的横坐标之和为0
D．在区间 (-2，2) 上的值域为 (-4，0)
11．三棱锥中，，，，，则
A．三棱锥的体积为
B．三棱锥外接球的表面积为3π
C．过BC中点E的平面截三棱锥外接球所得最小截面的半径为1
D．，则PQ的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为__________．
13．已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆C的离心率，
过F2与椭圆长轴垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，PF1与y轴交于M点，，则△PQF1的周长为__________．
14．已知正整数n，欧拉函数φ(n)表示1，2，…，n中与n互素的整数的个数．例如，φ(4)=2，φ(10)=4．若从1，2，…，30中随机取一个数m，则满足φ(2m)=φ(3m)的概率为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
(
P
A
B
D C
)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=1，AB=2，△PAD为等边三角形，PA⊥CD．
（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值．
16．（本小题满分15分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围．
17．（本小题满分15分）
甲乙二人进行比赛，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为1- p，各局比赛的结果相互独立．为决出最终获胜的一方，有以下两种方案可供选择：
方案一：规定每局比赛的胜方得1分，败方得0分，则首次比对手高两分的一方获胜．
方案二：首次连胜两局比赛的一方获胜．
（1）若p = 0.75，且采用方案一，求第四场比赛结束时恰好分出胜负的概率；
（2）若0 < p < 0.5，为使甲获胜的概率更大，则应该选择哪种比赛方案？请说明理由．
附：当0 < q < 1时，．
18．（本小题满分17分）
已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，且
的最大值为．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点P的两条直线分别交E于A，B两点和C，D两点，且AC分别是线段PB，PD的中点，设线段BD的中点为M．
（i）证明：直线轴；
（ii）求△PBD面积的最大值．
19．（本小题满分17分）
对集合A，B，定义集合，记为有限集合X的元素个数．
以下给定正整数，并记集合Sn={1，2，…，n}．
（1）设A，B，C为有限集合，证明：；
（2）给定自然数l和Sn的子集，求集合的元素个数；
（3）设k（其中）为正整数，Sn的子集满足均有．证明：．
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数学试题
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