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2025年九年级数学中考前“定心丸”试题
一、单选题
1．（2025·阳江模拟）关于二次函数的图象与x轴交点个数的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断
2．（2024九上·金平期末）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023九上·冷水滩月考）已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的值可以是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2024九上·西湖期末）如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（　　）
A．13 B．14 C．12 D．28
5．（2021九上·乾安期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y= x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣ ）x+c=0（a≠0）的两根之和（　　）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定
二、多选题
6．（2023·潍城模拟）甲、乙两种物质的溶解度与温度之间的对应函数关系如图所示，则下列说法中，正确的是（　　）
A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C．当温度为时，甲、乙的溶解度都小于
D．当温度为时，甲、乙的溶解度相等
7．（2024九下·汨罗竞赛）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，BE＝7．下列四个结论：①AC平分∠DAB；②PF2＝PB PA；③若BC＝OP，则阴影部分的面积为π﹣；④若PC＝24，则tan∠PCB＝．其中正确的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
三、填空题
8．（2025·象州模拟）《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作，如图所示是书中记载的一个滑轮机械，称为“绳制”，若图中的定滑轮半径为，滑轮逆时针方向旋转，则重物“甲”上升了　 　（绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留）．
9．（2024九下·通州模拟）如图，点E是的边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为．
10．（2025九下·临平月考）若扇形的圆心角为60°，半径为2，则它的弧长为　 　.
11．（2024九上·从江期中）已知抛物线如图1所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围是 　 　．
12．（2024九上·静安期末）如图，中，，，.点、分别在边、上，，那么的长为　 　.（用含的代数式表示）
13．（2025·凉州模拟）如图，在中，，，，为的中点，E为边上一点，将沿翻折得到，与交于点F，若的面积是的3倍，则的长为　 　．
四、计算题
14．（2024·惠阳模拟）（1）计算：；
（2）解不等式：．
15．（2024九下·蚌埠模拟）已知抛物线经过点．
（1）求的值；
（2）为抛物线上两点，其中．
（）若，且两点均在该抛物线对称轴的左侧，求的取值范围；
（）如图，为坐标原点，过两点作轴的垂线与线段分别交于两点．若四边形为平行四边形，求四边形周长的最大值．
16．（2024九下·河北月考）已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点，点为抛物线上的一个动点
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点的直线交线段于点，且，求线段的长是多少？
（3）当点在第一象限时，连接和，求面积的最大值时多少？
（4）若点在轴上，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请求出点的坐标．
五、解答题
17．（2025九下·石景山开学考）记二次函数和的图像分别为抛物线G和．给出如下定义：若抛物线的顶点在抛物线G上，则称是G的伴随抛物线．
（1）若抛物线和抛物线都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ；
（2）设函数的图像为抛物线．若函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
①求p，q的值；
②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．
18．（2023九下·金平期中）如图，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B，过B作轴于点C，且．
（1）求k的值；
（2）设点P为反比例函数的图象上一点，过点P作轴交直线于点Q，连接，若的面积．求点Q的坐标；
（3）设点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点M使得最小？若存在，求出点M的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由．
六、阅读理解
19．（2024九下·邳州模拟）[阅读理解]如图1，在学习三角形的中位线时，我们发现三角形的三条中位线在三角形内部构成一个新的三角形，则其面积与原三角形面积的比是 ．
[探究思考]如图2，已知，，分别是三边的三等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是定值吗？如果是，请求出该数值；如果不是，请说明理由．
[发现结论]如图3，已知，E，分别是三边的等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是 ．
20．（2024九上·扶余期末）自主学习，请阅读下列解题过程．
解一元二次不等式：＞0．
解：设=0，解得：=0，=5，则抛物线y=与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即＞0，所以，一元二次不等式＞0的解集为：x＜0或x＞5．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的　 　和　 　．（只填序号）
①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想
（2）一元二次不等式＜0的解集为　 　．
（3）用类似的方法解一元二次不等式：＞0．
七、作图题
21．（2024九上·北京市期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，5)，B(1，1)，C(4，3)．
（1）画出ABC关于原点O成中心对称的图形A1B1C1．
（2）求A1B1C1的面积．
八、综合题
22．（2024九下·南宁模拟）根据物理学知识可知，物体匀加（减）速运动时的路程平均速度时间t．，其中是开始时的速度，是t秒时的速度．如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加．
（1）直接写出钢球在斜面滚动t秒时的速度．
（2）求钢球在斜面滚动的距离s（单位：m）关于滚动的时间t（单位：s）的函数解析式．
（3）如果斜面的长是，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？
（4）在（3）的条件下，钢球从斜面顶端滚到底端后，继续在水平地面上滚动，速度每秒减少，求钢球静止时在水平地面上滚动的路程．
九、实践探究题
23．（2024九下·光明模拟）【项目式学习】
项目主题：学科融合－用数学的眼光观察世界
项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
项目素材：
素材一：凸透镜成像规律：
物体到凸透镜距离 像到凸透镜距离 像的大小 像的正倒
大于2倍焦距 大于1倍焦距小于2倍焦距 缩小 倒立
2倍焦距 2倍焦距 等大 倒立
大于1倍焦距小于2倍焦距 大于2倍焦距 放大 倒立
小于焦距 与物同侧 放大 正立
素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变：平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点．
项目任务：
任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①______，②____；
任务二：凸透镜的焦距为，蜡烛是，离透镜中心的距离是时，蜡烛的成像的高，请你利用所学的知识求出与的关系式：
任务三：
（1）根据任务二的关系式得出下表：
物距 8 10 12 14 16
像高 12 6 4 2.4
其中______；
（2）请在坐标系中画出它的图像：
（3）根据函数关系式，结合图像写出1条你得到的结论：
____________________________________________________．
十、证明题
24．（2020八上·洛川期末）如图，点 ， ， ， 在一条直线上， ， ， .求证： .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
3．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；直角三角形斜边上的中线
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
6．【答案】A,B,C
【知识点】通过函数图象获取信息
7．【答案】A,B,D
【知识点】圆与三角形的综合
8．【答案】2π
【知识点】弧长的计算
9．【答案】12
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
10．【答案】
【知识点】弧长的计算
11．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）
12．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质；已知余弦值求边长
13．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
14．【答案】解：（1）
；
（2），
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
解得．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式；特殊角的三角函数的混合运算
15．【答案】（1），
（2）（）；（）四边形周长的最大值
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
16．【答案】（1）；
（2）
（3）；
（4）点的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
17．【答案】（1）
（2）①；②或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
18．【答案】（1）
（2）或
（3）存在，，
【知识点】因式分解法解一元二次方程；反比例函数与一次函数的交点问题；两点之间线段最短；解直角三角形
19．【答案】阅读理解：；探究思考：是定值，定值为；发现结论：
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
20．【答案】（1）①；③
（2）0＜x＜5
（3）解：设=0，解得：=3，=﹣1，∴抛物线y=与x轴的交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）．
画出二次函数y=的大致图象（如图所示），
由图象可知：当x＜﹣1，或x＞3时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即＞0，∴一元二次不等式＞0的解集为：x＜﹣1或x＞3．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；数学思想
21．【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）＝3×4﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5．
【知识点】中心对称及中心对称图形；几何图形的面积计算-割补法；作图﹣中心对称
22．【答案】（1）
（2）
（3）钢球从斜面顶端滚到底端用时2秒
（4）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数-动态几何问题；一次函数的其他应用
23．【答案】任务一：①；，
任务二：解：∵，即：，
解得：，
∴，
任务三：（1）3，
（2）作图如下：
（3）当时，随着的增大而减小．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
24．【答案】证明：∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴在 和 中，
∴ .
∴ .
【知识点】三角形全等的判定-AAS
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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