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2024-2025学年安徽省宣城市奋飞中学九年级（下）开门考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）2025的相反数是（　　）
A．﹣2025 B． C．2025 D．
2．（4分）2024年政府工作报告中指出，截至2023年底，中国新能源汽车保有量为2041万辆，其中2041万用科学记数法表示为（　　）
A．2.041×108 B．0.2041×108
C．2041×107 D．2.041×107
3．（4分）下面计算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．3a2﹣a2＝2
C．4a6÷2a3＝2a2 D．（a2）3＝a6
4．（4分）如图，数轴上的无理数a被挡住了，则数a可能是（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）小华将一副三角板（∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（　　）
A．100° B．105° C．110° D．120°
6．（4分）⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，CD为⊙O的直径，若∠ACD＝25°，则∠BDC为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
7．（4分）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　）
A．y＝a（1+x）2 B．y＝a（1﹣x）2
C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝x2+a
8．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为E，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（4分）若函数y＝2x的图象与二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）的图象有两个交点，且交点的横坐标均满足﹣2＜x＜4，则c的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，等边△ABC边长为6，E、F分别是边BC、CA上两个动点且BE＝CF．分别连接AE、BF，交于P点，则线段CP长度的最小值为（　　）
A．2 B．6﹣2 C．43 D．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11．（5分）若2x﹣5y＝0，且xy≠0，则　 　．
12．（5分）分解因式：xy2+6xy+9x＝ 　 　．
13．（5分）已知，正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG，CE交于点H，若AB＝2，，则CH的长为　 　．
14．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ACO的顶点C在x轴负半轴上，AC⊥x轴，点B在反比例函数y（k≠0）的图象上，BD⊥AC，若∠AOC＝∠ABD＝60°，OA2﹣AB2＝8，则OC2﹣BD2的值为 　 　，k的值为 　 　．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（8分）计算：．
16．（8分）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．
17．（8分）如图，△ABC的三个顶点坐标分别是A（0，3），B（1，0），C（3，1）．
（1）以原点O为位似中心，在y轴左侧画出△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，并写出点C1的坐标．
（2）△ABC的内部一点M的坐标为（a，b），则点M在△A1B1C1中的对应点M1的坐标是多少？
18．（8分）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
.....．
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的等式表示），并证明．
19．（10分）如图，龙首塔，位于宣州区鳌峰公园内，是一座六面七层的楼阁式砖塔，始建于明隆庆年间，至今已有近500年的历史．塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B，小李站在附近的水平地面上．他想知道古塔的高度，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行7秒到达塔顶，已知无人机的速度为4米/秒，∠AOC＝75°，求龙首塔的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：）
20．（10分）如图，在⊙O中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED＝EG；
（2）若，OG＝2，求⊙O的半径．
21．（12分）自深化课程改革以来，某校开设了：A．利用影长求物体高度，B．制作视力表，C．设计遮阳棚，D．制作中心对称图形，四类数学实践活动课．规定每名学生必选且只能选修一类实践活动课，学校对学生选修实践活动课的情况进行抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息解决下列问题；
（1）本次共调查 　 　名学生，扇形统计图中B所对应的扇形的圆心角为 　 　度；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校现有3600名学生，根据以上统计数据估计该校选择制作中心对称图形实践活动课的学生人数．
22．（12分）如图，△ABC中，BC边上的中线AE与∠ABC的平分线BD交于F点，AD＝AF．
（1）求证：△ABF∽△CBD；
（2）求证：CD＝2EF；
（3）若AF＝1，求CD．
23．（14分）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）．
（1）求顶点A的坐标
（2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求△OPB的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D A B B A C C A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11．．
12．x（y+3）2．
13．．
14．2；（a2﹣b2）．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．解：
＝4﹣1
＝3．
16．解：设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单价为50元．
17．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为（﹣6，﹣2）；
（2）△ABC的内部一点M的坐标为（a，b），则点M在△A1B1C1中的对应点M1的坐标是（﹣2a，﹣2b）．
18．解：（1）∵第1个等式：111，
第2个等式：1，
第3个等式：1，
第4个等式：1，
∴第5个等式：1，
故答案为：1；
（2）由题意得，
第1个等式：111，
第2个等式：1，
第3个等式：1，
第4个等式：1，
……，
∴第n个等式：1．
故答案为：1．
19．解：过点O作OD⊥BC，交BC的延长线于点D，过点O作OE⊥AB，垂足为E，
由题意得：OD＝BE，OC＝4×4＝16（米），OA＝4×7＝28（米），OE∥BD，
∴∠EOC＝∠OCD＝45°，
∵∠AOC＝75°，
∴∠AOE＝∠AOC﹣∠EOC＝30°，
在Rt△COD中，OD＝OC sin45°＝168（米），
∴OD＝BE＝8米，
在Rt△AOE中，∠AOE＝30°，
∴AEAD＝14（米），
∴AB＝AE+BE＝14+825.3（米），
∴龙首塔的高度约为25.3米．
20．（1）证明：如图，连接BD，
∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，
∴∠CFG＝∠GEB＝90°
又∵∠CGF＝∠BGE，
∴∠C＝∠GBE，
∵，
∴∠C＝∠DBE，
∴∠GBE＝∠DBE，
∵AB⊥CD，
∴∠GEB＝∠DEB＝90°，
∴∠BGE＝∠BDE，
∴BD＝BG，
又∵BE⊥DG，
∴ED＝EG；
（2）解：如图，连接OA，设OA＝r，则DG＝r+2，
∴，
∴，
∵AB⊥CD于E，，
∴，
在Rt△OEA中，OE2+AE2＝OA2，
即，
解得或r＝﹣6（舍）．
即⊙O的半径为．
21．解：（1）本次调查的学生人数为12÷20%＝60（名），
则扇形统计图中B所对应的扇形的圆心角为360°144°．
故答案为：60，144°．
（2）A类别人数为60×15%＝9（名），则D类别人数为60﹣（9+24+12）＝15（名），
补全条形图如下：
（3）估计该校选择制作中心对称图形实践活动课的学生人数为3600900（名）．
22．（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵AD＝AF，
∴∠3＝∠4，
∵∠3＝∠1+∠5，∠4＝∠2+∠C，
∴∠5＝∠C，
∴△ABF∽△CBD；
（2）证明：过E点作EM∥BD交AC于M点，如图，
∵AE为中线，
∴BE＝CE，
∵EM∥BD，
∴1，
即CM＝DM，
∵DF∥EM，
∴，
而AD＝AF，
∴FE＝DM，
∴CD＝2DM＝2EF；
（3）解：∵DF∥EM，
∴△ADF∽△AME，
∴，
∵AD＝AF＝1，EMBD，DMCD，
∴，
即①，
∵△ABF∽△CBD，
∴，
即②，
①+②得1，
解得CD．
23．解：（1）把B（3，﹣3）代入y＝﹣x2+mx+m2得：﹣3＝﹣32+3m+m2，
解得m＝2，
∴y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴顶点A的坐标是（1，1）；
（2）∵直线OB的解析式为y＝﹣x，
故设P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n），
∴PQ＝﹣n2+2n﹣（﹣n）＝﹣n2+3n，
∴S△OPB（﹣n2+3n）（n）2，
当n时，S△OPB的最大值为．
此时y＝﹣n2+2n，
∴P（，）；
（3）∵直线OA的解析式为y＝x，
∴可设新的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣a）2+a，
联立，
∴﹣（x﹣a）2+a＝x，
∴x1＝a，x2＝a﹣1，
即C、D两点间的横坐标的差为1，
∴CD．

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