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三角函数
一．选择题（共8小题）
1．（2024 福建）若sinα，则α为第四象限角，则tanα的值等于（　　）
A． B． C． D．
2．（2024 山东）要得到函数y＝sin（4x）的图象，只需要将函数y＝sin4x的图象（　　）个单位．
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 D．向右平移
3．（2024 新课标Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α，则|a﹣b|＝（　　）
A． B． C． D．1
4．（2024 新课标Ⅱ）若f（x）＝cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（　　）
A． B． C． D．π
5．（2024 广东）已知sin（α），cosα＝（　　）
A． B． C． D．
6．（2024 四川）为了得到函数y＝sin（2x）的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点（　　）
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
7．（2024 新课标Ⅱ）若f（x）＝cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（　　）
A． B． C． D．π
8．（2024 新课标Ⅱ）函数f（x）＝sin（2x）的最小正周期为（　　）
A．4π B．2π C．π D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2023 南关区校级模拟）已知f（x）＝2cos2ωxsin2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π，则下列说法正确的有（　　）
A．ω＝2
B．函数f（x）在上为增函数
C．直线是函数y＝f（x）图象的一条对称轴
D．点是函数y＝f（x）图象的一个对称中心
（多选）10．（2024 思明区校级期中）已知f（x）＝sinx+x（x∈[﹣1，1]），且实数a，b满足f（a）+f（b﹣1）＝0成立，则以下正确的是（　　）
A．ab的最大值为 B．ab的最小值为﹣2
C．的最小值为9 D．b﹣a的最大值为3
（多选）11．（2024 南通期末）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的一个对称中心为（，0），则下列说法正确的是（　　）
A．ω越大，f（x）的最小正周期越小
B．当ω＝3k（k∈N*）时，f（x）是偶函数
C．当ω＞3时， x0∈（0，），|f（x0）|＝2
D．当2＜ω＜3时，f（x）在区间（，）上具有单调性
（多选）12．（2024 乾安县校级期末）下列化简正确的是（　　）
A．tan（π+1）＝tan1
B．cosα
C．tanα
D．1
三．填空题（共4小题）
13．（2024 新课标Ⅱ）若sinx，则cos2x＝　 　．
14．（2024 江苏）已知tanα＝﹣2，tan（α+β），则tanβ的值为　 　．
15．（2024 南阳期末）函数的定义域是　 　．
16．（2024 江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 浙江）已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（）的值．
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
18．（2024 北京）已知函数f（x）sincos．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．
19．（2024 重庆）已知函数f（x）sin2xcos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈时，求g（x）的值域．
20．（2024 浙江）设函数f（x）＝sinx，x∈R．
（Ⅰ）已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值；
（Ⅱ）求函数y＝[f（x）]2+[f（x）]2的值域．
三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 福建）若sinα，则α为第四象限角，则tanα的值等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】三角函数的求值．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出cosα，然后求解即可．
【解答】解：sinα，则α为第四象限角，cosα，
tanα．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．
2．（2024 山东）要得到函数y＝sin（4x）的图象，只需要将函数y＝sin4x的图象（　　）个单位．
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 D．向右平移
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图象与性质．
【答案】B
【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．
【解答】解：因为函数y＝sin（4x）＝sin[4（x）]，
要得到函数y＝sin（4x）的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移单位．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．
3．（2024 新课标Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α，则|a﹣b|＝（　　）
A． B． C． D．1
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值．
【答案】B
【分析】推导出cos2α＝2cos2α﹣1，从而|cosα|，进而|tanα|＝||＝|a﹣b|．由此能求出结果．
【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，
终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α，
∴cos2α＝2cos2α﹣1，解得cos2α，
∴|cosα|，∴|sinα|，
|tanα|＝||＝|a﹣b|．
故选：B．
【点评】本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
4．（2024 新课标Ⅱ）若f（x）＝cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（　　）
A． B． C． D．π
【考点】两角和与差的三角函数；正弦函数的单调性．
【专题】函数思想；转化法；三角函数的求值．
【答案】A
【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由，k∈Z，得，k∈Z，取k＝0，得f（x）的一个减区间为[，]，结合已知条件即可求出a的最大值．
【解答】解：f（x）＝cosx﹣sinx＝﹣（sinx﹣cosx），
由，k∈Z，
得，k∈Z，
取k＝0，得f（x）的一个减区间为[，]，
由f（x）在[﹣a，a]是减函数，
得，∴．
则a的最大值是．
故选：A．
【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．
5．（2024 广东）已知sin（α），cosα＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】诱导公式．
【专题】三角函数的求值．
【答案】C
【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．
【解答】解：sin（α）＝sin（2πα）＝sin（α）＝cosα．
故选：C．
【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
6．（2024 四川）为了得到函数y＝sin（2x）的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点（　　）
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图象与性质．
【答案】D
【分析】由条件根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：把函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝sin2（x）＝sin（2x）的图象，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
7．（2024 新课标Ⅱ）若f（x）＝cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（　　）
A． B． C． D．π
【考点】两角和与差的三角函数；正弦函数的单调性．
【专题】函数思想；转化法；三角函数的求值．
【答案】C
【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由2kπ≤x2kπ，k∈Z，得2kπ≤x2kπ，k∈Z，取k＝0，得f（x）的一个减区间为[，]，结合已知条件即可求出a的最大值．
【解答】解：f（x）＝cosx﹣sinx＝﹣（sinx﹣cosx）sin（x），
由2kπ≤x2kπ，k∈Z，
得2kπ≤x2kπ，k∈Z，
取k＝0，得f（x）的一个减区间为[，]，
由f（x）在[0，a]是减函数，
得a．
则a的最大值是．
故选：C．
【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．
8．（2024 新课标Ⅱ）函数f（x）＝sin（2x）的最小正周期为（　　）
A．4π B．2π C．π D．
【考点】三角函数的周期性．
【专题】对应思想；分析法；三角函数的图象与性质．
【答案】C
【分析】利用三角函数周期公式，直接求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝sin（2x）的最小正周期为：π．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的周期的求法，是基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2023 南关区校级模拟）已知f（x）＝2cos2ωxsin2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π，则下列说法正确的有（　　）
A．ω＝2
B．函数f（x）在上为增函数
C．直线是函数y＝f（x）图象的一条对称轴
D．点是函数y＝f（x）图象的一个对称中心
【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数据分析．
【答案】BD
【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：∵cos2ωxsin2ωx＝2cos（2ωx） 的最小正周期为π，
∴ω＝1，∴f（x）＝2cos（2x），故A错误．
在上，2x∈[，0]，故 f（x）＝2cos（2x） 单调递增，故B正确；
当x时，f（x）＝1，不是最值，故直线不是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，故C错误；
当x时，f（x）＝0，故点是函数y＝f（x）图象的一个对称中心，故D正确，
故选：BD．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的图象和性质，属于中档题．
（多选）10．（2024 思明区校级期中）已知f（x）＝sinx+x（x∈[﹣1，1]），且实数a，b满足f（a）+f（b﹣1）＝0成立，则以下正确的是（　　）
A．ab的最大值为 B．ab的最小值为﹣2
C．的最小值为9 D．b﹣a的最大值为3
【考点】正弦函数的图象．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性和奇偶性得到a+b＝1，求出a，b的范围，对于A，B，结合二次函数的性质判断即可，对于C，结合不等式的性质判断，对于D，结合图象判断即可．
【解答】解：∵f（x）＝sinx+x（x∈[﹣1，1]），
∴f（﹣x）+f（x）＝0，∴函数为奇函数，
∵x＞0时，f′（x）＝1+cosx≥0，
∴函数f（x）为增函数，
∵f（a）+f（b﹣1）＝0，
∴f（a）＝﹣f（b﹣1）＝f（1﹣b），
∴a＝1﹣b，∴a+b＝1，
﹣1≤a≤1，0≤b≤2，
对于A：ab＝a（1﹣a），
a∈[﹣1，1]，当a时，ab的最大值是，故A正确；
对于B：根据题意得：ab＝a（1﹣a），
a∈[﹣1，1]，当a＝﹣1时，ab取最小值﹣2，故B正确；
对于C：当a＝0或b＝0时，和没有意义，
当a≠0且b≠0时，
（）（a+b）＝5，
当a，b异号时，显然5，最小值不是9，故C错误；
对于D：如图示：
令x＝a，y＝b，x+y＝1，x∈[﹣1，1]，
则b﹣a＝y﹣x，令z＝y﹣x，即y＝x+z，
z的几何意义是直线y＝x+z的纵截距，
当y＝x+z过A（﹣1，2）时z取最大值，
zmax＝2﹣（﹣1）＝3，故D正确，
故选：ABD．
【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，二次函数的性质以及不等式，方程的应用，是一道综合题．
（多选）11．（2024 南通期末）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的一个对称中心为（，0），则下列说法正确的是（　　）
A．ω越大，f（x）的最小正周期越小
B．当ω＝3k（k∈N*）时，f（x）是偶函数
C．当ω＞3时， x0∈（0，），|f（x0）|＝2
D．当2＜ω＜3时，f（x）在区间（，）上具有单调性
【考点】正弦函数的图象．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ACD
【分析】利用正弦函数的图象与性质，对四个选项逐一分析可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的一个对称中心为（，0），
∴ωφ＝kπ，k∈Z，
即φ＝kπ，k∈Z，又T，
∴ω越大，f（x）的最小正周期越小，故A正确；
当ω＝3k（k∈N*）时，f（x）＝2sin（3kx+kπ ）＝2sin（3kx），k取偶数时，不是偶函数，故B错误；
当ω＝4＞3时，由4φ＝kπ（k∈Z），|φ|得φ，
x0∈（0，），|f（x0）|＝|2sin（4）|＝2，故C正确；
由于x∈（，），2＜ω＜3，
不妨令ω→2+，由ω+φ＝kπ（k∈Z），|φ|得φω，
∴ωx+φ∈（ωω，ωω）＝（ω，ω） （，），故f（x）在区间（，）上单调递减；
同理可得，当ω→3﹣，由ω+φ＝kπ（k∈Z），|φ|得φω，
∴ωx+φ∈（ωω，ωω）＝（ω，ω） （，），故f（x）在区间（，）上单调递减；
即当2＜ω＜3时，f（x）在区间（，）上单调递减，故D正确；
故选：ACD．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．
（多选）12．（2024 乾安县校级期末）下列化简正确的是（　　）
A．tan（π+1）＝tan1
B．cosα
C．tanα
D．1
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；数据分析．
【答案】AB
【分析】由题意利用诱导公式化简所给的式子，可得结果．
【解答】解：∵由诱导公式可得 tan（π+1）＝tan1，故A正确；
cosα，故B正确；
tanα，故C不正确；
1，故D不正确，
故选：AB．
【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 新课标Ⅱ）若sinx，则cos2x＝　　．
【考点】二倍角的三角函数；同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知利用二倍角公式化简所求即可计算得解．
【解答】解：∵sinx，
∴cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2×（）2．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
14．（2024 江苏）已知tanα＝﹣2，tan（α+β），则tanβ的值为　3　．
【考点】两角和与差的三角函数．
【专题】三角函数的求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可．
【解答】解：tanα＝﹣2，tan（α+β），
可知tan（α+β），
即，
解得tanβ＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．
15．（2024 南阳期末）函数的定义域是　Z）　．
【考点】三角函数的定义域；函数的定义域及其求法．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】列出使函数有意义的不等式组，即由被开方数不小于零，得三角不等式组，分别利用正弦函数和余弦函数图象解三角不等式组即可
【解答】解：要使函数有意义，需要满足，
解得：，（k∈Z）
即2kπx≤2kπ+π，（k∈Z）
故答案为 Z）．
【点评】本题考查了函数定义域的求法，三角函数的图象和性质，解简单的三角不等式的方法
16．（2024 江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是 　7　．
【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．
【专题】数形结合；数形结合法；三角函数的图象与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】法1：画出函数y＝sin2x与y＝cosx在区间[0，3π]上的图象即可得到答案；
法2：由sin2x＝cosx，即cosx（2sinx﹣1）＝0，可得cosx＝0或sinx，结合题意，解之即可．
【解答】解：法1：画出函数y＝sin2x与y＝cosx在区间[0，3π]上的图象如下：
由图可知，共7个交点．
法2：依题意，sin2x＝cosx，即cosx（2sinx﹣1）＝0，故cosx＝0或sinx，
因为x∈[0，3π]，故x，，，，，，，共7个，
故答案为：7．
【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数y＝sin2x与y＝cosx在区间[0，3π]上的图象是关键，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 浙江）已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（）的值．
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的周期性；正弦函数的单调性．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的图象与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，
（Ⅰ）代入可得：f（）的值．
（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间
【解答】解：∵函数f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosxsin2x﹣cos2x＝2sin（2x）
（Ⅰ）f（）＝2sin（2）＝2sin2，
（Ⅱ）∵ω＝2，故T＝π，
即f（x）的最小正周期为π，
由2x∈[2kπ，2kπ]，k∈Z得：
x∈[kπ，kπ]，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间为[kπ，kπ]或写成[kπ，kπ]，k∈Z．
【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档．
18．（2024 北京）已知函数f（x）sincos．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．
【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的周期性；三角函数的最值．
【专题】计算题；三角函数的求值；三角函数的图象与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的周期，即可得到所求；
（Ⅱ）由x的范围，可得x的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）sincos
sinx（1﹣cosx）
＝sinxcoscosxsin
＝sin（x），
则f（x）的最小正周期为2π；
（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得
x，
即有﹣1，
则当x时，sin（x）取得最小值﹣1，
则有f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1．
【点评】本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查运算能力，属于中档题．
19．（2024 重庆）已知函数f（x）sin2xcos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈时，求g（x）的值域．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图象与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）＝sin（2x），从而可求最小正周期和最小值；
（Ⅱ）由函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）＝sin（x），由x∈[，π]时，可得x的范围，即可求得g（x）的值域．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）sin2xcos2xsin2x（1+cos2x）＝sin（2x），
∴f（x）的最小正周期Tπ，最小值为：﹣1．
（Ⅱ）由条件可知：g（x）＝sin（x）
当x∈[，π]时，有x∈[，]，从而sin（x）的值域为[，1]，那么sin（x）的值域为：[，]，
故g（x）在区间[，π]上的值域是[，]．
【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．
20．（2024 浙江）设函数f（x）＝sinx，x∈R．
（Ⅰ）已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值；
（Ⅱ）求函数y＝[f（x）]2+[f（x）]2的值域．
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】计算题；整体思想；三角函数的图象与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）函数f（x+θ）是偶函数，则θ（k∈Z），根据θ的范围可得结果；
（2）化简函数得y，然后根据x的范围求值域即可．
【解答】解：（1）由f（x）＝sinx，得
f（x+θ）＝sin（x+θ），
∵f（x+θ）为偶函数，∴θ（k∈Z），
∵θ∈[0，2π），∴或，
（2）y＝[f（x）]2+[f（x）]2
＝sin2（x）+sin2（x）
＝1
，
∵x∈R，∴，
∴，
∴函数y＝[f（x）]2+[f（x）]2的值域为：．
【点评】本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键是熟练掌握三角恒等变换，属基础题．
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