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2025年中考数学模拟试卷
（全国通用）
注意事项：
1．本试卷共三个大题，满分120分，考试时间120分钟。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
第Ⅰ卷
选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1．2025的倒数是（ ）
A．2025 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了倒数的定义，熟知知识点是解决本题的关键．根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，根据定义即可求解．
【详解】解：根据倒数的定义得2025的倒数为，
故选：D．
2．环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．中国信息通信研究院测算年，中国商用带动的信息消费规模将超过亿元，直接带动经济总产出达亿元，近似数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用科学记数法表示一个绝对值大于的数时，的指数比原数的整数位数少．
【详解】．
故选：D．
【点睛】本题主要考查科学记数法，牢记科学记数法的定义（把一个绝对值大于的数记作的形式，其中是整数位数只有一位的数，是正整数，这种记数方法叫做科学记数法）是解题的关键．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方完全平方公式的计算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式的计算进行判定即可．
【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项正确，符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：B ．
5．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．左图是一块雕刻印章的材料，从左面看到的平面图形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查简单组合体的三视图，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．
画出从左边看到的图形即可求解．
【详解】
解：从左边看到的图形为：
故选：A．
6．数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盆子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子多用10分钟，乙每小时做盒子的数量是甲每小时做盒子的数量的2倍．设甲每小时做x个盒子，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲每小时做个盒子，根据“乙每小时做盒子的数量是甲每小时做盒子的数量的2倍”，则甲每小时做个盒子，根据“甲做6个盒子比乙做4个盒子多用10分钟”，列出方程即可．
【详解】解：设甲每小时做个盒子，则乙每小时做个盒子，
由题意得：，
故选：D．
7．一台起重机的工作简图如图所示，吊杆与吊绳的夹角为，在同一平面内，将逆时针旋转后到的位置，则吊杆与所连吊绳的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键．
首先根据题意可得：，然后由两直线平行，内错角相等，即可求得的度数，又由三角形外角的性质，求得答案．
【详解】解：如图所示：
设与逆时针旋转后吊绳交与点C，，
，
∴，
∴，
，，
∴．
故选：C．
8．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB∥x轴，点C在x轴上，△ABC的面积为3，则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】D
【分析】连结OA，OB、如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到+|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【详解】解：连结OA，OB，如图，
∵AB⊥y轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△ABC＝3，
∴+|k|＝3，
∵k＜0，
∴k＝﹣2．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝ 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
9．如图，在菱形中，，，点是对角线的中点，以点为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点在扇形内，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过作，，连接，设与交于点，与交于点，根据菱形的性质，角度和差，角平分线的性质证明，，从而证明∴，故有，则四边形面积四边形面积面积，然后求出，，然后求出面积即可．
【详解】解：过作，，连接，设与交于点，与交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形面积四边形面积面积，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形面积面积，
∴阴影部分的面积扇形面积四边形面积，
故选：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，角平分线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系上有个点，点A第1次向上跳动一个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点A第2024次跳动至点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标中点的坐标规律问题，设第n次跳动至点，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，（n为自然数）”，依此规律结合即可得出点的坐标，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，（n为自然数）”是解题的关键．
【详解】设第n次跳动至点，
观察，发现：，，，，，，，，，，…，
∴，，，（n为自然数）．
∵，
∴，即，
故选：B．
第Ⅱ卷
填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上）
11．计算的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简，掌握分式的性质，分式的混合运算法则是解题的关键．
先通分，再计算，化成最简分式即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
12．如图，数轴上的点表示实数、且与的积为有理数，则整数的值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的计算，解决本题的关键是熟练掌握实数与数轴及二次根式的乘法运算，先求出，再根据与的积为有理数求解即可．
【详解】解：点M在数轴上的位置在2与3之间，
，
，
与的积为有理数，且，
，
故答案为：8
13．2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确画出树状图或列出表格得到所有等可能结果是解题的关键．分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有等可能结果；再找恰好组成“如意”字样的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】解：分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D，
画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“如意”字样的结果数有2种结果，
所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“如意”字样的概率为：，
故答案为：．
14．某校九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，走米到处再测得点的仰角为，已知、、在同一条直线上，则新教学楼的高度是 米．（结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）（参考数据：，，）

【答案】
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义列出方程，解方程求出．
【详解】解：在中，，
则，
米，
米，
在中，，
，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．矩形中，点是边上一动点，将沿着所在直线翻折，当点的对应点恰好落在上，且点是的三等分点时，的值为 ．
【答案】或
【分析】根据题意，分两种情况：当时；当时；作出图形，，由矩形性质及折叠性质得到相应线段长，在由勾股定理求出，利用等面积，求得的关系式，代入求值即可得到答案．
【详解】解：根据题意，分两种情况：
当时，如图所示：
设，则，，，
将沿着所在直线翻折，当点的对应点恰好落在上，
，且，即，
在中，由勾股定理可得，
，即，解得，两边同时平方得，再同时开方得（负值舍去），
；
当时，如图所示：
设，则，，，
将沿着所在直线翻折，当点的对应点恰好落在上，
，且，即，
在中，由勾股定理可得，
，即，解得，两边同时平方得，再同时开方得（负值舍去），
；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查矩形性质、折叠性质、勾股定理、等面积法及代数式求值等知识，根据题意，分类讨论，准确作出图形，利用等面积法得到的关系式是解决问题的关键．
16．函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，其中．
①当时，则；
②若方程有两根，则；
③点，是抛物线上不同于，的两个点，当时，；
④函数的图象与的函数图象总有两个不同交点．
以上结论正确的序号是 ．
【答案】①③/③①
【分析】由对称轴为x=-1和点（2，0），推出c=-8a，代入0【详解】解：依照题意，画出图形如下：
①∵顶点坐标为( 1，n)，
∴对称轴x=-=-1，则b=2a，
将点（2，0）代入抛物线得4a+2b+c=0，
解得c=-8a，
∵0∴0<-8a<1，即-1<8a<0，
∴-∵方程ax2+bx+c n k=0有两根，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+k有两个交点，
∵顶点坐标为( 1，n)，
∴n+k≤n，即k≤0，故②不正确；
观察图象可知：横坐标距离对称轴越近，函数值越大，距离对称轴越远，函数值越小．
∵对称轴为x=-1，且|x1+1|>|x2+1|>3，
∴P1点距离对称轴的距离比P2点距离对称轴的距离大，
∴y1∵顶点为（-1，n），
∴抛物线解析式为；y=a（x+1）2+n=ax2+2ax+a+n，
联立方程组可得：，
可得ax2+（2a-k）x+a+n-1=0，
∴△=（2a-k）2-4a（a+n-1）=k2-4ak+4a-4an，
∵无法判断△是否大于0，
∴无法判断函数y=kx+1的图象与y=ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，故④错误；
综上，①③正确，
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数图象与系数的关系等知识，能根据图象确定与系数有关的式子的符号是解题的关键．
解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算： ；
（2）求满足不等式组的所有整数解之积．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）原式
；
（2）解：解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
∴整数解为，
∴所有整数解之积为．
18．（8分）如图，，点D在边上，，和相交于点O．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质：
（1）根据全等三角形的判定即可判断；
（2）由（1）可知：，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数．
【详解】（1）证明：∵和相交于点O，
∴．
又∵在和中，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴．
19．（8分）如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第二，四象限分别交于，两点，连接．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)直接写出时，的取值范围．
【答案】(1)一次函数，反比例函数；
(2)；
(3)当或时，．
【分析】本题是主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式等知识点，正确确定反比例函数和一次函数的解析式是解答本题的关键．
（1）把A代入反比例函数可求得m，即可得到反比例函数的解析式，再将代入可求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可；
（2）求出一次函数图象与y轴交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可；
（3）根据图象得到一次函数图象在反比例函数图象上方的x取值范围即可．
【详解】（1）解：把代入反比例函数，解得：，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在反比例函数图象上，
∴，解得：，
∴，
∵一次函数的图象经过A和B，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：∵一次函数的解析式为，
∴令，解得：，
则直线交y轴于点，
∵，，
∴；
（3）解：由图可知或时，．
20．（8分）某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98；
八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：82，83，86，89，89．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
学生 平均数 中位数 众数 方差
七年级 87 86 b 52.4
八年级 87 a 89 62.4
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
(3)该校七年级共有900人参赛，八年级共有850人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有多少人？
【答案】(1)；；
(2)七年级的成绩更好，理由见解析
(3)估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有525人．
【分析】本题考查了数据的统计与分析，熟练掌握平均数，众数，中位数，样本估计总体等知识是解题的关键．
（1）八年级名学生的竞赛成绩中，可求得等级有2名，故中位数在等级的5人中，根据中位数的计算方法即可得到的值；根据七年级名学生的竞赛成绩，利用众数的定义可得到的值；八年级名学生的竞赛成绩中，等级有3名，由此可得的值；
（2）由于平均数相同，比较方差即可得到答案；
（3）由样本中优秀人数的占比来估计总体中优秀人数的占比进行计算，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题可得：八年级名学生的竞赛成绩中，可求得等级有名，等级中有5人，
∴八年级名学生的竞赛成绩的中位数为：，
∵七年级名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98；；
∴众数，
∵八年级名学生的竞赛成绩中，等级有2名，等级中有5人，
∴等级有3名，
∴等级所占的百分比为：，
∴，
故答案为：；；；
（2）解：七年级的成绩更好，理由如下：
∵两个年级的平均数相同，而七年级的成绩的方差小于八年级的，
∴七年级的成绩更好；
（3）解：由题可得：（人）
答：估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有525人．
21．（8分）如图，是的直径，点在上，连接和平分交于点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)请判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的半径．
【答案】
（1）是的切线，理由见解析
（2）半径为
【分析】（1）连接，利用圆的半径相等和角平分线定义得出，再根据平行线的判定得出，结合，最终证明该半径与直线垂直，从而判定直线为切线．
（2）设交于点，利用直径所对圆周角为直角，先证四边形为矩形，再根据矩形的对边相等以及垂径定理，勾股定理，将已知线段长度与半径关联，进而求解半径．
【详解】（1）解：结论：是的切线．
理由：连接，
，
平分，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）设，设交于点．
是直径，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在中，
，
的半径为．
【点睛】本题是一道圆的综合题，考查了切线的判定定理，勾股定理的应用，矩形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质等知识．解题关键是辅助线构造，方程思想：通过设未知数，结合几何图形的性质（如矩形、直角三角形）建立方程，求解未知量（半径）．
22．（10分）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
【答案】(1)，球不能射进球门
(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门
【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；
（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把点代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得，
解得（舍去），，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23．（10分）如图，在中，，为直线上一点（不与、重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，若在边上，，，求的长；
(2)如图2，若在边上，连接，延长交于，求证：；
(3)如图3，若在的延长线上，连接，延长交于，为射线上一点，连接，使得，连接、，当△为直角三角形时，请直接写出此时的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)的值为或
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质、等边三角形的性质、含有特殊角的直角三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）由题易得是等边三角形，所以可求出，解直角三角形即可得解；
（2）作射线交的延长线于点，使，过点作交于点，过点作的垂线段交于点，先证，再证，所以，进而即可得证；
（3）以为边向上侧作等边，易证，可证出，所以，进而得到，然后证，再证，可得，，最后分类讨论，根据特殊角找出边的关系求解即可．
【详解】（1）解：如图1，过点作于点，
在中，，，
，，
在中，，
，
，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
；
（2）证明：如图2，作射线交的延长线于点，使，过点作交于点，过点作的垂线段交于点，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
又，，
，
，，
由（1）知，，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：以为边向上侧作等边，连接，连接，
则，，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
,
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
①当时，
设，
，
，
，
，
；
②当时，
设，则，
，
，
，
；
综上，的值为或．
24．（12分）如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，点是线段上方抛物线上一动点，过点作轴交线段于点，点为轴上一动点，点为拋物线对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值；
(3)将拋物线沿方向平移，平移后的抛物线经过，点为平移后抛物线上一动点，原拋物线的对称轴交轴于点，当时，求所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的解答过程．
【答案】(1)
(2)
(3)，，解答过程见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得和直线的解析式为，由题意，设，，则，利用坐标与图形性质得到，利用二次函数的性质求得当时，取得最大值，此时，作点P关于y轴的对称点，连接，，，可得，当A、N、M、共线时取等号，此时最小，最小值为的长，利用两点坐标距离公式求解即可；
（3）先根据已知条件求得新抛物线的解析式为，然后分当在上方时和当在下方时两种情况，利用待定系数法、联立方程组、全等三角形的判定与性质求解即可．
【详解】（1）解：∵拋物线与轴交于两点，
∴，解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，则，
设直线的解析式为，
将代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
由题意，设，，则，
∴，，
∴，
∵，，
∴当时，取得最大值，此时，
如图，作点P关于y轴的对称点，连接，，，
则，，
∵拋物线与轴交于两点，
∴点A、B关于直线对称，
∴，
∴，当A、N、M、共线时取等号，此时最小，最小值为的长，
∵，
故的最小值为；
（3）解：由得抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∵将拋物线沿方向平移，
∴设抛物线向左平移个单位，再向下平移m个单位，得到新抛物线，
则平移后的抛物线解析式为，
∵平移后的抛物线经过，
∴，解得，（舍去），
∴新抛物线的解析式为，
当在上方时，如下图，
∵，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
联立方程组，解得，（舍去），
则T坐标为；
当在下方时，如上图，设即与y轴相交于S，
∵，，
∴，又，，
∴，
∴，则，
设直线的解析式为，
将代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
联立方程组，解得，（舍去），
故即T的坐标为，
综上，满足条件的所有点T坐标为和．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数的图象平移、坐标与图形、两点坐标距离公式、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、解方程（组）等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2025年中考数学模拟试卷
（全国通用）
注意事项：
1．本试卷共三个大题，满分120分，考试时间120分钟。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
第Ⅰ卷
选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1．2025的倒数是（ ）
A．2025 B． C． D．
2．环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．中国信息通信研究院测算年，中国商用带动的信息消费规模将超过亿元，直接带动经济总产出达亿元，近似数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．左图是一块雕刻印章的材料，从左面看到的平面图形为（ ）
A． B． C． D．
6．数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盆子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子多用10分钟，乙每小时做盒子的数量是甲每小时做盒子的数量的2倍．设甲每小时做x个盒子，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
7．一台起重机的工作简图如图所示，吊杆与吊绳的夹角为，在同一平面内，将逆时针旋转后到的位置，则吊杆与所连吊绳的夹角为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB∥x轴，点C在x轴上，△ABC的面积为3，则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
9．如图，在菱形中，，，点是对角线的中点，以点为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点在扇形内，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系上有个点，点A第1次向上跳动一个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点A第2024次跳动至点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上）
11．计算的结果是 ．
12．如图，数轴上的点表示实数、且与的积为有理数，则整数的值为 ．
13．2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是 ．
14．某校九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，走米到处再测得点的仰角为，已知、、在同一条直线上，则新教学楼的高度是 米．（结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）（参考数据：，，）

15．矩形中，点是边上一动点，将沿着所在直线翻折，当点的对应点恰好落在上，且点是的三等分点时，的值为 ．
16．函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，其中．
①当时，则；
②若方程有两根，则；
③点，是抛物线上不同于，的两个点，当时，；
④函数的图象与的函数图象总有两个不同交点．
以上结论正确的序号是 ．
解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算： ；
（2）求满足不等式组的所有整数解之积．
18．（8分）如图，，点D在边上，，和相交于点O．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
19．（8分）如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第二，四象限分别交于，两点，连接．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)直接写出时，的取值范围．
20．（8分）某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98；
八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：82，83，86，89，89．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
学生 平均数 中位数 众数 方差
七年级 87 86 b 52.4
八年级 87 a 89 62.4
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
(3)该校七年级共有900人参赛，八年级共有850人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有多少人？
21．（8分）如图，是的直径，点在上，连接和平分交于点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)请判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的半径．
22．（10分）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
23．（10分）如图，在中，，为直线上一点（不与、重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，若在边上，，，求的长；
(2)如图2，若在边上，连接，延长交于，求证：；
(3)如图3，若在的延长线上，连接，延长交于，为射线上一点，连接，使得，连接、，当△为直角三角形时，请直接写出此时的值．
24．（12分）如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，点是线段上方抛物线上一动点，过点作轴交线段于点，点为轴上一动点，点为拋物线对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值；
(3)将拋物线沿方向平移，平移后的抛物线经过，点为平移后抛物线上一动点，原拋物线的对称轴交轴于点，当时，求所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的解答过程．
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