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小升初解决问题专项训练：比的运用-2024-2025学年数学六年级下册人教版
1．一个长方形的周长是25厘米，长与宽的比是3∶2，这个长方形的面积是多少平方厘米？
2．配制一种除虫药水，药液和水的质量比是1∶1000，用20千克水配制这种药水，需要药液多少克？
3．一名马拉松选手跑40千米大约用2小时，普通人骑自行车3小时可行45千米。
（1）写出马拉松选手和骑自行车的人各自路程和时间的比，并求出比值。
（2）马拉松选手和骑自行车的人谁的速度快？
4．如图所示是一个圆锥形容器，装入37.68毫升的水，容器高度正好是水面高度的3倍，水面半径和容器口的半径之比是1∶3，这个圆锥形容器的容积是多少毫升？
5．植树节期间，学校把植树任务按1∶2∶3分配给四、五、六年级。
（1）按植树任务的分配比例，在扇形统计图中标出年级。
（2）如果六年级实际植树72棵，超过原计划的20%，那么原计划各年级分别植树多少棵？
（3）如果植树总数不变，在问题（2）的条件下，四、五年级仍按1∶2分配任务，那么四、五年级实际植树各多少棵？
6．六年级同学组织书法比赛，共收到140份参赛作品，获奖率为20%。
（1）求获奖的作品数量。
（2）如果获一、二、三等奖的奖品数的比为1∶2∶4，获一、二、三等奖的作品各有多少份？
7．一个长方体的棱长总和是216厘米，长、宽、高的比是4∶3∶2，这个长方体的表面积和体积各是多少？
8．甲有130张邮票，乙有70张邮票。乙给甲多少张后，甲和乙邮票张数的比是4∶1？
9．运输队运一批货物，分3天运完，第一天运了60吨，占这批货物的，第二天和第三天运走的吨数比是3∶2，第三天运走了多少吨？
10．有一杯盐水，盐和水的质量的比是1∶10，再放入2克盐，新盐水的质量是35克。原来盐水中的盐和水各有多少克？新盐水中盐和水的比是多少？
11．某水果店有梨和苹果若干千克，梨和苹果的质量的比是4∶9，梨有36千克，求梨和苹果一共有多少千克？
12．有一杯90克的糖水，其中糖与水的质量比是2∶13，现在要增加糖水的甜度，使糖占糖水的。有以下两种方法：一是再增加一些糖，二是蒸发掉一些水。请你分别计算出要再增加多少克糖或蒸发掉多少克水？
13．喜悦书屋内设有成人阅读区、亲子共读区和电子书下载区等三个区域。书屋的面积一共有132平方米，其中电子书下载区的面积占总面积的，成人阅读区和亲子共读区的面积比3∶8，亲子共读区的面积是多少平方米？
14．君君要折一些千纸鹤，第一天折了总数量的，第二天又折了10个，这时已折的个数和未折的个数比是3∶13，君君一共要折多少个？
15．英英读一本科技书，已读了全书的还多12页，已读页数与未读页数的比是。全书有多少页？（根据题意，在线段图上补充“”与“12”这两个信息，再列式解答）
16．钢丝厂有职工200名，其中男职工占总人数的，后来又调进一批男职工，这时男职工与全厂职工人数的比是3∶7，后来又调进多少名男职工？
17．把长为1.2米长的圆柱形钢材按的比例截成三段底面都相同的小圆柱，所得三段小圆柱的表面积之和比原来增加了56平方厘米，设这三段小圆柱钢中，最长一段小圆柱的体积为立方厘米，最短一段小圆柱的体积为立方厘米，求。
18．六（1）班原有48人报名参加红色精神研学活动，女生占，后来又有几名女生报名参加，这时女生人数和总人数的比是，现在一共有多少名学生参加研学活动？
19．跳绳是一项极佳的健体运动，能有效训练个人的反映能力和耐力。胜利小学原有跳绳40根，其中短绳根数与长绳根数的比是5∶3，后来又买进了一批短绳，这时短绳根数占总数的。胜利小学后来又买进短绳多少根？
20．一批零件，平均分给师徒两人加工，师傅和徒弟每小时加工零件个数的比是8∶5，当师傅完成任务时，徒弟还有75个没有完成。这批零件一共有多少个？
21．孝是中华民族的传统美德，是所有人必须具备的基本素养。百善孝为先，孝是一代人与另一代人之间感情的链条。奶奶喜欢吃红豆馅糕点，小云的妈妈要制作一些送给奶奶。有三种配比方案，如表。
方案 一 二 三
面团和红豆馅的质量比 3∶2 1∶1 5∶7
妈妈准备了500克面团，如果既想满足奶奶的要求，又想把面团都用完，需要准备多少克红豆馅？
《小升初解决问题专项训练：比的运用-2024-2025学年数学六年级下册人教版》参考答案
1．37.5平方厘米
【分析】分析题目，先根据长方形的周长公式用周长除以2求出长和宽的和，再除以长、宽的总份数（3＋2）求出1份是多少，再用1份的长度分别乘长和宽对应的份数求出长和宽，最后根据长方形的面积＝长×宽求出面积即可。
【详解】25÷2＝12.5（厘米）
3＋2＝5（份）
12.5÷5＝2.5（厘米）
2.5×3＝7.5（厘米）
2.5×2＝5（厘米）
7.5×5＝37.5（平方厘米）
答：这个长方形的面积是37.5平方厘米。
2．20克
【分析】根据题意可知，药液和水的质量比是1∶1000，即药液占水的，已知水的质量，求药液的质量，用水的质量×，即可解答，注意单位名数的统一。
【详解】20千克＝20000克
20000×＝20（克）
答：需要药液20克。
3．（1）马拉松选手20∶1；20；骑自行车的人15∶1；15
（2）马拉松选手
【分析】（1）根据比的意义，写出马拉松选手和骑自行车的人各自路程和时间的比，并根据比的基本性质化简比，再根据比值的意义，用最简比的前项除以比的后项即得比值。
（2）因为“路程∶时间＝速度”，所以上一题中的两个比值分别表示马拉松选手和骑自行车的人的速度，比较两个比值的大小，比值大的，说明他的速度快。
【详解】（1）40∶2＝（40÷2）∶（2÷2）＝20∶1
20∶1＝20÷1＝20
45∶3＝（45÷3）∶（3÷3）＝15∶1
15∶1＝15÷1＝15
答：马拉松选手路程和时间的比是20∶1，比值是20；骑自行车的人路程和时间的比是15∶1，比值是15。
（2）20＞15
答：马拉松选手的速度快。
4．1017.36毫升
【分析】将比的前后项看成份数，容器底面半径÷对应份数×装入的水的底面半径对应份数＝水的底面半径；根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，求出水面高度，水面高度×3＝容器的高，再根据圆锥体积＝底面积×高÷3，即可求出这个圆锥形容器的容积。
【详解】9÷3×1＝3（厘米）
37.68毫升＝37.68立方厘米
37.68×3÷（3.14×32）
＝113.04÷（3.14×9）
＝113.04÷28.26
＝4（厘米）
4×3＝12（厘米）
3.14×92×12÷3
＝3.14×81×12÷3
＝1017.36（立方厘米）
＝1017.36（毫升）
答：这个圆锥形容器的容积是1017.36毫升。
【点睛】关键是理解比的意义，掌握并灵活运用圆锥体积公式。
5．（1）见详解
（2）四年级20棵，五年级40棵，六年级60棵。
（3）四年级16棵，五年级32棵。
【分析】（1）由题意中的比可知，植树任务由多到少依次是六年级、五年级、四年级，因此在扇形统计图中，找出最大的扇形就是六年级，最小的扇形是四年级，剩下的是五年级。
（2）由题意可知，把六年级原计划植树数量看作单位“1”，根据已知比一个数多百分之几的数是多少，求这个数，先求已知数对应的百分率，再用已知数除以其对应的百分率，可得六年级原计划植树数量，再除以3，可得每份是多少，再用每份是多少分别乘四、五年级对应的份数，即可得解。
（3）先计算原计划植树的总数，用总数减去六年级实际植树的棵数，得到四、五年级实际植树数量的和，再用和除以，得到每份是多少，再分别乘四、五年级对应的份数，即可得解。
【详解】（1）
植树任务由多到少依次是六年级、五年级、四年级，据此标出年级：
（2）六年级：
（棵）
四年级：
（棵）
五年级：
（棵）
答：原计划四年级植树20棵，五年级植树40棵，六年级植树60棵。
（3）
（棵）
（棵）
（棵）
答：四年级实际植树16棵，五年级实际植树32棵。
6．（1）28份
（2）一等奖4份；二等奖8份；一等奖16份
【分析】（1）获奖作品数＝参赛作品数×获奖率；
（2）先用（1）中的获奖作品数除以（1＋2＋4）计算出一份量，再乘对应的份数即可求出对应一、二、三等奖的作品各有多少份。
【详解】（1）140×20%＝28（份）
答：获奖的作品数有28份。
（2）28÷（1＋2＋4）
＝28÷7
＝4（份）
1×4＝4（份）
2×4＝8（份）
4×4＝16（份）
答：一等奖作品4份，二等奖作品8份，三等奖作品16份。
7．1872平方厘米；5184立方厘米
【分析】长方体棱长总和÷4＝长宽高的和，将比的各项看成份数，长宽高的和÷总份数＝一份数，一份数分别乘长、宽、高的对应份数，即可求出长、宽、高，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。
【详解】216÷4÷（4＋3＋2）
＝54÷9
＝6（厘米）
6×4＝24（厘米）
6×3＝18（厘米）
6×2＝12（厘米）
（24×18＋24×12＋18×12）×2
＝（432＋288＋216）×2
＝936×2
＝1872（平方厘米）
24×18×12＝5184（立方厘米）
答：这个长方体的表面积和体积各是1872平方厘米、5184立方厘米。
8．30张
【分析】总张数不变，先求出总张数，将比的前后项看成份数，总张数÷现在总份数＝现在一份数，现在一份数乘甲的对应份数，求出现在甲的张数，现在甲的张数－原来甲的张数＝乙给甲的张数。
【详解】（130＋70）÷（4＋1）
＝200÷5
＝40（张）
40×4－130
＝160－130
＝30（张）
答：乙给甲30张后，甲和乙邮票张数的比是4∶1。
9．36吨
【分析】把这批货物的总吨数看作单位“1”，已知第一天运送的吨数占这批货物的，根据分数除法的意义，用第一天运送的吨数除以，求出总吨数；再用总吨数减去第一天运送的吨数即可求出第二、三天运送的吨数和；又已知第二天与第三天运送的货物的质量比是3∶2，分别看作3份和2份，用第二、三天运送的吨数和除以（3＋2）份，求出每份是多少，进而用乘法分别求出2份，也就是第三天运送多少吨。
【详解】60÷
＝60×
＝150（吨）
150－60＝90（吨）
90÷（3＋2）×2
＝90÷5×2
＝18×2
＝36（吨）
答：第三天运走了36吨。
10．盐3克；水30克；盐和水的比1∶6
【分析】根据题意，再放入2克盐，新盐水的质量是35克，用35－2＝33克，求出原来盐水的质量；原来盐和水的质量比是1∶10，即把原来盐和水的质量平均分成了1＋10＝11份，用原来盐和水的质量÷总份数，求出1份的质量，进而求出原来盐的重量和水的质量；
放入2克盐，用原来盐水中盐的质量加2克，求出新盐水中盐的质量；水的质量不变，根据比的意义写出新盐水中盐与水的质量比，再化简比即可。
【详解】35－2＝33（克）
1＋10＝11（份）
原来盐水中盐的质量：
33÷11×1
＝3×1
＝3（克）
原来盐水中水的质量：
33÷11×10
＝3×10
＝30（克）
新盐水中盐的质量：3＋2＝5（克）
新盐水中盐和水的比：
5∶30
＝（5÷5）∶（30÷5）
＝1∶6
答：原来盐水中盐是3克，水是30克，新盐水中盐和水的比是1∶6。
11．117千克
【分析】把梨和苹果的总质量看作单位“1”，根据题意可知，梨和苹果的质量比是4∶9，即梨占梨和苹果总质量的，对应的是梨的质量36千克，求单位“1”，用梨的质量除以，即可求出梨和苹果一共有多少千克。
【详解】36÷
＝36÷
＝36×
＝117（千克）
答：梨和苹果一共有117千克。
12．7.5克；30克
【分析】无论是用方法一还是方法二解决此题，都可以根据糖与水的比是2∶13先求出糖的质量，90×＝12克；
方法一：在增加糖的过程中，要注意整杯糖水的总质量是随之增加的，所以找到等量关系式，设再增加克糖，则增加糖后的糖的总质量∶增加糖后的糖水的总质量＝，然后列出方程求解；
方法二：蒸发掉一些水，糖的质量没有改变，所以可以列出等量关系式，设设蒸发掉克水，则糖的质量∶蒸发掉一些水后的糖水的总质量＝，然后列出方程求解。
【详解】90×
＝90×
＝12（克）
方法一：解：设再增加克糖。
方法二：解：设蒸发掉克水。
答：要再增加7.5克的糖或蒸发掉30克的水，使糖占糖水的。
【点睛】此题要抓住不变量进行找等量关系，然后根据等量关系列出方程进行求解。
13．72平方米
【分析】将总面积看作“1”，电子书下载区的面积占总面积的，成人阅读区和亲子共读区的面积占总面积的（1－），总面积×成人阅读区和亲子共读区的对应分率＝成人阅读区和亲子共读区的面积，将比的前后项看成份数，成人阅读区和亲子共读区的面积÷总份数×亲子共读区的对应份数＝亲子共读区的面积。
【详解】132×（1－）
＝132×
＝99（平方米）
99÷（3＋8）×8
＝99÷11×8
＝72（平方米）
答：亲子共读区的面积是72平方米。
14．160个
【分析】将总个数看作单位“1”，比的前后项看成份数，根据折了两天已折的个数和未折的个数比是3∶13，可知折了两天的已折个数是总个数的，第二天折了总个数的（－），第二天折的个数÷对应分率＝总个数，据此列式解答。
【详解】10÷（－）
＝10÷（－）
＝10÷
＝10×16
＝160（个）
答：君君一共要折160个。
15．图见详解；70页
【分析】把全书的总页数看作单位“1”，把它平均分成5份，其中的2份表示全书的，应在中点的左侧，12页在的右边，4∶3中的4份的左边，已读页数与未读页数的比是4∶3，则已读的是总页数的，用已读的占总页数的分率减去对应的页数是12页，单位“1”未知，用数量除以对应的分率，据此列式解答。
【详解】如图：
12÷（－）
＝12÷（－）
＝12÷
＝12×
＝70（页）
答：全书有70页。
16．10名
【分析】根据题意，男职工占总人数的，用总人数×，求出男职工的人数；进而求出女职工人数；调进一批男职工后，男职工占总人数的，则女职工占总人数的（1－），由于女职工人数不变，用女职工人数÷（1－），求出总人数，进而求出男职工的人数，再减去原来男职工的人数，即可求出又调进男职工的人数。
【详解】200×＝80（名）
200－80＝120（名）
120÷（1－）×－80
＝120÷×－80
＝120××－80
＝90－80
＝10（名）
答：后来又调进10名男职工。
17．560立方厘米
【分析】将原来的圆柱形截成三个相同的小圆柱，则增加了4个底面的面积为56平方厘米，则圆柱的底面积为14平方厘米。再根据圆柱形钢材按1∶2∶3的比例截成三段，得出最长的一段占总体积的，最短的一段占总体积的，根据圆柱的体积＝底面积×高得出圆柱的体积，进而求出最长的一段的体积与最短的一段的体积，再据最长的一段体积与最短的一段体积，即可求出最长的一段与最短的一段的体积，进而相减即可得解。
【详解】56÷4＝14（平方厘米）
1.2米＝120厘米
120×14＝1680（立方厘米）
1680×＝1680×＝840（立方厘米）
1680×＝1680×＝280（立方厘米）
840－280＝560（立方厘米）
答：这三段圆钢中最长的一段比最短的一段体积多560立方厘米，即x－y的值是560立方厘米。
18．54名
【分析】根据题意可知男生占总人数48人的，根据求一个数的几分之几是多少，用这个数乘这个分数，先计算出参加活动的男生有几个人。增加几名女生后，女生与总人数的比是12∶27，也就是女生占后来总人数的，则男生占后来总人数的，根据已知一个数的几分之几是多少求这个数，列除法解答，即可求出现在一共有多少名学生参加研学活动。
【详解】
（名）
答：现在一共有54名学生参加研学活动。
19．20根
【分析】由于短绳与长绳根数的比是5∶3，根据比的应用公式：总数÷总份数＝1份量，即40÷（5＋3）求出1份量，再乘各自的份数即可；因为后面短绳根数占总数的，所以长绳根数占总数的（1－），长绳的根数不变，用长绳的数量除以（1－），即可得出总数，再用总数减去原来的数量求出答案。
【详解】短绳：40÷（5＋3）×5
＝40÷8×5
＝25（根）
长绳：40÷（5＋3）×3
＝40÷8×3
＝15（根）
15÷（1－）
＝15÷
＝15×4
＝60（根）
60－40＝20（根）
答：胜利小学后来又买进短绳20根。
20．400个
【分析】已知师傅和徒弟每小时加工零件个数的比是8∶5，也就是当师傅完成任务时，徒弟已经加工的个数是师傅加工个数的，所以75个相当于师傅加工个数的（1－）。已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，可求出师傅加工了多少个，然后乘2即可求出这批零件一共有多少个。据此解答。
【详解】75÷（1－）×2
＝75÷×2
＝75××2
＝200×2
＝400（个）
答：这批零件一共400个。
21．700克
【分析】先求出红豆占红豆和面团的分率，根据奶奶越喜欢红豆馅多的，比较红豆占红豆和面团的分率，谁大，就能满足奶奶的要求；再根据面团与红豆的比，进而求出红豆占面团的分率，已知面团的重量，用面团的重量乘红豆占面团的分率，进而求出红豆的重量，据此解答。
【详解】方案一：红豆馅占红豆和面团的＝，
方案二：红豆馅占红豆和面团的＝，
方案三：红豆馅占红豆和面团的＝，
因为，所以选择方案三。
500×＝700（克）
答：需要准备700克红豆馅。
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