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《相交线》自主提升训练题
一．选择题
1．下列说法中，正确的个数有（　　）
①连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；③对顶角相等；④过一点有且只一条直线与已知直线垂直；⑤和为180°的两个角互为邻补角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，若∠AOC＝150°，则∠BOD的大小为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．如图，将一副三角尺的直角顶点重合放置于点A处，下列结论：
①∠BAE＞∠DAC；②∠BAD＝∠EAC；③AD⊥BC；④∠BAE+∠DAC＝180°；
⑤∠E+∠D＝∠B+∠C．其中结论正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．如图所示三角形ABC中，∠BAC＝90°，过点A画AD⊥BC，则下列说法不正确的是（　　）
A．线段AD是点A与直线BC上各点连接的所有线段中最短的
B．线段AB是点B到直线AD的垂线段
C．点A到直线BC的距离是线段AD的长
D．点C到直线AB的距离是线段AC的长
6．如图，直线AB与CD相交于点E，∠CEB＝50°，EF⊥AE，则∠DEF的度数为（　　）
A．130° B．140° C．150° D．160°
7．点P为直线外一点，点A、B、C在直线l上，若PA＝2cm，PB＝2.3cm，PC＝5cm，则点P到直线l的距离是（　　）
A．2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．5cm
8．如图，∠ABD的同旁内角共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．下列各组线中一定互相垂直的是（　　）
A．对顶角的平分线 B．同位角的平分线
C．内错角的平分线 D．邻补角的平分线
10．在△ABC中，BC＝6，AC＝3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题
11．如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2与∠B是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠A与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是　 　（只填序号）．
12．如图，直线AB和直线CD相交于点O，∠BOE＝90°，有下列结论：①∠AOC与∠COE互为余角；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC＝∠COE；④∠COE与∠DOE互为补角；⑤∠AOC与∠DOE互为补角；⑥∠BOD与∠COE互为余角．其中错误的有　 　．（填序号）
13．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD于O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，则∠EOF的度数为 　 　．
14．两条直线相交所构成的四个角，其中：①有三个角都相等；②有一对对顶角相等；③有一个角是直角；④有一对邻补角相等，能判定这两条直线垂直的有　 　．
15．如图所示，AB⊥l1，AC⊥l2，则点A到直线l1的距离是线段　 　的长度．
16．为了测量一座古塔外墙底部的底角∠AOB的度数，李潇同学设计了如下测量方案：作AO，BO的延长线OD，OC，量出∠COD的度数，从而得到∠AOB的度数．这个测量方案的依据是 　 　．
三．解答题
17．观察下列图形，阅读下面的相关文字并回答以下问题：
两条直线相交三条直线相交四条直线相交
只有一个交点最多的3个交点最多有6个交；
猜想：①5条直线相交最多有几个交点？
②6条直线相交最多有几个交点？
③n条直线相交最多有几个交点？
18．如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．
（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．
19．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OE平分∠COF．
（1）若∠AOF＝140°，求∠EOF的度数；
（2）OB是∠DOF的角平分线吗？为什么？
20．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOD的平分线，OF是∠AOD的平分线．
（1）若∠BOD＝60°，求∠DOF的度数；
（2）OE与OF有怎样的位置关系？为什么？
21．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．
（1）当α＝30°时，则∠EOC＝　 　°；∠FOD＝　 　°．
（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？
（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为 　 　秒．
22．如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且∠AOB＝120°，∠COD＝70°．
（1）如图1，若OC平分∠BOD，求∠AOD的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，OE平分∠AOD，过点O作射线OG⊥OB，求∠EOG的度数；
（3）如图3，若在∠BOC内部作一条射线OH，若∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，试判断∠AOE与∠DOE的数量关系．
23．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：
①　 　；②　 　．
（2）如果∠AOD＝40°，
①那么根据　 　，可得∠BOC＝　 　度．
②因为OP是∠BOC的平分线，所以∠COP＝∠　 　＝　 　度．
③求∠POF的度数．
参考答案
一．选择题
1．解：①连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，说法正确；
②直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，说法错误
③对顶角相等，说法正确；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法错误；
⑤有公共顶点和一条公共边，且构成平角的两个角互为邻补角，说法错误．
正确的个数有2个．
故选：B．
2．解：根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，
A、B、D都不是由两条直线相交构成的图形，错误，
C是由两条直线相交构成的图形，正确，
故选：C．
3．解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝150°，
∴∠BOC＝180°﹣150°＝30°，
又∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣30°＝60°，
故选：D．
4．解：（1）由图可得：∠BAE＝∠CAE+∠BAD+∠CAD．
∴∠BAE＞∠DAC．
故①正确．
（2）由题意得：∠EAD＝90°，∠BAC＝90°．
∴∠EAC+∠CAD＝∠CAD+∠BAD．
∴∠EAC＝∠BAD．
故②正确．
（3）欲证AD⊥BC，需证∠B+∠DAB＝90°．
由题得：∠B＝45°．
∵题目已知条件无法证得∠DAB＝45°．
故③无法得证．
（4）由题意得：∠EAD＝90°，∠BAC＝90°．
∴∠EAC+∠CAD＝∠CAD+∠BAD＝90°．
∴∠BAE+∠DAC＝∠BAC+∠EAC+∠DAC＝90°+∠EAD＝90°+90°＝180°．
故④正确．
（5）由题意得：∠EAD＝90°，∠BAC＝90°．
∴∠E+∠D＝180﹣∠EAD＝90°，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝90°．
∴∠E+∠D＝∠B+∠C．
故⑤正确．
综上：正确有①②④⑤，共4个．
故选：C．
5．解：A、线段AD是点A与直线BC上各点连接的所有线段中最短的，正确．本选项不符合题意．
B、线段AB是点B到直线AD的垂线段，错误，应该是线段BD，本选项符合题意．
C、点A到直线BC的距离是线段AD的长，正确，本选项不符合题意．
D、点C到直线AB的距离是线段AC的长，正确，本选项不符合题意．
故选：B．
6．解：∵∠CEB＝50°，
∴∠AED＝50°，
∵EF⊥AE，
∴∠DEF＝∠AED+∠AEF＝50°+90°＝140°，
故选：B．
7．解：∵PA＝2cm，PB＝2.3cm，PC＝5cm，
∴PA＜PB＜PC．
∴①当PA⊥l时，点P到直线l的距离等于2cm；
②当PA与直线l不垂直时，点P到直线l的距离小于2cm；
综上所述，则P到直线l的距离是不大于2cm．
故选：C．
8．解：∠ABD与∠ADB是直线AB、AD，被直线BD所截而成的同旁内角，
∠ABD与∠AEB是直线AB、AC，被直线BD所截而成的同旁内角，
∠ABD与∠BAE是直线AC、BD，被直线AB所截而成的同旁内角，
∠ABD与∠BAD是直线AD、BD，被直线AB所截而成的同旁内角，
故选：D．
9．解：A、对顶角的平分线在同一直线上，故本选项错误；
B、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行，故本选项错误；
C、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，故本选项错误；
D、邻补角的平分线互相垂直，故本选项正确．
故选：D．
10．解：如图，
∵CP⊥AB，
∴CP≤AC，CP≤BC，
∵BC＝6，AC＝3，
∴CP≤3，CP≤6，
∴PC≤3，
∴CP长的最大值为3，
故选：C．
二．填空题
11．解：∠2与∠3是直线AB、直线BC，被直线CD所截的一对内错角，因此①符合题意；
∠2与∠B是直线CD、直线BC，被直线AB所截的一对同位角，因此②符合题意；
∠A与∠B是直线AC、直线BC，被直线AB所截的一对同旁内角，因此③符合题意，
∠A与∠ACB是直线AB、直线BC，被直线AC所截的一对同旁内角，因此④不符合题意，
故答案为：①②③．
12．解：∵∠BOE＝90°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣90°＝90°＝∠AOC+∠COE，
因此①不符合题意；
由对顶角相等可得②不符合题意；
∵∠AOE＝90°＝∠AOC+∠COE，但∠AOC与∠COE不一定相等，因此③符合题意；
∠COE+∠DOE＝180°，因此④不符合题意；
∠EOC+∠DOE＝180°，但∠AOC与∠COE不一定相等，因此⑤符合题意；
∠BOD＝∠AOC，且∠COE+∠AOC＝90°，因此⑥不符合题意；
故答案为：③⑤
13．解：∵OC⊥OD于O，∠COD＝90°，
∴∠EOF＝180°﹣∠AOE﹣∠BOF，
∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，
∴∠AOE＝∠AOD，∠BOF＝∠BOC，
∴∠EOF＝180°﹣∠AOD﹣∠BOC
＝180°﹣
＝180
＝
＝
＝
＝45°．
故答案为：45°．
14．解：两条直线相交所构成的四个角，
①因为有三个角都相等，都等于90°，所以能判定这两条直线垂直；
②因为有一对对顶角相等，但不一定等于90°，所以不能判定这两条直线垂直；
③有一个角是直角，能判定这两条直线垂直；
④因为一对邻补角相加等于180°，这对邻补角又相等都等于90°，所以能判定这两条直线垂直；
故答案为：①③④．
15．解：∵AB⊥l1，
∴点A到直线l1的距离是线段AB的长度．
故答案为：AB．
16．解：这个测量方案的依据是：对顶角相等；
故答案为：对顶角相等．
三．解答题
17．解：①5条直线相交最多有＝10个交点；
②6条直线相交最多有＝15个交点；
③n条直线相交最多有个交点．
18．解：如图所示
（1）沿AB走，两点之间线段最短；
（2）沿AC走，垂线段最短；
（3）沿BD走，垂线段最短．
19．解：（1）∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°．
∴∠EOF＝∠AOF﹣∠AOE＝140°﹣90°＝50°．
（2）OB是∠DOF的角平分线，理由如下：
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝∠BOE＝90°．
又∵OE平分∠COF，
∴∠COE＝∠EOF．
∴∠AOE﹣∠COE＝∠BOE﹣∠EOF．
∴∠AOC＝∠BOF．
又∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC＝∠BOD．
∴∠DOB＝∠FOB．
∴OB是∠DOF的角平分线．
20．解：（　　）∵OE是∠BOD的平分线，∠BOD＝60°，
∴∠BOE＝∠BOD＝30°，
∴∠AOE＝180°﹣30°＝150°，
∵∠BOD＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣60°＝120°，
∵OF是∠AOD的平分线，
∴∠DOF＝×120°＝60°；
（3）OE⊥OF，
理由：∵OE、OF分别是∠BOD、∠AOD的平分线，
∴∠DOE＝∠BOD，∠DOF＝∠AOD，
∵∠BOD+∠AOD＝180°，
∴∠EOF＝∠DOE+∠DOF＝（∠BOD+∠AOD）＝90°，
∴OE⊥OF．
21．解：（1）∵∠BOE＝90°，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC＝α＝30°，
∴∠EOC＝90°﹣30°＝60°，
∠AOD＝180°﹣30°＝150°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD＝∠AOD＝＝75°；
故答案为：60，75；
（2）当α＝60°，∠EOF＝90°+60°＝150°
设当射线OE'与射线OF'重合时至少需要t秒，
12t+8t＝90+（180﹣60）×＝150，
t＝7.5，
答：当射线OE'与射线OF'重合时至少需要7.5秒；
（3）设射线OE'转动的时间为t秒，
由题意得：12t+90+8t＝150或12t+8t＝150+90或360﹣12t＝8t﹣150+90或360﹣12t+360﹣8t+90＝360﹣150，
t＝3或12或21或30．
故射线OE'转动的时间为3或12或21或30秒．
故答案为：3或12或21或30．
22．解：（1）∵OC平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠COD＝2×70°＝140°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOD＝360°﹣120°﹣140°＝100°．
（2）当OG在EF下方时，
∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，
∴，
∵OG⊥OB，
∴∠BOG＝90°，
∴∠AOG＝∠AOB﹣∠BOG＝120°﹣90°＝30°，
∴∠EOG＝∠AOG+∠AOE＝80°．
当OG在EF上方时，
∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，
∴，
∵OG⊥OB，
∴∠BOG＝90°，
∵∠AOE+∠AOB+∠BOG+∠EOG＝360°，∠AOB＝120°，
∴∠EOG＝360°﹣50°﹣120°﹣90°＝100°；
（3）设∠DOE＝5α，则∠FOH＝α，
∴∠COH＝180°﹣∠DOE﹣∠COD﹣∠FOH＝110°﹣6α，
∴∠BOC＝275°﹣15α，
∴∠AOD＝360°﹣∠COD﹣∠BOC﹣∠AOB＝360°﹣70°﹣（275°﹣15α）﹣120°＝15α﹣105°，
∴∠AOE＝10α﹣105°，
∴∠AOE＝2∠DOE﹣105°．
23．解：（1）①∵OP是∠BOC的平分线，
∴∠COP＝∠BOP．
②∵直线AB与CD相交于点O，
∴∠AOD＝∠COB．
（2）①∵∠AOD＝40°，
∴根据对顶角相等，可得∠BOC＝40°；
②因为OP是∠BOC的平分线，所以∠COP＝∠BOC＝20度．
③∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90度，
∴∠POF＝70度．
故答案是：∠COP＝∠BOP、∠AOD＝∠COB；对顶角相等，40；20；

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