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2025年广东省深圳市初中学业水平测试数学学科模拟训练试卷（二）
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1（3分）下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　 　）
A． 三叶玫瑰线 B． 四叶玫瑰线
C． 心形线 D． 笛卡尔叶形线
2.（3分）截止2025年2月16日，电影《哪吒2》的总票房已超过1150000万元．
数字1150000用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3.（3分）实数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
4.（3分）.为增强学生体质，感受中国传统文化，某初中将国家级非物质文化遗产“抖空竹”
引入阳光特色大课间．如图是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，
小玲把它抽象成图的数学问题：已知，，，
则的度数是（　 　）
A． B． C． D．
5.（3分）2025年春节档热映多部精彩电影．小明、小亮分别从如图所示的三部影片中随机选择一部观看，
则小明、小亮选择的影片相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
6.（3分）我国古代著作《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成．
如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，
得到方程组为，
则根据图2所示的算筹图，列出方程组为（ ）
A． B． C． D．
7.（3分） 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，
分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，
两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，
两弧相交于点、，作直线交、于点、，
若，，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
8.（3分） 图①是一种青少年版可折叠滑板车．该滑板车完全展开后如图②所示，
由车架和两个大小相同的车轮组成，点B到地面的距离为110cm，
车轮直径20cm，，，，，
且A，E，F三点在同一水平高度上；将车架前半部分绕着点D旋转，
完全折叠后如图③所示，．则相比完全展开时，
完全折叠后车把（点B）降低的高度为（ ）

A． B． C． D．
非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9. （3分）已知，，则的值为 ．
（3分）如图，正八边形和正六边形的边长均为6，
以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 ．（结果保留）
11.（3分）.如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点，则 ．
12.（3分）. 如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，
折痕交于点．若，，则的长等于 ．

13.（3分）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧，
他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，
慧出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设聪聪行走的时间为，
聪聪和 慧行走的路程分别为与x的函数图象如图所示，
则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是 ．
解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，
第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14（5分）. 计算：．
15（7分）. 先化简，再求值：，其中．
（8分）电影《哪吒之魔童闹海》全球票房突破150亿，进入全球票房榜前五，
为了解大家对电影的评价情况，某社团从观影后的观众中随机抽取部分观众对电影进行评价，
并对评分（十分制）进行统计整理，所有观众的评分均高于7.5分．
数据共分成五组（电影评分用表示）：
A：；B：；C：；D：；E：．
下面给出了部分信息：
组的数据：
9.1，9.1，9.2，9.2，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.5，9.5，9.5，9.5，9.5，9.5．
：不完整的观众评分频数直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
求随机抽取的观众总人数；
扇形统计图中C组对应扇形的圆心角的度数为 度；
请补全频数直方图；
抽取的观众对电影评价的中位数是 分；
清明假期期间某电影院有1500人参加了此次评分调查，
请估计此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数．
17（8分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．
已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，
用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，
且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，
求购买这批充电桩所需的最少总费用？
18. （9分）.如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，
，平分交于点，连结．
求证：是的切线；
当时，求的长．
19（12分）.［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，
有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，
图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数
图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标；
【探究二】研究心形叶片的宽度：
如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，
抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．
求叶片此处的宽度；
【探究三】探究幼苗叶片的长度
小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线
都可以看作是二次函数 图象的一部分；
如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．
已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度．
20（12分）.综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．
在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，
其中点，分别是点，的对应点．
(1)如图1，连接，，则的值为______．
(2)如图，当点恰好落在边上，连接交于点，连接，
①的长度为______．
②求证：，
(3)若直线，交于点，当时，请直接写出的长．
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2025年广东省深圳市初中学业水平测试数学学科模拟训练试卷（二）解答
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1（3分）下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　 　）
A． 三叶玫瑰线 B． 四叶玫瑰线
C． 心形线 D． 笛卡尔叶形线
【答案】B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
2.（3分）截止2025年2月16日，电影《哪吒2》的总票房已超过1150000万元．数字1150000用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：．
故选A．
3（3分）实数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．
【详解】解：根据图形可以得到：
，，，
则有：
，故A正确，不符合题意；
，故B正确，不符合题意；
，故C错误，符合题意；
，故D正确，不符合题意；
故选：C．
4.（3分）.为增强学生体质，感受中国传统文化，某初中将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小玲把它抽象成图的数学问题：已知，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是由平行线的性质推出，．
过作，得到，由平行线的性质推出，，即可求出的度数．
【详解】解：如图，过作，
，
，
，，
，
故本题选：B．
5.（3分）2025年春节档热映多部精彩电影．小明、小亮分别从如图所示的三部影片中随机选择一部观看，则小明、小亮选择的影片相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是正确解答此题的关键．
列表得出所有等可能的结果数以及小明和小亮选择的影片相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将这三部春节档影片分别记为A，B，C，列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选择的影片相同的结果有3种，
小明、小亮选择的影片相同的概率为，
故答案为：D．
6.（3分）我国古代著作《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成．
如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，
得到方程组为，
则根据图2所示的算筹图，列出方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，此题要理解图1中算筹所示的表示方法，依此即可推出图2所示的方程组．
【详解】解：根据图1所示的算筹的表示方法，
可推出图2所示的算筹表示的方程组：．
故选：A．
7.（3分） 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，若，，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】如图所示，过点D作，勾股定理求出，由作图可得，平分，垂直平分，证明出，得到，，设，则，勾股定理求出，，然后证明出，得到，然后代数求出，进而求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于H，
∵，，
∴
由作图可得，平分，垂直平分
∴，
又∵
∴
∴
∴
设，则
∴在中，
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴，即
∴
∴．
故选：A．
8.（3分） 图①是一种青少年版可折叠滑板车．该滑板车完全展开后如图②所示，
由车架和两个大小相同的车轮组成，点B到地面的距离为110cm，
车轮直径20cm，，，，，
且A，E，F三点在同一水平高度上；将车架前半部分绕着点D旋转，
完全折叠后如图③所示，．则相比完全展开时，
完全折叠后车把（点B）降低的高度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点D作于点，交的延长线于点，通过解直角三角形求出，可进一步求出结论．
【详解】解：过点D作于点，交的延长线于点，如图，

在中，，
∴设则，
∵，
∴，
解得，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
又车轮的半径为：，
∴折叠后点B离地面的高度，
∴完全折叠后车把（点B）降低的高度为．
故选：B．
非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9（3分）已知，，则的值为 ．
【答案】6
【分析】直接提取公因式，进而分解因式，再整体代入数据即可得出答案．
【详解】∵，，
∴
=3×2
=6．
故答案为：6．
（3分）如图，正八边形和正六边形的边长均为6，
以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可．本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正六边形、正八边形的性质，扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
【详解】解：八边形是正八边形，六边形是正六边形，
，，
，
．
故答案为：．
11（3分）.如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点，则 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含直角三角形的性质是解题的关键．
过点作轴，垂足为，设，，根据含直角三角形的性质，求得，同理求得，继而求得，即点坐标，进而可求值．
【详解】
解：过点作轴，垂足为，设，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，
在中，即，
∴，
在中，即，，
，即，
∴，
∴．
故答案为：4．
12.（3分）. 如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，
折痕交于点．若，，则的长等于 ．

【答案】
【分析】过点A作于点Q，根据菱形性质可得，根据折叠所得，结合三角形的外角定理得出，最后根据，即可求解．
【详解】解：过点A作于点Q，
∵四边形为菱形，，
∴，，
∴，
∵由沿折叠所得，
∴，
∴，
∵，，
∴，则，
∴，
∴，
故答案为：．
13.（3分）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧，
他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，
慧出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设聪聪行走的时间为，
聪聪和 慧行走的路程分别为与x的函数图象如图所示，
则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象中的数据列式计算是解题的关键．
根据函数图象中的数据列式计算即可．
【详解】解：根据函数图象得，慧慧开始的速度为，
聪聪的速度为
，
，
故答案为：．
解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，
第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14（5分）. 计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可．
【详解】解：原式，
，
．
15（7分）. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值和二次根式的混合运算，先对括号内的分式通分，再计算括号外的除法，化简之后将x的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
16.（8分）电影《哪吒之魔童闹海》全球票房突破150亿，进入全球票房榜前五，为了解大家对电影的评价情况，某社团从观影后的观众中随机抽取部分观众对电影进行评价，并对评分（十分制）进行统计整理，所有观众的评分均高于7.5分．
数据共分成五组（电影评分用表示）：
A：；B：；C：；D：；E：．
下面给出了部分信息：
组的数据：
9.1，9.1，9.2，9.2，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.5，9.5，9.5，9.5，9.5，9.5．
：不完整的观众评分频数直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
(1)求随机抽取的观众总人数；
(2)扇形统计图中C组对应扇形的圆心角的度数为 度；
(3)请补全频数直方图；
(4)抽取的观众对电影评价的中位数是 分；
(5)清明假期期间某电影院有1500人参加了此次评分调查，请估计此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数．
【答案】(1)50
(2)72
(3)见详解
(4)9.3
(5)930
【分析】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图中的相关知识，中位数的定义以及样本估计总体等知识，掌握这些知识是解题的关键．
（1）根据A组的人数以及占比即可得出抽取的观众总人数．
（2）用360度乘以C组人数的占比计算即可．
（3）先求出B组的人数，即可补全条形统计图．
（4）根据中位数的定义求解即可．
（5）用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：（人）
则随机抽取的观众总人数为50人．
（2）解：，
扇形统计图中C组对应扇形的圆心角的度数为72度．
（3）解：B组的人数有：（人）
补全条形统计图如下：
（4）解：∵一共有50名观众，
∴中位数位为第25，26名评分的中位数，且位于D组，
则中位数位为：
（5）解：（人）
则清明假期期间某电影院1500认为电影特别优秀的观众人数为930人．
17（8分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
(1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？
【答案】(1)甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元
(2)购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需费用最少为10万元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点，
（1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论；
熟练掌握（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式是解决此题的关键．
【详解】（1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元；
（2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，
由题意得：，
解得：，
设所需费用为w元，
由题意得：，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，
∴w取得最小值为10万元，
此时，，
答：购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需最少费用为10万元．
18（9分）.如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
连接，
平分，
，
，
，
是的直径，
，
．
19（12分）.［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，
有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，
图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标；
【探究二】研究心形叶片的宽度：
如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，
抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．
求叶片此处的宽度；
【探究三】探究幼苗叶片的长度
小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线
都可以看作是二次函数 图象的一部分；
如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．
已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度．
【答案】（1），顶点的坐标为；（2）；（3）
【分析】（1）把原点代入解析式，求得值，将抛物线化成顶点式即可确定顶点坐标；
（2）先求出点的坐标为，再求出的解析式为：．然后求出点的坐标为，最后求出结果即可；
（3）作抛物线的对称轴于点，则，设点的横坐标为，得出，根据点在抛物线上，列出方程，得出点的坐标为，最后求出即可．
【详解】解：（1）抛物线经过原点，
．
解得：．
抛物线的解析式为：．
顶点的坐标为；
（2）取，，
解得：，，
点的坐标为，
心形叶片的对称轴是直线，点，是叶片上的一对对称点，
设的解析式为：．
经过点，
．
解得：．
的解析式为：．
，
解得：
点的坐标为．
．
．
（3）作抛物线的对称轴于点，则，
直线与水平线的夹角为，
．
设点的横坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
．
顶点的坐标为，
点的纵坐标为．
点在抛物线上，
．
解得：．
点的坐标为．
．
20（12分）.综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．
在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点．
(1)如图1，连接，，则的值为______．
(2)如图，当点恰好落在边上，连接交于点，连接，
①的长度为______．
②求证：，
(3)若直线，交于点，当时，请直接写出的长．
【答案】(1)
(2)①；②见解析
(3)或
【分析】（1）由旋转的性质得到，，，求得，根据相似三角形的性质得到；
（2）①根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到；
②如图1，过点作于点，由旋转可知，得到，根据平行线的性质得到，推出平分根据角平分线的性质得到由旋转可知，，根据全等三角形的性质得到；
（3）根据旋转的性质得到，，，求得，得到，得到为等边三角形，同理为等边三角形．如图，令与的交点为，根据三角函数的定义得到，如图，同理可得
【详解】（1）解：由旋转的性质知，，，
，
，
，
故答案为：；
（2）①解：四边形是矩形，
，，
，
，
故答案为：；
②证明：如图1，过点作于点，
由旋转可知，，
，
，
，
，
平分
又，，
由旋转可知，，
，，
，
；
（3）解：的长为或，理由如下，
由旋转得，，，
，
，
，
在四边形中，，
，
，
为等边三角形，
同理为等边三角形．
如图2，令与的交点为，
，，
，
，
如图3，同理可得，
综上所述，的长为或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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