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2025年中考数学冲刺中考模拟真题速递(广州专用)
专项3 解答题（广州中考真题+中考模拟）
一、解答题
1．（2024·广州） 2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．
（1）求的长；
（2）若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，）
2．（2024·广州） 善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对，两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）：
组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95
组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96
（1）求组同学得分的中位数和众数；
（2）现从、两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率．
3．（2024·广东）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外.若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大 并求出其最大值.（题中“元”为人民币）
4．（2025·罗湖模拟）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施．中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措．如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡AC坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为30.96°，以及该斜坡AC的坡度i＝，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数）（参考数据：sin30.96°≈0.51，cos30.96°≈0.85，tan30.96°≈0.60）
5．（2025九下·深圳模拟）某教育平台推出两款人工智能学习辅导软件，相关人员开展了两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分测验，并从中各抽取20份，对数据进行整理，描述和分析（评分分数用表示，分为以下四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：
抽取的对A款人工智能学习辅导软件的所有评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100.
抽取的对B款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的数据：86，86，87，88，88，88，89，90.
A，B两款人工智能学习辅导软件的评分统计表
软件 平均数 中位数 众数 方差
A 86 85.5 a 96.6
B 86 86.5 88 69.8
B款人工智能学习辅导软件评分的扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ▲ ， ▲ ；
（2）根据以上数据，你认为哪款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）本次调查中，若有800名用户对A款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名用户对B款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对A，B两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数.
6．（2025九下·深圳模拟）下面是小星同学进行分式化简的过程：
化简 解：原式 第一步 第二步 第三步
（1）小星同学的化简过程从第 ▲ 步开始出现错误，错误原因是 ▲ ．
（2）请写出正确的化简过程，并从中选择合适的数代入求值．
7．（2025·茂南模拟）如图，小明所在的数学小组测量计算学校国旗旗杆的高度，小明先在教学楼前台阶的底部点C处，测得旗杆顶端A的仰角为，然后他上到台阶顶端点D处，再测旗杆顶端A的仰角为，已知教学楼前台阶的斜坡的坡度为，台阶斜坡的铅直高度为2米，求旗杆的高度．（参考数据：，，）
8．（2025·茂南模拟）为了改善城市环境，提升市容市貌，某区计划在街道两旁种植900棵景观树．由于社区志愿者的支援，实际每天种植的棵数是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务．原计划每天种树多少棵？
9．（2025·深圳模拟）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A.高锰酸钾制取氧气；B.电解水；C.木炭还原氧化铜；D.一氧化碳还原氧化铜；E、铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权），
请结合统计图，回答下列问题：
（1）a=　 　，E所对应的扇形圆心角是　 　°
（2）请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有　 　人最喜欢的实验是“D.一氧化碳还原氧化铜”；
（3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通人澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊.已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率.
10．（2025·宝安模拟）青少年是祖国的未来，民族的希望，有效保护、积极促进青少年身心健康成长十分重要．某校为了了解九年级学生的身体健康情况，从九年级随机抽取了若干名学生，测量他们的体重（均取整数，单位：kg），并将他们的体重进行整理，绘制了如下统计表与统计图：
组别 体重（kg） 频数（人）
A 39.5～46.5 2
B 46.5～53.5 a
C 53.5～60.5 8
D 60.5～67.5 5
E 67.5～74.5 4
已知C组的具体体重为（单位：kg）：54，54，55，55，56，57，59，60
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：______，所抽取学生体重的中位数是______kg；
（2）所抽取学生平均体重为58.8kg，小敏的体重是57kg小敏推测自己的体重在所抽取的学生中处于中下游水平，请问小敏的推测正确吗？请简单说明理由．
（3）如果该校九年级有600名学生，请估算九年级体重高于60.5kg的学生大约有多少人？
11．（2025·宝安模拟）小海在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示：
解方程 解： （第一步） （第二步） ∴原方程无实数根 （第三步）
小海的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________；
12．（2025·雷州模拟）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．已知从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．
13．（2025·高州模拟）如图，一条抛物线和直线l交于点O、B，其中O是平面直角坐标系的原点，B点坐标是，在抛物线上．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）求的面积；
（3）在直线l下方的抛物线上有一点P，当的面积取得最大值时，求此时P点的坐标．
14．（2025·高州模拟）一个二次函数的图象经过，，三点．求：这个二次函数的解析式．
15．（2024·南郑模拟）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标；
（3）点是第四象限内抛物线上的一个动点，试求四边形面积的最大值．
16．（2024·长清模拟）解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．
17．（2025·潮阳模拟）在学习了勾股定理后，小品对他家附近的一个公园里的音乐喷泉池产生了测量兴趣，如图，音乐喷泉池为四边形，在连线上有一地方性标志物，据了解，修建该喷泉池时要求，四边形为人行观赏步道，小品通过仪器测量得到，在的正西方，在的东北方向，且，在的正南方150米处，恰好又在的南偏东方向，由此他脑海里产生了以下数学问题，请你帮他解决一下．（参考数据：，，，）
（1）求、之间的距离（结果保留根号）；
（2）小品和姐姐同时从点出发，沿着不同的方向到点汇合，其中小品沿着①：的方向步行，姐姐沿着②的方向步行，通过计算说明哪一条路更近？（结果精确到个位）
18．（2025·潮阳模拟）中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团 圆和完 美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的倍，用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个．
（1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？
（2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以元销售时，那么半个月可以售出个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高元，销量会相应减少个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？
19．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量（本）与销售单价（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求的值．
20．（2025·深圳模拟）已知二次函数．
（1）若函数图象经过点，解决下列问题：
①求该二次函数的表达式；
②若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标．
（2）设点，是该函数图象上的两点，若，求证：．
21．（2025·深圳模拟）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了元，请完成下列问题：
（1）降价元后的月销售量为___________件：（用含的式子表示）
（2）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
22．（2025·佛山模拟）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）当，且时，y的最大值和最小值分别为m，n，且，求k的值．
23．（2025九下·广州模拟）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎.刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中AB，CD为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑.已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体AB的水平距离为2米，且点离地面的高度为3.75米.
请尝试数学建模解决以下问题：
（1）在图1中，以为原点，水平直线BC为轴，AB所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体AB的水平距离为（米），求与之间的函数关系式；
（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段AE，FG组成，其中点在顶棚抛物线形骨架上，交AE于点.为不影响耕作，将点E到地面的距离定为1.5米.求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度.
24．（2025九下·广州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点.点是线段AB上一点，且与的面积比为1：2.
（1）求和的值；
（2）将绕点逆时针旋转，得到判断点是否落在函数的图象上，并说明理由.
25．（2025九下·广州模拟）关于的一元二次方程有实数根.
（1）求的取值范围；
（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值.
答案解析部分
1．（1）解：如图：
由题意得：AC⊥CD，BE∥CD，
，
在中，米，
米，
的长约为米；
（2）解：在中，米，，
米，
在中，米，米，
（米），
米，
模拟装置从点以每秒米的速度匀速下降到点，
模拟装置从点下降到点的时间秒，
模拟装置从点下降到点的时间约为秒．
（1）由题意得：AC⊥CD，BE∥CD，由二直线平行内错角相等，得∠EBD=∠BDC=36.87°，在Rt△BCD中，由∠BDC的余弦函数可求出CD的长；
（2）在Rt△BCD中，由∠BDC的正弦函数可求出BC的长，在Rt△ACD中，由勾股定理可算出AC的长，进而根据AB=AC-BC算出AB的长，最后根据路程、速度、时间三者的关系可求出点A下降到点B的时间.
2．（1）解：将10名A组同学的得分按照从小到大的顺序排列，排在第5和第6名的成绩为84，86，
∴A组同学得分的中位数为（84=86）÷2=85（分）；
由表格可知，A组同学得分的众数为82分；
（2）解：将A组的两名同学分别记为甲、乙，将B组的两名同学分别记为丙，丁，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中这2名同学恰好来自同一组的结果有：甲乙，乙甲，丙丁，丁丙，共4种，
这2名同学恰好来自同一组的概率为．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（2）此题是抽取不放回类型，将A组的两名同学分别记为甲、乙，将B组的两名同学分别记为丙，丁，根据题意画出树状图，由图可知：共有12种等可能的结果，其中这2名同学恰好来自同一组的结果有：甲乙，乙甲，丙丁，丁丙，共4种，从而根据概率公式计算即可.
3．解：设每吨降价x万元，则此时售价为(5-x)万元，销售量为：(100+50x)，记每天的“利润”为W，
则W=(5-x-2)(100+50x)=-50x2+50x+300，
∵，-50＜0，
∴当且仅当x=0.5时，W最大，，
此时果商定价为5-0.5=4.5(万元/吨)
答：定价为4.5万元/吨时，其每天的“利润”或“销售收入”最大，最大值为312.5万元.
根据题意设降价更容易直接表示售价和销售量，进而表示出利润，最后结合二次函数的性质求出其最大值即可.
4．解：如图
∵斜坡AC的坡度i＝，
∴AB：BC＝5：6，
故可设AB＝5x米，BC＝6x米，
在Rt△ADB中，∠D＝30.96°，BD＝（140+6x）米，
∴tan30.96°＝＝0.60，
解得：x＝60（米），
经检验，x＝60是方程的解，
∴5x＝300（米），
答：该岛礁的高AB为300米．
由坡度可得AB：BC＝5：6，可设AB＝5x米，BC＝6x米，则BD＝（140+6x）米 由tanD=可建立关于x方程并解之即可.
5．（1）85，20；
（2）B款人工智能软件更受用户欢迎.
理由如下：
款和B款的平均数相同，B款的方差小于A款的方差，
款人工智能软件比较稳定，
款人工智能软件更受用户欢迎；
（3）（名），（名）
（名）。
答：其中对A、B两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数为440名.
解：（1）A软件评分数据中，85出现的次数最多，则众数a=85
B软件“满意”的人数为8人
则占比为：
∴m%=1-10%-30%-40%=20%，即m=20
故答案为；85；20
（1）根据众数的定义可得a值；求出B软件“满意”占比，即可求出m值.
（2）根据平均数，方差的意义即可求出答案.
（3）分别用总人数乘以“非常满意”的占比，再相加即可求出答案.
6．（1）二；计算减法时，去括号时没有变号.
（2）原式
，
，
当时，
原式.
（1）去括号法则即可求出答案.
（2）先计算括号，再将分式除法转换为乘法化简，再根据分式有意义的条件可得x值，再代入代数式即可求出答案.
7．解：延长交的延长线于点F，
∵斜坡的坡度为，
∴，
∴，
∵斜坡的铅直高度为2米，
∴，米，
∵在端点D处，测得顶端A的仰角为，
∴，
∴，，
∵点C处，测得旗杆顶端A的仰角为，
∴
在中，，
即：，
∴
答：旗杆的高度为13.6米．
延长交的延长线于点F，由坡比可得，根据等腰直角三角形性质可得，，再根据正切定义即可求出答案.
8．解：设原计划每天种树棵，则实际每天种树棵，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原计划每天这种树棵．
设原计划每天种树x棵，则实际每天种树棵，根据工作时间＝工作总量＋工作效率，结合实际比原计划提前2天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解方程即可求出答案.
9．（1）50；72
（2）120
（3）解：列表如下：
A B C D E
A （A，B） （A，C） （A，C） （A，D） （A，E）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） （B，E）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） （C，E）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） （D，E）
E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D） （E，E）
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
∴P（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）＝=．
解：（1）根据题意可得：总人数为60÷30%＝200（人），
∴a＝200 20 60 30 40＝50（人），
∴E所对应的扇形圆心角=×360°＝72°，
故答案为：50；72；
（2）根据题意可得：800×＝120（人），
故答案为：120.
（1）先利用“B”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出a的值并求出E所对的扇形圆心角即可；
（2）先求出“D”的百分比，再乘以800可得答案；
（3）先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
10．（1）6；56
（2）解：不正确．
因为小敏的体重57kg是高于中位数56kg，
所以小敏的体重在所抽取的学生中处于中上游水平，
故小敏的推测不正确；
（3）解：，
答：估计九年级体重高于60.5kg的学生大约有216人
（1）解：调查的总人数为（人）
∴，
∵一共调查了25人，
∴中位数是第13人的体重，
又A组2人，B组6人，C组8人，
∴中位数在C组，
∵C组的具体体重为（单位：kg）：54，54，55，55，56，57，59，60，
∴中位数为56kg；
（1）利用A组的人数除以对应的百分数，求出总人数，然后用总人数减去其余各组人数即可求出a的值，根据中位数的定义求解即可；
（2）根据中位数判断即可；
（3）用总人数乘以高于60.5kg所占的百分比即可求解．
（1）解：调查的总人数为（人）
∴，
∵一共调查了25人，
∴中位数是第13人的体重，
又A组2人，B组6人，C组8人，
∴中位数在C组，
∵C组的具体体重为（单位：kg）：54，54，55，55，56，57，59，60，
∴中位数为56kg；
（2）解：不正确．
因为小敏的体重57kg是高于中位数56kg，
所以小敏的体重在所抽取的学生中处于中上游水平，
故小敏的推测不正确；
（3）解：，
答：估计九年级体重高于60.5kg的学生大约有216人
11．一，原方程没有化成一般形式
解：由
故
（第一步）
（第二步）
∴原方程有两个不相等的实数根，
故答案为：一；原方程没有化成一般形式．
根据公式法解方程的基本步骤即可求出答案.
12．解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克，
根据题意得：，
解得：，
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克
设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克，根据从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．列出二元一次方程组，解方程组即可．
13．（1）解：设抛物线对应的函数表示式为，
依题，它经过，，，
则： ，
解得：，
∴抛物线对应的函数表示式为；
（2）（2）解：因为直线l经过原点，设直线l的表达式：，
把代入，
得：，
，
∴直线l的表达式是：；
过点A作轴交直线l于点D，
则：D点的横坐标和A点的横坐标一样，都是3，
∴在中，令，则，
，
，的高均为3，
∴；
（3）解：过点P作轴交直线l于点M，则：M点的横坐标和P点的横坐标一样，
设，则，则：
；
∴当时，取得最大值，
此时，，
P点坐标是．
（1）设抛物线对应的函数表示式为，根据待定系数法将点O，A，B坐标代入表达式即可求出答案.
（2）设直线l的表达式：，根据待定系数法将点B坐标代入表达式可得直线l的表达式是：，过点A作轴交直线l于点D，将x=3代入解析式可得，再根据两点间距离可得AD，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）过点P作轴交直线l于点M，则：M点的横坐标和P点的横坐标一样，设，则，根据两点间距离可得，再根据三角形面积可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：设抛物线对应的函数表示式为，
依题，它经过，，，
则： ，
解得：，
∴抛物线对应的函数表示式为；
（2）解：因为直线l经过原点，设直线l的表达式：，
把代入，
得：，
，
∴直线l的表达式是：；
过点A作轴交直线l于点D，
则：D点的横坐标和A点的横坐标一样，都是3，
∴在中，令，则，
，
，的高均为3，
∴；
（3）解：过点P作轴交直线l于点M，则：M点的横坐标和P点的横坐标一样，
设，则，则：
；
∴当时，取得最大值，
此时，，
P点坐标是．
14．解：设抛物线的解析式为，
根据题意得：，
解得：，
所以抛物线的解析式为．
设抛物线的解析式为，根据待定系数法将点坐标代入解析式即可求出答案.
15．（1）
（2）
（3）
16．；非负整数解为0、1、2、3
17．（1）解：连接，
由题意得，，米，
在中，，
由勾股定理得，即，
解得，，
∵，
∴，
∴米；
（2）解：∵在的东北方向，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴米，
在中，，
∴米，
∵，
∴路线②更近．
（1）连接，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据方向角可得，根据等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，再根据勾股定理可得，则米，再根据勾股定理可得BC，再根据边之间的关系可得AB+BC，再比较大小即可求出答案.
（1）解：连接，
由题意得，，米，
在中，，
由勾股定理得，即，
解得，，
∵，
∴，
∴米；
（2）解：∵在的东北方向，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴米，
在中，，
∴米，
∵，
∴路线②更近．
18．（1）解：设普通豆沙饼的单价是元，则蛋黄豆沙饼的单价是元，
依题意，得：，
解得：，
经检验：是所列方程的解且符合题意，
∴（元），
答：普通豆沙饼的单价是元，蛋黄豆沙饼的单价是
（2）解：设售价定为元，利润为元，
依题意，得：，
∵
∴二次函数的图象开口向下，函数有最大值，
∴当时，有最大值，最大值为元，
答：当售价定为元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是元．
（1）设普通豆沙饼的单价是元，则蛋黄豆沙饼的单价是元，根据“用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个”列出分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设售价定为元，利润为元，根据题意列出关于的二次函数，结合二次函数的性质即可求出答案.
（1）解：设普通豆沙饼的单价是元，则蛋黄豆沙饼的单价是元，
依题意，得：，
解得：，
经检验：是所列方程的解且符合题意，
∴（元），
答：普通豆沙饼的单价是元，蛋黄豆沙饼的单价是元；
（2）设售价定为元，利润为元，
依题意，得：，
∵
∴二次函数的图象开口向下，函数有最大值，
∴当时，有最大值，最大值为元，
答：当售价定为元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是元．
19．（1）；（2）．
20．（1）解：①将代入可得，
解得：，
∴该二次函数的表达式为；
②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∴，
解得：，
把代入，
得，即．
（2）证明：∵设点，是该函数图象上的两点，
∴
∴，，
∴
，
∵，
∴，即．
（1）①根据待定系数法将点(2，5)代入解析式即可求出答案.
②根据点的平移可得，根据二次函数对称轴公式建立方程，解方程即可求出答案.
（2）由题意可得，再将点M，N坐标代入解析式可得，再结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：①将代入可得，
解得：，
∴该二次函数的表达式为；
②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∴，
解得：，
把代入，
得，即．
（2）证明：∵设点，是该函数图象上的两点，
∴
∴，，
∴
，
∵，
∴，即．
21．（1）
（2）解：设降价降了元，则每件的利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元．
（1）解： 降价元后的月销售量为件
故答案为：
（1）该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了元，则降价元后的月销售量为件．
（2）设降价降了元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为8400元列方程，解方程即可求出答案.
（1）解： 降价元后的月销售量为件
故答案为：
（2）解：设降价降了元，则每件的利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元．
22．（1），顶点坐标为
（2）
23．（1）解：由题意可得，
设与之间的函数关系式，将点代入，
得，解得．
水流所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：点到地面的距离定为1.5米，
将代入得：
，
解得：，
，
，
设直线的函数关系式为，将点，代入得，
，解得：，
直线的函数关系式为，
设，
，
，
，
，
当时，有最大值，为1，
做这一个支架所需铝合金材料的最大长度为米．
本题考查二次函数的应用，求一次函数关系式及勾股定理．
（1）设与之间的函数关系式，将点代入可列出方程：，解方程可求出a的值，据此可求出水流所在抛物线的函数表达式；
（2）根据点到地面的距离定为1.5米，据此可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出，再利用勾股定理可求出，
设直线的函数关系式为，将点，代入得，
解方程可求出k和b的值，据此可得直线的函数关系式为，设，则，可得出，利用二次函数的性质可求出FG的最大值，进而可求出做这一个支架所需铝合金材料的最大长度.
24．（1）解：将代入，
得，，
，
将代入，
得，，
解得，，
故所求和的值分别为，5；
（2）（2）点是落在函数的图象上．理由如下：
，
时，，解得，
．
与的面积比为，
为中点，
，，
．
如图，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为．
将绕点逆时针旋转，得到△，
，，．
．
在△与中，
，
△，
，，
在第二象限，
，
点是落在函数的图象上．
本题考查待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，线段中点坐标公式，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征．
（1）将代入可列出方程，解方程可求出的值；将代入可列出方程，解方程可求出的值；
（2）令y=0，根据一次函数的解析式可求出点坐标为．根据与的面积比为，得出为中点，利用中点坐标公式求出点坐标为．过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为．利用旋转的性质可得：，，，利用角的运算可得：，利用全等三角形的判定定理可证明△，利用全等三角形的性质可得，，又在第二象限，得出，据此可判断点是落在函数的图象上．
25．（1）根据题意得，
解得；
（2）的最大整数为2，
方程变形为，解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，解得；
当时，，解得，
而，
∴的值为．
本题考查一元二次方程根的判别式．
（1）根据一元二次方程有实数根，利用一元二次方程根据可列出不等式：，解不等式可求出实数k的取值范围；
（2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，把和分别代入一元二次方程可分别列出方程：，，解方程可求出m的值，再根据，可确定m的值.

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