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2025年中考数学冲刺中考模拟真题速递(广州专用)
专项3 解答题（广州中考真题+中考模拟）
一、解答题
1．（2024·广州） 关于的方程有两个不等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）化简：．
2．（2024·深圳） 据了解， “i 深圳” 体育场地一键预约平台是市委、市政府打造 “民生幸福标杆” 城市过程中， 推动的惠民利民重要举措， 在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义。按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆 “应接尽接”原则， “i 深圳” 体育场馆一键预约平台实现了 “让想运动的人找到场地， 已有的体育场地得到有效利用”。
小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体， 现有 两所学校适合，小明收集了这两所学校过去 10 周周六上午的预约人数：
学校
学校 ：
（1）
学校 平均数 众数 中位数 方差
　 　 48 　 83.299
48.4 　 　 　 　 354.04
（2）根据上述材料分析， 小明爸爸应该预约哪所学校？请说明你的理由.
3．（2024·广东）端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩.为了选择一个最合适的景区，王先生对A、B、C三个景区进行了调查与评估.他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景区评分（10分制）.三个景区的得分如下表所示：
景区 特色美食 自然风光 乡村民宿 科普基地
A 6 8 7 9
B 7 7 8 7
C 8 8 6 6
（1）若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩
（2）如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生将会选择哪个景区去游玩
（3）如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的景区，并说明理由.
4．（2024·广东）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位.经测量，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m，参考数据)
（1）求PQ的长；
（2）该充电站有20个停车位，求PN的长.
5．（2025九下·广州模拟）甲、乙两位同学相约打乒乓球.
（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为），若甲从中随机选取1个，则他选中球拍的概率是　 　；
（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球，这个约定是否公平？为什么？
6．（2025·深圳模拟）小聪爸爸为了了解国产吉他的品质（指板材质、发出的声音等），对甲、乙两种品牌进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种品牌的吉他各9份样品，对吉他的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种品牌吉他得分的统计图表．
甲、乙两种品牌吉他得分表
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
甲（分） 81 82 83 88 90 90 90 92 95
乙（分） 74 75 85 88 89 90 91 97 97
甲、乙两种吉他得分统计表
品牌 平均数 中位数 众数
甲 87.9 90
乙 87.3 97
（1）________，________；
（2）从方差的角度看，________种吉他的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）你会建议小聪爸爸选择哪种品牌吉他？请结合统计图表中的信息写出你的理由．
7．（2025·龙岗模拟）如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，连接，．
（1）如图（），若，分别是边，的中点，连接，则______
（2）当时，请回答下列问题：
①如图（），求的值；
②如图（），若平分时，求的值；
③如图（），若时，求的值．
8．（2025·龙岗模拟）深圳市某学校为了贯彻落实党的相关精神，引导全体师生了解和掌握社会主义核心价值观的基本内容和实践要求，更加深入地理解社会主义核心价值观的内涵，增强对国家、社会和公民个人层面价值观念的认同感，特意举办了社会主义核心价值观知识竞赛．以下是社会主义核心价值观的具体内容
国家层面：富强、民主、文明、和谐；
社会层面：自由、平等、公正、法治；
个人层面：爱国、敬业、诚信、友善．
（1）初赛时，小军同学从会主义核心价值观十二个方面的知识中随机抽取了其中一个方面的知识，恰好抽中“富强”的概率为________．
（2）复赛时，抽签只分为三大类：国家层面（A）、社会层面（B）、个人层面（C）．小军同学抽签后，把签放回去，重新洗均匀，小刚同学再抽签，利用画树状图或列表的方法求两人抽到相同的签的概率．
9．（2025·南山模拟）美育，又称美感教育，可以培养和提高人感受美、鉴赏美、表现美和创造美的能力，深入地影响人的情感、想象、思想、意志和性格，对于塑造美好心灵具有重要作用．实验中学为践行美育培养，组织学生开展中国名画鉴赏活动．通过投票，学校最终确定鉴赏下面四幅画：A．《清明上河图》，B．《千里江山图》，C．《百骏图》，D．《富春山居图》．活动开始时，老师将这四幅画的名称分别写在四张相同的卡片上，将卡片洗匀后背面朝上放在桌子上．
（1）小北从中随机抽取一张，他抽到的卡片是B．《千里江山图》的概率为______；
（2）小乐从这四张卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的名称后放回洗匀．小凯再从中随机抽取一张卡片，记录下卡片，上的名称请用画树状图或列表的方法，求小乐和小凯鉴赏同一幅画的概率．
10．（2025·汕头模拟）如图，在一次足球训练中，某球员从球门（原点O处）正前方的A处射门，球射向球门的路线可近似成一条抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知球门高为，通过计算判断该球能否射进球门（忽略其他因素的影响）；
（3）已知点C为上一点，，若该球员带球向正后方移动再射门（射门路线的形状、球的最大高度均保持不变），球恰好经过区域（含点O和点C），求n的取值范围．
11．（2025九下·佛山模拟）据了解，“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义．按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”．
小粤爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有，两所学校适合，小粤收集了这两所学校过去10周上午的预约人数：
学校：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50．
学校：如图所示：
（1）根据上述内容，整理出众数、中位数、平均数、方差等数据，给下列问题提供参考：
（2）若小粤爸爸每日上午只有1.5小时进行健身，则他应该预约哪所学校？
（3）若小粤爸爸健身时需要更好的场所，则他应该预约哪所学校？
12．（2025·白云模拟）某学校对学生最喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了_______名学生，_______，_______；
（2）已知该校共有名学生，请你估计该校喜欢阅读“”类图书的学生约有多少人？
（3）学校将举办读书知识竞赛，九年级（）班要在本班名优胜者（男女）中随机选送人参赛，请用画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．
13．（2025·白云模拟）太阳能是清洁，安全和可靠的能源，我国的国土光照充沛，光能资源分布较为均匀．利用太阳能的最佳方式是光伏转换，使太阳光射到硅材料制作的面板上产生电流直接发电．
如图是一个太阳能面板及其侧面示意图，点是的中点，，支架可绕点旋转，当太阳光线与面板垂直时，吸收光能的效率最高．当太阳光与地面夹角为时，为了让太阳能面板吸收光能的效率最高，那么支架端离地面的高度应该为多少？（结果精确到；参考数据：，，）
14．（2025·深圳模拟）某校开展以“新时代深圳精神”为主题的演讲比赛．“新时代深圳精神”概括凝结为16个字：“敢闯敢试、开放包容、务实尚法、追求卓越”，这四个主题依次用字母A，B，C，D表示．将A，B，C，D分别写在四张完全相同的不透明卡片上，然后背面朝上洗匀．每位选手随机从中抽出一张卡片，并按照抽到的主题进行演讲．
（1）小明抽到演讲主题为“追求卓越”的概率是______；
（2）小颖从中抽出一张卡片，记下字母后放回．重新洗匀后，小亮再从中抽出一张卡片，求他们演讲主题相同的概率．
15．（2025·深圳模拟）（1）解方程：；
（2）小明在解关于x的方程时，过程如下：
第1步：移项，得，
第2步：变形，得，
第3步：设，即，代入上式得，
所以，即，
第4步：两边开平方，得，
第5步：代入，得，即．
你认为小明的做法从第______步开始出现错误，原因是______．
16．（2025·福田模拟）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．
（1）若将这种西瓜每千克的售价降低x元，则每天的销售量是多少千克（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利224元且使每天的销售量较大，需将每千克的售价降低多少元？
17．（2025·福田模拟）某校为了解学生的体育锻炼情况，围绕“你最喜欢的一项体育活动”进行随机抽样调查，从而得到一组数据，如图是根据这组数据绘制的两个统计图．
请结合统计图，解答下列问题：
（1）该校对　 　名学生进行了抽样调查：在扇形统计图中，“羽毛球”所对应的圆心角的度数为　 　度；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有2400名学生，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少人．
18．（2024·中山模拟）如图，内接于，是的直径，点D是上一点，连接、，过点B作，交的延长线于点E，平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为6，求的长．
19．（2024·广州） 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 … …
身高 … …
（1）在图1中描出表中数据对应的点；
（2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
答案解析部分
1．（1）解：∵关于x的方程x2-2x+4-m=0有两个不等的实数根，
∴，
解得；
（2）解：∵m＞3，
，
．
（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出关于字母m的不等式，求解即可；
（2）首先根据m的取值判断出m-3＞0，然后根据绝对值的性质将第一个分式的分母去绝对值符号，同时将分子利用平方差公式分解因式，并根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，约分化简即可.
2．（1）48.3；25；47.5
（2）解：小明爸爸应该预约学校 A， 因为学校 A 的预约人数相对稳定， 大概率会有位置更好的进行锻炼.
解：(1)学校A的平均数，观察学校B的折线统计图知众数为25，中位数45和50的平均数47.5
故答案：48.3；25；47.5
（1）根据学校A的预约总数据除以10便可得平均数，观察学校B预约数据，可知众数和中位数；
（2）可从平均数、中位数、方差等角度进行选择，言之合理即可.
3．（1）解：A景区得分=（分）
B景区得分=（分）
C景区得分=（分）
答：B景区综合得分较高，故王先生会选择B景区去游玩
（2）解：A景区得分=（分）
B景区得分=（分）
C景区得分=（分）
答：此时A景区得分较高，故王先生会选择A景区去游玩
（3）解：“我”认为 特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面分占比分别是30%，30%，20%，20%，
表示更加注重自然风光和特色美食.
A景区得分=（分）
B景区得分=（分）
C景区得分=（分）
答：按个人设计百分比应选择A景区游玩.
（1）根据加权平均数代入数值计算即可；
（2）由平均数直接计算或类比（1）计算即可；
（3）同理根据个人喜好设计百分比，说明理由并代入计算即可.
4．（1）解：∵四边形PQMN和四边形ABCD均为矩形，
∴∠P=∠Q=∠BAD=∠ABC=90°，AD=BC，
又∵∠ABQ=60°，∠BAQ+∠DAP=90°，
∴∠BAQ=180°-∠Q-∠ABQ=30°，
∴∠DAP=60°，∠ADP=30°，
同理∠CBE=30°，
在Rt△BCE和Rt△DAP和Rt△BAQ中，
tan∠CBE=，
∴AD=BC=，
∴AP=，
同理sin∠ABQ=，
∴AQ=，
∴PQ=AP+AQ=+=.
∴PQ的长约为6.1 m.
（2）解：由（1）可知，
∠BAQ=∠CBE=30°，AB=5.4，CE=1.6，
在Rt△AQB和Rt△BCE中，
有，，
依题意，若充电站有20个停车位，
故BM=20×BE=20×3.2=64，
∴PN=QM=QB+BM=2.7+64=66.7.
∴PN的长为66.7cm.
（1）由矩形性质及特殊角分析，利用特殊直角三角形边的比例关系逐一求出线段往目标线段靠拢即可；
（2）在(1)特殊直角三角形求得的边长基础上找出20个停车场的计算方式，需注意PN所在线段PD≠DG，不能通过PD直接计算20停车场的长度，可以利用矩形性质转化为求QM即可.
5．（1）
（2）画树状图如下：
第2枚
一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，
∴（甲先发球），
（乙先发球），
∵（甲先发球）（乙先发球），
∴这个约定公平．
解：（1）解：根据题意得甲选中球拍的概率为，
故答案为：；
本题考查利用公式求概率及列表法或树状图法求概率．
（1） 从中随机选取1个共有4种可能，选中球拍的事件数为1，利用概率公式进行计算可求出答案；
（2）先画出树状图，据此可求出等可能的结果数，又可求出两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，利用概率公式进行计算可求出甲先发球和乙先发球的概率，再进行比较，可判断游戏是否公平．
6．（1），
（2）甲
（3）解：建议购买甲品牌，因为甲品牌的平均数更高，所以甲品牌吉他更好．
（1）解：由乙种吉他得分可得，处在中间位置的一个数是，即，
由甲种吉他得分可得，出现次数最多的是90分，即；
故答案为：89；90
（2）解：，
故，
∴甲吉他的得分较稳定；
（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案.
（2）由甲、乙两种吉他得分的方差，比较得出，即可求出答案.
（3）根据平均数的意义即可求出答案.
（1）解：由乙种吉他得分可得，处在中间位置的一个数是，即，
由甲种吉他得分可得，出现次数最多的是90分，即；
（2）解：，
故，
∴甲吉他的得分较稳定；
（3）解：建议购买甲品牌，因为甲品牌的平均数更高，所以甲品牌吉他更好．
7．（1）
（2）①；②；③
8．（1）
（2）
9．（1）
（2）
10．（1）解：，
抛物线的顶点坐标为．
设抛物线的函数表达式为．
把点代入，得．解得．
抛物线的函数表达式为．
（2）解：当时，．
该球不能射进球门．
（3）解：由题意得该球员带球向正后方移动后，球射向球门的抛物线的表达式为．
把点代入，得，解得（舍去）或．
把点代入，得．解得（舍去）或．
的取值范围是．
（1）求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，再根据待定系数法将点A坐标代入表达式即可求出答案.
（2）当时，求出y的值再与比较，即可判断球能不能射进球门.
（3）设小明带球向正后方移动m米，则可用含m的式子表示移动后的抛物线解析式，把点代入求出得的值，即知当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处．
（1）解：，
抛物线的顶点坐标为．
设抛物线的函数表达式为．
把点代入，得．解得．
抛物线的函数表达式为．
（2）解：当时，．
该球不能射进球门．
（3）解：由题意得该球员带球向正后方移动后，球射向球门的抛物线的表达式为．
把点代入，得，解得（舍去）或．
把点代入，得．解得（舍去）或．
的取值范围是．
11．（1）解：整理数据如下：
学校 平均数 众数 中位数 方差
43.3 48 48 83.299
48.4 25 47.5 354.04
（2）解：由于小粤爸爸每日上午只有1.5小时进行健身，时间紧促，
所以应该选择预约人数较少的学校，
根据上面的数据，学校的预约人数的众数以及中位数相对学校低，
因此预约人数较少，
故小粤爸爸应该预约学校；
（3）解：根据上面的数据，学校的预约人数的方差相对学校低，
因此学校的预约人数较稳定，管理员对场所的维护较好，
故小粤爸爸应该预约学校．
（1）根据众数、中位数、平均数、方差的计算方法求出个数，制成统计表；
（2）根据众数和中位数分析即可；
（3）根据方差的知识解答即可．
（1）解：整理数据如下：
学校 平均数 众数 中位数 方差
43.3 48 48 83.299
48.4 25 47.5 354.04
（2）解：由于小粤爸爸每日上午只有1.5小时进行健身，时间紧促，所以应该选择预约人数较少的学校，根据上面的数据，学校的预约人数的众数以及中位数相对学校低，因此预约人数较少，故小粤爸爸应该预约学校；
（3）解：根据上面的数据，学校的预约人数的方差相对学校低，因此学校的预约人数较稳定，管理员对场所的维护较好，故小粤爸爸应该预约学校．
12．（1），，
（2）人
（3）
13．
14．（1）；
（2）
15．（1），；（2）4，可能小于0，而负数没有平方根．
16．（1）解：由题意得，每天的销售量为千克
（2）解：设每千克的售价降低x元，
由题意得，
整理得：，
∴，
解得或，
∵要使销售量较大，
∴，
∴每千克的售价降低0.3元
（1）根据这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克列式即可求出答案.
（2）设每千克的售价降低x元，根据利润=（售价进价）×数量列出方程，解方程即可求出答案.
（1）解：由题意得，每天的销售量为千克
（2）解：设每千克的售价降低x元，
由题意得，
整理得：，
∴，
解得或，
∵要使销售量较大，
∴，
∴每千克的售价降低0.3元
17．（1）40，18；
（2）解：喜欢篮球的占，
所以喜欢篮球的学生共有：（名．
补全的条形图：
（3）样本中有5名喜欢跳绳，占抽样的，
所以该校喜欢跳绳的学生有（名．
答：全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为300名．
解：（1）因为抽样中喜欢足球的学生有12名，占，
所以共抽样调查的学生数为：（名．
喜欢羽毛球的2名，占抽样的：．
其对应的圆心角为：．
故答案为：40，18．
（1）根据：喜欢某项的百分比，先计算抽样人数，再计算喜欢羽毛球的人数占的百分比，最后计算出圆心角的度数；
（2）先计算出喜欢篮球的学生数，再补全条形统计图；
（3）先计算喜欢跳绳所占的百分比，再求出喜欢跳绳的人数．
18．（1）证明：连接．
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∴，
∴，即，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：，
∴．
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴．
由勾股定理，得．
（1）连接，根据等边对等角可得，再根据角平分线定义可得，则，再根据直线平行性质可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据三角形内角和定理可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，，即，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）证明：连接．
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∴，
∴，即，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：，
∴．
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴．
由勾股定理，得．
19．（1）解：描点如图示：
（2）解：转化为，
与的函数不可能是，
故选一次函数，
将点、代入解析式得：
，
解得，
一次函数解析式为；
（3）解：当时，．
答：脚长约为，估计这个人的身高为．
（1）将表格中脚长x的值作为点的横坐标，身高y的值作为点的纵坐标，在坐标平面内描出各点即可；
（2）根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于常数k，可判断出身高和脚长的函数关系不是反比例函数关系，是一次函数关系，进而利用待定系数法求出y关于x的函数关系式即可；
（3）将x=25.8代入（2）所求的函数关系式算出对应的函数值即可得出答案.

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