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第二章 一元二次方程
一、单选题
1．关于 的一元二次方程 的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．用配方法解方程时，原方程应变形为（　　）
A． B． C． D．
3．已知函数 的图象如图所示，则一元二次方程 根的存在情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
4．一元二次方程x2－2x＝0根的判别式的值为(　　)
A．4 B．2 C．0 D．－4
5．若关于x的一元二次方程k-6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k<1 B．k<1且k≠0 C．k≠1 D．k>1
6．方程 的解为（　　）
A． B．
C． ， D． ，
7．关于 的一元二次方程 的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
8．随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降.两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元.设生产成本的年平均下降率为 ，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．方程2 －5 ＋ ＝0没有实数根，则 的取值范围是（　　）
A． ＞ B． ＜ C． ≤ D． ≥
10．关于x的方程是一元二次方程，则m值为（　　）
A．或 B． C． D．且
二、填空题
11．若方程2x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根分别为出x1，x2，则x1+x2＝　 　．
12．方程 的解为　 　.
13．某超市一月份的营业额为200万元，已知二月和三月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为　 　.
14．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2020的值为　 　．
15．关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是　 　.
三、解答题
16．为深化疫情防控国际合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资出口工作.2020年3月，国内某企业口罩出口订单额为1000万元，2020年5月该企业口罩出口订单额为1440万元．求该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率．
17．如图所示，利用一面墙的部分长度作为矩形较长的一边，另三边用24米长的篱笆围成一个面积为54平方米的矩形场地，求矩形场地较短边的长．
18．关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．
19．在实数范围内只有一个实数是关于x的方程 的根，求实数k的所有可能值.
20．如图，在长为20cm，宽为16cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得剩下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长.
四、综合题
21．已知关于x的一元二次方程x2+x+m-1=0．
（1）当m=0时，求方程的实数根；
（2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：△=a2 4×1×（ 1）=a2+4.
∵a2 0，
∴a2+4>0，即△>0，
∴方程x2+ax 1=0有两个不相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】算出方程根的判别式的值，由偶数次幂的非负性判断出根的判别式的值一定大于0，从而即可得出该方程有两个不相等的实数根 .
2．【答案】A
【解析】【解答】解：移项，得，
配方，得，
即
故答案为：A
【分析】根据配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解.
3．【答案】C
【解析】【解答】一次函数 的图象有四种情况：
①当 ， 时，函数 的图象经过第一、二、三象限；
②当 ， 时，函数 的图象经过第一、三、四象限；
③当 ， 时，函数 的图象经过第一、二、四象限；
④当 ， 时，函数 的图象经过第二、三、四象限.
由图象可知，函数 的图象经过第二、三、四象限，所以 ， .
根据一元二次方程根的判别式，方程 根的判别式为 ，
当 时， ，
∴方程 有两个不相等的实数根．
故答案为：C.
【分析】已知函数y=kx+b过二、三、四象限，间接说明了k<0,b<0;再讨论x +x+k-1=0中的根存在情况，利用根的判别式△=b -4ac得到了△>0,所以该方程有两个不相等的实数根。
4．【答案】A
【解析】【解答】解:在这个方程中，a＝1，b＝－2，c＝0，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程判别式的公式 进行计算即可.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得k≠0且Δ=（-6）2-4×k×9＞0，
解得k＜1且k≠0．
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
6．【答案】D
【解析】【解答】解：
，
故答案为：D．
【分析】将方程右边的式子移到方程的左边，再对方程左边的式子因式分解，解出x的值即可．
7．【答案】D
【解析】【解答】解：此方程根的判别式为 ，
则此方程有两个不相等的实数根.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：设这种药品的成本的年平均下降率为x，根据题意得：
故答案为：C.
【分析】此题的等量关系为：两年前生产一吨药的成本×（1-降低率）2=两年后生产一吨药的成本，列方程即可.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵方程2 －5 ＋ ＝0没有实数根，
∴△＝（-5）2﹣4×2m<0，
解得m> ．
故答案为：A．
【分析】根据跟着判别式，即可求出答案。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得，
解得m=-2，
故答案为：C．
【分析】直接利用一元二次方程的定义进行判断，注意二次项系数不能为0.
11．【答案】2
【解析】【解答】解：∵方程2x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣ ＝2．
故答案为：2．
【分析】根据根与系数的关系x1+x2＝-进行解答即可.
12．【答案】
【解析】【解答】解： ，解得 .
【分析】将方程的左边利用提公因式法分解因式，然后根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，求解即可得出原方程的解。
13．【答案】200（1+x）+200（1+x）2=1000
【解析】【解答】解： 一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为 ，
二月份营业额为： ；
三月份营业额为： ；
∴ 200（1+x）+200（1+x）2=1000 .
故答案为： 200（1+x）+200（1+x）2=1000 .
【分析】根据题意可得相等关系：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000，由相等关系可列方程.
14．【答案】2023
【解析】【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴原式＝3（2m2﹣3m）+2020＝3+2020=2023．
故答案为：2023．
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
15．【答案】
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴△≥0，即（-2）2-4×（m-3）×1≥0，解得m≤4，
∴m的取值范围是 m≤4.
故答案为：m≤4.
【分析】根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”可得关于m的不等式，解不等式即可求解.
16．【答案】解：设该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率为x，
依题意，得：1000(1+x)2=1440，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率为20%．
【解析】【分析】设该企业订单额的月平均增长率为x，根据该企业2020年3月及5月的出口订单额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
17．【答案】解：设矩形场地较短边的长为x米，则邻边长为（24﹣2x）米，依题意得
x（24﹣2x）＝54，
整理得x2﹣12x+27＝0，
解得x1＝3，x2＝9（舍去）．
答：矩形场地较短边的长为3米．
【解析】【分析】设矩形场地较短边的长为x米，则邻边长为（24﹣2x）米，利用“面积为54平方米的矩形场地”列出方程求解即可。
18．【答案】解：方程m2-8m+19=0中，b2-4ac=64-19×4=-8＜0，方程无解．
故关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0一定是一元二次方程．
【解析】【分析】要判断方程是否为一元二次方程，则要看二次项系数是否为0，则根据判别式判断二次项系数=0时的方程是否有实数解，从而得出结论.
19．【答案】解：
两边同乘以 得：
整理得：
由题意分以下2种情况分析：（1）当 时，原方程可变为：
解得：
经检验， 是原分式方程的唯一实数根，符合题意；（2）当 时，则关于x的方程 只有一个实数根
则方程的根的判别式
解得：
将 代入方程得：
解得：
经检验， 是原分式方程的唯一实数根，符合题意
综上，实数k的所有可能取值为1和 .
【解析】【分析】先将分式方程转化成整式方程，再分二次项系数等于0和不等于0两种情况讨论，根据一元一次方程的解的性质、一元二次方程的根的判别式分析即可.
20．【答案】解：设小正方形的边长为xcm，根据题意得：
20×16- ，
解得： ，
为正数，
∴ ，
答：小正方形的边长为
【解析】【分析】等量关系是：剩下的图形（图中阴影部分）面积=原矩形的面积-四个小正方形的面积=原矩形面积×80%，设未知数，列方程求解即可。
21．【答案】（1）解：当m=0时，
x2+x-1=0，
∴x=，
∴x1=，x2=；
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac=1-4（m-1）>0，
解得m<.
【解析】【分析】(1)利用公式法解一元二次方程即可；
(2)一元二次方程方程有两个不相等的实数根的条件是△=b2-4ac>0，列式求解即可.

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