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2025年中考数学冲刺中考模拟真题速递(上海专用)
专项5 综合题 （上海中考真题+中考模拟）
一、综合题
1．（2024·上海）在梯形中，，点E在边上，且．
（1）如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：；
（2）已知；
①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长．
2．（2024·上海）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和．
（1）求平移后新抛物线的表达式；
（2）直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q．
①如果小于3，求m的取值范围；
②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标．
3．（2025·宝山模拟）为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形（如图1），米，米，斜坡的坡角为．计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2所示），坡面的宽度不变．
（1）求改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度；
（2）改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？
4．（2025·静安模拟）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为米，两桩的距离为米．
（1）舞狮人从跳跃到，随后再跳跃至，所成的角 ；
（2）求桩与桩的距离的长．（结果精确到米）
5．（2025·松江模拟）图1是一款高清视频设备．图2是该设备放置在水平桌面上的示意图，垂直于水平桌面，垂足为点，点处有一个摄像头．经测量，厘米，厘米，．
（1）求摄像头到桌面的距离；
（2）如果摄像头可拍摄的视角，且，求桌面上可拍摄区域的宽度（的长）．
（参考数据：，．）
6．（2025·崇明模拟）九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点处竖直上升米到达处，测得实验楼顶部的俯角为，综合楼顶部的俯角为，已知实验楼高度为米，且图中点在同一平面内，求综合楼的高度．
（参考数据：；，精确到米．）
7．（2025·普陀模拟）如图，已知小河两岸各有一栋大楼与，由于小河阻碍无法直接测得大楼的高度．小普同学设计了如下的测量方案：将激光发射器分别置于地面点E和点F处，发射的两束光线都经过大楼顶端A，并分别投射到大楼最高一层的顶端C和其底部G处，并测得，，．（点D、B、E、F在同一水平线上）
（1）小普同学发现，根据现有数据就能测出大楼的高度，试求出大楼的高度；
（2）为了能测得大楼的高度，小普同学又获信息：这两栋大楼每层的高度都相同，大楼共有五层．据此信息能否测得大楼的高度？如果可以，试求出大楼的高度；如果不可以，说明理由．
（参考数据：，，，，，）
8．（2024九下·上海市模拟）为了全面落实“双减”政策，促进学生整体素质的均衡发展，师一学校小学部语文组的老师带领孩子们“泛舟书海”，举办了一系列丰富多彩的读书活动．小狮宝们纷纷把自己收藏的图书带到学校．充实班级“图书漂流角”和移动绘本小屋．语文组的老师对小学部借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了图书，5月份比4月份增加10%，6月份全校借阅图书人数比5月增加340人．
（1）5月份借阅图书的学生人数______，6月份借阅图书的学生人数______，
（2）求从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率？
（3）由于小学部小狮宝们读书情绪十分高涨，于是在国庆节后，学校决定派图书室陈老师去锦江区“幸福里书屋”再购买一批图书，书店老板透露在九月底他以每本8元的价格进货500本图书，然后按照每本9.6元的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了，进货量比九月底增加，他以12元的价格全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求的值．
9．（2024九下·青浦模拟）图是某折叠式靠背椅实物图，图是椅子打开时的侧面示意图，椅面与地面平行，支撑杆，可绕连接点转动，且，椅面底部有一根可以绕点转动的连杆，点是的中点，，均与地面垂直，测得，，．
（1）求椅面的长度为 ；
（2）如图，椅子折叠时，连杆绕着支点带动支撑杆，转动合拢，椅面和连杆夹角的度数达到最小值时，求，两点间的距离（结果精确到）．（参考数据：）
10．（2024九下·嘉定模拟）2024年3月4日，跳水世界杯蒙特利尔站女子十米台，中国队选手包揽冠亚军，出色的表现，再次向世界展示了中国跳水队的卓越实力．如图，建立平面直角坐标系xOy．如果运动员从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，那么从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离 3 3.5 4 4.5
竖直高度 10 __________ __________ 6.25
①求抛物线的解析式．
②补全表格．
（2）信息一：运动员起跳后达到最高点B，点B到水面的高度为km，从到达最高点B开始计时，则她到水面的距离与时间之间满足．
信息二：已知运动员在到达最高点后，在落水前至少需要的时间才能完成极具难度的跳水动作．
①请通过计算说明，在（1）的这次训练中1，运动员能否顺利完成极具难度的跳水动作？
②运动员进行第二次跳水训练，此时她们竖直高度与水平距离的关系为．若她在到达最高点后要顺利完成极具难度的跳水动作，则n的取值范围是__________．
11．（2024九下·嘉定模拟）如图、分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座的长为，底座与支架所成的，且．篮板垂直于篮板底部支架，底部支架长，且平行于地面点、、在同一条直线上，支架段的长为，段的长为．
（结果精确到，参考数据：，，，，）
（1）求篮板底部支架与支架所成的角的度数．
（2）求篮板顶端到地面的距离．
12．（2024九下·上海市模拟）篮球是陕西省中考体育考试选考项目之一，如图，一名男生站在与篮圈中心水平距离为处进行投篮，篮球的行进路线是抛物线，球出手时离地面高度为，出手后当水平距离为 时，到达最大高度处，已知篮圈距地面．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
（2）通过计算说明此球能否准确投中？
13．（2024九下·上海市模拟）“科技改变生活”，小顾是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到3位有效数字；参考数据：，）
14．（2024九下·上海市模拟）已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售.调查发现，线下的月销量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，)满足一次函数的关系，部分数据如下表：
（元/件） 12 13 14 15 16
（件） 1200 1100 1000 900 800
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）已知线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件.如果线上和线下月利润总和达到6900元，求此时的线下售价.
15．（2024·上海市模拟）某品牌新能源汽车原厂年销售总额为万元，年销售总额为万元，年每辆车的销售价格比年降低万元，年销售量是年销售量的倍
（1）求年每辆车的销售价格
（2）若年某汽车专卖店从该新能源汽车原厂进购辆车，每售出一辆车要交税万元，则为使售完辆车后所得利润超过成本一半，定价至少要高于多少元？
16．（2024九下·闵行模拟）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中E点为抛物线的拱顶且高，，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
解决下列问题：
（1）如图，求抛物线的解析式；
（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
（3）如图，在某一时刻，太阳光线（太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
17．（2024九下·闵行模拟）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．
18．（2024九下·徐汇模拟）个集装箱装满了甲、乙、丙三种商品共吨，每个集装箱都只装载一种商品，根据下表提供的信息，解答以下问题：
商品类型 甲 乙 丙
每个集装箱装载量（吨）
每吨价值（万元）
（1）如果甲种商品装个集装箱，乙种商品装个集装箱，求与之间的关系式；
（2）如果其中个集装箱装了甲种商品，求每个集装箱装载商品总价值的中位数．
19．（2024九下·黄浦模拟）在一条笔直的公路上有两地，小明骑自行车从地去地，小刚骑电动车从地去地，然后立即原路返回到地，如图是两人离地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数图象．请根据图像回答下列问题：
（1）求小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式；
（2）若两人间的距离不超过千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？
20．（2024九下·上海市模拟）益趣玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元．
（1）求这种玩具的进价．
（2）求平均每次降价的百分率（精确到0.1%）
答案解析部分
1．（1）证明：延长交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：①解：记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，
∵点O为外接圆圆心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴外接圆半径为；
②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，
∵，
∴，
∴，
由①知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由，
得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∴，
∴，
而，
∴在中，由勾股定理得，，
∵，
∴．
本题考查三角形相似的判定与性质，勾股定理，平行线的判定及梯形的性质，熟悉相似三角形的判定与性质是解题的关键。
（1）延长交于点G，由，得，结合，，得，则；
（2）①解：记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，证，再证，得，得，②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，由得，证，证，再证，，得，由勾股定理得：，得，
则，由勾股定理得，，得．
2．（1）解：设平移抛物线后得到的新抛物线为，
把和代入可得：
，
解得：，
∴新抛物线为；
（2）解：①如图，设，则，
∴，
∵小于3，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，
由题意可得：在的右边，当时，
∴轴，
∴，
∴，
由平移的性质可得：，即；
如图，当时，则，
过作于，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，
∴，
解得：（不符合题意舍去）；
综上：；
本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，平移的性质，线段问题，三角形相似的判定与性质和平行线的性质，分类讨论等知识，熟练掌握待定系数法求解析式，三角形相似的判定与性质，运用分类谈论是解题关键。
（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，代入和得新抛物线为；
（2）设，则，得＜3，得，得；②由抛物线解析式，得平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，在的右边，分2种情况讨论：得，得；，过作于，证，得，设，则，，，得，得：（舍）；综上：；
3．（1）改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度为米
（2）改建这条斜坡需要立方米的混凝土材料
4．（1）
（2）米
5．（1）摄像头到桌面的距离是
（2）桌面上可拍摄区域的宽度为
6．约为米
7．（1）大楼的高度为
（2）能，大楼的高度为
8．（1）1100，1440
（2）从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率为
（3）
9．（1）；
（2）．
10．（1）①抛物线的解析式为；②11.25，10
（2）①运动员不能顺利完成极具难度的跳水动作；②
11．（1）篮板底部支架与支架所成的角的度数为；
（2）篮板顶端到地面的距离约为．
12．（1）
（2）此球能准确投中
13．米
14．（1）
（2）线下售价为元时，线上和线下月利润总和达到元
15．（1）万元
（2）万元
16．（1）；
（2）；
（3）
17．该学生接温水的时间为，接开水的时间为
18．（1）
（2）每个集装箱装载商品总价值的中位数是98万元
19．（1）；
（2）小时．
20．（1）20元
（2）

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