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2025年中考数学冲刺中考模拟真题速递(上海专用)
专项5 综合题1 （上海中考真题+中考模拟）
一、综合题
1．（2024·上海）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．
（1）求k与m的值；
（2）过点A作直线轴与直线交于点C，求的值．
2．（2025九下·奉化模拟）图1是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，图2是它的示意图．经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，点在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为，该支架的边与的夹角，又测得米．
（1）求该支架的边的长；
（2）求支架的边的顶端到地面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：）
3．（2024九下·上海市模拟）某食品厂从生产的袋装食品中抽样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：
与标准质量的差值（单位：g） 0 1 3 6
袋数 1 4 4 4 5 2
（1）这批样品的平均质量比标准质量多还是少？平均质量比标准质量多或少几克？
（2）若允许有g的误差，那么请你估计一下900袋产品中有多少袋合格产品？
（3）在（2）的条件下，若每袋食品成本价是20元，食品厂以每袋35元的价格批发给贾老板810袋．在销售中不合格产品返厂重新加工（重加工费用忽略不计），食品厂将不合格产品的进价费用返还贾老板并承担每袋0.5元的返还运费．请你估计一下食品厂在这次销售中的利润是多少？
4．（2024九下·上海市模拟）某区连续几年的GDP（国民生产总值）情况，如下表所示：
年份 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
GDP（百亿元） 10.0 11.0 12.4 13.5 ■
我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：、、、．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP，可以尝试选择直线AB、直线AC等函数模型来进行分析．
（1）根据点A、B的坐标，可得直线的表达式为．请根据点A、C坐标，求出直线的表达式；
（2）假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适．
（说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组GDP所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．）
例如，分析直线，即上的点：可知，求得偏离方差．
请依据以上方式，求出关于直线的偏离方差值：______；
问题：你认为在选用直线与直线进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？
请写出所选直线的表达式：______；
根据此函数模型，预估该区第五年的GDP约为______百亿元．
5．（2024九下·嘉定模拟）某企业在2022年1至3月的利润情况见表．
月份数（） 1 2 3
利润数（）（万元） 96 ？ 100
（1）如果这个企业在2022年1至3月的利润数是月份数的一次函数，求2月份的利润；
（2）这个企业从3月份起，通过技术改革，经过两个月后的5月份获得利润为121万元，如果这个企业3月至5月中每月利润数的增长率相等，求这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率．
6．（2024九下·嘉定模拟）某东西方向的海岸线上有、两个码头，这两个码头相距千米（），有一艘船在这两个码头附近航行．
（1）当船航行了某一刻时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，如图，求码头与船的距离（的长），其结果保留位有效数字；
（参考数据∶，，，）
（2）当船继续航行了一段时间时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，船到海岸线的距离是（即），如图，求的长，其结果保留根号．
7．（2024九下·上海市模拟）根据以下素材，完成探索任务．
探究斜坡上两车之间距离
素材1 图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米．
素材2 如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米．
问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比．
任务二 如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离．
8．（2024九下·金山模拟）上海中心大厦位于中国上海浦东陆家嘴金融贸易区核心区，是一幢集商务、办公、酒店、商业、娱乐、观光等功能的超高层建筑．它的附近有一所学校的数学兴趣小组在讨论建筑物的高度测量问题，讨论发现要测量学校教学楼的高度可以用“立杆测影”的方法，他们在平地上立一根2米长并且与地面垂直的测量杆，量得影子长为1.6米，同时量得教学楼的影子长为24米，这样就可以计算出教学楼的高度．进而在讨论测量上海中心大厦高度时，由于距离远和周围建筑密集等因素，发现用“立杆测影”的方法不可行，要采用其他方法，经讨论提出两个方案（测角仪高度忽略不计）：
方案1：如图1所示，利用计算所得的教学楼（）高度，分别在教学楼的楼顶（点A）和楼底地面（点B），分别测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度；
方案2：如图2所示，在学校操场上相对于上海中心大厦的同一方向上选取两点C、D，先量得的长度，再分别在点C、D测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度．测量并通过计算得：米，．
（1）教学楼（）的高度为 米；
（2）请你在两种方案中选取一种方案，计算出上海中心大厦（）的高度（精确到1米）．
9．（2024·普陀模拟）如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：
第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为；
第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为；
第三步：测得小河宽BC为33米．
已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度．
（参考数据：，，，，，）
10．（2023·青浦模拟） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；
（2）已知点与点都是抛物线上的点．
求的值；
如果，求点的坐标．
11．（2023·青浦模拟）如图，在中，，，，动点、分别在边、上，且，设过点作，与直线相交于点．
（1）当时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）当与相似时，求的长．
12．（2023·嘉定模拟）已知中，，，，点、分别在边、边上点不与点重合，点不与点重合，联结，将沿着直线翻折后，点恰好落在边上的点处过点作，交射线于点设，，
（1）如图，当点与点重合时，求的值；
（2）如图，当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出定义域；
（3）当时，求的长．
13．（2023·嘉定模拟） 如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴的交点为点．
（1）求此抛物线的表达式及对称轴；
（2）求的值；
（3）在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由．
14．（2023·浦东新模拟）某市全面实施居民“阶梯水价”．当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见下表：
分档 户年用水量（立方米） 自来水单价（元/立方米） 污水处理单价（元/立方米）
第一阶梯 0~220（含220） 2.25 1.8
第二阶梯 220~300（含300） 4
第三阶梯 300以上 6.99
注：应缴的水费＝户年用水量×（自来水单价＋污水处理单价）
仔细阅读上述材料，请解答下面的问题：
（1）如果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？
（2）居民应缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关系如图所示，求第二阶梯（线段）的表达式；
（3）如果小明家全年缴纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？
15．（2023·杨浦模拟）已知：在直角梯形中，，，沿直线翻折，点A恰好落在腰上的点E处．
（1）如图，当点E是腰的中点时，求证：是等边三角形；
（2）延长交线段的延长线于点F，连接，如果，求证：四边形是矩形．
16．（2023·长宁模拟）如图1，在△ABC中，，以点A为圆心、AC为半径的⊙A交边AB于点D，点E在边BC上，满足，过点E作交AB于点F，垂足为点G．
（1）求证：；
（2）延长EF与CA的延长线交于点M，如图2所示，求的值；
（3）以点B为圆心、BE为半径作⊙B，当时，请判断⊙A与⊙B的位置关系，并说明理由．
17．（2023·长宁模拟）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，与交于点G．已知．
（1）求证：；
（2）以点G为圆心，为半径的圆与线段交于点H，点P为线段的中点，联结，如图2所示，求证：．
18．（2023·杨浦模拟）已知在矩形中，，点O是边上的一点（不与点A重合），以点O为圆心，长为半径作圆，交射线于点G．
（1）如图1，当与直线相切时，求半径的长；
（2）当与的三边有且只有两个交点时，求半径的取值范围；
（3）连接，过点A作，垂足为点H，延长交射线于点F，如果以点B为圆心，长为半径的圆与相切，求的正切值．
19．（2023·杨浦模拟）已知：如图，在中，，点D是边的中点，，联结．
（1）求证：；
（2）如果平分，求证：．
20．（2023·虹口模拟）如图1，在菱形中，，点在对角线上，，是的外接圆，点与点之间的距离记为．
（1）如图2，当时，联结，求证：；
（2）延长交射线于点，如果是直角三角形，求的长；
（3）当圆心在菱形外部时，用含的代数式表示的半径，并直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．（1）解：把代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得，
∴，
把代入，
得；
（2）解：由（1）知：
设l与y轴相交于D，
∵轴，轴轴，
∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，，
把代入，得，
解得，
∴，
∴，，
∴，
∴．
本题考查待定系数法求反比例函数解析式，与一次函数的交点，一次函数的性质与锐角三角函数，掌握求解析式的方法，求函数与函数交点，锐角三角函数的定义是解题关键。
（1）把B（n，6）代入y=-2x+4，得B（-1，6），代入y=得反比例解析式，把点A代入反比例函数，得m值；
（2）设l与y轴相交于D，得，则，得，，，得．
2．（1）解：由题意得，，，
∴．
∵
∴．
∵，
∴，
∵
∴．
答：该支架的边的长7米．
（2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为G．则，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
答：支架的边的顶端到地面的距离为6.5米．
（1）先根据正弦的定义求出BC长，然后在Rt△BDE中利用余弦解题即可．
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为G．即可得到四边形是矩形，进而求出．然后根据正弦求出DG长解题即可．
（1）解：由题意得，，，
∴．
∵
∴．
∵，
∴，
∵
∴．
答：该支架的边的长7米．
（2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为G．
则，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
答：支架的边的顶端到地面的距离为6.5米．
3．（1）这批样品的平均质量比标准质量多，平均质量比标准质量多0.9g
（2）900袋中有810袋合格
（3）食品厂的利润是10305元
4．（1）
（2）0.0125，，14.8
5．（1）2月份的利润为98万元
（2）这个企业利润数的月平均增长率为
6．（1）码头与船的距离为千米
（2）船到海岸线的距离为千米
7．任务一：斜坡的坡比；任务二：米
8．（1）30
（2）上海中心大厦（SH）的高度为632米
9．山坡AB的坡度
10．（1）解：将、代入得，
，解得，
该抛物线的表达式为．
当时，，
点的坐标为；
（2）解：连接，过点作，垂足为点．
在上，
，，
，，
，，，
，
．
，
；
由题意可知，点在第二象限．过点作轴，垂足为点．
，
，
．
，
设，则，．
，
将代入，得，
解得或舍去，
点的坐标为
（1）利用待定系数法求出该抛物线的表达式为，再求点C的坐标即可；
（2）①根据题意先求出BH的值，再利用锐角三角函数计算求解即可；
②根据题意先求出 ， 再列方程求出n的值，最后求点的坐标即可。
11．（1）解：过作，垂足为点，
，
．
，
，
，
又，，
，；
（2）解：当时，得，，．
，
点是射线与直线的交点，
过作，交于点，
则．
，．
，
，，
，
（3）解：a.当点是射线与的交点时，
与相似，
又，
，即，
又，
∽．
，
即．
解得，
过作，垂足为点．
由，得，，．
，
．
．
，
．
解得，
，
b.当点是射线与的交点时，
，，
又与相似，
．
，，
∽，
即解得．
，
，
．
．
解得．
综上所述，当与相似时，的长为或．
（1）根据题意先求出DH//AC，再根据平行线分线段成比例计算求解即可；
（2）先求出点是射线与直线的交点， 再求出 ，，最后计算求解即可；
（3）分类讨论，根据相似三角形的判定与性质，列方程计算求解即可。
12．（1）
（2）解：由题意可知：，，，
，
，，
，
在中，，，，
，，
，
∽，
，
，，
，
（3）解：当点在线段上时，
，
，
由得∽，
，
即，
，
，
，，
过点作，垂足为点，
，，
在中，，
，
负值舍去，
．
当点在的延长线上时，
，
，
由题意得，，
∽，
，即，
，
，
，，
过点作，垂足为点．
，，，
．
综上，或．
解：（1）∵在 中，，，
∴∠A=180°-∠ACB-∠B=60°，，，
∵，
∴，AC=2，
∵，
∴∠ADM=90°，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴.
（1）利用锐角三角函数求出，AC=2，再求出∠ADM=90°，最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）分类讨论，利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
13．（1）解：根据题意：，
解得，
抛物线表达式为．
抛物线的对称轴为：直线．
（2）解：抛物线与 轴相交于点，
点坐标是，
作轴，垂足为作，交的延长线于点．
，
，，
．
，
．
．
．
（3）解：存在，理由如下：
为直角边，
只可能有两种情况：或．
设点坐标为
当，作，垂足为，作，垂足为．
，．
，，
，
；
，可求得，舍．
；
当，作轴，垂足为．
，．
，，
，
；
，可求得舍，．
；
综上所述，点的坐标是或．
（1）利用待定系数法求出抛物线表达式为，再求对称轴即可；
（2）根据题意先求出点C的坐标，再求出CH的值，最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（3）分类讨论，结合函数图象，列方程计算求解即可。
14．（1）解：根据题意得： （元），
答：她家全年应缴纳水费891元．
（2）解：设线段 的表达式为 ，把 ， 代入得：
，
解得： ，
∴线段 的表达式为 ．
（3）解：∵ ，
∴小明家全年用水量处于第二阶梯，
把 代入 得： ，
解得： ，
答：他家全年用水量是270立方米．
（1）根据第一阶梯标准： 应缴的水费＝户年用水量×（自来水单价＋污水处理单价）进行计算即可；
（2）由（1）结论，利用待定系数法求出解析式即可；
（3）由全年缴纳的水费共计1181元 ，判断出小明家全年用水量处于第二阶梯， 利用（2）结论，求出y=1181时x值即可.
15．（1）证明：由折叠得：，
∵点E是腰的中点
∴是的垂直平分线
是等边三角形
（2）证明：过点D作，垂足为H，
，
，，
，
∴四边形是矩形，
，，
由折叠得：，，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形．
（1）根据角的运算求出，可证出是等边三角形；
（2）过点D作，垂足为H，先证出四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形是矩形。
16．（1）证明：由题意可得： ，∴ ．
又 且 ．∴ ，
故有 ．
又
∴
（2）解：在Rt△MCG中， ，又∵ ．
∴ ．
∵
∴ ．
故有 ．
又 ，
∴
（3）解：如图，在CD延长线上取点N，使得 ，则 ，
又 ，故 ，
∴ ，从而有 ．
在△BCN与△CME中， ．
故
则 ，
∵ ，
∴ ，
故 ， ，则
从而 ．
此时有
即⊙A与⊙B的半径之和等于两圆的圆心距，
∴⊙A与⊙B外切．
（1）先根据等腰三角形的性质得到 ，再结合题意即可得到，再运用相似三角形的判定即可得到；
（2）先根据直角三角形的性质得到，再结合题意得到，进而得到，接着根据即可求解；
（3）在CD延长线上取点N，使得 ，则 ，先根据题意得到，再根据三角形全等的判定与性质证明，进而得到 ，从而得到AC和BE的长，再根据圆与圆的位置关系即可求解。
17．（1）证明：∵四边形 是正方形， ，
，
∵ ， ，
∴ ，
故 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即
∴ ；
（2）证明：由题意可知： ，且（1）有： ，
∴ 垂直平分 ，故 ，
在 中， ， ，∴ ，
在 中， ，P为线段 的中点， ，
故 ，
∴ ．
（1）先根据正方形的性质结合题意即可得到 ，再运用三角形全等的判定与性质证明 ，进而即可得到 ，再结合题意即可求解；
（2）先根据题意得到 ， ，再根据垂直平分线的判定与性质得到 ，最后结合题意得到 ，进而即可求解。
18．（1）解：设 与直线 的切点为点E，连接 ，如图所示：
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴半径 的长为 ；
（2）解：①如图所示：当 与边 的切点为点E，连接 ，此时恰好有三个交点，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴由（1）得半径 的长为 ，恰好有一个交点，
∴当 时，满足条件；
②当 恰好经过点C时，连接 ，如图所示：
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴半径 的长为 ；
∴当 时， 与 的三边的交点多于2个，不满足条件；
③当点O与点B重合时，如图所示，满足条件，
∴当 时，满足条件；
综上可得： 或 时，满足条件；
（3）解：①当两个圆外切时，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，
∴ ，即 ，
∵两个圆相切，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ；
②当两个圆内切时，如图所示：
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上可得： 的正切值为 或1．
（1）设 与直线 的切点为点E，连接 ，先根据矩形的性质得到 ，再根据三角形全等的判定与性质证明 ，进而得到 ，再运用勾股定理即可得到BD的长，设 ，则 ，再运用勾股定理即可求解。
（2）分类讨论：①当 与边 的切点为点E，连接 ，此时恰好有三个交点，再运用矩形的性质结合题意即可求解；②当 恰好经过点C时，连接 ，设 ，则 ，运用勾股定理结合题意即可求解；③当点O与点B重合时，结合题意即可求解；
（3）分类讨论：①当两个圆外切时，先根据直角三角形的性质得到 ，再结合题意即可得到 ，再运用相似三角形的判定与性质证明 ，进而即可得到 ，设 ， ，再结合题意根据锐角三角函数的定义即可求解；②当两个圆内切时，根据题意结合锐角三角函数的定义即可求解。
19．（1）证明：∵ ，点D是边 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴
（2）证明：延长 交 的延长线于点F，
∵ ， 平分 ，
∴
∵
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴
∴ ，
∵点D是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（1）先根据题意得到 ，再根据平行线的性质得到 ，接着结合题意即可得到 ，再运用三角形全等的判定证明即可求解；
（2）延长 交 的延长线于点F，先根据三角形全等的性质得到，再运用等腰三角形的性质得到 ，接着运用三角形全等的判定与性质证明，进而得到 ，再根据三角形中位线定理即可得到 ，再运用平行四边形的判定与性质得到 ，进而即可求解。
20．（1）证明：联结 、 ， 交 于 ，如图，
，
，
， ，
．
，
，
．
四边形 为菱形，
，
，
；
（2）解：当 时，如图所示，
∵
∴ 是 的直径，
∵菱形 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中，
，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，如图所示，设 交于点
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，则
∴
综上所述， 或 ；
（3）解：由（2）可知，当 时，
此时点 在 上， 则
当 在 上时，如图所示，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵
设
则
∴
∴ ，
∴ ，
当 与 重合时，如图所示，
∵
∴
∴
∴
即
∴
∴ ，
当点 与 点重合时，同理可得 ，
则 时，圆心 在菱形 外部时，
综上所述，当 时或 时，即 圆心 在菱形 外部．
（1）联结 、 ， 交 于 ，先根据圆内弦与弧的关系即可得到 ，再根据题意即可得到，再结合等腰三角形的性质得到，再根据菱形的性质结合题意即可求解；
（2）分类讨论：当 时，根据菱形的性质结合题意即可得到 ， ，再根据锐角三角函数的定义即可得到 ，设 ，则 ， ，根据勾股定理即可求出x的值，进而即可求解；当 时，设 交于点 ，结合题意即可求解；
（3）分类讨论：先根据已知条件得到当 时，此时点 在 上， 则 ；当 在 上时，过点 作 于点 ，结合题意即可得到 ，设，则 ，进而即可求出k的值，从而可以求解；当 与 重合时，先根据圆内弦与弧的关系即可得到，进而得到，，再结合题意即可求解；当点 与 点重合时，同理可得 ，则 时，圆心 在菱形 外部，最后总结即可求解。

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