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2024-2025 学年天津五十五中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1+ .复数4+3 的虚部是( )
A. 1 125 B. 25 C.
1 D. 125 25
2.在平行四边形 中， + =( )
A. B. C. D.
3.已知 ， 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是( )
A.若 // ， // ，则 // B.若 ⊥ ， ，则 ⊥
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 // ， ⊥ ，则 ⊥
4.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 2, = 45°, = 2，则 =( )
A. 30°或 150° B. 30° C. 150° D. 45°
5.如图所示的是用斜二测画法画出的△ 的直观图△ ′ ′ ′(图中虚线
分别与 ′轴垂直， ′轴平行)，则原图形△ 的面积是( )
A. 20
B. 40
C. 40 2
D. 10 2
6.我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”又寄
托南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神.如图，
在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心
为中心逆时针旋转 45°后的正方形组合而成，已知向量 ， ，则向量 =( )
A. 2 + 3
B. (2 + 2) + 3
C. (2 + 2) + (2 + 2)
D. (1 + 2) + (2 + 2)
7.半径为 5 的球内有一个高为 8 的内接正四棱锥，则这个球与该内接正四棱锥的体积之比为( )
A. 125 B. 125 C. 125 D. 125 64 64 4 4
8.已知△ 的外接圆圆心为 ，且 2 = + , | | = | |，则向量 在向量 上的投影向量为( )
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A. 1 B. 3 C. 1 D. 3 4 4 4 4
9.已知四边形 是边长为 2 的菱形，∠ = 60°， ， 分别是 ， 上的点(不含端点)，且 // ，
则 的取值范围是( )
A. ( 2,4) B. ( 2,2) C. (1,2) D. (2,4)
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10 .设复数 = 1 ，则| | = ______．
11.若非零向量 、 满足| + | = 5| |，且( ) ⊥ ，则 与 的夹角为______．
12.如图，在正三棱柱 1 1 1中， = 1.若二面角 1的大小为 60°，
则点 到平面 1的距离为______．
13.设点 (2,1)， ( 1,4)，若点 在直线 上，且满足| | = 3| |，则点 的坐标为______．
14.已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，面积为 ，
若 4 = ( 2 3 2) ，则 = ______．
15.如图， ⊥平面 ，∠ = 90°且 = ， = 2 ，
则异面直线 与 所成的角的正切值等于______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 15 分)
(1)已知复数 = ( 2 + 6) + ( 2 + 2) ( ∈ ).若复数 + 4 为纯虚数，求 的值；
(2) = (1 + )2 + 2

已知复数 1+ ，若
2 + + = 2 + 3 ，求实数 ， 的值．
17.(本小题 15 分)
△ + 在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知sin = sin sin ．
(1)求角 ；
(2)若 = 3，cos = 63 ，求△ 的面积．
18.(本小题 15 分)
如图一个圆锥的底面半径为 1，高为 3，在圆锥中有一个底面半径为 的内接圆柱．
(1)求此圆锥的表面积与体积；
(2)试用 表示圆柱的高 ；
(3)当 为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？
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19.(本小题 15 分)
如图，已知 1 ⊥平面 ， 1// 1， = = 3， = 2 5， 1 = 7， 1 = 2 7，点 和 分别
为 和 1 的中点．
(1)求证： //平面 1 1 ；
(2)求证： ⊥平面 1；
(3)求直线 1 1与平面 1所成角的大小．
20.(本小题 15 分)
在边长为 4 的等边△ 中， 为 边上一点，且 = 2 ．
(1)若 为△ 内部一点(不包括边界)，求 的取值范围；
(2)若 上一点 满足 = 2 ，过 作直线分别交 ， 于 ， 两点，设 = ， = ，△
的面积为 1，四边形 的面积为 2，且 2 = 1，求实数 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 22
11. 4
12.34
13.( 2,5)或(0,3)
14.3
15. 52
16.解：(1)因为 = ( 2 + 6) + ( 2 + 2) ( ∈ )，
所以 + 4 = ( 2 + 5 6) + ( 2 + 2) ，
2
又因为复数 + 4 为纯虚数，所以 + 5 6 = 02 ，解得 = 6； + 2 ≠ 0
(2) 2 2 (1 )因为 = (1 + )2 + 1+ = 1 + 2 +
2 + (1+ )(1 ) = 2 + (1 ) = 1 + 3 ，

所以 = 1 3 ，

因为 2 + + = 2 + 3 ，且 2

+ + = (1 + 3 )2 + (1 3 ) + = 8+ + + (6 3 ) ，
所以( 8 + + ) + (6 3 ) = 2 + 3 8 + + = 2 = 1，所以 6 3 = 3 ，解得 = 9．
17.解：(1) + 由 = ，
+
可得 = ，即
2 + 2 2 = ，
2+ 2 =
2 1
可得 2 = 2 = 2，
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由 ∈ (0, ) ，可得 = 3；
(2) ∵ = 63 ， ∈ (0, )，
∴ = 33 ，
∵ = ，
∴ = 2，
∵ = sin( + ) = sin( + 又 3 )
= 3 +
= 3+3 23 6 ，
∴ = 1 3+3 2△ 2 = 2 ．
18.解：(1)由 = 1， = 3，得 = 10，
∴ = 2 = 侧 = = 10 ， 底 ，
故 表 = ( 10 + 1) ，
= 13
2 = ；
(2) 3 如图，由三角形相似可得 3 = 1，得 = 3(1 )，(0 < < 1)；
(3)记圆柱的全面积为 ．
则 = 2 + 2 2 = 2 3(1 ) + 2 2 = 2 ( 2 2 + 3 ) =
4 ( 3 )2 + 9 4 4．
∵ 0 < < 1，∴当 = 3 9 4时， = 4．
= 3 9 答：当 4时，圆柱的全面积最大，最大全面积是 4．
19.(1)证明：连接 1 ，
在△ 1 中，∵ 和 分别是 和 的中点，∴ / / 1 ，
又∵ 1 平面 1 1 ， 平面 1 1 1，
∴ / /平面 1 1 ．
(2)证明：∵ = ， 为 中点，∴ ⊥ ，
∵ 1 ⊥平面 ， 1// 1，∴ 1 ⊥平面 ，
又 平面 ，
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∴ 1 ⊥ ，
又∵ ∩ 1 = ， ， 1 平面 1，∴ ⊥平面 1；
(3)解：取 1中点 和 1 中点 ，连接 1 ， 1 ， ，
∵ 1和 分别为 1 和 的中点，∴ // 1 且 = 2 1 ，
∴ // 1 且 = 1 ，∴四边形 1 是平行四边形，
∴ 1 // ，
∵ ⊥平面 1，∴ 1 ⊥平面 1，
∴ ∠ 1 1 即为直线 1 1与平面 1所成角，
在△ 中， = 2，∴ 1 = = 2，
∵ // 1， = 1，∴ 1 / / 且 1 = ，
又由 ⊥ 1，∴ 1 ⊥ 1，
在 1 1中， 2 21 1 = 1 + 1 = 4，
在 △
1 1
1 1中，sin∠ 1 1 = 1
= ，
1 2

因为∠ 1 1 ∈ (0, 2 ]，
∴ ∠ 1 1 =

6，

即直线 1 1与平面 1所成角的大小为6．
20.解：(1)取 的中点 ，连接 ，则| | ∈ (0,2 3), | | = 2，
因为 = + , = + = ，
可得
2 2 2
= ( + ) ( ) = = 4，
又因为| | ∈ (0,2 3)，即| |2 ∈ (0,12)，
2
所以 = 4 ∈ ( 4,8)，
故 的取值范围为( 4,8)；
(2)由题意可得： 1 =
1 | | | 2 | =
1 3 ，
2 × 4 × 4 × 2 = 4 3
1△ = 2 | | | | =
1
2 × 4 × 4 ×
3
2 = 4 3，
则 2 = △ 1 = 4 3 4 3 ，
若 2 =
1
1，即 4 3 4 3 = 4 3 ，可得 = 1，
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因为 = 2 ，所以 = + = + 2 = + 2 ( ) = 1 3 3 3
+ 2 3
，
因为 = 2 ，所以 = 13
= 1 2 9 + 9 ，
又因为 ， ， 三点共线，则 = + ，且 + = 1，
可得 = + = + ，
因为 , 不共线，
1 = 1 = 9
所以由平面向量基本定理得： 92，即 2， = =9 9
1 + 2 = 1 1 2可得9 9 ，即 = 9 ，
1 2
所以 = 1 = (9 ) ×
1 1 = 2 + 9 1 = 2( 1 9 )2 73 2 4 + 8，
1
当 =
9
4，即 =
4 73
9时，实数 有最大值 8．
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