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2024-2025 学年福建省泉州市晋江市毓英中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足( + 2) = 1 2 ，则| | =( )
A. 5 B. 2 3 C. 15 D. 17
2.已知向量 ， 满足| | = 1， = (1,2)，| | = 7，则向量 在向量 方向上的投影向量为( )
A. ( 1 , 110 5 ) B. (
1 2 1 1
5 , 5 ) C. ( 10 , 5 ) D. (
1 , 25 5 )
3 1.已知 cos( + ) = 2， =
1
5，则 cos( ) =( )
A. 1 1 1 13 B. 3 C. 4 D. 4
4.如图，塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部 在同一水平面上的 ， 两点，测
得 = 50 米，在 ， 两点观察塔顶 点，仰角分别为 45°和 30°，∠ = 30°，则灵
运塔的高度 是( )
A. 45 米 B. 50 米 C. 55 米 D. 60 米
5.在△ 中，若非零向量 与
满足( + ) = 0， = 0，则△ | | | |
为( )
A.三边均不相等的三角形 B.等腰直角三角形
C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形
6.在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 2 ( 2 3 )，则1+ 2 =( )
A. 23 B. 2 C. 3 D.
3
3
7.在△ 中，点 是 上一点，且 为靠近 点的三等分点， 是 中点， 与 交点为 ，又 = ，
则 =( )
A. 12
B. 23
C. 34
D. 12
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8 ( ) = 1 sin(2 + ) ( ) = 1 ∈ [ , 19 .已知函数 2 6 ，记方程 6在 6 8 ]上的根从小到大依次为 1， 2， ， ，则
1 + 2 2 + 2 3 + + 2 1 + 的值为( )
A. 29 B. 32 34 37 3 3 C. 3 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则下列结论正确的是( )
A.若 > ，则 >
B.若 = ，则△ 是等腰三角形
C.若 = ，则△ 是直角三角形
D.若△ 为锐角三角形，则 >
10 .函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示，下列结论中正确的是( )
A. = 2
B.函数 ( ) 的图象关于点( 6 , 0)对称
C.函数 ( )在[ 5 12 , 12 ]上单调递增
D. ( ) 将函数 的图象向右平移12个单位得到函数 ( ) = sin(2 + 4 )的图象
11.如图，在长方形 中， = 4， = 2， = (0 < < 1)，则下列结论正确的是( )
A. 1当 = 时， = 1 1 2 2 + 2

B. 1当 = 时，cos < 2 ,
>= 1365
C.对任意 ∈ (0,1)， ⊥ 不成立
D.若 = + ，则 2 < < 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若 = ( , 4)， = (3,5)，且 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是______．
13.复数 满足| | = 1，则| 2 |的最大值为______．
14 .在三角形 中，已知 = 1， = 2，∠ = 3， 为三角形 外接圆上一点( , , , 按逆时针方
向排列)，则四边形 面积的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设复数 1 = 1 ( ∈ )， 2 = 2 + ．
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(1)在复平面内，复数 1 + 2对应的点在实轴上，求 1 2；
(2) 若 1 是纯虚数，求实数 的值．2
16.(本小题 15 分)
在△ 中， = + 12 ，若 = 4．
(1)求△ 面积的最大值；
(2)求△ 周长的取值范围．
17.(本小题 15 分)
1
已知向量 = ( 3 + , 1), = ( , 2 )，函数 ( ) = ．
(1)求 ( )的最小正周期 ；
(2) ( ) ∈ [0, 求函数 在 2 ]的单调增区间；
(3) 求函数 ( )在[0, 2 ]的值域．
18.(本小题 17 分)
△ = +2 在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 2 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 2 3， 为 边上的一点， = 3，且_____，求△ 的面积．
(从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答)．
① 是∠ 的平分线；
② 为线段 的中点．
(3)若△ 为锐角三角形， = 3，求 边上的高取值范围．
19.(本小题 17 分)
设平面内两个非零向量 , 的夹角为 ，定义一种运算“ ”： = | || | ，试求解下列问题．
(1)已知向量 , 满足 = (1,2), | | = 2, = 4，求 的值；
(2)在平面直角坐标系中，已知点 (0, 1)， ( 3,0)， ( 2,2)，求 的值；
(3) = ( 1 3 3 1 已知向量 cos , sin ), = ( sin , cos ), ∈ (0, 2 )，求 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( 203 ,
12
5 ) ∪ (
12
5 , + ∞)
13. 5
14.3 34
15.解：(1)复数 1 = 1 ( ∈ )， 2 = 2 + ，
则 1 + 2 = 3 + (1 ) ，
复数 1 + 2对应的点在实轴上，
则 1 = 0，解得 = 1，
故 1 2 = (1 )(2 + ) = 3 ；
(2) 1 = 1 = (1 )(2 ) 2 2 +1 2 2+ (2+ )(2 )
= 5 5 为纯虚数，
2
5 = 0则
2 +1
，解得 = 2．
5 ≠ 0
16. 1解：(1)因为 = + 2 ，利用正弦定理，可得：
= + 12 sin( + ) = +
1
2 ，
所以 + = + 12 =
1
2 ，
1
因为 为△ 的内角，所以 ≠ 0，所以 = 2，
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又 ∈ (0, ) ，所以 = 3，
在△ 中， = 3 , = 4，
由余弦定理： 2 = 2 + 2 2 16 = 2 + 2 ，
因为 2 + 2 ≥ 2 ，当且仅当 = 时取“=“，
所以 16 = 2 + 2 ≥ ，
所以 △ =
1 1 3
2 ≤ 2 × 16 × 2 = 4 3，
所以当△ 为等边三角形时，面积取得最大值为 4 3；
2
(2)16 = 2 + 2 = ( + )2 3 3 = ( + )2 16 ( + )，且 ≤ 4 ，
当且仅当 = 时取“=”，
2
所以 3 = ( + )2 16 ≤ 3( + )4 ( + )
2 ≤ 64，
所以 4 < + ≤ 8，
所以△ 周长的取值范围为： + + ∈ (8,12]．
17.解：(1) 1依题意， = ( 3 + , 1), = ( , 2 )，
则 ( ) = = ( 3 + ) + 12 = 3 + sin
2 + 12
= 3 12 2 2 2 + 1 = sin(2
) + 1，6
2
故最小正周期 = 2 = ；
(2) 因为 ∈ [0, 2 ]，则 6 ≤ 2
5
6 ≤ 6，
≤ 2 ≤ 结合正弦函数图象，令 6 6 2，得 0 ≤ ≤ 3，
所以 ( ) 的单调增区间为[0, 3 ]；
(3) (2) 2 ∈ [ 5 由 知， 6 6 , 6 ]，
1
结合正弦函数图象，得 sin(2 6 ) ∈ [ 2 , 1]，
1
则 sin(2 6 ) + 1 ∈ [ 2 , 2]，
1
所以 ( )在 ∈ [0, 2 ]的值域为[ 2 , 2]．
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18. (1) △ = +2 解： 因为在 中， 2 ，
+2
所以由正弦定理可得： = 2 ，
因为 ∈ (0, )，所以 > 0，所以 2 = + 2 ，
所以 2 ( + ) = + 2 ，
所以 2 + 2 = + 2 ，
所以 2 = ，所以 (2 1) = 0( > 0)，
所以 = 12，又因为 ∈ (0, )，所以 =

3；
(2)选①：由 平分∠ 得： △ = △ + △ ，
1 = 1 × 3 + 1 所以2 3 2 6 2 × 3 6，即 = 3( + )，
在△ 中，由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 3，即
2 + 2 = 12，
= 3( + )
联立 ，得( )2 9 = 36，解得 = 12，
2 + 2 = 12
所以 1 1 3△ = 2 = 2 × 12 × 2 = 3 3；
= 1选②：因为 为线段 的中点，所以 ( + 2 )，

2
= 1所以 (
2 2
4 +
)2 = 1 ( 4
+ 2 + )，
所以 2 + 2 + = 36，
在△ 中，由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 2 23，即 + = 12，
2
联立 +
2 + = 36
2 ，得 = 12， + 2 = 12
= 1所以 △ 2 =
1
2 × 12 ×
3
2 = 3 3．
(3) 3由正弦定理得：2 = = 3 = 2，
2
所以 = 4 2 = 4 = 2[cos( ) cos( + )]
= 2 [ ( )] 2 ( )
= 2 (2 + 3 ) + 1，
0 < <
因为△ 2 为锐角三角形，所以 2 ，解得6 < <

，
0 < < 23 2
2 + 所以 3 ∈ (
2 4
3 , 3 )，
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所以当 2 + 3 = ，即 = 3时， = 2 (2 +

3 ) + 1 取到最大值 3，
2 + = 2 4 = = 2 (2 + 当 3 3或 3，即 6或2时， 3 ) + 1 = 2，
因此 2 < ≤ 3，
1 3
所以三角形的面积为 △ = 2 = 4 ，
设 边上的高为 ，则 = △ 1 =
1
2 ∈ (1,
3
2 ]．
2
19.解：设平面内两个非零向量 , 的夹角为 ，定义一种运算“ ”： = | | | | ，
(1)已知向量 , 满足 = (1, 2), | | = 2, = 4，
由已知 = (1, 2)，得| | = 5，
设 , 的夹角为 ，根据平面向量数量积公式可得 = | | | | = 4，
可得 2 5 = 4 = 2，即 5，
又 0 < < 1，所以 = 5，
1
根据向量新定义计算可得 = | | | | = 2 5 × 5 = 2；
(2)在平面直角坐标系中，已知点 (0, 1)， ( 3,0)， ( 2,2)，
设 = ( 1, 1), = ( 2, 2)，根据向量模长公式可得| | = 21 + 21，| | = 2 + 22 2，

设 , 的夹角为 ，根据两向量夹角公式可得 = = 1 2+ 1 2 ，
| | | | 21+ 2 2 21 2+ 2
( )2
= 1 ( 1 2+ 1 2 2
1 2 2 1
) = = | 1 2 2 1| ，
2+ 2 2+ 2 2+ 2 2+ 2 2+ 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2+
2
2
所以 = | | | | = | 1 2 2 1|，
又 = ( 3, 1), = (1, 2)，
所以 = | 3 × 2 1 × 1| = 7；
(3) 1 3 3 1 已知向量 = ( cos , sin ), = ( sin , cos ), ∈ (0, 2 )，
由(2)得 = | | | | = | 1 2 2 1|，
1 9 1 9
故 = | cos2 sin2 | = cos2 + sin2 ，
1 + 9 = ( 1 + 9
2 2
)(cos2 2
2 2
cos2 sin cos2 sin2 + sin ) = 10 +
sin 9 sin 9
cos2 + sin2 ≥ 10 + 2 cos2 × sin2 = 16，
sin2 = 9
2
当且仅当cos2 sin2 ，即 = 3时等号成立，
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所以 × 的最小值是 16．
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