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2024-2025 学年山东省青岛五十八中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的
安排方法有( )
A. 18 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种
2. 0 1 2 22025 2 2025 + 2 2025 23 3 + + 22024 2024 2025 20252025 2025 2 2025的值是( )
A. 1 B. 1 C. 0 D. 22024
3.如图，直线 和圆 ，当 从 0开始在平面上按顺时针方向绕点 匀速转动(转动角度不超过
90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积 是时间 的函数.这个函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
4.三个数 = 2 2 3 2， = 2 ， = 3 的大小顺序为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
5.甲、乙、丙、丁、戊 5 人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为( )
A. 1 1 1 38 B. 4 C. 2 D. 4
6.集校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了 7 名男生，测量了他们的
身高和体重得下表：
身高 (单位： ) 167 173 175 177 178 180 181
体重 (单位： ) 90 54 59 64 67 72 76
由表格制作成如图所示的散点图：

由最小二乘法计算得到经验回归直线 1的方程为 = + ，其相关系数为 ；经过残差分析，点(167,90)1 1 1
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对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的 6 组数据计算得到经验回归直线 2的方程为 = 2 + ，相关系2
数为 2.则下列选项正确的是( )



A. 1 < 2, 1 > 2, 1 < 2 B. 1 < 2, 1 < 2, 1 > 2

C. 1 > 2, 1 < 2, 1 > 2 D. 1 > 2, 1 > 2, 1 < 2
7 ( ) = 1.若函数 2
2 2 在[1,4]上存在单调递增区间，则实数 的取值范围为( )
A. [ 1, + ∞) B. ( 1, + ∞) C. ( ∞, 716 ] D. ( ∞,
7
16 )
8.已知随机变量 的分布列如表
1 0 1
1
4
若 ( + 2) = 12，则 ( + 1) =( )
A. 5 3 B. 3 1 3 1 52或2 2或2 C. 2或 2 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量 服从正态分布 (4, 2)，且 ( < ) = ( > )，则下列选项正确的是( )
A. (3 + 1) = 12
B. + = 8
C. ( ≥ 3 + ) > ( ≤ 3 )
D.若 ( ≥ 3) = 0.68，则 (3 ≤ < 5) = 0.36
10.设函数 ( ) = ( + 1)2( 2)，则( )
A. = 1 是 ( )的极大值点
B.当 0 < < 1 时， ( ) > ( 2)
C.当 2 < < 0 时， 4 < ( + 1) < 0
D.曲线 = ( )有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为(0, 2)

11 1.若 ( ) = 2， ( | ) =
2
3， ( | ) =
1
4，则( )

A. ( ) = 13 B. ( ) =
1 C. ( ) = 72 24 D. ( | ) =
3
7
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 (4+ ) (4).已知函数 ( ) = ，则 lim = ______． →0
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13.设(1 + ) + (1 + )2 + …… + (1 + )7 + (1 + )8 + (1 + )9 = 0 + 8 91 + … + 8 + 9 ，则 2 =
______．
14.若 (11, )(0 < < 1)，定义关于 的函数 ( ) = ( = 3)，当 ( )取得最大值时， ( 11 1) =
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1 2
已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为3，向右移动的概率为3 .若该质点每次移
动一个单位长度，记经过 ( ∈ )次移动后，该质点位于 的位置．
(1)当 = 4 时，求 ( = 2)；
(2)当 = 5 时，求随机变量 的分布列及数学期望．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ．
(1)若 = 1，求函数 ( )过点( 1,1)的切线方程；
(2) 3证明：当 > 0 时， ( ) > 2 + 2
2．
17.(本小题 15 分)
中国在第 75 届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于 2030 年之前使二氧化碳的排放
达到峰值，努力争取 2060 年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)，此举展现了我国应对气候变化的坚定决
心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新
能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用为了解某一地区纯电
动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电汽车销量 (单位：万台)关于 (年份)的线性回

归方程为 = 4.7 9459.2 2 = 254，且销量 的方差为 5 ，年份 的方差为
2
= 2．
(1)求 与 的相关系数 ，并据此判断电动汽车销量 与年份 的相关性强弱；
(2)该机构还调查了该地区 90 位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如表：
购买非电动车 购买电动车 总计
男性 39 6 45
女性 30 15 45
总计 69 21 90
依据小概率值 = 0.05 的独立性检验，能否认为购买电动汽车与性别有关；
(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取 7 人，再从这 7 人中随机抽取 3 人，记这 3 人中，
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男性的人数为 ，求 的分布列和数学期望．
①参考数据： 5 × 127 = 635 ≈ 25

( )( )
②参考公式：( )线性回归方程： = + ，其中 = =1 , = =1 ( )2
(
( ) )( )相关系数： = =1

，若 > 0.9，则可判断 与 线性相关较强．
( )2 =1 =1 ( )2
( ) 2 = ( )
2
( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
附表：
( 2 ≥ 0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 1 + (1 + )．
(Ⅰ)设过点( 0, 0)且与曲线 = ( )过此点的切线垂直的直线叫做曲线 = ( )在点( 0, 0)处的法线.若曲线
= ( )在点(0, 1)处的法线与直线 3 2 + 1 = 0 平行，求实数 的值；
(Ⅱ)当 = 2 时，若对任意 ∈ ( 1, + ∞)，不等式 ( ) + + 2 ≤ + 恒成立，求 的最小值；
(Ⅲ)若 ( )存在两个不同的极值点 1， 2， 1 < 2且 ( 1) < 2，求实数 取值范围．
19.(本小题 17 分)
在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常运行的概率称为系统的可
靠度.某系统有四个核心部件，其中甲型两个，乙型两个，四个部件至少有三个正常工作时，系统才能正常
5
运行，且各部件是否正常工作相互独立，一个甲型部件的可靠度为 ，一个乙型部件的可靠度为 ，且 + = 3，
系统能正常运行称为试验成功．
(1)在一批产品中随机抽取六盒甲型部件，每盒 9 件，经逐个检测部件指标可以整理成下表，已知指标在
[30,60)内甲型部件可以正常工作．
盒一 31 45 28 55 58 66 57 39 42
盒二 48 67 42 46 56 35 29 53 34
盒三 31 53 48 37 29 34 45 58 64
盒四 55 28 44 36 61 47 56 61 57
盒五 30 49 54 43 35 62 32 56 59
盒六 54 52 29 37 56 47 60 38 44
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( )请根据抽样结果估计甲型部件的可靠度 ；
( )若 取( )中的估计值，在一个系统试验成功的条件下，求这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率；
(2)研发人员计划按照下图结构优化系统，①②位置上的部件中至少有一个能正常工作并且③④位置上的部
件中至少有一个能正常工作，系统就能正常运行.优化后系统比优化前可靠度是否有提高？按照这个优化方
案怎么安排原有的四个部件使新系统可靠度最大，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.14
13.120
14.24
15.解：(1)当 = 4 时，质点所能到达的位置 必满足| | ≤ 4，且 为偶数，
若“ = 2”，
此时表示四次移动中向右 1 次，向左 3 次，
( = 2) = 3( 1则 )34 3 ×
2 8
3 = 81；
(2)当 = 5 时，质点所能到达的位置 必满足| | ≤ 5，且 为奇数，
可得 的所有可能取值为 5， 3， 1，1，3，5，
所以 ( = 5) = 55(
1 5
3 ) =
1
243， ( = 3) =
4 1 2 2 10
5( 3 ) × 3 = 243，
( = 1) = 3( 1 )3 × ( 2 )2 = 40， ( = 1) = 2( 1 )2 2 3 805 3 3 243 5 3 × ( 3 ) = 243，
( = 3) = 1 1 2 4 805 × 3 × ( 3 ) = 243， ( = 5) =
0
5(
2
3 )
5 = 32243，
则 的分布列为：
5 3 1 1 3 5
1 10 40 80 80 32
243 243 243 243 243 243
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1
故 E( ) = 5 × 243 + ( 3) ×
10
243 + ( 1) ×
40 80 80 32 405
243 + 1 × 243 + 2 × 243 + 5 × 243 = 243．
16.解：(1)若 = 1，则 ( ) = ， ′( ) = 1，
设过点( 1,1)的切线方程的切点为( , )，
则 ′( ) = 1，切线方程为 = ( 1)( ) + ，
代入点( 1,1)得 1 = ( 1)( 1 ) + ，解得 = 0，
故切线方程为 = 1；
证明：(2)当 > 0 时， ( ) = ( ) 2 32 +
2 = 2 32 +
2，
则 ′( ) = 1，
令 ′( ) > 0 得 > ，令 ′( ) < 0，得 < ，
所以 ( ) = ( ) = + 2
3 2 1 2
2+ = 2 + ，
1 2
设 ( ) = + 22 , > 0，则 ′( ) =
1 2 1
+ 2 = ，
令 ( ) > 0，得 > 22 ，令 ( ) < 0，得 0 < <
2
2 ，
所以 ( ) = (
2
2 ) = ln
2 1+ 12 2 2 = ln 2 > 0，
所以 ( ) > 0，即 ( ) > 2 + 32
2．

17. (解：(1)由题可得，相关系数为 = =1 )( )
2
2
=1 ( ) =1 ( )

( )( )

=1 ( )2
= =1
( 2 =1 ) =1 ( )2
2 2
= = = 4.7 × 10 = 47 ≈ 47254 2 635 50 = 0.94 > 0.9， 2 2
故 与 线性相关较强；
(2)零假设为 0购买电动汽车与车主性别相互独立，即购买电动汽车与车主性别无关，
2 = ( )
2 90×(39×15 30×6)2
由题可得 ( + )( + )( + )( + ) = 45×45×69×21 ≈ 5.031 > 3.841，
所以依据小概率值 = 0.05 的独立性检验，我们推断 0不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于 0.05；
(3) 6 2抽样比为15 = 5，所以男性车主选取 2 人，女性车主选取 5 人，
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则 的可能取值为 0，1，2，
3 1 2 2 1
故 ( = 0) =
5 = 2， ( = 1) =
2 5 = 4， ( = 2) =
2 5 1
3 7 3 7 3
=
7 7 7 7
，
所以 的分布列为：
0 1 2
2 4 1
7 7 7
2 4 1 6
故 ( ) = 0 × 7 + 1 × 7 + 2 × 7 = 7．
18.解：(Ⅰ)由 ( ) = 2 1 + (1 + ) ，得 ′( ) = 2 + 1+ ，
则 ′(0) = ，又由直线 3 2 + 1 = 0 3的斜率为2，
3
根据题意可知：2 = 1 =
2
3．
(Ⅱ)当 = 2 时，不等式可化为 2 1+ 2 (1 + ) + + 2 ≤ + ，
变形为 2 + 2 + 1 + 2 (1 + ) ≤ + + ( + 1)2 + ln(1 + )2 ≤ + ln( )，
同构函数 ( ) = + 1，求导得 ′( ) = 1 + > 0，
所以 ( ) = + 在(0, + ∞)上是增函数，而原不等式可化为 (( + 1)2) ≤ ( )，
( +1)2
根据单调性可得：( + 1)2 ≤ ≥ ， ∈ ( 1, + ∞)，
2
( ) = ( +1) ( ) = 2( +1)
( +1)2 =
2+1
再构造 ，则 ′ ( )2 ， ∈ ( 1, + ∞)，
2 2
当 ∈ ( 1,1) +1 ( +1)时， ′( ) = > 0，则 ( ) = 在 ∈ ( 1,1)上单调递增，
2 2
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) = +1 < 0
( +1)
，则 ( ) = 在 ∈ (1, + ∞)上单调递减，
(1+1)2
所以 ( ) 4 4 = (1) = 1 = ，即满足不等式成立的 ≥ ，
4所以 的最小值为 ；
(Ⅲ)因为 ( )存在两个不同的极值点 1， 2， 1 < 2，
2
所以由 ′( ) = 2 + 2 +2 + 1+ = +1 = 0 可得： = 4 8 > 0 <
1
2， 1 + 2 = 1,

1 2 = 2，
因为 1 > 1，而 = 2 2 + 2 + 的对称轴是 =
1 1
2，所以可得 1 < 1 < 2，
1
根据对称性可得另一个零点 2 < 2 < 0，此时有 1 2 = 2 > 0 > 0，
1
故 0 < < 2，
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又由 ( 1) <
( )
2可得 < 1 ，2
( ) 21 = 1 1+ (1+ 而 1) 2 1( 1 1)ln(1+ 1) 1 = 1 1 + 1 = 1 1 + 2 1ln(1 + 1)，2 1 1
令 ( ) = 1 + 2 (1 + ) 1， ∈ ( 1, 2 )，
2 1 2
则 ′( ) = 1 + 2 (1 + ) + 1+ = 1+ + 2 (1 + ) = 1 +1 + 2 (1 + )，
因为 ∈ ( 1, 2)，所以 + 1 ∈ (0, 12 )
2
，即 +1 ∈ (4, + ∞)，ln( + 1) < 0，
则 ′( ) = 1 2 +1 + 2 (1 + ) < 0，
( ) = 1 + 2 (1 + ) ( 1, 1即 在区间 2 )上单调递减，
( ) = 1 + 2 (1 + ) > ( 1 ) = 3 ln 1 = 3所以有 2 2 2 2 + 2，
( )
即 1 = 1 1 + 2 1ln(1 + ) >
3
1 2 + 2，2
3
所以实数 取值范围{ | ≤ 2+ 2}．
19.解：(1)( )甲型部件的总数为 6 × 9 = 54，
表格统计指标在[30,60)的甲型部件个数为 7 + 7 + 7 + 6 + 8 + 7 = 42，
42 7
故甲型部件的可靠度 = 54 = 9；
( ) 5又一个甲型部件的可靠度为 ，一个乙型部件的可靠度为 ，且 + = 3，
5 7 8
故乙型部件的可靠度为 = 3 9 = 9，
设事件 表示“系统试验成功”，事件 表示“两个甲型部件同时工作”，
设事件 表示“两个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”，
2 2
则 ( ) = 8 × 8 × 7 × 79 9 9 9 =
8 ×7
94 ，
设事件 表示“两个甲型部件一个乙型部件同时正常工作”，
2
则 ( ) = 1 × 7 × 7 8 1 16×72 9 9 × 9 × 9 = 94 ，
设事件 表示“一个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”，
( ) = 1 × 8
2
则 2 9 ×
8 × 7 × 2 = 28×89 9 9 94 ，
2 2 2 2
( ) = ( ) + ( ) + ( ) = 8 ×7 +16×7 +28×894 ，
2 2 2
( ) = ( ) + ( ) = 8 ×7 +16×794 ，
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2 2 2
( | ) = ( ) 8 ×7 +16×7 35 ( ) = 82×72+16×72+28×82 = 51；
(2)设事件 表示“①②位置上的部件能够正常工作”，事件 表示“③④位置上的部件能够正常工作”，
安排四个部件共有两种方案：
第一种方案：①②位置上的部件相同都为甲型部件或都为乙型部件，
③④位置上的部件唯一确定，则这种方案正常工作的概率为：

1 = [1 ( )] × [1 ( )] = (1
1 × 19 9 ) × (1
2 × 2 61609 9 ) = 6561，
第二种方案：①②位置上的部件为一个甲型部件和一个乙型部件，
③④位置上的部件唯一确定，则这种方案正常工作的概率为：

2 = [1 ( )] × [1 ( )] = (1
1 × 2 ) × (1 1 × 2 ) = 62419 9 9 9 6561，
由 2 > 1，故选择第二种方案．
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