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2024-2025 学年上海市普陀区宜川中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设点 是正三角形 的中心，则向量 ， ， 是( )
A.相同的向量 B.模相等的向量 C.共线向量 D.共起点的向量
2.函数 = sin 2的单调递增区间是( )
A. [ , + 4 4 ]( ∈ ) B. [ +
, + 3 4 4 ]( ∈ )
C. [4 , 4 + ]( ∈ ) D. [4 + , 4 + 3 ]( ∈ )
3.若| | = 3， 在 3方向上的数量投影是 2，则 , 为( )
A. 6 B.
2
3 C.

2 D.

3
4 , 0 ≤ ≤ 1
4.已知函数 ( ) = 1 2
2 ( 1), > 1
，若函数 = ( ) + 2 ( ) + 2 在[0, + ∞)有 6 个不同零点，则
实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 3) ∪ ( 18 , 2) B. ( ∞, 187 7 ) ∪ (1, + ∞)
C. ( 3, 2) ∪ (1, 187 ) D. ( ∞, 2) ∪ (1, + ∞)
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.若复数 = 1 + ( 为虚数单位)的实部和虚部相等，则实数 的值为______．
6.若 = 3 4 ， = 5 + 3 ，则 = ______．
7.函数 = sin(3 5 )的最小正周期为______．
8 1.不等式2 +5 > 0 的解集为______．
9 1.已知4 = 5 = 10，则 +
2
=______．
10 1.如果 = 5，且 是第三象限的角，那么 cos( +

2 ) =______．
11.已知 sin( + 3 12 ) = 5，则 cos(2 + 6 ) =______．
12.一个人骑自行车由 地出发向东骑行了 6 到达 地，由 地向南东 30°方向骑行了 6 到达 地，从
地向北偏东 60°骑行了 2 3 到达 地，则 ， 两地的距离是______ ．
13.已知函数 ( ) = 3 1 ( > 0)，若 ( )在区间(0,1]上是严格减函数，则实数 的取值范围是______．
14.复数 满足| 5| = | 1| = | + |，则| | = ______．
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15.已知 ， ， 是半径为 的圆 上的三点， 为圆 的直径， 为圆 内一点(含圆周)，则 + +
的取值范围为______．
16.若存在实数 ，使函数 ( ) = cos( + ) 12 ( > 0)在 ∈ [ , 3 ]上有且仅有 2 个零点，则 的取值范
围为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
已知 为复数， + 2 和2 均为实数，其中 是虚数单位．
(1)求复数 ；

(2)若 1 = +
1 7
1 +2 对应的点在第四象限，求实数 的取值范围．
18.(本小题 14 分)

已知函数 = ( )，其中 ( ) = 4 + 2 ( ∈ )．
(1)是否存在实数 ，使函数 = ( )是奇函数？若存在，请写出证明．
(2)当 = 1 时，若关于 的不等式 ( ) ≥ 恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 14 分)
在△ 中，角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，已知 = 2 3， = 2， 2 = 0．
(1)求△ 的面积 ；
(2)函数 ( ) = 4 ( + )( ∈ [0,2])，求函数 ( )的严格增区间．
20.(本小题 14 分)
如图，点 是△ 重心， 、 分别是边 、 上的动点，且 、 、 三点共线．
(1)设 = ，将 用 、 、 表示；
(2)设 = ， = 1 1，问： + 是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)在(2) 的条件下，记△ 与△ 的面积分别为 、 ，求 的取值范围．
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21.(本小题 14 分)
若函数 = ( )的定义域、值域均为[ , ]，则称 = ( )为[ , ]上的方正函数；
(1) = 1若 22 +
3
2为区间[1, ]( > 1)的方正函数，求实数 的值；
(2) 是否存在实数对( , )，使得函数 ( ) = 1+| |为区间[ , ]( < )上的方正函数？若存在，请写出符合
要求的所有实数对( , )，若不存在，请说明理由；
(3)设 ( ) = 2 + + ， ( ) = 2 + ，求非负实数 的取值范围，满足：存在实数 ， ，使得 = ( )，
= ( )均为[ 1,1]上的方正函数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5. 1
6.2 + 7
7.2 3
8.( ∞, 52 ) ∪ (1, + ∞)
9.2
10.2 65
11. 725
12.2 39
13.(1,3]
14.3 2
15.[ 43 , 4]
16.[ 13 ,
5
3 )
17.解：(1)设 = + ( , ∈ )，
由 + 2 = + ( + 2) 为实数，可得 + 2 = 0，则 = 2．
= + = ( + )(2+ ) 2 +2 4 4又2 2 (2 )(2+ ) = 5 + 5 为实数，则 5 = 0，
得 = 4，∴ = 4 2 ；

(2) ∵ 1 = +
1 7
1 +2 ，
∴ 1 = 4 +
1 7
1 + (2 +2 ) ，
1 7
而 1 = + 1 +2 对应的点在第四象限，
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4 + 1
∴ 1
> 0 3 3
2 7
，解得 2 < < 4或 1 < < 2．
+2 < 0
故 3 3的取值范围为( 2, 4 ) ∪ (1, 2 )．

18.解：(1)函数 ( ) = 4 + 2 定义域为 ，
若 ( )是奇函数，则 (0) = 1 + = 0，

解得 = 1 4 1，此时 ( ) = = 2 2 2
，
( ) = 2 2 = (2 2 ) = ( )，符合题意，
故 = 1．

(2) = 1 ( ) = 4 +1 = 2 + 1当 时， 2 2 ，
1 1
由2 > 0，可得2 + 2 ≥ 2 2 2 = 2，
1
当且仅当2 = 2 ，即 = 0 时等号成立，
所以 ( ) ≥ 2，又不等式 ( ) ≥ 恒成立，所以 ≤ 2，
所以实数 的取值范围为( ∞,2]．
19.解：(1)因为 2 = 0，由正弦定理可得 2 = 0，
又因为 ， ， ∈ (0, )，则 ≠ 0， ≠ 0，
可得 1 2 0 1 ，即 = 2，则 = 3，
所以△ 的面积 = 1 12 = 2 × 2 3 × 2 ×
3
2 = 3；
(2)由(1)可得 ( ) = 4 ( 3 +

3 ) = 4 (
1 3
2 + 2 )
= 2 + 2 3cos2 = 2 + 3 2 + 3 = 2 (2 + 3 ) + 3，
因为 ∈ [0,2]，则 2 + 3 ∈ [
3
3 , 4 + 3 ]，且 2 < 4 + 3 < 2 ，
3 7
令3 ≤ 2 + 3 ≤ 2 , 2 ≤ 2 + 3 ≤ 4 + 3，解得 0 ≤ ≤ 12 , 12 ≤ ≤ 2，
所以函数 ( ) 7 的严格增区间为[0, 12 ], [ 12 , 2]．
20.解：(1) = + = + = + ( ) = (1 ) + ；
(2) 1 1 + = 3，理由如下：
因为点 是△ 重心，
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= 2所以 = 2 × 1 ( + ) = 1 + 1 3 3 2 3 3 ，
又由(1)可知 = (1 ) + ，又 = ， = ，
所以 = (1 ) + ，
(1 ) = 1
1
= 3 3
而 ， 不共线，所以 31 ，解得 = 1
，
= 3
3
1 1
所以 + = 3；
1
| || 2 |sin∠ | (3) = = | |
|
1| || |sin∠ |
×
| |
= ，
|
2

由(2)知 = 3 1，
1
2 3(
1
3)
2+2( 1)+ 1
所以 = = 9 3 27 1 1 1 23 1 = ( ) + + ， 1 3 3 27( 1) 93 3
1
由题意易知2 ≤ ≤ 1
1 1 1 2
，2 ≤ ≤ 1，则6 ≤ 3 ≤ 3，
= 1 1 1 2设 3，则 = 3 + 27 + 9， ∈ [
1 2
6 , 3 ]，
1 1 1 2
因为当 ∈ [ 6 , 3 )时，函数单调递减，当 ∈ [ 3 , 3 ]时，函数单调递增，
= 1当 3时，即 =
2
3， =
2 4
3， 有最小值，最小值为9，
= 1 = 1 = 1 = 1 = 2 1 16时，即 2， ， 2，当 3时，即 = 1， = 2， = 2，
1
所以 的最大值为2，
∈ [ 4 , 1所以 9 2 ]．
21. 1解：(1)因为 = 22 +
3 1 2 1
2 = 2 ( 1) + 1，函数图象开口向上，且对称轴为 = 1，所以函数 =
2
2
+ 32在[1, ]上单调递增，
= 1由题意， 2
2 + 32为区间[1, ]( > 1)的方正函数，
所以当 = 1 1 3时， = 2 1 + 2 = 1；
当 = 时， 1 2 3 = 2 + 2 = ，解得 = 3 或 = 1(舍去)．
因此，若 = 1 22 +
3
2为区间[1, ]( > 1)的方正函数，则实数 的值为 3；
(2)对函数 ( ) = 1+| |，
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因为 ( ) = 1+| | = 1+| | = ( )．
所以 ( )为奇函数，图象关于原点对称，

又当 ≥ 0 时， ( ) = 1+ = 1+
1
+1．
所以函数 ( )在[0. + ∞)上单调递减，
由图象对称性可知，函数 ( )在( ∞, + ∞)上单调递减，
如存在实数对( , ) ，使得函数 ( ) = 1+| |为区间[ , ]( < )上的方正函数，

( ) = 1+| | =
则 ( ) = ，即 ，又 < ， 1+| | =

< 0 < 0 > 0 1
= + =
显然 ，所以 ， ，所以 ，即 = + =
，
1+
解得 = = 0，这与 < 矛盾．

故不存在实数对( , )，使得函数 ( ) = 1+| |为区间[ , ]( < )上的方正函数；
(3)当 = 0 时， ( ) = + ， ( ) = + ．
若 > 0，则 ( )在[ 1,1]上单调递增， ( )在[ 1,1]上单调递减，
( ) = ( 1) = + = 1
由函数 ( ) = + 是[ 1,1] = 1上的方正函数，则 ( ) = (1) = + = 1
，解得 = 0，
此时， ( ) = 也为[ 1,1]上的方正函数；
若 = 0，则 ( ) = ， ( ) = ( ) = 不满足题意；
若 < 0，则 ( )在[ 1,1]上单调递减， ( )在[ 1,1]上单调递增，
( ) = (1) = + = 1
由函数 ( ) = + 是[ 1,1] = 1上的方正函数，则 ( ) = ( 1) = + = 1
，解得 = 0 ，
此时， ( ) = 也为[ 1,1]上的方正函数；
故当 = 0 时，存在实数 =± 1， = 0，使得 = ( )， = ( )均为[ 1,1]上的方正函数；
当 > 0 时，函数 ( ) = 2 + + 图象开口向上，且对称轴为 = 2 ，

( 1) = 1
①若 2 ≤ 1，即 ≥ 2 ，函数 ( )在[ 1,1]上单调递增，由方正函数的概念，可知 (1) = 1 ，
+ = 1 + = 0 1
即 + + = 1 ，解得 = 1 ，所以由 2 ≤ 1，解得 0 < ≤ 2，
1
此时， ( ) = 2 + 图象开口向下，对称轴为 = 2 ，
1由 2 ≤ 1，则函数 ( )在[ 1,1]上单调递减，且 ( ) = ( 1) = + 1 + = 1， ( ) = (1) =
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1+ = 1，
所以 ( )在[ 1,1]上的值域为[ 1,1]，故 ( )也是[ 1,1]上的方正函数．
即当 0 < ≤ 12时，存在实数 = 1， = ，使得 = ( )， = ( )均为[ 1,1]上的方正函数．

②若 1 < 2 ≤ 0，即 0 ≤ < 2 ，
2 4 2
由 ( ) = ( + 22 ) +
4 ( ) =
4 ，则由方正函数概念，
4 = 1 ，且 ( 1) > 1．
( ) = (1) = + + = 1
又由 ( ) = 2 + + ， ( ) = 2 + ，
可知 (1) = ( 1)， ( 1) = (1)，且 ( )也是方正函数，则 ( ) = ( 1) = + + = 1，且
(1) = ( 1) > 1，
4 ( )2
故 ( ) = 4 = 1．
4 2 = 1
4 = 1 8
所以联立 + + = 1 ，解得 = 34，不满足条件 0 ≤ < 2 ，故此时无解；
4 ( )2
4 = 1 =
1
8
0 < ③若 2 < 1.即 2 < < 0，
2
由 ( ) = ( + )22 +
4
4 ，则由方正函数概念，
2
( ) 4 = 4 = 1 ，且 (1) > 1．
( ) = ( 1) = + = 1
( ) = (1) = + = 1
与②同理可得， 2 ，
( ) =
4 ( )
4 = 1
4 2 = 1
4 = 1 8
所以联立 + = 1 ，解得 = 34，
4 ( )2
4 = 1 =
1
8
不满足条件 2 < < 0，故此时无解；
④若 2 ≥ 1，即 ≤ 2 ，函数 ( )在[ 1,1]上单调递减，
( 1) = 1 + = 1
由方正函数的概念，可知 (1) = 1 ，即 + + = 1，
+ = 0 2 ≥ 1 0 < ≤ 1解得 = 1 ，所以 ，解得 2，
此时， ( ) = 2 + + 1抛物线的对称轴为 = 2 ，
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1
由2 ≥ 1，可知函数 ( )在[ 1,1]上单调递增，
且 ( ) = ( 1) = 1 + = 1， ( ) = (1) = + 1 + = 1，
所以 ( )在[ 1,1]上的值域为[ 1,1]，故 ( )也是[ 1,1]上的方正函数．
即当 0 < ≤ 12时，还存在实数 = 1， = ，使得 = ( )， = ( )均为[ 1,1]上的方正函数．
1
综上所述，当非负实数 的取值范围为[0, 2 ]时，存在实数 =± 1， = ，使得 = ( )， = ( )均为[ 1,1]
上的方正函数．
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