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2025年数学中考冲刺复习
专题三 思维提升
化归与模型思想
经典试题解析
核心素养培优
将欲求解的复杂问题经过一次或多次转化，将其化为一个或几个已知
的或容易求解的问题，或将抽象的问题化为具体的问题，进而达到解决问
题的目的，在这个过程中所运用的转化方法就是化归思想。
化归思想方法是解决问题的重要方法。如：三元方程（组）化为二元
方程（组）、二元方程（组）化为一元方程来解答；在四边形的学习中，
常将四边形的问题转化为三角形的问题来解答；直角三角形借数量关系来
解答；几何问题借坐标来精确研究：一次函数、反比例函数、二次函数借
点在坐标系里的规律来研究它们的图像性质等。
数学模型通常是指从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，如：
“垂线段最短”“将军饮马”“点圆最值”等，若注意将相关问题转化为对应的
模型进行求解，常可化难为易，化繁为简，达到简洁求解之目的。
化归与模型思想常见的类型：
（1）将不规则图形的面积化为可求的规则图形的面积；
（2）将非格点图形问题化为格点图形问题；
（3）将函数问题化为求点坐标的问题；
（4）将几何问题化为基本的几何模型的问题。
经典试题解析
01
类型1 不规则图形的面积转化
图3-1-1
例1 （2023·广元中考）如图3-1-1，半径为5的扇形
中， ，是上一点，， ，
垂足分别为，。若 ，则图中阴影部分的面积
为( )
B
A. B. C. D.
思路分析 连接，易证四边形 是正方形，进而得出
， ，把求阴影部分面积转化为求扇形面积即
可解答。
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图3-1-2
解答 如图3-1-2，连接 。
，， ，
四边形 是矩形。
，
矩形 是正方形，
， ，
图中阴影部分面积 。
故选B。
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类型2 非格点图形问题的转化
图3-1-3
例2 （2023·济宁中考） 如图3-1-3，在正方形方格中，
每个小正方形的边长都是1个单位长度，点,,,, 均在
小正方形方格的顶点上，线段,交于点 。若
,则 等于( )
C
A. B. C. D.
思路分析 在正方形方格中构造三角形，利用三角形全等的性质和外角的
性质即可求解。
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图3-1-4
解答 如图3-1-4，连接，，过点作，交
的延长线于点 。
由图可知，， ，
，
，
。
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，
，
。
，
。
故选C。
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类型3 函数问题的转化
图3-1-5
例3 （2023·达州中考）如图3-1-5，一次函数
与反比例函数的图像相交于， 两点，
以为边作等边三角形。若反比例函数 的
图像过点，则 的值为____。
思路分析 依据题意，点在 的垂直平分线上，可
得直线的解析式为，故可设 ，
再由求出的值，代入 即可求解。
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图3-1-6
解答 如图3-1-6，连接 。
根据题意，建立方程组
解得或
， ，
点， 关于原点对称。
是等边三角形，
的垂直平分线过原点和点 。
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直线的解析式为 ，
直线的解析式为 ，
设 。
又 为等边三角形，
，
根据两点间的距离公式可得
，
解得 。
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点 在第二象限，
， ，
将点的坐标代入 ，得 。
故答案为 。
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类型4 几何问题的转化
图3-1-7
例4 （2023·菏泽中考）如图3-1-7，在四边形
中， ，， ，
，点在线段上运动，点在线段 上，
，则线段 的最小值为 _________。
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思路分析 已知,证明 ，即点在以点 为圆
心，长为直径的半圆上运动，求 的最小值转化成求圆外一点到圆
上一点的最小值问题（即点圆最值模型），当,,三点共线时， 最小，
最小值为 。
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图3-1-8
解答 如图3-1-8，设的中点为，以点为圆心，
长为直径画半圆，连接， 。
，
，
。
，
，
点在以点为圆心，长为直径的半圆 上运动。
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，
。
在中，， ，
，
又 ,
当,,三点共线时， 最小。
线段的最小值为 。
故答案为 。
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核心素养培优
02
图3-1-9
1.（2023·连云港中考）如图3-1-9，矩形 内接于
，分别以，，， 为直径向外作半圆。若
， ，则阴影部分的面积是( )
D
A. B. C. D.20
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图3-1-10
2.（2023·苏州中考）如图3-1-10，在正方形网格内，线
段的两个端点都在格点上，网格内另有，，，
四个格点，下面四个结论中，正确的是( )
B
A.连接，则 B.连接，则
C.连接，则 D.连接，则
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图3-1-11
3.（2022·宿迁中考）如图3-1-11，点 在反比例函数
的图像上，以 为一边作等腰直角三角
形，其中 ，，则线段 的
长的最小值是( )
C
A.1 B. C. D.4
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图3-1-12
4.（2023·广西中考）如图3-1-12，在边长为2的正方形
中，，分别是，上的动点，， 分别是
，的中点，则 的最大值为 ____。
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图3-1-13
5.（2023·枣庄中考）银杏是著名的活化石植物，其
叶有细长的叶柄，呈扇形。图3-1-13是一片银杏叶标
本，叶片上两点，的坐标分别为， ，
将银杏叶绕原点顺时针旋转 后，叶柄上点 的对
应点的坐标为_______。
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THE END
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