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物理
平抛运动中的临界和极值问题
[案例剖析]
　(16分)如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3．2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外空地宽x＝10 m，为使小球从屋顶①水平飞出②落在围墙外的空地上，g取10 m/s2。求：
(1)小球离开屋顶时的速度③v0的大小范围；
(2)小球落在空地上的④最小速度。
[审题　抓住信息，准确推断]　
关键信息 信息挖掘
题干 ①水平飞出 说明小球做平抛运动
②落在围墙外的空地上 说明小球既要飞出墙外，又不能飞出空地
问题 ③v0的大小范围 由平抛运动规律可知，当小球恰好越过墙的边缘时v0最小，恰好落到空地的右侧边缘时v0最大
④最小速度 小球下落高度一定，落地时竖直分速度一定，当水平速度最小时，小球落地速度最小
[破题　形成思路，快速突破]　
(1)设小球恰好落到空地边缘时的水平初速度为v1，从飞出到落地在空中运动的时间为t1，请写出平抛运动的位移方程。
①水平方向：L＋x＝v1t1；
②竖直方向：H＝gt。
(2)设小球恰好越过围墙的边缘时的水平初速度为v2，从飞出到刚好越过围墙边缘在空中运动的时间为t2，请写出平抛运动的位移方程。
①水平方向：L＝v2t2；
②竖直方向：H－h＝gt。
(3)请写出v0的取值范围。
提示：v0的取值范围为v2≤v0≤v1。
(4)v0在取值范围内取何值时，小球落地速度最小？
提示：v0取最小值v2时，小球落地速度最小。
[解题　规范步骤，水到渠成]　
(1)设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v1，从飞出到落地在空中运动的时间为t1，则小球的水平位移：
L＋x＝v1t1(2分)
小球的竖直位移：
H＝gt(2分)
解以上两式得：
v1＝(L＋x)＝13 m/s(1分)
设小球恰好越过围墙的边缘时的水平初速度为v2，从飞出到刚好越过围墙边缘在空中运动的时间为t2，则此过程中小球的水平位移：
L＝v2t2(2分)
小球的竖直位移：
H－h＝gt(2分)
解以上两式得：
v2＝L＝5 m/s(1分)
小球抛出时的速度大小范围为
5 m/s≤v0≤13 m/s(1分)
(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度vy一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在空地上时，落地速度v最小。竖直方向：
v＝2gH(2分)
又有：vmin＝(2分)
解得：vmin＝5 m/s。(1分)
[点题　突破瓶颈，稳拿满分]　
(1)常见的思维障碍：不理解小球落在墙外的空地上的含义，不能挖掘出当小球恰好越过围墙的边缘时v0有最小值、恰好落到空地边缘时v0有最大值这两个临界状态，导致无法求出结果。
(2)因解答不规范导致的失分：
①解题时不用题中所给字母列方程，导致失分；
②解出两个临界速度后，没有补充说明v0的取值范围，导致失分。
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．(人教版必修第二册·第五章第4节[例题1]改编)将一个物体以10 m/s的速度从20 m的高度水平抛出(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)，下列说法正确的是(　　)
A．落地时间为2 s
B．落地时速度为20 m/s
C．落地时速度方向与水平地面夹角的正切值为
D．物体的位移为20 m
答案：A
解析：由h＝gt2得t＝＝2 s，故A正确；落地时竖直分速度vy＝gt＝20 m/s，落地速度为v＝＝10 m/s，故B错误；落地时速度方向与水平地面夹角的正切值tanθ＝＝2，故C错误；物体的水平位移x＝v0t＝20 m，位移为s＝＝20 m，故D错误。
2．在某一飞镖比赛中，运动员在同一位置水平掷出两支飞镖，结果分别打在靶心的A点和与靶心等高的B点，如图所示。已知投掷点和靶心在与飞镖靶垂直的同一竖直平面内，忽略空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A．两飞镖运动的时间相同 B．两飞镖掷出时的速度大小相同
C．两飞镖运动的位移大小相同 D．两飞镖打在靶上时的速度大小相同
答案：A
解析：两飞镖从水平掷出到击中镖靶，竖直方向做自由落体运动的位移相同，根据h＝gt2可得t＝，可知两飞镖运动的时间相同，A正确；由题意可知，两飞镖在空中运动过程中的水平位移大小x不同，由x＝v0t并结合A项分析知，两飞镖掷出时的速度大小不同，由s＝可知，两飞镖运动的位移大小不同，B、C错误；两飞镖打在靶上时水平方向的速度等于掷出时的速度，而竖直方向的速度均为vy＝gt＝，由速度合成法则并结合B项分析知，两飞镖打在靶上时的速度大小不同，D错误。
3．(2025·八省联考云南卷)如图所示，“套圈”活动中，某同学将相同套环分两次从同一位置水平抛出，分别套中Ⅰ、Ⅱ号物品。若套环可近似视为质点，不计空气阻力，则(　　)
A．套中Ⅰ号物品，套环被抛出的速度较大
B．套中Ⅰ号物品，重力对套环做功较小
C．套中Ⅱ号物品，套环飞行时间较长
D．套中Ⅱ号物品，套环动能变化量较小
答案：D
解析：由题意可知套环在空中做平抛运动，根据平抛运动规律，水平方向有x＝v0t，竖直方向有h＝gt2，联立可得v0＝x，t＝，套中Ⅰ号物品时，套环的水平位移x较小，下落高度h较大，可知套环被抛出的速度v0较小，飞行时间t较长，A、C错误；根据重力做功表达式W＝mgh可知，套中Ⅰ号物品时，套环的下落高度h较大，重力对套环做功W较大，B错误；套环在空中飞行过程中，由动能定理得ΔEk＝mgh，套中Ⅱ号物品时，套环的下落高度h较小，则动能变化量ΔEk较小，D正确。
4．如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，不计空气阻力，下落高度为h时在空中相遇。若两球的抛出位置不变，但水平抛出的速度都变为原来的2倍，则两球在空中相遇时下落的高度为(　　)
A．h B．h
C．h D．h
答案：D
解析：两球的抛出位置不变，则水平位移大小之和不变，两球在水平方向上做匀速直线运动，根据x＝(v1＋v2)t知，水平抛出的速度都变为原来的2倍后，从抛出至相遇所用的时间变为原来的；两球在竖直方向上做自由落体运动，根据h＝gt2知，两球相遇时下落的高度变为原来的，故D正确，A、B、C错误。
5．如图所示，某同学在篮筐前某位置跳起投篮。篮球出手点离水平地面的高度h＝1．8 m，篮球离开手的瞬间到篮筐的水平距离为x＝5 m，水平分速度大小v＝10 m/s。将篮球看成质点，篮筐大小忽略不计，忽略空气阻力，重力加速度大小g＝10 m/s2。要使篮球到达篮筐时，竖直方向的分速度刚好为零，则篮筐离地面的高度H为(　　)
A．2．85 m B．3．05 m
C．3．25 m D．3．5 m
答案：B
解析：篮球离开手后做斜上抛运动，水平方向有x＝vt，则篮球离开手到篮筐的运动时间为t＝＝ s＝0．5 s，要使篮球到达篮筐时，竖直方向的分速度刚好为零，则竖直方向有H－h＝gt2，可解得H＝3．05 m，故选B。
6．(2023·湖南高考)如图a，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图b所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是(　　)
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B．谷粒2在最高点的速度小于v1
C．两谷粒从O到P的运动时间相等
D．两谷粒从O到P的平均速度相等
答案：B
解析：忽略空气阻力，则抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误；谷粒2做斜上抛运动，谷粒1做平抛运动，由竖直方向的分运动可知，两谷粒从O到P的运动时间t2>t1，从O到P两谷粒在水平方向的位移相同，由水平方向做匀速直线运动知，两谷粒的水平分速度关系为v2x7．如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，则(　　)
A．a球一定先落在半圆轨道上
B．b球一定先落在斜面上
C．a、b两球可能同时落在半圆轨道和斜面上
D．a球可能垂直落在半圆轨道上
答案：C
解析：将半圆轨道和斜面轨道重合在一起，如图所示，交点为A。若a、b两球的初速度合适，则两小球均可以做平抛运动落在A点，此时a、b运动的时间相等，即可以同时落在半圆轨道和斜面上；若a、b两球的初速度比前述的小，由图可知，小球b先落在斜面上；若a、b两球的初速度比前述的大，则小球a先落在半圆轨道上，故A、B错误，C正确。若a球垂直落在半圆轨道上，根据几何关系知，速度方向与水平方向的夹角是位移方向与水平方向的夹角的2倍，而在平抛运动中，某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角正切值的2倍，两者相互矛盾，所以a球不可能垂直落在半圆轨道上，故D错误。
8．(多选)一种定点投抛游戏可简化为如图所示的模型，以水平速度v1从O点抛出小球，小球正好落入倾角为θ的斜面上的洞中，洞口处于斜面上的P点，O、P的连线正好与斜面垂直；当以水平速度v2从O点抛出小球时，小球正好垂直落在斜面上Q点(图中未画出)。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．小球落在P点所用时间是
B．Q点在P点的下方
C．v1>v2
D．小球落在P点所用的时间与落在Q点所用的时间之比是
答案：AD
解析：由题意知，小球以初速度v1从O点抛出后做平抛运动，落在P点时小球位移垂直于斜面，画出其轨迹如图1，设小球落在P点所用时间为t1，则水平方向有x1＝v1t1，竖直方向有y1＝gt，由几何关系可知tanθ＝，联立解得t1＝，A正确；小球以初速度v2从O点抛出后做平抛运动，垂直落在斜面上的Q点时，对其末速度进行分解如图2，设小球落在Q点所用时间为t2，水平方向有vx2＝v2，竖直方向有vy2＝gt2，小球落在Q点时，速度方向与斜面垂直，根据几何关系可知tanθ＝，联立解得t2＝，则小球落在P点所用的时间与落在Q点所用的时间之比是＝，D正确；设OQ连线与竖直方向的夹角为α，根据平抛运动的推论可知，tanα＝2tanθ，故α>θ，而由几何关系知，OP连线与竖直方向的夹角为θ，故Q点在P点的上方，即小球从O点到Q点的竖直位移较小，水平位移较大，由h＝gt2可知，t2v1，故B、C错误。
9．(2023·新课标卷)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g)
答案：
解析：石子抛出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，设接触水面时的竖直分速度为vy，则有v＝2gh
设抛出速度为v0，由题意可知≤tanθ
联立解得v0≥
则石子抛出速度的最小值为。
[B组　综合提升练]
10．(多选)如图，一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下列说法正确的是(　　)
A．小球的运动轨迹为抛物线
B．小球的加速度为gsinθ
C．小球从A处到达B处所用的时间为
D．小球到达B处的水平方向位移大小s＝v0
答案：ABC
解析：小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，与初速度方向垂直，做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，故A正确；根据牛顿第二定律知，小球的加速度a＝＝gsinθ，故B正确；小球在沿加速度方向上的位移为，根据＝at2，解得t＝，故C正确；小球在沿初速度方向的位移大小为x＝v0t＝，小球在沿加速度方向的位移的水平分位移大小为y＝cosθ＝，则小球在水平方向的总位移大小为s＝>x＝＞v0，故D错误。
11．(2025·四川省绵阳市高三上模拟监测)(多选)如图所示，在一次比赛中，中国女排运动员朱婷将球在边界处正上方正对球网水平向前击出，球刚好过网落在图中位置(不计空气阻力)，相关数据如图所示，下列说法中正确的是(　　)
A．击球点高度h1与球网高度h2之间的关系为h1＝1．8h2
B．若保持击球高度不变，球的初速度满足C．任意降低击球高度(仍大于h2)，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内
D．任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内
答案：AD
解析：做平抛运动的球在水平方向上做匀速直线运动，水平位移为s和所用的时间比为2∶3，在竖直方向上，根据h＝gt2，有＝，解得h1＝1．8h2，故A正确；若保持击球高度不变，要想球落在对方界内，且既不能出界，又不能触网，根据h1＝gt，得t1＝，则平抛运动的最大初速度v01＝＝，根据h1－h2＝gt，得t2＝，则平抛运动的最小初速度v02＝＝s＝，可知当球的初速度满足h1>h2时，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内，故C错误，D正确。
[C组　拔尖培优练]
12．(2020·山东高考)单板滑雪U形池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17．2°。某次练习过程中，运动员以vM＝10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α＝72．8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2，sin72．8°＝0．96，cos72．8°＝0．30。求：
(1)运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d；
(2)M、N之间的距离L。
答案：(1)4．8 m　(2)12 m
解析：(1)在M点，设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分速度为v1，由运动的合成与分解规律得v1＝vMsin72．8°①
设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分加速度为a1，由牛顿第二定律得
mgcos17．2°＝ma1　②
由运动学公式得d＝　③
联立①②③式，代入数据得d＝4．8 m。④
(2)在M点，设运动员在ABCD面内平行AD方向的分速度为v2，由运动的合成与分解规律得v2＝vMcos72．8°⑤
设运动员在ABCD面内平行AD方向的分加速度为a2，由牛顿第二定律得
mgsin17．2°＝ma2　⑥
设腾空时间为t，由运动学公式得t＝　⑦
L＝v2t＋a2t2　⑧
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得L＝12 m。⑨
10(共40张PPT)
第四章　曲线运动
第2讲　抛体运动
满分指导　平抛运动中的临界和
极值问题
目录
1
2
满分指导　平抛运动中的临界和极值问题
课时作业
满分指导　平抛运动中的临界和极值问题
[案例剖析]
　(16分)如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3．2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外空地宽x＝10 m，为使小球从屋顶①水平飞出②落在围墙外的空地上，g取10 m/s2。求：
(1)小球离开屋顶时的速度③v0的大小范围；
(2)小球落在空地上的④最小速度。
[审题　抓住信息，准确推断]　
关键信息 信息挖掘
题干 ①水平飞出 说明小球做平抛运动
②落在围墙外的空地上 说明小球既要飞出墙外，又不能飞出空地
问题 ③v0的大小范围 由平抛运动规律可知，当小球恰好越过墙的边缘时v0最小，恰好落到空地的右侧边缘时v0最大
④最小速度 小球下落高度一定，落地时竖直分速度一定，当水平速度最小时，小球落地速度最小
[破题　形成思路，快速突破]　
(1)设小球恰好落到空地边缘时的水平初速度为v1，从飞出到落地在空中运动的时间为t1，请写出平抛运动的位移方程。
①水平方向：____________；
②竖直方向：__________。
L＋x＝v1t1
(2)设小球恰好越过围墙的边缘时的水平初速度为v2，从飞出到刚好越过围墙边缘在空中运动的时间为t2，请写出平抛运动的位移方程。
①水平方向：__________；
②竖直方向： __________ 。
L＝v2t2
(3)请写出v0的取值范围。
(4)v0在取值范围内取何值时，小球落地速度最小？
提示： v0的取值范围为v2≤v0≤v1。
提示： v0取最小值v2时，小球落地速度最小。
[点题　突破瓶颈，稳拿满分]　
(1)常见的思维障碍：不理解小球落在墙外的空地上的含义，不能挖掘出当小球恰好越过围墙的边缘时v0有最小值、恰好落到空地边缘时v0有最大值这两个临界状态，导致无法求出结果。
(2)因解答不规范导致的失分：
①解题时不用题中所给字母列方程，导致失分；
②解出两个临界速度后，没有补充说明v0的取值范围，导致失分。
课时作业
［A组　基础巩固练］
2．在某一飞镖比赛中，运动员在同一位置水平掷出两支飞镖，结果分别打在靶心的A点和与靶心等高的B点，如图所示。已知投掷点和靶心在与飞镖靶垂直的同一竖直平面内，忽略空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A．两飞镖运动的时间相同
B．两飞镖掷出时的速度大小相同
C．两飞镖运动的位移大小相同
D．两飞镖打在靶上时的速度大小相同
3．(2025·八省联考云南卷)如图所示，“套圈”活动中，某同学将相同套环分两次从同一位置水平抛出，分别套中Ⅰ、Ⅱ号物品。若套环可近似视为质点，不计空气阻力，则(　　)
A．套中Ⅰ号物品，套环被抛出的速度较大
B．套中Ⅰ号物品，重力对套环做功较小
C．套中Ⅱ号物品，套环飞行时间较长
D．套中Ⅱ号物品，套环动能变化量较小
5．如图所示，某同学在篮筐前某位置跳起投篮。篮球出手点离水平地面的高度h＝1．8 m，篮球离开手的瞬间到篮筐的水平距离为x＝5 m，水平分速度大小v＝10 m/s。将篮球看成质点，篮筐大小忽略不计，忽略空气阻力，重力加速度大小g＝10 m/s2。要使篮球到达篮筐时，竖直方向的分速度刚好为零，则篮筐离地面的高度H为(　　)
A．2．85 m B．3．05 m
C．3．25 m D．3．5 m
6．(2023·湖南高考)如图a，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图b所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是(　　)
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B．谷粒2在最高点的速度小于v1
C．两谷粒从O到P的运动时间相等
D．两谷粒从O到P的平均速度相等
解析：忽略空气阻力，则抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误；谷粒2做斜上抛运动，谷粒1做平抛运动，由竖直方向的分运动可知，两谷粒从O到P的运动时间t2>t1，从O到P两谷粒在水平方向的位移相同，由水平方向做匀速直线运动知，两谷粒的水平分速度关系为v2x7．如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，则(　　)
A．a球一定先落在半圆轨道上
B．b球一定先落在斜面上
C．a、b两球可能同时落在半圆轨道和斜面上
D．a球可能垂直落在半圆轨道上
解析：将半圆轨道和斜面轨道重合在一起，如图所示，交点为A。若a、b两球的初速度合适，则两小球均可以做平抛运动落在A点，此时a、b运动的时间相等，即可以同时落在半圆轨道和斜面上；若a、b两球的初速度比前述的小，由图可知，小球b先落在斜面上；若a、b两球的初速度比前述的大，则小球a先落在半圆轨道上，故A、B错误，C正确。若a球垂直落在半圆轨道上，根据几何关系知，速度方向与水平方向的夹角是位移方向与水平方向的夹角的2倍，
而在平抛运动中，某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是
位移方向与水平方向夹角正切值的2倍，两者相互矛盾，所以a
球不可能垂直落在半圆轨道上，故D错误。
9．(2023·新课标卷)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g)
[C组　拔尖培优练]
12．(2020·山东高考)单板滑雪U形池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17．2°。某次练习过程中，运动员以vM＝10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α＝72．8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2，sin72．8°＝0．96，cos72．8°＝0．30。求：
(1)运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d；
(2)M、N之间的距离L。
答案：(1)4．8 m　(2)12 m

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