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物理
第讲　圆周运动
(对应人教版必修第二册相关内容及问题)
　第六章第1节[问题]，大、小两个齿轮边缘上的点，哪个运动得更快些？同一个齿轮上到转轴的距离不同的点，哪个运动得更快些？
提示：大、小齿轮边缘上的点线速度大小相同。
同一个齿轮上到转轴的距离不同的点，角速度相同。
　第六章第2节阅读“向心力”这一部分内容，向心力是按性质命名的力吗？对物体进行受力分析时分析向心力吗？
提示：向心力是由某个力或者几个力的合力提供的，是根据力的作用效果命名的。
对物体进行受力分析时不分析向心力。
　第六章第2节[实验]，写出向心力大小的表达式。
提示：Fn＝mω2r＝m＝mr＝man。
　第六章第2节阅读“变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点”这一部分内容，说一说变速圆周运动的受力特点，怎样处理一般的曲线运动？
提示：对变速圆周运动，将其所受合力F沿切线和半径方向分解，切向力Ft改变速度大小，指向圆心的合力Fn改变速度的方向。
研究一般的曲线运动时，将曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，这样就可以采用分析圆周运动的方法来进行处理。
　第六章第3节[思考与讨论]，A、B、C三点中，哪两点适用于“向心加速度与半径成正比”？哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”？
提示：vA＝vB，由an＝知，A、B两点适用于“向心加速度与半径成反比”。
ωB＝ωC，由an＝ω2r知，B、C两点适用于“向心加速度与半径成正比”。
　第六章第4节图6．4 1、6．4 2和6．4 3，观察火车轮缘，火车转弯满足什么条件时车轮不受侧压力？速度过大哪边受侧压力？速度过小呢？
提示：当重力和支持力的合力刚好提供向心力时，车轮不受侧压力；速度过大时外侧受压力，速度过小时内侧受压力。
　第六章[复习与提高]B组T3；T5；T6。
提示：T3：圆盘转动一周所需要的时间为T1＝ s，频闪光源每隔T2＝ s闪一次，所以频闪光源每闪一次，白点尚未运动一周，故观察到白点逆时针转动。每次闪光，白点与原位置相差的角度Δθ＝2π－ω1T2＝2π－×T2＝，所以观察到白点转动的周期T＝＝＝1 s。
T5：(1)mω2l；(2)ω＝与l无关；(3)F＝mg，即F与l成正比。
T6：(1)mg；(2)绳长为，最大水平距离为。
考点一　圆周运动的描述
1．描述圆周运动的物理量
描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度等，具体如下：
定义、意义 公式、单位
线速度 (1)描述做圆周运动的物体沿圆弧运动快慢的物理量(v)； (2)是矢量，方向和半径垂直，沿切线方向 (1)v＝＝ωr； (2)单位：m/s
角速度 描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω) (1)ω＝＝； (2)单位：rad/s或s－1
周期和转速 (1)周期(T)是指做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间； (2)转速(n)是指物体转动的圈数与所用时间之比，也叫频率(f) (1)T＝＝，单位：s； (2)f＝，单位：Hz； (3)n的单位：r/s、r/min
向心加速度 (1)描述速度方向变化快慢的物理量(an)； (2)方向指向圆心，时刻在变 (1)an＝＝ω2r； (2)单位：m/s2
注：①对公式v＝ωr的理解：当r一定时，v与ω成正比；当ω一定时，v与r成正比；当v一定时，ω与r成反比。
②对an＝＝ω2r的理解：当v一定时，an与r成反比；当ω一定时，an与r成正比。
2．匀速圆周运动
(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。
(2)性质：加速度大小不变、方向总是指向圆心的变加速曲线运动。
(3)条件：有初速度，受到一个大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心的合力。
例1　(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为3 m/s，转动周期为2 s，则下列说法正确的是(　　)
A．角速度为0．5 rad/s B．转速为0．5 r/s
C．轨迹半径为 m D．加速度大小为2π m/s2
[答案]　BC
[解析]　由匀速圆周运动角速度与周期的关系得，该质点的角速度为ω＝＝＝π rad/s，故A错误；由匀速圆周运动转速与周期的关系得，该质点的转速为n＝＝0．5 r/s，故B正确；该质点的轨迹半径为r＝＝ m＝ m，故C正确；该质点做匀速圆周运动的加速度大小为a＝＝＝3π m/s2，故D错误。
例2　如图是某自行车的传动结构示意图，其中Ⅰ 是半径r1＝10 cm的牙盘(大齿轮)，Ⅱ是半径r2＝4 cm的飞轮(小齿轮)，Ⅲ是半径r3＝36 cm的后轮。若某人在匀速骑行时每分钟踩脚踏板转30圈，取π＝3．14，下列判断正确的是(　　)
A．脚踏板的周期为 s
B．牙盘转动的角速度为6．28 rad/s
C．飞轮边缘的线速度大小为3．14 m/s
D．自行车匀速运动的速度大小为2．826 m/s
[答案]　D
[解析]　脚踏板每分钟转30圈，则周期为T＝ s＝2 s，A错误；牙盘转动的角速度与脚踏板相同，为ω1＝＝3．14 rad/s，B错误；飞轮边缘的线速度大小与牙盘边缘的线速度大小相等，为v2＝v1＝ω1r1＝0．314 m/s，C错误；后轮的角速度与飞轮的角速度相同，为ω3＝ω2＝＝7．85 rad/s，则后轮边缘各点的线速度大小为v3＝ω3r3＝2．826 m/s，即自行车匀速运动的速度大小为2．826 m/s，D正确。
常见的三种传动方式及特点 (1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。 (2)摩擦(齿轮)传动：如图丙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。 (3)同轴转动：如图丁所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即ωA＝ωB。
考点二　圆周运动的动力学问题
一、向心力(Fn)
1．作用效果：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
2．方向：指向圆心，时刻在变。
3．来源：某个力，或某几个力的合力，或某个力的分力。
4．公式：Fn＝mω2r＝m。
5．单位：N。
二、匀速圆周运动与变速圆周运动
匀速圆周运动 变速圆周运动
运动特点 线速度的大小不变，角速度、周期和频率都不变，向心加速度的大小不变 线速度的大小、方向都变，角速度变，向心加速度的大小、方向都变，周期可能变也可能不变
受力特点 所受到的合力为向心力，大小不变，方向变，其方向时刻指向圆心 所受到的合力不指向圆心，合力产生两个效果： (1)沿半径方向的分力Fn，即向心力，它改变速度的方向； (2)沿切线方向的分力Ft，它改变速度的大小
运动性质 变加速曲线运动(加速度大小不变，方向变化) 变加速曲线运动(加速度大小、方向都变化)
三、离心现象
1．离心运动
(1)定义：做圆周运动的物体，在向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力时，所做的逐渐远离圆心的运动。
(2)本质：做圆周运动的物体，由于惯性，总有沿着切线方向飞出去的倾向。
(3)受力特点
①当F＝mω2r时，物体做匀速圆周运动。
②当F③当F＝0时，物体沿切线方向飞出。
2．近心运动：当F>mω2r时，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动。
1．做圆周运动的物体，一定受到向心力的作用，所以分析受力时，必须指出受到的向心力。(　　) 2．匀速圆周运动是匀变速曲线运动，变速圆周运动是变加速曲线运动。(　　) 3．在光滑的水平路面上，汽车不可以转弯。(　　) 4．摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故。(　　) 5．火车转弯速率小于规定的数值时，内轨受到的压力会增大。(　　) 答案：1．×　2．×　3．√　4．×　5．√
1．圆周运动动力学问题的解题方法
(1)对研究对象进行受力分析，确定向心力来源。
(2)确定圆周运动的轨道平面，确定圆心和轨道半径。
(3)应用牛顿运动定律和圆周运动知识列方程求解。
2．向心力分析实例
运动模型 向心力的来源
汽车在水平路面转弯
水平转台(光滑)
飞机水平转弯
火车转弯
圆锥摆
物体在光滑半圆形碗内做匀速圆周运动
例3　(多选)某飞船发射升空后，进入椭圆轨道，然后实施变轨进入距地球表面约343 km的圆形轨道。已知飞船的质量约为8000 kg，飞船约90 min绕地球一圈，地球半径约为6．37×103 km，π取3．14，下列判断正确的是(　　)
A．飞船在圆形轨道上运行时的向心加速度大小约为0．46 m/s2
B．飞船在圆形轨道上运行时的向心加速度大小约为9．08 m/s2
C．飞船在圆形轨道上运行时所受的向心力大小约为0．37×104 N
D．飞船在圆形轨道上运行时所受的向心力大小约为7．26×104 N
[答案]　BD
[解析]　飞船在圆形轨道上运行的周期T＝90×60 s＝5400 s，运行半径r＝6370 km＋343 km＝6．713×106 m，向心加速度的大小a＝r≈9．08 m/s2，所受的向心力大小F＝ma≈7．26×104 N，故A、C错误，B、D正确。
例4　荡秋千是儿童喜爱的一项体育运动，当秋千从最高点向下荡到如图所示位置时，小孩的加速度方向可能是图中的(　　)
A．a方向 B．b方向
C．c方向 D．d方向
[答案]　C
[解析]　秋千从最高点向下荡的过程中，小孩的速率逐渐增大，在如图所示位置时，小孩的速度不为零，故加速度沿半径方向的分量不为零，且小孩的加速度沿圆弧的切线方向的分量不为零，即小孩的加速度方向可能是图中的c方向，故选C。
例5　图1所示是一种叫“旋转飞椅”的游乐项目，将其结构简化为图2所示的模型。长L＝3 m的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径r＝3 m的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。转盘匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角θ＝37°。将游客和座椅看作一个质点，质量m＝60 kg，不计钢绳重力和空气阻力，重力加速度g＝
10 m/s2，sin37°＝0．6，cos37°＝0．8，求游客和座椅随转盘做匀速圆周运动时：
(1)钢绳的拉力大小T；
(2)向心力的大小Fn；
(3)线速度的大小v。
[答案]　(1)750 N　(2)450 N　(3)6 m/s
[解析]　(1)游客和座椅的受力如图所示，在竖直方向，根据平衡条件可知mg＝Tcosθ
解得T＝750 N。
(2)钢绳拉力与重力的合力提供游客和座椅做圆周运动的向心力，由受力分析可得Fn＝mgtanθ
解得 Fn＝450 N。
(3)由几何关系知，游客和座椅做圆周运动的半径为R＝r＋Lsinθ
由牛顿第二定律得Fn＝m
解得v＝6 m/s。
圆锥摆模型 (1)圆锥摆的周期 如图，摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ。 受力分析，由牛顿第二定律得： mgtanθ＝mr 其中r＝Lsinθ 解得T＝2π＝2π。 (2)规律总结 ①摆高h＝Lcosθ，周期T越小，圆锥摆转得越快，θ越大，摆高即细线固定端与圆周运动平面的距离h越小。 ②摆线拉力F＝，圆锥摆转得越快，摆线拉力F越大。 ③摆球的加速度a＝gtanθ，圆锥摆转得越快，加速度a越大。
跟进训练　(2025·江苏省宿迁中学高三上8月月考)如图，汽车在铺设沥青的高速公路上行驶时，轮胎与地面的动摩擦因数μ＝0．4，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2。
(1)在此高速公路上转弯时，假设对汽车的设计限速为12 m/s，求水平弯道的最小半径；
(2)若弯道路面设计为倾斜(内低外高)，弯道半径为250 m，路面倾角为θ，且tanθ＝0．05，要使汽车通过此弯道时不产生侧向摩擦力，求汽车通过弯道时的速度大小。
答案：(1)36 m　(2)5 m/s
解析：(1)汽车在水平路面上转弯，可认为汽车做匀速圆周运动，由静摩擦力提供向心力可得f＝m
由题意可知f≤fmax＝μmg
联立可得R≥＝ m＝36 m
可知水平弯道的最小半径为36 m。
(2)要使汽车通过此弯道时不产生侧向摩擦力，则汽车受到的重力和支持力的合力提供向心力，有mgtanθ＝
解得汽车通过弯道时的速度大小v1＝5 m/s。
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．(2025·江苏省南通市海安市高三上学期期初学业质量检测)A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，如图所示，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们的(　　)
A．线速度大小之比为2∶3 B．角速度大小之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为9∶8 D．向心加速度大小之比为2∶1
答案：D
解析：由于相同时间内它们通过的路程之比是4∶3，根据线速度定义式v＝，可知它们的线速度大小之比为vA∶vB＝4∶3，故A错误；由题意可知，相同时间内它们转过的角度之比为3∶2，根据角速度定义式ω＝可知，它们的角速度之比为ωA∶ωB＝3∶2，故B错误；根据公式v＝rω，可得圆周运动的半径r＝，可知A、B两艘快艇做圆周运动的半径之比为rA∶rB＝∶＝8∶9，故C错误；根据向心加速度公式a＝vω，可知A、B两艘快艇的向心加速度之比为aA∶aB＝vAωA∶vBωB＝2∶1，故D正确。
2．(多选)如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱(　　)
A．运动周期为
B．线速度的大小为ωR
C．受摩天轮作用力的大小始终为mg
D．所受合力的大小始终为mω2R
答案：BD
解析：座舱的运动周期T＝＝，A错误；根据线速度与角速度的关系，可知座舱的线速度大小为v＝ωR，B正确；座舱做匀速圆周运动，摩天轮对座舱的作用力与座舱的重力大小不相等，其合力提供向心力，合力大小为F合＝mω2R，C错误，D正确。
3．(2024·广东省深圳市高三下模拟)为防止人类太空航行长期处于失重环境中引起的健康问题，科学家们设想将太空飞船建造成轴对称环形结构，通过圆环绕中心轴匀速转动使航天员产生模拟重力效果。若圆环的直径为40 m，航天员(可视为质点)站立于圆环内壁时，为产生与宇航员在地球表面相同的重力效果，则圆环转动的角速度ω约为(　　)
A．0．7 rad/s B．1．4 rad/s
C．7 rad/s D．14 rad/s
答案：A
解析：由题意可知，当宇航员随圆环以角速度ω转动时，向心力等于宇航员在地球表面静止时所受的支持力，即FN＝mω2r，在地球表面由平衡条件得FN＝mg，联立可得ω＝＝0．7 rad/s，故选A。
4．(2024·广西南宁市高三下二模)如图1所示，修正带是一种常见的学习用具，是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，其原理可简化为图2中所示的模型。A、B是转动的大小齿轮边缘的两点，C是大齿轮上的一点，若A、B、C的轨道半径之比为2∶3∶2，则A、B、C的向心加速度大小之比为(　　)
A．9∶6∶4 B．9∶6∶2
C．6∶4∶3 D．6∶3∶2
答案：A
解析：修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，边缘点的线速度大小相等，即vA＝vB，根据向心加速度的公式a＝，可知A、B的向心加速度大小之比aA∶aB＝rB∶rA＝3∶2；又B、C两点为同轴转动，角速度相等，即ωC＝ωB，根据向心加速度的公式a＝rω2，可知B、C的向心加速度大小之比aB∶aC＝rB∶rC＝3∶2；综上可知，A、B、C的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC＝9∶6∶4，故选A。
5．(2025·甘肃省天水市第一中学高三上12月月考)(多选)如图所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，则(不计子弹和圆筒间的相互作用)(　　)
A．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝d
B．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝2d
C．圆筒转动的角速度可能为ω＝π
D．圆筒转动的角速度可能为ω＝3π
答案：ACD
解析：子弹在圆筒中运动的时间与自由下落h的时间相同，为t＝，则v0＝＝d，故A正确，B错误；在此时间内圆筒需转半圈的奇数倍，有ωt＝(2n＋1)π(n＝0，1，2，…)，所以ω＝＝(2n＋1)π(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，ω＝π，当n＝1时，ω＝3π，故C、D正确。
6．荡秋千是小朋友们最喜欢的游戏之一，如图为一秋千模型，水平横梁与每一根绳间装有力传感器，质量为40 kg的小朋友坐在秋千上，小朋友重心离系绳子的水平横梁垂直距离为2 m。若秋千板摆到最低点时，每一根绳上的拉力显示为450 N，忽略板和绳的质量，重力加速度g取10 m/s2，则小孩在此位置运动的速度大小约为(　　)
A．1．5 m/s B．3．0 m/s
C．5．0 m/s D．7．5 m/s
答案：C
解析：根据牛顿第二定律有2T－mg＝，代入数据解得v＝5．0 m/s，故选C。
7．辽宁舰质量为m＝6×106 kg，如图是辽宁舰在海上转弯时的照片，假设整个过程中辽宁舰做匀速圆周运动，速度大小为20 m/s，圆周运动的半径为1000 m，下列说法中正确的是(　　)
A．在A点时水对辽宁舰的合力指向圆心
B．在A点时水对辽宁舰的合力大小约为F＝6．0×107 N
C．在A点时水对辽宁舰的合力大小约为F＝2．4×106 N
D．在A点时水对辽宁舰的合力大小为0
答案：B
解析：在A点时，水对辽宁舰有大小等于舰的重力、方向竖直向上的浮力，同时有指向圆心方向的推力，水对舰的合力方向为斜向上，A错误；在A点时水对辽宁舰指向圆心的推力Fn＝m，合力大小约为F＝≈6．0×107 N，故B正确，C、D错误。
8．(多选)滚筒洗衣机静止于水平地面上，衣物随着滚筒一起在竖直平面内做高速匀速圆周运动，以达到脱水的效果，滚筒截面如图所示，A点为最高点，B点为最低点，CD为水平方向的直径，下列说法正确的有(　　)
A．衣物运动到A点时处于超重状态
B．衣物运动到B点时脱水效果最好
C．衣物运动到C点或D点时，洗衣机对地面的摩擦力不为零
D．衣物在B点时，洗衣机对地面的压力等于洗衣机的重力
答案：BC
解析：衣物运动到最高点A点时，加速度方向竖直向下，处于失重状态，故A错误；衣物运动过程中，对衣物上质量为m、做圆周运动的水，根据牛顿第二定律，有F合＝m，可知水滴运动过程中所受合力大小不变，且指向圆心，水滴重力G的大小、方向均不变，根据力的分解的平行四边形定则可知，衣物运动到B点时，衣物对水滴的作用力F最大，即此时水滴做圆周运动所需衣物的作用力最大，脱水效果最好，B正确；对于总质量为M的衣物及衣物上的水，运动到B点时，有F′－Mg＝M，根据牛顿第三定律可知，此时衣物对洗衣机竖直向下的压力为F″＝F′，联立可得F″＝Mg＋M，此时洗衣机对地面的压力等于洗衣机的重力加上衣物对洗衣机的压力，所以此时洗衣机对地面的压力大于洗衣机的重力，D错误；衣物运动到C点或D点时，根据力的合成与分解可知，洗衣机对衣物作用力的水平分力提供衣物做圆周运动的向心力，由牛顿第三定律可知，此时衣物对洗衣机在水平方向的作用力不为零，而洗衣机是静止的，由平衡条件可知，地面对洗衣机的摩擦力不为零，根据牛顿第三定律可知，衣物运动到C点或D点时，洗衣机对地面的摩擦力不为零，故C正确。
9．场地自行车比赛的圆形赛道是一个内倾斜路面，路面与水平面的倾角为15°。某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动，其速度v＝13 m/s时，自行车恰好不受侧向摩擦力作用。已知自行车和运动员的质量一共是100 kg，不考虑空气阻力，g取10 m/s2，已知sin15°≈tan15°≈0．26，cos15°≈0．97。
(1)求圆形赛道的半径；
(2)若圆形赛道的倾角改为37°，该运动员骑自行车仍然以13 m/s的速度沿该赛道做匀速圆周运动，求此时自行车所受的侧向摩擦力大小。(sin37°＝0．6，cos37°＝0．8)
答案：(1)65 m　(2)392 N
解析：(1)对运动员和自行车整体的受力分析如图甲所示
在竖直方向上，根据平衡条件可得F1cos15°＝mg
在水平方向上，根据牛顿第二定律可得F1sin15°＝m
联立解得圆形赛道的半径为r＝65 m。
(2)当倾角变为37°时，对运动员和自行车整体的受力分析如图乙所示
在竖直方向上，根据平衡条件可得
F2cos37°＋fsin37°＝mg
在水平方向上，根据牛顿第二定律可得
F2sin37°－fcos37°＝m
联立解得f＝392 N。
[B组　综合提升练]
10．如图所示，在水平桌面上有一个竖直转轴固定且过圆心的转盘，转盘半径为r，边缘绕有一条足够长的细轻绳，细绳末端系住一木块。已知木块与桌面之间的动摩擦因数μ＝。当转盘以角速度ω＝ rad/s旋转时，木块被带动一起旋转，达到稳定状态后，二者角速度相同。已知r＝1 m，重力加速度g＝10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．当ω＝ rad/s稳定时，绳子与木块和圆心的连线夹角为60°
B．当ω＝ rad/s稳定时，木块的线速度与圆盘边缘线速度大小之比为4∶1
C．当ω＝ rad/s稳定时，木块做圆周运动的半径为2 m
D．当ω＝ rad/s稳定时，绳子拉力大小为mg
答案：C
解析：设绳子与木块和圆心的连线夹角为θ，木块做匀速圆周运动，只有向心加速度没有切向加速度，对木块受力分析，沿切向方向，受到的滑动摩擦力f与运动方向相反，由平衡条件有Tsinθ＝μmg，垂直切向方向，由牛顿第二定律有Tcosθ＝mω2R，根据几何关系有sinθ＝，解得R＝2 m，θ＝30°，T＝mg，故A、D错误，C正确；木块的线速度v1＝ωR，圆盘边缘的线速度v2＝ωr，可得v1∶v2＝R∶r＝2∶1，故B错误。
11．某农场安装的一种自动浇水装置可以简化为如图所示的模型。农田中央O点处装有高度为h的竖直细水管，其上端安装有长度为l的水平喷水嘴。水平喷水嘴可以绕轴转动，角速度为ω＝，出水速度v0可调节，其调节范围满足ωl≤v0≤2ωl，重力加速度大小为g，忽略空气阻力。则下列说法正确的是(　　)
A．自动浇水装置能灌溉到的农田离O点最近距离为2l
B．自动浇水装置能灌溉到的农田离O点最远距离为l
C．自动浇水装置能灌溉到的农田面积为4πl2
D．自动浇水装置能灌溉到的农田面积为6πl2
答案：B
解析：装置喷出的水在空中做平抛运动，在竖直方向有h＝gt2，解得水在空中运动的时间t＝，水被喷出时，沿水平喷水嘴方向的出水速度为v0，垂直水平喷水嘴方向的水平速度为v1＝ωl，则沿水平喷水嘴方向的位移x0＝v0t，垂直水平喷水嘴方向的水平位移x1＝v1t＝ωlt＝·l·＝l，其中x0的范围满足ωlt＝l≤x0≤2ωlt＝2l，其俯视关系如图所示，根据几何关系可知，灌溉距离x＝，则自动浇水装置能灌溉到的农田离O点最近距离为xmin＝＝＝l，自动浇水装置能灌溉到的农田离O点最远距离为xmax＝＝＝l，故A错误，B正确；自动浇水装置能灌溉到的农田面积为S＝πx－πx＝π(l)2－π(l)2＝5πl2，故C、D错误。
12．如图所示，旋转秋千中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是(　　)
A．A的速度比B的大
B．A与B的向心加速度大小相等
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
答案：D
解析：设圆盘转动的角速度为ω，因为两座椅A、B均随着圆盘做圆周运动，故角速度ωA＝ωB＝ω，设绳长为l，绳的悬点到轴的距离为r时，绳与竖直方向的夹角为θ，则mgtanθ＝mω2(r＋lsinθ)，整理得r＝sinθ·，由题知rA1(共58张PPT)
第四章　曲线运动
第3讲　圆周运动
目录
1
2
3
教材阅读指导
考点一　圆周运动的描述
考点二　圆周运动的动力学问题
课时作业
6
教材阅读指导
(对应人教版必修第二册相关内容及问题)
第六章第1节[问题]，大、小两个齿轮边缘上的点，哪个运动得更快些？同一个齿轮上到转轴的距离不同的点，哪个运动得更快些？
　第六章第2节阅读“向心力”这一部分内容，向心力是按性质命名的力吗？对物体进行受力分析时分析向心力吗？
提示：大、小齿轮边缘上的点线速度大小相同。
同一个齿轮上到转轴的距离不同的点，角速度相同。
提示：向心力是由某个力或者几个力的合力提供的，是根据力的作用效果命名的。
对物体进行受力分析时不分析向心力。
　 第六章第2节[实验]，写出向心力大小的表达式。
　 第六章第2节阅读“变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点”这一部分内容，说一说变速圆周运动的受力特点，怎样处理一般的曲线运动？
提示：对变速圆周运动，将其所受合力F沿切线和半径方向分解，切向力Ft改变速度大小，指向圆心的合力Fn改变速度的方向。
研究一般的曲线运动时，将曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，这样就可以采用分析圆周运动的方法来进行处理。
　 第六章第3节[思考与讨论]，A、B、C三点中，哪两点适用于“向心加速度与半径成正比”？哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”？
　 第六章第4节图6．4 1、6．4 2和6．4 3，观察火车轮缘，火车转弯满足什么条件时车轮不受侧压力？速度过大哪边受侧压力？速度过小呢？
提示：当重力和支持力的合力刚好提供向心力时，车轮不受侧压力；速度过大时外侧受压力，速度过小时内侧受压力。
　 第六章[复习与提高]B组T3；T5；T6。
考点一　圆周运动的描述
快慢
ωr
m/s
转动快慢
rad/s或s－1
一周
圈数
Hz
r/s
r/min
方向
快慢
指向圆心
ω2r
m/s2
2．匀速圆周运动
(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小________，这种运动叫作匀速圆周运动。
(2)性质：加速度大小______、方向总是指向_____的变加速曲线运动。
(3)条件：有初速度，受到一个大小不变、方向始终与速度方向______且指向圆心的合力。
处处相等
不变
圆心
垂直
常见的三种传动方式及特点
(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
(2)摩擦(齿轮)传动：如图丙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
(3)同轴转动：如图丁所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即ωA＝ωB。
考点二　圆周运动的
动力学问题
一、向心力(Fn)
1．作用效果：产生向心加速度，只改变线速度的_____，不改变线速度的_____。
2．方向：指向_____，时刻在变。
3．来源：某个力，或某几个力的合力，或某个力的分力。
4．公式：Fn＝ _____ ＝ _____ 。
5．单位： _____ 。
方向
大小
圆心
mω2r
N
匀速圆周运动 变速圆周运动
运动特点 线速度的大小____，角速度、周期和频率都____，向心加速度的大小____ 线速度的大小、方向都____，角速度____，向心加速度的大小、方向都变，周期可能变也________
受力特点 所受到的_____为向心力， 大小不变，方向变，其 方向时刻____________ 所受到的合力__________，合力产
生两个效果：
(1)沿半径方向的分力____，即向心
力，它改变速度的_____；
(2)沿切线方向的分力___，它改变
速度的______
运动性质 变加速曲线运动(加速度大小不变，方向变化) 变加速曲线运动(加速度大小、方向都变化)
二、匀速圆周运动与变速圆周运动
不变
不变
不变
变
变
可能不变
合力
指向圆心
不指向圆心
Fn
方向
Ft
大小
三、离心现象
1．离心运动
(1)定义：做_________的物体，在向心力突然消失或合力不足以提供所需的_______时，所做的逐渐远离圆心的运动。
(2)本质：做圆周运动的物体，由于____，总有沿着________飞出去的倾向。
圆周运动
向心力
惯性
切线方向
(3)受力特点
①当F＝mω2r时，物体做__________运动。
②当F③当F＝0时，物体沿_____方向飞出。
2．近心运动：当F>mω2r时，物体将逐渐______圆心，做近心运动。
匀速圆周
远离
切线
靠近
1．做圆周运动的物体，一定受到向心力的作用，所以分析受力时，必须指出受到的向心力。(　　)
2．匀速圆周运动是匀变速曲线运动，变速圆周运动是变加速曲线运动。(　　)
3．在光滑的水平路面上，汽车不可以转弯。(　　)
4．摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故。(　　)
5．火车转弯速率小于规定的数值时，内轨受到的压力会增大。(　　)
×
×
√
×
√
1．圆周运动动力学问题的解题方法
(1)对研究对象进行受力分析，确定向心力来源。
(2)确定圆周运动的轨道平面，确定圆心和轨道半径。
(3)应用牛顿运动定律和圆周运动知识列方程求解。
2．向心力分析实例
运动模型 向心力的来源
汽车在水平路面转弯
水平转台 (光滑)
飞机水平转弯
火车转弯
圆锥摆
物体在光滑半圆形碗内做匀速圆周运动
例3　(多选)某飞船发射升空后，进入椭圆轨道，然后实施变轨进入距地球表面约343 km的圆形轨道。已知飞船的质量约为8000 kg，飞船约90 min绕地球一圈，地球半径约为6．37×103 km，π取3．14，下列判断正确的是(　　)
A．飞船在圆形轨道上运行时的向心加速度大小约为0．46 m/s2
B．飞船在圆形轨道上运行时的向心加速度大小约为9．08 m/s2
C．飞船在圆形轨道上运行时所受的向心力大小约为0．37×104 N
D．飞船在圆形轨道上运行时所受的向心力大小约为7．26×104 N
例4　荡秋千是儿童喜爱的一项体育运动，当秋千从最高点向下荡到如图所示位置时，小孩的加速度方向可能是图中的(　　)
A．a方向 B．b方向
C．c方向 D．d方向
解析　秋千从最高点向下荡的过程中，小孩的速率逐渐增大，在如图所示位置时，小孩的速度不为零，故加速度沿半径方向的分量不为零，且小孩的加速度沿圆弧的切线方向的分量不为零，即小孩的加速度方向可能是图中的c方向，故选C。 　
例5　图1所示是一种叫“旋转飞椅”的游乐项目，将其结构简化为图2所示的模型。长L＝3 m的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径r＝3 m的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。转盘匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角θ＝37°。将游客和座椅看作一个质点，质量m＝60 kg，不计钢绳重力和空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，sin37°＝0．6，cos37°＝0．8，求游客和座椅随转盘做匀速圆周运动时：
(1)钢绳的拉力大小T；
(2)向心力的大小Fn；
(3)线速度的大小v。
答案　(1)750 N　(2)450 N　(3)6 m/s
跟进训练　(2025·江苏省宿迁中学高三上8月月考)如图，汽车在铺设沥青的高速公路上行驶时，轮胎与地面的动摩擦因数μ＝0．4，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2。
(1)在此高速公路上转弯时，假设对汽车的设计限速
为12 m/s，求水平弯道的最小半径；
(2)若弯道路面设计为倾斜(内低外高)，弯道半径为250 m，路面倾角为θ，且tanθ＝0．05，要使汽车通过此弯道时不产生侧向摩擦力，求汽车通过弯道时的速度大小。
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．(2025·江苏省南通市海安市高三上学期期初学业质量检测)A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，如图所示，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们的(　　)
A．线速度大小之比为2∶3
B．角速度大小之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为9∶8
D．向心加速度大小之比为2∶1
3．(2024·广东省深圳市高三下模拟)为防止人类太空航行长期处于失重环境中引起的健康问题，科学家们设想将太空飞船建造成轴对称环形结构，通过圆环绕中心轴匀速转动使航天员产生模拟重力效果。若圆环的直径为40 m，航天员(可视为质点)站立于圆环内壁时，为产生与宇航员在地球表面相
同的重力效果，则圆环转动的角速度ω约为(　　)
A．0．7 rad/s B．1．4 rad/s
C．7 rad/s D．14 rad/s
4．(2024·广西南宁市高三下二模)如图1所示，修正带是一种常见的学习用具，是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，其原理可简化为图2中所示的模型。A、B是转动的大小齿轮边缘的两点，C是大齿轮上的一点，若A、B、C的轨道半径之比为2∶3∶2，则A、B、C的向心加速度大小之比为(　　)
A．9∶6∶4 B．9∶6∶2
C．6∶4∶3 D．6∶3∶2
6．荡秋千是小朋友们最喜欢的游戏之一，如图为一秋千模型，水平横梁与每一根绳间装有力传感器，质量为40 kg的小朋友坐在秋千上，小朋友重心离系绳子的水平横梁垂直距离为2 m。若秋千板摆到最低点时，每一根绳上的拉力显示为450 N，忽略板和绳的质量，重力加速度g取10 m/s2，则
小孩在此位置运动的速度大小约为(　　)
A．1．5 m/s B．3．0 m/s
C．5．0 m/s D．7．5 m/s
7．辽宁舰质量为m＝6×106 kg，如图是辽宁舰在海上转弯时的照片，假设整个过程中辽宁舰做匀速圆周运动，速度大小为20 m/s，圆周运动的半径为
1000 m，下列说法中正确的是(　　)
A．在A点时水对辽宁舰的合力指向圆心
B．在A点时水对辽宁舰的合力大小约为F＝6．0×107 N
C．在A点时水对辽宁舰的合力大小约为F＝2．4×106 N
D．在A点时水对辽宁舰的合力大小为0
8．(多选)滚筒洗衣机静止于水平地面上，衣物随着滚筒一起在竖直平面内做高速匀速圆周运动，以达到脱水的效果，滚筒截面如图所示，A点为最高点，B点为最低点，CD为水平方向的直径，下列说法正确的有(　　)
A．衣物运动到A点时处于超重状态
B．衣物运动到B点时脱水效果最好
C．衣物运动到C点或D点时，洗衣机对地面的摩擦力不为零
D．衣物在B点时，洗衣机对地面的压力等于洗衣机的重力
衣物运动到C点或D点时，根据力的合成与分解可知，洗衣机对衣物作用力的水平分力提供衣物做圆周运动的向心力，由牛顿第三定律可知，此时衣物对洗衣机在水平方向的作用力不为零，而洗衣机是静止的，由平衡条件可知，地面对洗衣机的摩擦力不为零，根据牛顿第三定律可知，衣物运动到C点或D点时，洗衣机对地面的摩擦力不为零，故C正确。
9．场地自行车比赛的圆形赛道是一个内倾斜路面，路面与水平面的倾角为15°。某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动，其速度v＝13 m/s时，自行车恰好不受侧向摩擦力作用。已知自行车和运动员的质量一共是100 kg，不考虑空气阻力，g取10 m/s2，已知sin15°≈tan15°≈0．26，cos15°≈0．97。
(1)求圆形赛道的半径；
(2)若圆形赛道的倾角改为37°，该运动员骑自行车仍然以
13 m/s的速度沿该赛道做匀速圆周运动，求此时自行车所受
的侧向摩擦力大小。(sin37°＝0．6，cos37°＝0．8)
答案：(1)65 m　(2)392 N
12．如图所示，旋转秋千中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是(　　)
A．A的速度比B的大
B．A与B的向心加速度大小相等
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小

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