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物理
第讲　专题：圆周运动的临界和极值问题
考点一　水平面内圆周运动的临界和极值问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
(1)如果只有摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。
(2)如果除摩擦力以外还有其他力提供向心力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界状态和一个恰不向外滑动的临界状态，则临界条件分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
2．与弹力有关的临界极值问题
(1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。
例1　(多选)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则(　　)
A．该弯道的半径r＝
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率小于v时，内轨将受到轮缘的挤压
[答案]　ABD
[解析]　当火车以速度v转弯时，恰好由重力和支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可得mgtanθ＝m，解得r＝，v＝，可知该临界速度与火车质量无关，故当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变，A、B正确；当火车速率大于v时，重力与支持力的合力不足以提供向心力，火车有做离心运动的趋势，故外轨将受到轮缘的挤压，C错误；当火车速率小于v时，重力与支持力的合力大于所需的向心力，火车有做近心运动的趋势，内轨将受到轮缘的挤压，D正确。
例2　(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．a绳的张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω>，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
[答案]　AC
[解析]　小球在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上所受的合力为零，水平方向上所受的合力提供向心力，所以a绳对小球的拉力在竖直方向上的分力与小球的重力平衡，可知a绳的张力不可能为零，故A正确；根据竖直方向上小球受力平衡得，Fasinθ＝mg，解得Fa＝，可知a绳的张力与角速度ω无关，故B错误；当b绳弹力恰好为零时，有＝mωl，解得ω0＝，可知当角速度ω>时，b绳将出现弹力，故C正确；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故D错误。
例3　如图所示，质量分别为m、2m、3m的物块a、b、c，放置在水平圆盘上随圆盘一起以角速度ω匀速转动，其中物块a、b叠放在一起。图中各接触面间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，a、b和c与转轴的距离分别为r和1．5r。下列说法正确的是(　　)
A．b对a的摩擦力为μmg
B．圆盘对b的摩擦力为2mω2r
C．圆盘的角速度满足ω≤
D．圆盘的角速度满足ω≤
[答案]　D
[解析]　对物块a、b整体分析，圆盘对b的静摩擦力fb提供向心力，则fb＝(m＋2m)ω2r＝3mω2r，对a进行受力分析，b对a的静摩擦力fa提供向心力，则fa＝mω2r，且fa≤μmg，A、B错误；对c进行受力分析，圆盘对c的静摩擦力fc提供向心力，有fc＝3mω2×1．5r，当c恰好未相对圆盘滑动时，fc＝μ×3mg，可解得此时圆盘对应的角速度ωc＝，根据A、B项分析同理可知，a、b分别恰未相对圆盘滑动时，圆盘对应的角速度ωa＝，ωb＝，故圆盘的角速度满足ω≤ωc＝，C错误，D正确。
考点二　竖直面内圆周运动的临界和极值问题
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、物体沿内轨道运动等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接、物体在弯管内运动等)，称为“杆(管)约束模型”。
2．绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型 杆模型
常见 类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球
受力特征 在最高点除重力外，物体受到的弹力向下或等于零 在最高点除重力外，物体受到的弹力向下、等于零或向上
受力示意图
过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球恰能做完整的圆周运动得v临＝0
讨论 分析 (1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN； (2)不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心； (2)当0时，FN＋mg＝m，FN指向圆心，并随v的增大而增大
例4　(2025·山东省临沂市第三中学高三上10月月考)(多选)如图甲、乙所示，分别用长度均为1 m的轻质细绳和轻质细杆的一端连接质量均为1 kg的小球A、B，另一端分别固定在O、O′点，现让A、B两小球分别绕O、O′点在竖直平面内做圆周运动，小球均可视为质点，不计空气阻力和与转轴的摩擦阻力，重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A．A球做圆周运动到最高点的最小速度为 m/s
B．B球做圆周运动到最高点的最小速度为 m/s
C．某次A、B两球运动到最高点对绳、杆的作用力大小分别为2 N、5 N，则此时A、B两球经过最高点时的速度大小之比可能为2∶5
D．某次A、B两球运动到最高点对绳、杆的作用力大小分别为2 N、5 N，则此时A、B两球经过最高点时的速度大小之比可能为2∶
[答案]　ACD
[解析]　A球与细绳相连，则恰好能到最高点时有mg＝m，解得A球做圆周运动到最高点的最小速度为v1＝＝ m/s，故A正确。B球与杆相连，做圆周运动到最高点的最小速度为v2＝0，故B错误。某次A、B两球运动到最高点对绳、杆的作用力大小分别为FA＝2 N、FB＝5 N，根据牛顿第二定律，A球在最高点时有FA＋mg＝m，代入数据解得其经过最高点时的速度大小v3＝2 m/s；对B球有两种情况，当杆对B球的作用力为支持力时，有mg－FB＝m，代入数据解得其经过最高点时的速度大小v4＝ m/s；当杆对B球的作用力为拉力时，有mg＋FB＝m，代入数据解得其经过最高点时的速度大小v5＝ m/s，则小球A、B在最高点的速度大小之比为v3∶v4＝2∶5或v3∶v5＝2∶，故C、D正确。
竖直面内圆周运动问题的解题思路
跟进训练　(多选)如图所示，质量为m的小球置于内表面光滑的正方体盒子中，盒子的棱长略大于球的直径。某同学拿着这个盒子在竖直面内做半径为R的匀速圆周运动，盒子在运动过程中不发生转动，已知重力加速度为g，盒子经过最高点A时与小球间恰好无作用力。以下说法正确的是(　　)
A．该盒子做匀速圆周运动的线速度为
B．该盒子做匀速圆周运动的周期为2π
C．盒子经过最低点C时与小球之间的作用力大小为2mg
D．盒子经过与圆心O等高处的B点时，小球对盒子左壁的压力大小为mg
答案：CD
解析：盒子经过最高点A时与小球间恰好无作用力，此时由小球的重力提供向心力，有mg＝m，则该盒子做匀速圆周运动的线速度为v＝，周期为T＝＝2π，故A、B错误；盒子经过最低点C时，盒子对小球的作用力与小球重力的合力提供向心力，有N－mg＝m，解得盒子对小球的作用力大小N＝2mg，故C正确；盒子经过与圆心O等高处的B点时，由盒子左壁对小球水平向右的压力Fx提供向心力，有Fx＝m＝mg，根据牛顿第三定律，小球对盒子左壁的压力大小为F压＝Fx＝mg，故D正确。
例5　如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面且过圆盘圆心的固定转轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2．5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2。则ω的最大值是(　　)
A． rad/s B． rad/s
C．1．0 rad/s D．0．5 rad/s
[答案]　C
[解析]　当物体随圆盘转到最低点恰好要滑动时，圆盘的角速度最大，其受力如图所示(其中O为转轴位置)，由沿盘面的合力提供向心力，有μmgcos30°－mgsin30°＝mωR，得ωmax＝＝1．0 rad/s，故选C。
与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。物体在斜面上与斜面相对静止做圆周运动时，一般受摩擦力(如例5所示)，还要参照水平面内圆周运动的临界问题分析。
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第四章　曲线运动
第4讲　专题：圆周运动的临界和极值问题
目录
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考点一　水平面内圆周运动的临界和极值问题
考点二　竖直面内圆周运动的临界和极值问题
考点一　水平面内圆周运动的临界和极值问题
2．与弹力有关的临界极值问题
(1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。
考点二　竖直面内圆周运动的临界和极值问题
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、物体沿内轨道运动等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接、物体在弯管内运动等)，称为“杆(管)约束模型”。
2．绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型 杆模型
常见 类型 均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
受力特征 在最高点除重力外，物体受到的弹力向下或等于零 在最高点除重力外，物体受到的弹力向下、等于零或向上
受力示意图
竖直面内圆周运动问题的解题思路
与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。物体在斜面上与斜面相对静止做圆周运动时，一般受摩擦力(如例5所示)，还要参照水平面内圆周运动的临界问题分析。

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