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物理
第讲　抛体运动
(对应人教版必修第二册相关内容及问题)
　第五章第4节阅读“平抛运动的速度”这一部分内容，思考要使物体做平抛运动，应该保证什么前提？平抛运动是匀变速运动吗？
提示：初速度沿水平方向，只受重力；平抛运动是匀变速曲线运动，a＝g。
　第五章第4节[思考与讨论]，试导出斜抛物体运动的轨迹表达式。
提示：由x＝v0cosθ·t和y＝v0sinθ·t－gt2，得：y＝xtanθ－x2。
　第五章[复习与提高]A组T7。
提示：设A、B间距离为L，
Lcos30°＝v0t
Lsin30°＝gt2
联立得：v0＝10 m/s，t＝2 s。
设运动员在空中距坡面最远时经历时间为t′，则
v0sin30°＝gcos30°·t′
t′＝＝1 s
离坡面的最大距离d＝t′＝ m。
　第五章[复习与提高]B组T2。
提示：设水从管口落到地面的时间为t，竖直方向的位移为h，水平方向的位移为L，则有h＝gt2，L＝vt，联立得v＝L。设管口直径为D，每秒排污体积V＝πv＝。
可见，需要测量D、L、h。
考点一　平抛运动的基本规律
一、抛体运动
1．定义：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力的作用，这时的运动叫作抛体运动。
2．运动的性质：加速度为g的匀变速运动。
二、平抛运动
1．定义：初速度沿水平方向的抛体运动。
2．条件：①v0≠0，且沿水平方向；②只受重力的作用。
三、平抛运动的基本规律
1．研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
2．基本规律(如图所示)
(1)速度
(2)位移
(3)轨迹方程：y＝x2。可知平抛运动的轨迹是抛物线。
1．以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。(　　) 2．做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大。(　　) 3．做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量相同。(　　) 4．平抛运动的时间由高度决定。(　　) 5．平抛运动是匀变速曲线运动，速度不断变大。(　　) 答案：1．×　2．×　3．√　4．√　5．√
关于平抛运动必须掌握的四个物理量
物理量 相关分析
飞行时间(t) t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关
水平射程(x) x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定
落地速度(v) v＝＝，以θ表示落地时速度与水平方向间的夹角，有tanθ＝＝，所以落地速度由初速度v0和下落高度h共同决定
速度的改变量(Δv) 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均为Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下，如图所示
拓展：类平抛运动
(1)定义：如果质点受到的合力是恒力，且与初速度垂直，则质点的运动与平抛运动类似，轨迹是抛物线，这类运动叫作类平抛运动。例如，带电粒子垂直射入匀强电场，做类平抛运动。
(2)求解方法：运动的合成与分解。
例1　(2024·海南高考)在跨越河流表演中，一人骑车以25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25 m，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则两平台的高度差h为(　　)
A．0．5 m B．5 m
C．10 m D．20 m
[答案]　B
[解析]　车冲出平台后做平抛运动，设其做平抛运动的时间为t，竖直方向有h＝gt2，水平方向有x＝v0t，其中水平位移x＝25 m，初速度v0＝25 m/s，联立解得h＝5 m，故选B。
例2　(多选)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则(　　)
A．A和B的位移大小相等 B．A的运动时间是B的2倍
C．A的初速度是B的 D．A的末速度比B的大
[答案]　AD
[解析]　位移为由初位置到末位置的有向线段，由图可得A、B的位移大小分别为sA＝＝l，sB＝＝l，故A和B的位移大小相等，A正确；小球A、B在竖直方向上做自由落体运动，则A、B的运动时间分别为tA＝＝2，tB＝，故A的运动时间是B的倍，B错误；小球A、B在水平方向上做匀速直线运动，则A、B的初速度分别为vxA＝＝，vxB＝＝，故A的初速度是B的，C错误；小球A、B在竖直方向上的末速度分别为vyA＝＝2，vyB＝，所以A、B的末速度分别为vA＝＝，vB＝＝2＝，故A的末速度比B的大，D正确。
考点二　受斜面、曲面约束的平抛运动
做平抛运动的物体，落点不在水平面上，而是在斜面、竖直面、弧面上时，应将平抛运动的知识与几何知识结合起来，分解速度或分解位移，在水平方向和竖直方向分别列式求解。
1．常见的模型
已知条件 情境示例 解题策略
已知速度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上(如图所示)，末速度的方向垂直于斜面 分解速度：tanθ＝＝，t＝
从斜面外平抛，恰好从斜面顶点无碰撞切入斜面(如图所示)，末速度方向沿斜面方向 分解速度：tanθ＝＝，t＝
从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道(如图所示)，末速度方向沿该点圆弧的切线方向
已知位移方向 从斜面上平抛又落到斜面上(如图所示)，位移的方向沿斜面向下 分解位移：tanθ＝＝＝，t＝
从斜面外平抛，落在斜面上位移最小(如图所示)，位移方向垂直于斜面 分解位移：tanθ＝＝＝，t＝
利用位移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上(如图所示)，位移大小等于半径R x＝v0t，y＝gt2，x2＋y2＝R2
从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上(如图所示)，水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 x＝R＋Rcosθ＝v0t，y＝Rsinθ＝gt2，(x－R)2＋y2＝R2
2．平抛运动的两个重要推论
(1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
(2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ＝2tanα。如图所示。
例3　(2025·广东省阳江市高三上期中)国家跳台滑雪中心是中国首座跳台滑雪场馆，主体建筑灵感来自于中国传统饰物“如意”，因此被形象地称作“雪如意”。如图所示，现有两名运动员(均视为质点)从跳台a处先后沿水平方向向左飞出，其速度大小之比为v1∶v2＝2∶1，不计空气阻力，则两名运动员从飞出至落到斜坡(可视为斜面)上的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．他们飞行时间之比为t1∶t2＝1∶2
B．他们飞行的水平位移之比为x1∶x2＝2∶1
C．他们在空中离坡面的最大距离之比为s1∶s2＝2∶1
D．他们落到坡面上的瞬时速度方向与水平方向的夹角之比为θ1∶θ2＝1∶1
[答案]　D
[解析]　设坡面与水平方向的夹角为α，根据x＝v0t、y＝gt2、y＝xtanα，可得t＝，则＝＝，故A错误；根据x＝v0t＝，可得＝＝，故B错误；把运动员的运动分解为沿斜面方向的分运动和垂直斜面方向的分运动，运动员在垂直斜面方向上做初速度为v0sinα、加速度大小为gcosα的类竖直上抛运动，当该方向的分速度减小到零时，运动员离坡面距离最大，最大距离为s＝，则＝＝，故C错误；根据平抛运动的推论：瞬时速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的两倍，可知两人落到斜坡上的瞬时速度方向一定相同，故D正确。
例4　水车是我国劳动人民利用水能的一项重要发明。如图为某景观水车模型，水从槽口水平流出，某时刻正好垂直落在与水平面成30°角的轮叶边缘上，轮叶在水流不断冲击下而转动。已知水车轮轴到轮缘距离为R，槽口到水车轮轴所在水平面距离为2R，忽略空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)水流从槽口到轮叶的运动时间t；
(2)水流初速度v0的大小和打在轮叶上的速度v的大小。
[答案]　(1)　(2)　2
[解析]　(1)由几何知识知，水流从槽口到轮叶，下落的高度为h＝2R－Rsin30°
竖直方向上水做自由落体运动，有h＝gt2
解得t＝。
(2)设水流垂直落到轮叶边缘时竖直方向的分速度为vy，则vy＝gt
水流垂直落在与水平面成30°角的轮叶边缘上，则tan30°＝
水流打在轮叶上的速度的大小为v＝
联立可解得v0＝，v＝2。
考点三　斜抛运动
1．斜抛运动的定义：物体被抛出时的速度v0不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方的抛体运动。
2．斜抛运动的条件：①v0≠0，且沿斜向上方或斜向下方；②只受重力的作用。
1．斜抛运动的分析
斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动。斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
以斜上抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。
初速度可以分解为v0x＝v0cosθ，v0y＝v0sinθ。在水平方向，物体的位移和速度分别为
x＝v0xt＝(v0cosθ)t　①
vx＝v0x＝v0cosθ　②
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
y＝v0yt－gt2＝(v0sinθ)t－gt2　③
vy＝v0y－gt＝v0sinθ－gt　④
2．斜上抛运动的极值
结合1中分析，在最高点，vy＝0，由④式得
t＝　⑤
将⑤式代入③式得物体的射高ym＝　⑥
物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，
由③式得总时间t总＝　⑦
将⑦式代入①式得物体的射程xm＝
当θ＝45°时，sin2θ最大，射程最大。
所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大。
3．斜上抛运动的处理技巧
(1)对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆向看成平抛运动。
(2)分析完整的斜上抛运动时，可根据对称性求解某些问题。
例5　(多选)如图所示，小球以v0＝10 m/s的瞬时速度从水平地面斜向右上方抛出，速度方向与水平方向的夹角是53°，不计空气阻力，下列说法正确的是(取g＝10 m/s2，sin53°＝0．8，cos53°＝0．6)(　　)
A．小球到达最高点时的瞬时速度为零
B．小球离地面的最大高度是3．2 m
C．小球在空中的运动时间是0．8 s
D．保持小球速度大小不变，改变速度方向，小球的水平分位移(射程)的最大值是10 m
[答案]　BD
[解析]　小球做斜上抛运动，水平方向的初速度vx＝v0cos53°＝6 m/s，竖直方向的初速度vy＝v0sin53°＝8 m/s，当小球到达最高点时，竖直方向的分速度减为零，水平方向的分速度不变，则速度大小为6 m/s，故A错误；小球离地面的最大高度为h＝＝3．2 m，故B正确；小球在空中运动的时间为t＝＝1．6 s，故C错误；保持小球速度大小不变，设初速度与水平方向的夹角为θ，则有vx′＝v0cosθ，vy′＝v0sinθ，小球的水平分位移为x＝vx′t＝v0cosθ×2×＝2v0cosθ＝，则当sin2θ＝1即θ＝45°时，小球的水平分位移(射程)达到最大，为xm＝＝10 m，故D正确。
例6　(2021·江苏高考)如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是(　　)
A．A比B先落入篮筐
B．A、B运动的最大高度相同
C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小
D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同
[答案]　D
[解析]　若研究两个过程的逆过程，可看作是从篮筐沿同方向斜向上抛出的斜抛运动，落到同一高度上的两点，则A对应的逆过程，运动距离较长，初速度较大，水平分速度和竖直分速度均较大，上升的最大高度较大，运动时间较长，在最高点的速度即初速度的水平分量较大，由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，A、B、C错误，D正确。
9(共36张PPT)
第四章　曲线运动
第2讲　抛体运动
目录
1
2
3
教材阅读指导
考点一　平抛运动的基本规律
考点二　受斜面、曲面约束的平抛运动
考点三 斜抛运动
4
教材阅读指导
(对应人教版必修第二册相关内容及问题)
　 第五章第4节阅读“平抛运动的速度”这一部分内容，思考要使物体做平抛运动，应该保证什么前提？平抛运动是匀变速运动吗？
　第五章第4节[思考与讨论]，试导出斜抛物体运动的轨迹表达式。
提示：初速度沿水平方向，只受重力；平抛运动是匀变速曲线运动，a＝g。
第五章[复习与提高]A组T7。
　 第五章[复习与提高]B组T2。
考点一　平抛运动的基本规律
一、抛体运动
1．定义：以___________将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受______的作用，这时的运动叫作抛体运动。
2．运动的性质：加速度为g的_______运动。
二、平抛运动
1．定义：初速度沿__________的抛体运动。
2．条件：①v0≠0，且沿__________；②只受______的作用。
一定的速度
重力
匀变速
水平方向
水平方向
重力
三、平抛运动的基本规律
1．研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的_________运动和竖直方向的_________运动。
2．基本规律(如图所示)
匀速直线
自由落体
(1)速度
(2)位移
(3)轨迹方程：y＝______。可知平抛运动的轨迹是___________。
gt
v0t
抛物线
1．以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。(　　)
2．做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大。(　　)
3．做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量相同。(　　)
4．平抛运动的时间由高度决定。(　　)
5．平抛运动是匀变速曲线运动，速度不断变大。(　　)
×
×
√
√
√
拓展：类平抛运动
(1)定义：如果质点受到的合力是恒力，且与初速度垂直，则质点的运动与平抛运动类似，轨迹是抛物线，这类运动叫作类平抛运动。例如，带电粒子垂直射入匀强电场，做类平抛运动。
(2)求解方法：运动的合成与分解。
例1　(2024·海南高考)在跨越河流表演中，一人骑车以25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25 m，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则两平台的高度差h为(　　)
A．0．5 m B．5 m
C．10 m D．20 m
考点二　受斜面、曲面约束的平抛运动
做平抛运动的物体，落点不在水平面上，而是在斜面、竖直面、弧面上时，应将平抛运动的知识与几何知识结合起来，分解速度或分解位移，在水平方向和竖直方向分别列式求解。
2．平抛运动的两个重要推论
(1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
(2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ＝2tanα。如图所示。
例3　(2025·广东省阳江市高三上期中)国家跳台滑雪中心是中国首座跳台滑雪场馆，主体建筑灵感来自于中国传统饰物“如意”，因此被形象地称作“雪如意”。如图所示，现有两名运动员(均视为质点)从跳台a处先后沿水平方向向左飞出，其速度大小之比为v1∶v2＝2∶1，不计空气阻力，则两名运动员从飞出至落到斜坡(可视为斜面)上的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．他们飞行时间之比为t1∶t2＝1∶2
B．他们飞行的水平位移之比为x1∶x2＝2∶1
C．他们在空中离坡面的最大距离之比为s1∶s2＝2∶1
D．他们落到坡面上的瞬时速度方向与水平方向的夹角之比为θ1∶θ2＝1∶1
例4　水车是我国劳动人民利用水能的一项重要发明。如图为某景观水车模型，水从槽口水平流出，某时刻正好垂直落在与水平面成30°角的轮叶边缘上，轮叶在水流不断冲击下而转动。已知水车轮轴到轮缘距离为R，槽口到水车轮轴所在水平面距离为2R，忽略空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)水流从槽口到轮叶的运动时间t；
(2)水流初速度v0的大小和打在轮叶上的速度v的大小。
考点三　斜抛运动
1．斜抛运动的定义：物体被抛出时的速度v0不沿水平方向，而是_________或__________的抛体运动。
2．斜抛运动的条件：①v0≠0，且沿___________________；②只受______的作用。
斜向上方
斜向下方
斜向上方或斜向下方
重力
1．斜抛运动的分析
斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动。斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
以斜上抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。
3．斜上抛运动的处理技巧
(1)对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆向看成平抛运动。
(2)分析完整的斜上抛运动时，可根据对称性求解某些问题。
例5　(多选)如图所示，小球以v0＝10 m/s的瞬时速度从水平地面斜向右上方抛出，速度方向与水平方向的夹角是53°，不计空气阻力，下列说法正确的是(取g＝10 m/s2，sin53°＝0．8，cos53°＝0．6)(　　)
A．小球到达最高点时的瞬时速度为零
B．小球离地面的最大高度是3．2 m
C．小球在空中的运动时间是0．8 s
D．保持小球速度大小不变，改变速度方向，小球的水平分位移(射程)的最大值是10 m
例6　(2021·江苏高考)如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是(　　)
A．A比B先落入篮筐
B．A、B运动的最大高度相同
C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小
D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同
解析　若研究两个过程的逆过程，可看作是从篮筐沿同方向斜向上抛出的斜抛运动，落到同一高度上的两点，则A对应的逆过程，运动距离较长，初速度较大，水平分速度和竖直分速度均较大，上升的最大高度较大，运动时间较长，在最高点的速度即初速度的水平分量较大，由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，A、B、C错误，D正确。 　

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