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物理
第讲　万有引力定律及其应用
(对应人教版必修第二册相关内容及问题)
　第七章第1节阅读“开普勒定律”的有关内容，写出开普勒行星运动定律的表述。
提示：开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。
　第七章第1节阅读“行星轨道简化为圆轨道”的有关内容，写出对行星运动轨道简化为圆轨道后的开普勒三个定律的表述。
提示：(1)行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。
(2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做匀速圆周运动。
(3)所有行星轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即＝k。
　第七章第1节[练习与应用]T2。
提示：近地点的速度较大。
　第七章第2节阅读“行星与太阳间的引力”这一部分内容，太阳与行星间引力的公式是依据什么推导出来的？
提示：依据开普勒行星运动定律和圆周运动向心力公式及牛顿第三定律推导出来的。
　第七章第2节阅读“月—地检验”这一部分内容，什么是月—地检验？
提示：验证地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力是否遵从相同的规律。
　第七章第2节阅读“引力常量”这部分内容及后面的[拓展学习]，引力常量是如何测得的？数值为多少？
提示：英国物理学家卡文迪什利用扭秤装置测得G＝6．67×10－11 N·m2/kg2。
　第七章第3节，万有引力理论的成就有哪些？
提示：“称量”地球的质量、计算天体的质量、发现未知天体、预言哈雷彗星回归。
　第七章[复习与提高]B组T2；T3。
提示：T2：将行星看作球体，设半径为R，质量为m星，则行星的密度为ρ＝＝。卫星贴近行星表面运行时，运动半径为R，由万有引力提供向心力可知＝mR，即m星＝。由此可以解得ρT2＝，式中G为引力常量，可见ρT2是一个对任何行星都相同的常数。
温馨提示：当卫星贴着行星表面飞行时，只要有一个计时工具就可以知道行星的密度。
T3：。质量分布均匀的球体之间的万有引力可以等效为质量集中在两球心的两个质点之间的万有引力，直接代公式可求。本题采用先填补成完整的球体，再减去补上的小球部分产生的引力的方法来求解。
考点一　开普勒定律
1．定律内容
(1)开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
(2)开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
(3)开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等，即＝k。
2．适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。
1．微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内的运动可看作匀速直线运动，由开普勒第二定律可知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。可推知，行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。
2．行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。
3．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
4．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在绕同一中心天体公转的星体之间。
例1　有关开普勒三大定律，结合地球和火星的轨道示意图，下列说法正确的是(　　)
A．地球靠近太阳的过程中，运行速度的大小不变
B．地球绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上
C．在相等时间内，火星和太阳的连线扫过的面积与地球和太阳的连线扫过的面积相等
D．火星绕太阳运行一周的时间比地球绕太阳运行一周的时间短
[答案]　B
[解析]　根据开普勒第二定律可知，对同一个行星而言，行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等，故地球靠近太阳的过程中，运行速度的大小将增大，故A错误；开普勒第二定律仅对同一行星适用，故C错误；根据开普勒第一定律可知，行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上，地球也不例外，故B正确；根据开普勒第三定律可知，所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，由于火星轨道的半长轴比地球的大，所以火星绕太阳运行一周的时间比地球的长，故D错误。
例2　(人教版必修第二册·第七章第3节[练习与应用]T4节选)地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆，如图所示，天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年左右。
请根据开普勒行星运动定律估算哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的多少倍。
[答案]　17．8
[解析]　设地球绕太阳公转的轨道半径为R0，周期为T0，哈雷彗星绕太阳公转的轨道半长轴为a，周期为T，由题意可知T＝2061年－1986年＝75年
根据开普勒第三定律＝k，有＝
则＝≈17．8。
考点二　万有引力定律　万有引力与重力的关系
1．万有引力定律的内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
2．公式：F＝G，其中G叫作引力常量，G＝6．67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。
3．公式的适用条件：计算两个质点间的万有引力。
(1)当物体不能看成质点时，可以把物体分成若干部分，求出两物体每部分之间的万有引力，然后矢量求和计算它们的合力。
(2)两个质量分布均匀的球体之间的万有引力，等于位于两球心处、质量分别与两球体相等的质点间的万有引力。
4．万有引力理论的主要成就
(1)发现未知天体。
(2)计算天体质量。
1．万有引力与重力的关系
如图所示，地球对物体的万有引力F可分解为：重力mg、提供物体随地球自转的向心力F向。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg0。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，通常可认为万有引力近似等于重力，即＝mg。
2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面的重力加速度g(不考虑地球自转的影响)：由＝mg，得g＝。
(2)地球上空的重力加速度：设地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，则mg′＝，得g′＝。
例3　(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　)
A．0．2 B．0．4
C．2．0 D．2．5
[答案]　B
[解析]　设该物体质量为m，则在火星表面有F火＝G，在地球表面有F地＝G，由题意知＝，＝。联立以上各式可得＝·＝×＝0．4，故B正确。
例4　某行星为质量分布均匀的球体，半径为R、质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1．1倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　B
[解析]　设该行星“赤道”上某处的重力加速度大小为g，该行星自转的角速度为ω，物体的质量为m，物体在“两极”处所受行星的万有引力大小等于重力大小，即G＝1．1mg，物体在“赤道”上某处时所受行星的万有引力按效果进行分解，有G＝mg＋mω2R，联立解得ω＝，故选B。
例5　如图所示，《流浪地球2》影片中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时，质量为2．5 kg的物体重力为16 N。已知地球半径为6371 km，不考虑地球自转，地球表面处重力加速度g取10 m/s2，则此时太空电梯距离地面的高度约为(　　)
A．1593 km B．3584 km
C．7964 km D．9955 km
[答案]　A
[解析]　设地球的质量为M，物体的质量为m，此时太空电梯距离地面的高度为h，太空电梯所在位置处的重力加速度为g′，不考虑地球自转，则物体所受重力等于地球的引力，根据万有引力公式，物体在地球表面时，有G＝mg，物体在太空电梯中距地面h高度处，有G＝mg′，两式相比可得＝，由题意知，mg′＝16 N，又mg＝2．5×10 N＝25 N，解得h＝R＝1593 km，故选A。
考点三　天体质量和密度的估算
1．重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G＝mg得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
2．天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G＝m得天体质量M＝。
(2)若已知天体半径R，则天体密度ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
注：若已知的量不是r、T，而是r、v或v、T等，计算中心天体质量和密度的思路相同。若已知r、v，利用G＝m得M＝。若已知v、T，可先求出r＝，再利用G＝m或G＝mr求M。若已知ω、T则不能求出M。
例6　宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处开始下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求：
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度ρ。
[答案]　(1)　(2)　(3)
[解析]　(1)羽毛和铁锤在月球表面附近做自由落体运动，有h＝g月t2
解得g月＝。
(2)不考虑月球自转的影响，对在月球表面上质量为m的物体，有G＝mg月
解得M＝。
(3)假设月球为均匀球体，则其体积V＝πR3
根据密度公式可知，ρ＝
解得ρ＝。
例7　(2024·海南高考)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　)
A． B．
C． D．(1＋k)3
[答案]　D
[解析]　设月球的质量为M，半径为R，嫦娥六号的质量为m，轨道高度为h，由题意知h＝kR，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力，有G＝m(R＋h)，又月球的体积V＝πR3，月球的平均密度ρ＝，联立可得ρ＝(1＋k)3，故选D。
估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。 (3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有＝mg。
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．(2025·新疆高三上第一次模拟)南山—哈恩彗星是被新疆南山观测站和德国天文学家哈恩共同发现的一颗新彗星。如图所示，已知该彗星的近日点接近火星轨道，远日点接近木星轨道，火星、木星的公转轨道半径分别为地球公转轨道半径的p倍和q倍，则南山—哈恩彗星的运动周期为(　　)
A．(p＋q)年 B．(p＋q)年
C．年 D．年
答案：C
解析：设地球公转轨道半径为R，则火星公转轨道半径R火＝pR，木星公转轨道半径R木＝qR，南山—哈恩彗星的公转轨道半长轴为a＝＝R，根据开普勒第三定律有＝，联立解得南山—哈恩彗星的运动周期T彗＝T地＝年，故C正确。
2．(2025·广西南宁市高三上摸底测试)某飞船绕地球做椭圆运动的轨迹如图所示，AB是椭圆的长轴，CD是椭圆的短轴，E、F两点关于椭圆中心对称。比较飞船沿顺时针分别从C运动到E和从D运动到F的两个过程，以下说法正确的是(　　)
A．从D运动到F的过程平均速率小
B．两个过程运动时间相等
C．两个过程飞船与地心连线扫过的面积相等
D．飞船在C点所受万有引力小于在F点所受万有引力
答案：D
解析：C、D两点关于长轴AB对称，由飞船做椭圆运动的规律可知飞船在C、D两点的速度大小相等，飞船从C点运动到E点的过程，地球的万有引力做负功，由动能定理可知飞船的动能减小，速度减小，则在CE段的平均速度小于在C点时的速度，同理可知，飞船在DF段的平均速度大于在D点时的速度，由t＝可知飞船在CE段运动的时间长，由开普勒第二定律可知两个过程飞船与地心连线扫过的面积不相等，故A、B、C错误；由于C点到地心的距离比F点到地心的距离远，根据F＝G，飞船在C点所受万有引力小于在F点所受万有引力，故D正确。
3．(2024·浙江6月选考)与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则(　　)
A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C．小行星甲与乙的运行周期之比＝
D．甲、乙两星从远日点到近日点的时间之比＝
答案：D
解析：根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于近日点的速度，故A错误；由题图可知，小行星乙的远日点到太阳的距离等于地球到太阳的距离，根据万有引力定律和牛顿第二定律，则小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B错误；由题图可知，小行星甲轨道的半长轴a甲＝(R1＋R)，小行星乙轨道的半长轴a乙＝(R2＋R)，根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之比＝＝，故C错误；甲、乙两星从远日点到近日点的时间均为各自的半个公转周期，则两者之比＝＝，故D正确。
4．(2024·福建省福州市高三上2月质量检测)(多选)牛顿著名的“月—地检验”证明思路如下：设月球在半径为r(r＝60R，R为地球半径)的轨道上绕地球做匀速圆周运动，运行周期为T，从运动学角度得到月球的向心加速度为a；假定物体在地面受到的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力，都遵从与距离的平方成反比的规律，从动力学角度得到物体在地面处的重力加速度为g和物体在月球所在轨道处的加速度为g′。根据牛顿的思路，下列关系正确的是(　　)
A．g′＝ B．g′＝
C．a＝ D．a＝
答案：AC
解析：根据万有引力定律有＝mg，＝mg′，又r＝60R，可得g′＝，故A正确，B错误；根据万有引力提供向心力可得＝mg′＝mr＝ma，可得a＝g′＝，故C正确，D错误。
5．(2024·全国甲卷)2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是(　　)
A．在环月飞行时，样品所受合力为零
B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零
C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同
D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小
答案：D
解析：在环月飞行时，样品做曲线运动，所受合力不为零，故A错误；若将样品放置在月球正面，由平衡条件知，样品在月球表面所受的重力大小等于月球表面对样品的支持力大小，由牛顿第三定律知，月球表面对样品的支持力大小等于样品对月球表面的压力大小，则样品对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小，故B错误；质量是物体的固有属性，样品在不同过程中受到的引力不同，但质量不变，故C错误；由于月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的，则样品在月球表面的重力小于在地球表面的重力，所以样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小，故D正确。
6．利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是(　　)
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
答案：D
解析：根据G＝mg可知，已知地球的半径及重力加速度可计算出地球的质量，A能；根据G＝m及v＝可知，已知人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期可计算出地球的质量，B能；根据G＝mr可知，已知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量，C能；已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量，D不能。
7．北京时间2019年4月10日21时，天文学家召开全球新闻发布会，宣布首次直接拍摄到黑洞的照片。黑洞是体积极小的天体，它的引力很大，连光都无法逃脱。若某黑洞表面的物体速度达到光速c时，恰好围绕其表面做匀速圆周运动，已知该黑洞的半径为R，引力常量为G，忽略相对论效应，则可推测这个黑洞的密度为(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：设黑洞的质量为M，则黑洞的密度ρ＝＝，物体绕黑洞表面做匀速圆周运动的速度为光速c，该物体的质量为m，由万有引力提供向心力有＝，联立可得ρ＝，故选A。
[B组　综合提升练]
8．(2021·全国甲卷)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1．8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2．8×105 m。已知火星半径约为3．4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3．7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为(　　)
A．6×105 m B．6×106 m
C．6×107 m D．6×108 m
答案：C
解析：设沿火星表面运动的卫星的绕行周期为T0，则有G＝mR，在火星表面处有＝mg，联立可得T0＝2π；设“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最近距离为d1，最远距离为d2，则停泊轨道的半长轴为a＝，由开普勒第三定律可知＝，由以上各式联立，可得d2＝2－d1－2R≈6×107 m，故C正确。
9．(2024·山东高考)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：“鹊桥二号”中继星在半长轴为a的椭圆轨道环绕月球运行时，周期T＝24 h，根据开普勒第三定律可知，环绕月球以半径a做匀速圆周运动的卫星的周期也是T；设该月球卫星质量为m，根据万有引力提供向心力，可得G＝ma，设地球的同步卫星质量为m同，则根据万有引力提供向心力，有G＝m同r，联立可得＝，故D正确。
10．一颗质量均匀、可看作球体的小行星，其过去自转对该行星表面重力的影响可以忽略。现该行星自转加快，角速度为ω时，该行星表面“赤道”上的物体对行星的压力减为过去的。已知引力常量为G，则该行星的密度ρ为(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：该行星的自转可以忽略时，由万有引力定律、牛顿第三定律和平衡条件可得，质量为m的物体对行星的压力大小FN＝，当行星自转角速度为ω时，由牛顿第三定律和牛顿第二定律有－FN＝mRω2，行星的密度ρ＝，联立解得ρ＝，故选D。
11．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的质点(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则F随x的变化关系图像正确的是(　　)
答案：A
解析：根据题意，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，当质点在地球的内部离球心x处时，受到地球的万有引力即为半径等于x的同心球体对质点的万有引力，所以F＝G＝Gx，其中ρ为地球的密度，m为质点的质量；当质点在地球球面或球面以外，离球心x处时，地球可以看成质量集中于球心的质点，对质点的万有引力F＝G，其中M为地球的质量。综上所述，当x12．如图甲所示，南京紫金山天文台展示的每隔2 h拍摄的某行星及其一颗卫星的照片。小齐同学取向左为正方向，在图甲照片上用刻度尺测得行星球心与卫星之间的距离L如图乙所示。已知该卫星围绕行星做匀速圆周运动，在图甲照片上测得行星的直径为2 cm，引力常量为G＝6．67×10－11 N·m2/kg2。下列说法正确的是(　　)
A．该卫星围绕行星运动的周期为T＝24 h
B．该卫星围绕行星运动的周期为T＝32 h
C．该行星的平均密度ρ＝5×103 kg/m3
D．该行星的平均密度ρ＝5×105 kg/m3
答案：C
解析：由题图乙可知，从t＝0时刻到t＝24 h时刻卫星绕行星转动半周，则该卫星绕行星做匀速圆周运动的周期为T＝2×24 h＝48 h，故A、B错误；照片上行星的半径为R′＝1 cm，照片上的轨道半径r′＝10 cm，设实际尺寸是照片上尺寸的k倍，则实际行星的半径为R＝kR′，轨道半径为r＝kr′，由万有引力提供向心力得G＝mr，行星的体积为V＝πR3，行星的密度为ρ＝，联立解得ρ＝5×103 kg/m3，故C正确，D错误。
13．(2023·辽宁高考)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为(　　)
A．k3 B．k3
C． D．
答案：D
解析：设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，根据万有引力提供向心力，可得G＝m月r1，G＝m地r2，由题图中几何关系可知＝，由题意可知R地＝kR月，又地球的平均密度ρ地＝，太阳的平均密度ρ日＝，联立可得＝，故选D。
[C组　拔尖培优练]
14．(多选)某天文爱好者根据地球和木星的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T，现作出如图所示的图像，图线①中c的左侧部分为虚线，图线②中b的左侧部分为虚线。已知引力常量为G，木星质量大于地球质量。下列说法正确的是(　　)
A．图线①反映木星卫星运动的规律
B．地球的质量为
C．木星的密度为
D．木星与地球的密度之比为
答案：AC
解析：对于绕中心天体做圆周运动的卫星，根据万有引力提供向心力有G＝mr，得＝，可知中心天体的质量越大，图线的斜率越大，因木星质量大于地球质量，故图线①反映木星卫星运动的规律，A正确；图线②反映地球卫星运动的规律，故＝，解得地球的质量M地＝，同理可得，木星的质量M木＝，图线①中c的左侧部分为虚线，故木星的半径的三次方R＝d，木星的密度ρ木＝＝，同理可得，地球的密度ρ地＝，故木星与地球的密度之比＝，C正确，B、D错误。
1(共59张PPT)
第五章　万有引力与宇宙航行
第1讲　万有引力定律及其应用
目录
1
2
3
教材阅读指导
考点一　开普勒定律
考点二　万有引力定律 万有引力与重力的关系
考点三 天体质量和密度 的估算
课时作业
4
5
教材阅读指导
(对应人教版必修第二册相关内容及问题)
第七章第1节阅读“开普勒定律”的有关内容，写出开普勒行星运动定律的表述。
提示：开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。
第七章第1节阅读“行星轨道简化为圆轨道”的有关内容，写出对行星运动轨道简化为圆轨道后的开普勒三个定律的表述。
第七章第1节[练习与应用]T2。
第七章第2节阅读“行星与太阳间的引力”这一部分内容，太阳与行星间引力的公式是依据什么推导出来的？
第七章第2节阅读“月—地检验”这一部分内容，什么是月—地检验？
提示：近地点的速度较大。
提示：依据开普勒行星运动定律和圆周运动向心力公式及牛顿第三定律推导出来的。
提示：验证地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力是否遵从相同的规律。
　第七章第2节阅读“引力常量”这部分内容及后面的[拓展学习]，引力常量是如何测得的？数值为多少？
第七章第3节，万有引力理论的成就有哪些？
提示：英国物理学家卡文迪什利用扭秤装置测得G＝6．67×10－11 N·m2/kg2。
提示： “称量”地球的质量、计算天体的质量、发现未知天体、预言哈雷彗星回归。
第七章[复习与提高]B组T2；T3。
考点一　开普勒定律
1．定律内容
(1)开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是______，太阳处在椭圆的一个______上。
(2)开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的______相等。
(3)开普勒第三定律：所有行星轨道的________的三次方跟它的_________的二次方的比都相等，即______。
2．适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。
椭圆
焦点
面积
半长轴
公转周期
例1　有关开普勒三大定律，结合地球和火星的轨道
示意图，下列说法正确的是(　　)
A．地球靠近太阳的过程中，运行速度的大小不变
B．地球绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上
C．在相等时间内，火星和太阳的连线扫过的面积与地球和太阳的连线扫过的面积相等
D．火星绕太阳运行一周的时间比地球绕太阳运行一周的时间短
解析　根据开普勒第二定律可知，对同一个行星而言，
行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等，故地球
靠近太阳的过程中，运行速度的大小将增大，故A错误；
开普勒第二定律仅对同一行星适用，故C错误；根据开普勒
第一定律可知，行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上，地球也不例外，故B正确；根据开普勒第三定律可知，所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，由于火星轨道的半长轴比地球的大，所以火星绕太阳运行一周的时间比地球的长，故D错误。
例2　(人教版必修第二册·第七章第3节[练习与应用]T4节选)地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆，如图所示，天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年左右。
请根据开普勒行星运动定律估算哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的多少倍。
答案　17．8
考点二　万有引力定律　万有引力与重力的关系
1．万有引力定律的内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与_________________________成正比，与_______________________成反比。
2．公式：F＝________，其中G叫作引力常量，G＝6．67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。
物体的质量m1和m2的乘积
它们之间距离r的二次方
3．公式的适用条件：计算两个_______间的万有引力。
(1)当物体不能看成质点时，可以把物体分成若干部分，求出两物体每部分之间的万有引力，然后矢量求和计算它们的合力。
(2)两个质量分布均匀的球体之间的万有引力，等于位于两球心处、质量分别与两球体相等的质点间的万有引力。
4．万有引力理论的主要成就
(1)发现未知天体。
(2)计算天体质量。
质点
例5　如图所示，《流浪地球2》影片中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时，质量为2．5 kg的物体重力为16 N。已知地球半径为6371 km，不考虑地球自转，地球表面处重力加速度g取10 m/s2，则此时太空电梯距离地面的高度约为(　　)
A．1593 km B．3584 km
C．7964 km D．9955 km
考点三　天体质量和密度的估算
例6　宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处开始下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求：
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度ρ。
课时作业
2．(2025·广西南宁市高三上摸底测试)某飞船绕地球做椭圆运动的轨迹如图所示，AB是椭圆的长轴，CD是椭圆的短轴，E、F两点关于椭圆中心对称。比较飞船沿顺时针分别从C运动到E和从D运动到F的两个过程，以下说法正确的是(　　)
A．从D运动到F的过程平均速率小
B．两个过程运动时间相等
C．两个过程飞船与地心连线扫过的面积相等
D．飞船在C点所受万有引力小于在F点所受万有引力
6．利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是(　　)
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
[B组　综合提升练]
8．(2021·全国甲卷)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1．8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2．8×105 m。已知火星半径约为3．4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3．7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为(　　)
A．6×105 m B．6×106 m
C．6×107 m D．6×108 m
11．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的质点(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则F随x的变化关系图像正确的是(　　)
12．如图甲所示，南京紫金山天文台展示的每隔2 h拍摄的某行星及其一颗卫星的照片。小齐同学取向左为正方向，在图甲照片上用刻度尺测得行星球心与卫星之间的距离L如图乙所示。已知该卫星围绕行星做匀速圆周运动，在图甲照片上测得行星的直径为2 cm，引力常量为G＝6．67×10－11 N·m2/kg2。下列说法正确的是(　　)
A．该卫星围绕行星运动的周期为T＝24 h
B．该卫星围绕行星运动的周期为T＝32 h
C．该行星的平均密度ρ＝5×103 kg/m3
D．该行星的平均密度ρ＝5×105 kg/m3

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