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物理
第讲　专题：天体运动的三个综合问题
考点一　天体的“追及相遇”问题
1．天体“追及相遇”问题的理解
天体“追及相遇”，指两天体在各自轨道绕中心天体公转时，周期性地追赶至相距最近。以地球和太阳系内其他某地外行星为例，
某时刻行星与地球最近(“行星冲日”)，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同，如图甲所示，根据＝mω2r可知，地球公转的角速度ω1较大，行星公转的角速度ω2较小，地球与行星的距离再次最小时，地球比行星多转一圈。
2．解决天体“追及相遇”问题的两种方法
(1)根据角度关系列式
设从图甲位置至又相距最近所用时间为t，则ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3，…)
可解得t＝(n＝1，2，3，…)。
(2)根据圈数关系列式
设从图甲位置至又相距最近所用时间为t，则－＝n(n＝1，2，3，…)
可解得t＝(n＝1，2，3，…)。
拓展：设从图甲相距最近位置到相距最远位置(图乙)所用时间为t′，同理有关系式：ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)或－＝(n＝1，2，3，…)。
例1　(2023·浙江1月选考)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表：
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1．0 1．5 5．2 9．5 19 30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为(　　)
A．火星365天 B．火星800天
C．天王星365天 D．天王星800天
[答案]　B
[解析]　根据开普勒第三定律有＝，设相邻两次“冲日”时间间隔为t，则2π＝t，联立解得t＝＝。由表格中的数据可得t火＝≈800天，t天＝≈369天，故B正确，A、C、D错误。
跟进训练　(2025·山西省朔州市多校高三上10月月考)万有引力在发现未知行星上起到了重要的作用，例如某行星A运行的轨道半径为R，周期为T，但天文学家在观测中发现，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且每隔时间t发生一次最大的偏离。形成这种现象的原因可能是A外侧还存在着一颗行星B，它对A的万有引力引起行星A轨道的偏离，假设其运动轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同，若行星B的运行半径为NR，则t与T的比为(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：由题意及万有引力定律可知，两颗行星距离最近时，行星A的轨道将发生最大偏离，设行星B的周期为T′，根据开普勒第三定律可得＝，解得T′＝T，根据题意有·t－·t＝2π，解得t＝，则有＝＝，故选A。
考点二　卫星的变轨和对接问题
1．卫星变轨原理
如图所示，发射地球同步卫星时，可以分多过程完成：
(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1。
(2)变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，这时(3)卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。
飞船和空间站的对接过程与此类似。卫星的回收过程和飞船的返回则是相反的过程，通过突然减速，>m，变轨到低轨道，最后在椭圆轨道的近地点处返回地面。
2．卫星变轨时一些物理量的定性分析
(1)速度：卫星在P点加速，则v2>v1；在Q点加速，则v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。
(2)加速度：因为在P点不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过，P点到地心的距离都相同，卫星的加速度都相同，设为aP。同理，在Q点加速度也相同，设为aQ。又因Q点到地心的距离大于P点到地心的距离，所以aQ(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径或半长轴分别为r1、r2、r3，由＝k可知T1(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则机械能关系为E1＜E2＜E3。
例2　(2025·广东省惠州市高三上第一次调研)(多选)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射。“嫦娥六号”从地球飞往月球，采用霍曼转移轨道，这是一种较节能的轨道转移方式。如图所示为“嫦娥六号”飞往月球的简化示意图，轨道Ⅰ为绕地球的近地轨道，轨道Ⅱ为霍曼转移轨道，是一条椭圆轨道，其中P点为轨道Ⅱ的近地点，Q点为轨道Ⅱ的远地点，轨道Ⅲ为月球公转轨道。下列说法正确的是(　　)
A．“嫦娥六号”从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，需要在P点加速
B．“嫦娥六号”在轨道Ⅰ的周期小于在轨道Ⅱ的周期
C．“嫦娥六号”在轨道Ⅱ运动时，P点处机械能大于Q点处机械能
D．“嫦娥六号”在轨道Ⅱ经过Q点的速度大于经过P点的速度
[答案]　AB
[解析]　“嫦娥六号”在轨道Ⅰ上P点做匀速圆周运动，在轨道Ⅱ上P点做离心运动，且在两轨道上P点受力相同，则“嫦娥六号”从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，需要在P点加速，A正确；根据开普勒第三定律，轨道半长轴越大，公转周期越大，所以“嫦娥六号”在轨道Ⅰ的周期小于在轨道Ⅱ的周期，B正确；“嫦娥六号”在轨道Ⅱ运动时，只有万有引力做功，机械能守恒，P点处机械能等于Q点处机械能，C错误；根据开普勒第二定律，“嫦娥六号”在轨道Ⅱ经过Q点的速度小于经过P点的速度，D错误。
跟进训练　(2021·天津高考)2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器(　　)
A．在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态
B．在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短
C．从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速
D．沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大
答案：D
解析：天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速运动，受力不平衡，故A错误；轨道Ⅰ的半长轴大于轨道Ⅱ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错误；天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，是从高轨道进入低轨道，则应在P处减速，故C错误；天问一号探测器沿轨道Ⅰ向P飞近时，万有引力做正功，动能增大，速度增大，故D正确。
例3　北京时间2021年10月16日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6．5小时。为实现神舟十三号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是(　　)
A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可
B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可
C．飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
[答案]　D
[解析]　卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要加速，反之从高轨道进入低轨道需要减速，且飞船与空间站完成对接时需处于同一高度，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置加速靠近，或者先到空间站轨道上方的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速，故选D。
考点三　双星或多星模型
前面我们讨论的是类似太阳系的单星系统，其特点是有一个主星，质量远大于周围的其他星体，可以看成近似不动，所以其他星体绕它运动。除此之外，在宇宙空间，还存在两颗或多颗质量差别不大的星体，它们离其他星体很远，在彼此间的万有引力作用下运动，组成双星或多星系统。双星系统轨道比较稳定，很常见，三星及其他更多星体的系统轨道不稳定，非常罕见。下面介绍具有代表性的双星模型和三星模型。
1．双星模型
(1)两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
＝m1ωr1，
＝m2ωr2。
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
④两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。
⑤双星的运动周期T＝2π。
⑥双星的总质量m1＋m2＝。
2．三星模型
(1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比较稳定，三颗星的质量一般不同，其轨
道如图2所示。每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。
(2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。
(3)理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。
①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)。
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图3乙所示)。
例4　“双星系统”由相距较近的星球组成，每个星球的半径均远小于两者之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在彼此的万有引力作用下，绕某一点O做匀速圆周运动。如图所示，某一双星系统中A星球的质量为m1，B星球的质量为m2，它们球心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A．B星球的轨道半径为L
B．A星球运行的周期为2πL
C．A星球和B星球的线速度大小之比为m1∶m2
D．若在O点放一个质点，则它受到两星球的引力之和一定为零
[答案]　B
[解析]　由于两星球的周期相同，则它们的角速度也相同，设两星球运行的角速度为ω，轨道半径分别为r1、r2，根据牛顿第二定律，对A星球有：G＝m1ω2r1，对B星球有：G＝m2ω2r2，得r1∶r2＝m2∶m1，又r1＋r2＝L，得r1＝L，r2＝L，A错误；根据G＝m1r1，r1＝L，解得A星球运行的周期T＝2πL，B正确；A星球和B星球的线速度大小之比＝＝，C错误；O点处质量为m的质点受到B星球的万有引力FB＝＝，受到A星球的万有引力FA＝＝，FA与FB方向相反，且FA≠FB，故该质点受到两星球的引力之和不为零，D错误。
例5　(2024·福建省三明市高三下一模)(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是(　　)
A．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为
B．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为4π
C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2
D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为
[答案]　BD
[解析]　在直线三星系统中，星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有G＋G＝m，解得直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为v＝，A错误；直线三星系统中星体做圆周运动的周期为T＝＝4π，B正确；同理，对三角形三星系统中做圆周运动的星体，有2G·cos30°＝mω2·＝ma，解得三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为ω＝，加速度大小为a＝，C错误，D正确。
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．(2023·海南高考)(多选)如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前后的轨道，下列说法正确的是(　　)
A．飞船从1轨道变到2轨道要点火加速
B．飞船在1轨道周期大于2轨道周期
C．飞船在1轨道速度大于2轨道速度
D．飞船在1轨道加速度大于2轨道加速度
答案：ACD
解析：飞船从较低的1轨道进入较高的2轨道，要先点火加速做离心运动，进入近地点在1轨道上、远地点在2轨道上的椭圆轨道，再在远地点点火加速进入2轨道，A正确；根据G＝mr＝m＝ma，可得T＝2π，v＝，a＝，又1轨道的半径小于2轨道的半径，可知飞船在1轨道的周期小于在2轨道的周期，在1轨道的速度大于在2轨道的速度，在1轨道的加速度大于在2轨道的加速度，故B错误，C、D正确。
2．(2025·广东省高三上学业质量监测)2023年11月3日发生木星冲日现象，木星冲日是指木星、地球和太阳几乎排列成一线，地球位于太阳与木星之间。此时木星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于观察。地球和木星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，地球一年绕太阳一周，木星11．84年绕太阳一周。则(图中其他行星轨道省略未画出)(　　)
A．在相同时间内，木星、地球与太阳中心连线扫过的面积相等
B．木星的运行速度比地球的运行速度大
C．木星冲日现象时间间隔约为12年
D．下一次出现木星冲日现象是在2024年
答案：D
解析：根据开普勒第二定律可知，对同一行星而言，它与中心天体的连线在相等的时间内扫过的面积相等，对不同的行星并不适用，故A错误；对于做圆周运动的行星，根据万有引力提供向心力有G＝m，可得v＝，木星的公转半径比地球大，故木星的运行速度比地球的运行速度小，B错误；木星相邻两次冲日期间有(ω地－ω木)·t＝2π，其中ω地＝，ω木＝，解得木星冲日现象时间间隔t＝≈1．1年，则下一次出现木星冲日现象是在2024年12月，故C错误，D正确。
3．人类首次发现的引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞互相绕转最后合并的过程。设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示，黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞中心间的距离为L，则(　　)
A．黑洞A的质量一定大于黑洞B的质量
B．黑洞A的线速度一定小于黑洞B的线速度
C．其运动周期T＝
D．两个黑洞的总质量M一定，L越大，角速度越大
答案：C
解析：设黑洞A、B的质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，角速度均为ω，线速度大小分别为vA、vB，由万有引力提供向心力有＝mAω2RA，＝mBω2RB，由题意有RA＋RB＝L，mA＋mB＝M，联立可得＝，而RA>RB，所以mAvB，故A、B错误；由A、B项分析可解得ω＝，可知当两个黑洞的总质量M一定时，L越大，则角速度越小，故D错误；根据T＝，可解得两个黑洞的运动周期T＝，故C正确。
4．在天文观测中，科学家向某行星发射了两颗卫星。若卫星甲和乙在同一平面内以相反方向绕行星做匀速圆周运动，如图所示，甲卫星总是每隔周期和乙卫星相遇，则甲、乙两卫星的轨道半径之比为(　　)
A．1∶4 B．1∶2
C．2∶1 D．4∶1
答案：D
解析：设甲卫星绕行星做圆周运动的角速度为ω甲，周期为T甲，轨道半径为r甲，乙卫星绕行星做圆周运动的角速度为ω乙，轨道半径为r乙，由题意可知，(ω甲＋ω乙)×T甲＝2π，且T甲＝，解得ω甲∶ω乙＝1∶8，设该行星质量为M，对于绕该行星做匀速圆周运动的、质量为m的卫星，有＝mω2r，解得卫星的轨道半径为r＝，则甲、乙两卫星的轨道半径之比＝＝，故选D。
5．(2025·天津市实验中学高三上12月月考)(多选)2023年10月26日，我国自主研发的神舟十七号载人飞船圆满地完成了发射，与“天和”核心舱成功对接，飞船变轨前绕地稳定运行在半径为r1的圆形轨道Ⅰ上，椭圆轨道Ⅱ为飞船的转移轨道，核心舱绕地沿逆时针方向运行在半径为r3的圆形轨道Ⅲ上，轨道Ⅰ和Ⅱ、Ⅱ和Ⅲ分别相切于A、B两点，飞船在A点变轨，与核心舱刚好在B点进行对接，下列说法正确的是(　　)
A．神舟十七号在轨道Ⅰ上稳定运行的速度可能大于7．9 km/s
B．神舟十七号在轨道Ⅱ上由A向B运动时，速度减小，机械能减小
C．神舟十七号在轨道Ⅱ上经过A点的速度大于在轨道Ⅰ上经过A点的速度
D．神舟十七号在轨道Ⅱ上经过B点时加速变轨进入轨道Ⅲ与“天和”核心舱完成对接
答案：CD
解析：对绕地球做匀速圆周运动的物体，由万有引力提供向心力有G＝m，即v＝，结合第一宇宙速度定义可知，第一宇宙速度7．9 km/s是卫星的最大环绕速度，所以神舟十七号在轨道Ⅰ上稳定运行的速度一定不能大于7．9 km/s，故A错误；神舟十七号在轨道Ⅱ上由A向B运动时，只有万有引力做负功，神舟十七号的速度减小，机械能不变，故B错误；从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ需要在A点处加速，所以神舟十七号在轨道Ⅱ上经过A点的速度大于在轨道Ⅰ上经过A点的速度，故C正确；神舟十七号在轨道Ⅱ上经过B点时加速变轨进入轨道Ⅲ与“天和”核心舱完成对接，故D正确。
6．(多选)如图所示，天文观测中观测到有质量相等的四颗天体位于边长为l的正方形四个顶点a、b、c、d上，四颗天体均做周期为T的匀速圆周运动，已知引力常量为G，不计其他天体对它们的影响，关于这个四星系统，下列说法中正确的是(　　)
A．四颗天体线速度大小均为
B．四颗天体线速度大小均为
C．四颗天体的质量均为
D．四颗天体的质量均为
答案：BD
解析：四颗天体均做周期为T的匀速圆周运动，其圆心位于正方形abcd的几何中心，由几何关系可得四颗天体的轨道半径均为r＝，四颗天体线速度大小均为v＝＝，A错误，B正确；以其中一颗天体为研究对象，其做匀速圆周运动所需向心力由其他三颗天体的万有引力的合力提供，即F合＝mr，其中F合＝2×＋＝，解得四颗天体的质量均为m＝，C错误，D正确。
[B组　综合提升练]
7．(2024·河北省石家庄市高三下教学质量检测三)A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离Δr随时间变化的关系如图所示。已知地球的半径为r，卫星A的线速度大于卫星B的线速度，若不考虑A、B之间的万有引力，则卫星A、B绕地球运行的周期分别为(　　)
A．7T0，56T0 B．9T0，72T0
C．8T0，64T0 D．14T0，56T0
答案：A
解析：对于绕地球做匀速圆周运动的卫星，由万有引力提供向心力有G＝m，则轨道半径r＝，因卫星A的线速度大于卫星B的线速度，则卫星B的轨道半径rB大于卫星A的轨道半径rA，A、B间最近距离rB－rA＝3r，A、B间最远距离rB＋rA＝5r，由开普勒第三定律有＝，A、B间相邻两次相距最近满足·8T0＝2π，联立解得卫星A、B绕地球运行的周期分别为TA＝7T0，TB＝56T0，故选A。
8．(2024·江苏省南通市高三上期初质量监测)空间站在地球外层的稀薄大气中绕行时，因受大气阻力的影响，轨道高度会发生变化，空间站安装有发动机，可对轨道进行修正。
如图所示为某空间站在某年2月初到8月初期间离地高度随时间变化的曲线，则以下说法正确的是(　　)
A．2月份空间站的机械能逐渐增大
B．2月份空间站受地球的引力逐渐减小
C．对轨道进行修正的前后，空间站的加速度大小不变
D．对轨道进行修正时，空间站可能受到与原速度方向相同的作用力
答案：D
解析：由题图可知，2月初到3月末，空间站轨道高度逐渐减小，大气阻力对空间站做负功，空间站的机械能逐渐减小，由于空间站离地球越来越近，则根据万有引力定律知空间站受地球的引力逐渐增大，故A、B错误；对轨道进行修正的前后，空间站离地球的距离发生变化，受到的引力发生变化，则空间站的加速度大小发生变化，故C错误；由题图可知，在无轨道修正时，空间站的轨道半径变化十分缓慢，可以认为其绕地球做匀速圆周运动，对轨道进行修正时，空间站可能受到与原速度方向相同的作用力，使得空间站速度变大，以致万有引力不足以提供其所需向心力，空间站做离心运动，经过其他操作后可到达更高的轨道，故D正确。
9．(多选)在浩瀚的银河系中，我们发现的半数以上的恒星都是双星体，组成双星的两颗恒星都称为双星的子星。有的双星，不但相互之间距离很近，而且有物质从一颗子星流向另一颗子星。如图，设子星B所释放的物质被子星A全部吸收，并且两星间的距离在一定的时间内不变，两星球的总质量不变，则下列说法正确的是(　　)
A．子星A的轨道半径不变 B．子星A的运动周期不变
C．两星间的万有引力不变 D．两星速率之和不变
答案：BD
解析：设子星A的质量为M，轨道半径为rA，子星B的质量为m，轨道半径为rB，两星之间的距离为r，两星角速度为ω，则对子星A有＝Mω2rA，对子星B有＝mω2rB，又因为rA＋rB＝r，解得ω＝，＝，rA＝r，由题知m＋M、r均不变，m变小，所以子星A的轨道半径变小，故A错误；由A项可知ω＝，因为两星球的总质量(m＋M)不变且两星间的距离r在一定的时间内不变，故两星球的角速度不变，又T＝，故两星球的周期不变，即子星A周期不变，B正确；两星间万有引力F＝，已知两星的质量总和(M＋m)不变，由题图及＝，知M>m，结合数学知识可知Mm变小，则两星间的万有引力大小变小，故C错误；两星速率之和为vA＋vB＝ωrA＋ωrB＝ωr，由以上分析可知两星角速度不变，又两星间距离不变，故两星球的速率之和不变，D正确。
10．如图所示，卫星甲、乙均绕地球做匀速圆周运动，轨道平面相互垂直，乙的轨道半径是甲的倍。将两卫星和地心在同一直线且甲、乙位于地球同侧的位置称为“相遇”，则从某次“相遇”后，甲绕地球运动15圈的时间内，甲、乙卫星将“相遇”(　　)
A．1次 B．2次
C．3次 D．4次
答案：D
解析：根据开普勒第三定律有＝，解得T乙＝7T甲，从某次相遇的时刻开始，乙转动半圈，甲转动3．5圈，甲、乙两卫星再次“相遇”，此后甲每转动3．5圈，两个卫星就“相遇”一次，因15÷3．5＝4．3，则从某次“相遇”后，甲绕地球运动15圈的时间内，甲、乙卫星将“相遇”4次，故选D。
11．(2024·湖北高考)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则(　　)
A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
答案：A
解析：空间站变轨前、后在P点所受到的万有引力相同，即其所受到的合力相同，根据牛顿第二定律可知，空间站变轨前、后在P点的加速度相同，故A正确；因为空间站变轨后其轨道的半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知，空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故B错误；空间站在P点沿背离地球球心方向极短时间喷射气体，使空间站获得指向地球球心方向的反冲速度，根据平行四边形定则，空间站变轨后在P点的速度比变轨前的大，故C错误；由开普勒第二定律可知，空间站变轨后在P点的速度比变轨后在近地点的小，结合C项分析可知，空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误。
[C组　拔尖培优练]
12．(2024·重庆高考)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体c(图中未画出)质量为m(m M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变。忽略其他天体的影响，引力常量为G，则(　　)
A．c的线速度大小为a的倍
B．c的向心加速度大小为b的一半
C．c在一个周期内的路程为2πr
D．c的角速度大小为
答案：A
解析：a、b、c三个天体做圆周运动的角速度相同，设为ω，由于m M，则a做匀速圆周运动所需向心力几乎由a、b间的万有引力提供，有G＝Mω2r，解得ω＝，故D错误；设c与a、b的连线和a、b连线的垂直平分线的夹角均为α，则c做匀速圆周运动的半径rc＝，c与a、b之间的距离均为l＝，c受a、b万有引力的合力F＝2Gcosα，对c由牛顿第二定律得F＝mω2rc，联立解得α＝30°，rc＝r，由v＝ωr可知，＝＝，即c的线速度大小为a的倍，故A正确；由a＝ω2r可知，＝＝，即c的向心加速度大小为b的倍，故B错误；c在一个周期内运动的路程为s＝2πrc＝2πr，故C错误。
1(共58张PPT)
第五章　万有引力与宇宙航行
第3讲　专题：天体运动的三个综合问题
目录
2
考点一　天体的“追及相遇”问题
考点二　卫星的变轨和对接问题
考点三　双星或多星模型
课时作业
3
4
1
考点一　天体的“追及相遇”问题
例1　(2023·浙江1月选考)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间,且三者几乎排成一条直线的现象,称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表：
则相邻两次“冲日”时间间隔约为(　　)
A．火星365天 B．火星800天
C．天王星365天 D．天王星800天
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1．0 1．5 5．2 9．5 19 30
考点二　卫星的变轨和对接问题
1．卫星变轨原理
如图所示，发射地球同步卫星时，可以分多过程完成：
(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1。
例2　(2025·广东省惠州市高三上第一次调研)(多选)2024年5月3日， “嫦娥六号”探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射。“嫦娥六号”从地球飞往月球，采用霍曼转移轨道，这是一种较节能的轨道转移方式。如图所示为“嫦娥六号”飞往月球的简化示意图，轨道Ⅰ为绕地球的近地轨道，轨道Ⅱ为霍曼转移轨道，是一条椭圆轨道，其中P点为轨道Ⅱ的近地点，Q点为轨道Ⅱ的远地点，轨道Ⅲ为月球公转轨道。下列说法正确的是(　　)
A． “嫦娥六号”从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，需要在P点加速
B． “嫦娥六号”在轨道Ⅰ的周期小于在轨道Ⅱ的周期
C． “嫦娥六号”在轨道Ⅱ运动时，P点处机械能大于Q点处机械能
D． “嫦娥六号”在轨道Ⅱ经过Q点的速度大于经过P点的速度
解析　 “嫦娥六号”在轨道Ⅰ上P点做匀速圆周运动，在轨道Ⅱ上P点做离心运动，且在两轨道上P点受力相同，则“嫦娥六号”从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，需要在P点加速，A正确；根据开普勒第三定律，轨道半长轴越大，公转周期越大，所以“嫦娥六号”在轨道Ⅰ的周期小于在轨道Ⅱ的周期，B正确；“嫦娥六号”在轨道Ⅱ运动时，只有万有引力做功，机械能守恒，P点处机械能等于Q点处机械能，C错误；根据开普勒第二定律，“嫦娥六号”在轨道Ⅱ经过Q点的速度小于经过P点的速度，D错误。
跟进训练　(2021·天津高考)2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器(　　)
A．在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态
B．在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短
C．从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速
D．沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大
解析：天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速运动，受力不平衡，故A错误；轨道Ⅰ的半长轴大于轨道Ⅱ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错误；天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，是从高轨道进入低轨道，则应在P处减速，故C错误；天问一号探测器沿轨道Ⅰ向P飞近时，万有引力做正功，动能增大，速度增大，故D正确。
例3　北京时间2021年10月16日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6．5小时。为实现神舟十三号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是(　　)
A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可
B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可
C．飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
解析 卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要加速，反之从高轨道进入低轨道需要减速，且飞船与空间站完成对接时需处于同一高度，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置加速靠近，或者先到空间站轨道上方的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速，故选D。　
考点三　双星或多星模型
前面我们讨论的是类似太阳系的单星系统，其特点是有一个主星，质量远大于周围的其他星体，可以看成近似不动，所以其他星体绕它运动。除此之外，在宇宙空间，还存在两颗或多颗质量差别不大的星体，它们离其他星体很远，在彼此间的万有引力作用下运动，组成双星或多星系统。双星系统轨道比较稳定，很常见，三星及其他更多星体的系统轨道不稳定，非常罕见。下面介绍具有代表性的双星模型和三星模型。
1．双星模型
(1)两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。
2．三星模型
(1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比较稳定，三颗星的质量一般不同，其轨
道如图2所示。每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。
(2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。
(3)理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。
①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)。
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图3乙所示)。
例5　(2024·福建省三明市高三下一模)(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是(　　)
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．(2023·海南高考)(多选)如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前后的轨道，下列说法正确的是(　　)
A．飞船从1轨道变到2轨道要点火加速
B．飞船在1轨道周期大于2轨道周期
C．飞船在1轨道速度大于2轨道速度
D．飞船在1轨道加速度大于2轨道加速度
2．(2025·广东省高三上学业质量监测)2023年11月3日发生木星冲日现象，木星冲日是指木星、地球和太阳几乎排列成一线，地球位于太阳与木星之间。此时木星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于观察。地球和木星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，地球一年绕太阳一周，木星11．84年绕太阳一周。则(图中其他行星轨道省略未画出)(　　)
A．在相同时间内，木星、地球与太阳中心连线
扫过的面积相等
B．木星的运行速度比地球的运行速度大
C．木星冲日现象时间间隔约为12年
D．下一次出现木星冲日现象是在2024年
A．神舟十七号在轨道Ⅰ上稳定运行的速度可能大于7．9 km/s
B．神舟十七号在轨道Ⅱ上由A向B运动时，速度减小，机械能减小
C．神舟十七号在轨道Ⅱ上经过A点的速度大于在轨道Ⅰ上经过A点的速度
D．神舟十七号在轨道Ⅱ上经过B点时加速变轨进入轨道Ⅲ与“天和”核心舱完成对接
5．(2025·天津市实验中学高三上12月月考)(多选)2023年10月26日，我国自主研发的神舟十七号载人飞船圆满地完成了发射，与“天和”核心舱成功对接，飞船变轨前绕地稳定运行在半径为r1的圆形轨道Ⅰ上，椭圆轨道Ⅱ为飞船的转移轨道，核心舱绕地沿逆时针方向运行在半径为r3的圆形轨道Ⅲ上，轨道Ⅰ和Ⅱ、Ⅱ和Ⅲ分别相切于A、B两点，飞船在A点变轨，与核心舱刚好在B点进行对接，下列说法正确的是(　　)
[B组　综合提升练]
7．(2024·河北省石家庄市高三下教学质量检测三)A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离Δr随时间变化的关系如图所示。已知地球的半径为r，卫星A的线速度大于卫星B的线速度，若不考虑A、B之间的万有引力，则卫星A、B绕地球运行的周期分别为(　　)
A．7T0，56T0 B．9T0，72T0
C．8T0，64T0 D．14T0，56T0
8．(2024·江苏省南通市高三上期初质量监测)空间站在地球外层的稀薄大气中绕行时，因受大气阻力的影响，轨道高度会发生变化，空间站安装有发动机，可对轨道进行修正。
如图所示为某空间站在某年2月初到8月初期间离地高度随时间变化的曲线，则以下说法正确的是(　　)
A．2月份空间站的机械能逐渐增大
B．2月份空间站受地球的引力逐渐减小
C．对轨道进行修正的前后，空间站的加速度大小不变
D．对轨道进行修正时，空间站可能受到与原速度方向相同的作用力
解析：由题图可知，2月初到3月末，空间站轨道高度
逐渐减小，大气阻力对空间站做负功，空间站的机械能逐
渐减小，由于空间站离地球越来越近，则根据万有引力定
律知空间站受地球的引力逐渐增大，故A、B错误；对轨道
进行修正的前后，空间站离地球的距离发生变化，受到的
引力发生变化，则空间站的加速度大小发生变化，故C错误；由题图可知，在无轨道修正时，空间站的轨道半径变化十分缓慢，可以认为其绕地球做匀速圆周运动，对轨道进行修正时，空间站可能受到与原速度方向相同的作用力，使得空间站速度变大，以致万有引力不足以提供其所需向心力，空间站做离心运动，经过其他操作后可到达更高的轨道，故D正确。
9．(多选)在浩瀚的银河系中，我们发现的半数以上的恒星都是双星体，组成双星的两颗恒星都称为双星的子星。有的双星，不但相互之间距离很近，而且有物质从一颗子星流向另一颗子星。如图，设子星B所释放的物质被子星A全部吸收，并且两星间的距离在一定的时间内不变，两星球的总质量不变，则下列说法正确的是(　　)
A．子星A的轨道半径不变
B．子星A的运动周期不变
C．两星间的万有引力不变
D．两星速率之和不变
11．(2024·湖北高考)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则(　　)
A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
解析：空间站变轨前、后在P点所受到的万有引力相同，
即其所受到的合力相同，根据牛顿第二定律可知，空间站变
轨前、后在P点的加速度相同，故A正确；因为空间站变轨后
其轨道的半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知，
空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故B错误；空间站在P点沿背离地球球心方向极短时间喷射气体，使空间站获得指向地球球心方向的反冲速度，根据平行四边形定则，空间站变轨后在P点的速度比变轨前的大，故C错误；由开普勒第二定律可知，空间站变轨后在P点的速度比变轨后在近地点的小，结合C项分析可知，空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误。

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