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物理
第讲　功和功率
(对应人教版必修第二册相关内容及问题)
　第八章第1节阅读“功”这一部分内容，功的表达式W＝Flcosα中的l指什么？α指什么？
提示：l指力的作用点的位移；α指力和位移方向的夹角。
　第八章第1节阅读“正功和负功”这一部分内容，总功怎样计算？
提示：几个力对物体做的总功等于各个力分别对物体所做功的代数和，也就是这几个力的合力对物体所做的功。
　第八章第1节“功率”部分的[思考与讨论]。
提示：通过减小速度提高牵引力。
　第八章第1节[练习与应用]T7。
提示：(1)汽车的加速度减小，速度增大。因P＝F牵v，v增大，故F牵减小，而a＝，所以加速度减小。
(2)当汽车的速度为v、加速度为a时，汽车的牵引力F牵＝ma＋F。发动机的额定功率P＝F牵v＝(ma＋F)v。当加速度减小到0时，汽车做匀速直线运动，F牵＝F。所以汽车行驶的最大速度vmax＝＝。
　第八章[复习与提高]A组T3。
提示：(1)如图所示。
(2)重力做功WG＝－mgxsinθ，推力做功WF＝Fx，支持力做功WN＝0，摩擦力做功Wf＝－Ffx＝－μmgxcosθ。
(3)总功W总＝WF＋WG＋Wf＋WN＝Fx－mgxsinθ－μmgxcosθ。
(4)合力F合＝F－mgsinθ－μmgcosθ。
(5)合力做功W合＝F合x＝(F－mgsinθ－μmgcosθ)x，显然W总＝W合。
考点一　功
1．定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。
2．物理意义：功是能量转化的量度。
3．做功的两个必要因素
(1)作用在物体上的力。
(2)物体在力的方向上发生的位移。
4．公式：W＝Flcosα。
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体对地的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
(3)功是标量。功的正负表示对物体做功的力是动力还是阻力。
5．功的正负
夹角 功的正负
0≤α< 力对物体做正功
<α≤π 力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功
α＝ 力对物体不做功
1．功是标量，功的正负表示大小。(　　) 2．一个力对物体做了负功，说明这个力一定阻碍物体的运动。(　　) 3．滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功；静摩擦力对物体一定不做功。(　　) 4．作用力做正功时，反作用力一定做负功。(　　) 5．力对物体做功的正负是由力与位移间的夹角大小决定的。(　　) 答案：1．×　2．√　3．×　4．×　5．√
1．定性判断力是否做功及做正、负功的方法
(1)看力F的方向与位移l的方向间的夹角α——常用于恒力做功的情形。
(2)看力F的方向与速度v的方向间的夹角θ——常用于曲线运动的情形。
(3)根据动能的变化判断——动能定理描述了合力做功与动能变化的关系，即W合＝ΔEk，当动能增加时合力做正功，当动能减少时合力做负功。
(4)根据功能关系或能量守恒定律判断。
2．合力做功的计算方法
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcosα求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
方法三：先求动能变化ΔEk，再利用动能定理W合＝ΔEk求功。
例1　图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼(忽略扶梯对手的作用)，图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止。下列关于力做功的判断正确的是(　　)
A．甲图中支持力对人做正功
B．甲图中摩擦力对人做负功
C．乙图中支持力对人做正功
D．乙图中摩擦力对人做负功
[答案]　A
[解析]　女士和男士均匀速上楼，均处于平衡状态。对图甲中女士受力分析如图1，受重力和支持力两个力，不受摩擦力，支持力与速度v的夹角为锐角，做正功，故A正确，B错误。对图乙中男士受力分析如图2，受重力、支持力与静摩擦力，支持力与速度v的夹角为90°，不做功，Ff与速度方向相同，做正功，故C、D错误。
例2　如图，长为L的固定斜面与竖直方向夹角为α，质量为m的木块从斜面顶端滑到底端的过程，斜面与木块之间的支持力大小为N，摩擦力大小为f，则(　　)
A．重力做功为mgLsinα B．支持力做功为NLcosα
C．摩擦力做功为－fLcosα D．摩擦力做功为－fL
[答案]　D
[解析]　斜面高度为h＝Lcosα，重力做功为WG＝mgh＝mgLcosα，故A错误；支持力的方向与运动方向垂直，故支持力不做功，B错误；摩擦力方向与运动方向相反，做负功，为Wf＝－fL，故C错误，D正确。
1．使用W＝Flcosα应注意的几个问题 (1)位移l ①“l”应取作用点的位移。 ②“l”的取值一般以地面为参考系。 (2)力F ①力的独立性原理，即求某个力做的功仅与该力及物体沿该力方向的位移有关，而与其他力是否存在、是否做功无关。 ②力只能是恒力。此公式只能求恒力做功。 (3)α是l与F之间的夹角。 2．摩擦力做功的特点 (1)单个摩擦力(包括静摩擦力和滑动摩擦力)可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 (2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零；相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零，且总为负值。 (3)相互作用的一对滑动摩擦力做功过程中会发生物体间机械能转移和机械能转化为内能，内能Q＝Ffl相对，其中l相对为相对路程(即相对运动轨迹的长度)。
考点二　功率
1．定义：功W与完成这些功所用时间t之比叫作功率。
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢。
3．公式：P＝，P为时间t内的平均功率。
4．功率与速度的关系
若物体在恒力F作用下沿F的方向做直线运动，则F的功率P与速度v的关系为：P＝Fv。
(1)v为平均速度，则P为平均功率。
(2)v为瞬时速度，则P为瞬时功率。
说明：功率的定义式P＝是普遍适用的，功率与速度的关系式P＝Fv是机械功率的导出公式，此式在其他情况下不一定成立。
5．额定功率与实际功率
(1)额定功率
机械正常工作时的最大输出功率。
(2)实际功率
机械实际工作时的功率，要求不大于额定功率。
1．瞬时功率与速度的一般关系式
(1)公式：若t时刻力F与瞬时速度v的方向之间的夹角是α，则t时刻力F的瞬时功率P＝Fvcosα。
(2)适用条件：可以证明，该公式既适用于恒力的功率，也适用于变力的功率；既适用于直线运动，也适用于曲线运动。(根据功的定义式W＝Flcosα和功率的定义式P＝，借助微元法，可以证明此结论)
(3)对公式P＝Fvcosα的理解：可认为Fcosα是力F在速度v方向上的分力，也可认为vcosα是速度v在力F方向上的分速度。
2．平均功率的计算方法
(1)利用功的定义式W＝Flcosα和功率的定义式P＝计算平均功率。
(2)若力F是恒力，物体沿F方向的平均速度是F，也可以利用导出公式＝F·F计算平均功率。
①证明：无论物体做直线运动还是曲线运动，当F为恒力时，F的平均功率＝＝＝＝＝F·F。
②应用实例：可以用此公式快速计算平抛运动过程重力的平均功率。
易错警示：若F不是恒力，则不能用＝F·F计算平均功率。
例3　质量为2 kg的物体做自由落体运动，经过2 s落地。取g＝10 m/s2。关于重力做功、功率，下列说法正确的是(　　)
A．下落过程中重力做的功是200 J
B．下落过程中重力的平均功率是100 W
C．落地前的瞬间重力的瞬时功率是200 W
D．落地前的瞬间重力的瞬时功率是400 W
[答案]　D
[解析]　物体下落的高度为h＝gt2＝20 m，则下落过程中重力做的功是W＝mgh＝400 J，故A错误；重力做功的平均功率为＝＝200 W，故B错误；落地前瞬间物体的速度v＝gt＝20 m/s，则重力做功的瞬时功率P＝mgv＝400 W，故C错误，D正确。
例4　(2025·山西省吕梁市高三联考)如图所示，某同学在学校附近山地上练习打高尔夫球。第一次他将高尔夫球沿水平方向击出，落在水平地面的M点；第二次他从同一位置将同一高尔夫球沿水平方向击出，落在水平地面的N点，不计空气阻力，高尔夫球可视为质点。对于两次高尔夫球从击出到落地的过程，下列说法正确的是(　　)
A．两次击出的高尔夫球在空中运动时间不相同
B．第一次击出的高尔夫球的初速度更大
C．两次击出的高尔夫球在空中运动过程中的重力的平均功率相等
D．第二次击出的高尔夫球落地前瞬间重力的瞬时功率更大
[答案]　C
[解析]　击出的高尔夫球做平抛运动，竖直方向上有h＝gt2，解得高尔夫球在空中运动的时间t＝，可知两次击出的高尔夫球在空中运动时间相同，A错误；高尔夫球在水平方向有x＝vt，由题图知第一次击出的高尔夫球水平位移更小，则初速度更小，B错误；因为重力做功W＝mgh相同，两次击出的高尔夫球在空中运动时间相同，则重力的平均功率P＝相同，C正确；高尔夫球落地前瞬间重力的瞬时功率P′＝mgvy＝mg·gt，故两次击出的高尔夫球落地前瞬间重力的瞬时功率相同，D错误。
考点三　变力做功的计算
方法 举例说明
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
平均力法 弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做功W＝·(x2－x1)
图像法 在F x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功
W＝Pt法 当某个变力的功率恒定时，可以利用W＝Pt求解该变力做的功
等效转换法 用恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·
应用动能定理 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：WF－mgL(1－cosθ)＝0，得WF＝mgL(1－cosθ)
例5　(多选)如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小F阻不变，则下列说法正确的是(　　)
A．重力做功为mgL B．悬线的拉力做功为0
C．空气阻力做功为－mgL D．空气阻力做功为－F阻πL
[答案]　ABD
[解析]　根据W＝Flcosα，摆球下摆过程中，重力做功为mgL，A正确；悬线的拉力始终与速度方向垂直，故做功为0，B正确；空气阻力的大小不变，方向始终与速度方向相反，故做功为－F阻·πL，C错误，D正确。
例6　如图所示，一滑雪运动员从山坡上的A点由静止开始滑到山坡底的B点，该运动员和雪橇的总质量为m，滑到B点的速度大小为v，A、B两点的高度差为h，重力加速度为g，在此过程中，该运动员和雪橇克服阻力做的功为(　　)
A．mgh B．mv2
C．mgh－mv2 D．mgh＋mv2
[答案]　C
[解析]　从A点到B点过程，只有重力和阻力对运动员和雪橇做功，由动能定理得mgh－Wf＝mv2－0，解得运动员和雪橇克服阻力做的功为Wf＝mgh－mv2，故选C。
考点四　机车启动问题
1．两种启动方式的比较
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P t图和v t图
OA段 过程分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不变 F不变，v↑ P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB 段 过程分析 F＝F阻 a＝0 vm＝ v↑ F＝↓ a＝↓
运动性质 以vm匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
BC段 无 F＝F阻 a＝0 以vm＝匀速直线运动
2．两个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速直线运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v1＝例7　一质量为m的汽车，启动后在发动机功率保持不变的条件下在水平路面上行驶，经过一段时间后以速度v匀速行驶，若汽车在行驶中受到的阻力大小f保持不变，则(　　)
A．发动机功率P＝fv
B．启动过程中，汽车做匀加速运动
C．在车速为v时，汽车的加速度大小为
D．发动机在t时间内做的功为2fvt
[答案]　A
[解析]　汽车在匀速行驶时，牵引力的大小等于阻力，则发动机功率为P＝F牵0v＝fv，A正确；汽车发动机功率保持不变，在启动过程中，速度逐渐增大，当汽车的速度为v′时，有P＝F牵v′，解得F牵＝，可知随汽车速度的增大，牵引力逐渐减小，由牛顿第二定律可得汽车的加速度a＝减小，因此汽车在启动过程中，做加速度逐渐减小的加速运动，B错误；在车速为v时，汽车的牵引力为F牵1＝＝4f，由牛顿第二定律可得汽车的加速度大小为a′＝＝，C错误；发动机在t时间内做的功为W＝Pt＝fvt，D错误。
例8　(2025·安徽省“耀正优＋”高三上12月联考)一质量m＝40 kg的儿童电动汽车在水平地面上由静止开始做直线运动，一段时间内的速度随时间变化的关系图像如图所示，0～3 s内为直线，3 s末功率达到额定功率，之后功率保持不变，10 s末电动汽车的速度达到最大值，14 s末关闭发动机，经过一段时间电动汽车停止运动。整个过程中电动汽车受到的阻力大小恒为60 N，下列说法正确的是(　　)
A．0～3 s内，牵引力的大小为900 N
B．电动汽车的额定功率为180 W
C．电动汽车的最大速度为5 m/s
D．整个过程中，电动汽车所受阻力做的功为3750 J
[答案]　C
[解析]　由图可知，0～3 s内，电动汽车的加速度大小a1＝ m/s2＝1 m/s2，由牛顿第二定律有F1－f＝ma1，解得牵引力大小F1＝100 N，3 s末功率达到额定功率，则电动汽车的额定功率P＝F1v1＝100×3 W＝300 W，电动汽车速度最大时，所受牵引力大小等于阻力大小，由P＝fvm，解得电动汽车的最大速度为vm＝5 m/s，故A、B错误，C正确；整个过程中，对电动汽车，由动能定理有F1··t1＋Pt2＋Wf＝0－0，其中t1＝3 s，t2＝14 s－3 s＝11 s，解得电动汽车所受阻力做的功Wf＝－3750 J，故D错误。
解决机车启动问题时的四点注意 (1)首先弄清是恒定加速度启动还是恒定功率启动。 (2)若是恒定加速度启动过程，机车功率是不断改变的，但该过程中的最大功率是额定功率，匀加速直线运动阶段的最大速度小于机车所能达到的最大速度，达到额定功率后做加速度减小的加速运动。 (3)若是恒定功率启动过程，机车做加速度减小的加速运动，匀变速直线运动的规律不适用，速度最大值等于，牵引力是变力，牵引力做的功可用W＝P额t计算，但不能用W＝Flcosα计算。 (4)无论哪种启动方式，最后达到最大速度时，均满足P额＝F阻vm，P额为机车的额定功率。
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．质量为m的物体沿倾角为θ的斜面滑到底端时的速度大小为v，则此时重力的瞬时功率为(　　)
A．mgv B．mgvsinθ
C．mgvcosθ D．mgvtanθ
答案：B
解析：重力与物体的速度之间的夹角为90°－θ，则重力的瞬时功率为P＝mgvcos(90°－θ)＝mgvsinθ，所以B正确。
2．(人教版必修第二册·第八章第1节[练习与应用]T3改编)(多选)一位质量m＝60 kg的滑雪运动员从高h＝10 m的斜坡自由下滑，如果运动员在下滑过程中受到的阻力F＝50 N，斜坡的倾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2，运动员滑至坡底的过程中，关于各力做功的情况，下列说法正确的是(　　)
A．重力做功为6000 J B．阻力做功为1000 J
C．支持力不做功 D．各力做的总功为零
答案：AC
解析：重力做功WG＝mgh＝6000 J，故A正确；阻力做功WF＝－F＝－1000 J，故B错误；支持力与位移夹角为90°，不做功，故C正确；由以上分析可知，各力做的总功为W总＝WG＋WF＝5000 J，故D错误。
3．(2025·福建省龙岩市高三上仿真模拟)质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。现使斜面向右水平匀速移动一段距离L，物体与斜面的相对位置不变，如图所示，在此过程中摩擦力对物体所做的功为(　　)
A．μmgLcos2θ B．－μmgLcos2θ
C．mgLsinθcosθ D．－mgLsinθcosθ
答案：C
解析：物体随斜面一起向右水平匀速移动时，受力分析如图所示，由平衡条件可知，物体所受的静摩擦力f＝mgsinθ，摩擦力对物体所做的功为W＝fLcosθ＝mgLsinθcosθ，故选C。
4．一物体所受的力F随位移x变化的图像如图所示，则(　　)
A．力F在0～3 m的过程中对物体做了3 J的功
B．力F在3～4 m的过程中对物体做了－2 J的功
C．物体在4～5 m的过程中克服力F做了1 J的功
D．力F在0～5 m的过程中对物体做了8 J的功
答案：C
解析：F x图像中图线与x轴围成的面积表示力做功的大小，则力F在0～3 m的过程中对物体做的功为W1＝2×3 J＝6 J，在3～4 m的过程中对物体做的功为W2＝×2×(4－3) J＝1 J，物体在4～5 m的过程中克服力F做的功为W3＝×2×(5－4) J＝1 J，力F在0～5 m的过程中对物体做的功为W总＝W1＋W2－W3＝6 J＋1 J－1 J＝6 J，故C正确，A、B、D错误。
5．(多选)如图所示，建筑工人通过滑轮装置将一质量是100 kg的料车沿30°角的斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L是4 m，若不计滑轮的质量和各处的摩擦力，g取10 N/kg，则对这一过程，下列说法正确的是(　　)
A．人拉绳子的力做功为1000 J
B．人拉绳子的力做功为2000 J
C．料车受到的重力做功为2000 J
D．料车受到的合力对料车做的总功为0
答案：BD
解析：设工人拉绳子的力为F，料车的质量为m，对料车，由平衡条件可知2F＝mgsin30°，解得F＝250 N，工人将料车拉到斜面顶端时，力F作用点的位移s＝2L＝8 m，人拉绳子的力做的功W1＝Fs＝2000 J，故A错误，B正确；料车受到的重力做功W2＝－mgh＝－mgLsin30°＝－2000 J，故C错误；由于料车在斜面上匀速运动，则料车所受的合力始终为0，合力对料车做的总功为0，故D正确。
6．一辆质量为m的汽车，从静止开始运动，其阻力为车重的λ倍，其牵引力的大小F＝kx＋Ff，其中k为比例系数，x为车前进的距离，Ff为车所受的阻力，重力加速度为g，则当车前进的距离为s时牵引力做的功为(　　)
A．λmgs B．ks2
C．ks2＋λmgs D．(ks2＋λmgs)
答案：C
解析：由题意可知汽车受到的阻力大小为Ff＝λmg，当x＝0时，牵引力大小为F1＝Ff，当x＝s时，牵引力大小为F2＝ks＋Ff，由于牵引力随位移线性变化，所以整个过程的平均牵引力大小为＝＝ks＋λmg，牵引力做的功为W＝s＝ks2＋λmgs，故选C。
7．如图所示，一根轻绳绕过轻滑轮(大小、摩擦均不计)，绳的一端拴一质量为m＝10 kg的物体，另一侧沿竖直方向的绳被人拉住。若人的手到滑轮最高点的距离为4 m，拉住绳子前进3 m，使物体匀速上升，g取10 m/s2。则人拉绳的力所做的功为(　　)
A．500 J B．300 J
C．100 J D．50 J
答案：C
解析：人拉绳的力所做的功等于绳拉物体的力所做的功，由于物体匀速上升，则绳的拉力F＝mg，由几何知识知，物体上升的位移h＝ m－4 m＝1 m，则绳拉物体的力所做的功W′＝Fh＝mgh，故人拉绳的力所做的功W＝W′＝100 J，C正确。
8．把A、B两相同小球在离地面同一高度处以相同大小的初速度v0分别沿水平方向和竖直方向抛出，不计空气阻力，如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．两小球落地时速度相同
B．两小球落地时，重力的瞬时功率相同
C．从开始运动至落地，重力对两小球做功相同
D．从开始运动至落地，重力对两小球做功的平均功率相同
答案：C
解析：初始时，两小球高度相同，速度大小相等，两小球在运动的过程中都只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律可知两小球落地时速度大小相等，但方向不同，所以速度不同，故A错误；两小球重力相等，到达底端时速率相同，但小球A的重力与速度有夹角，小球B的重力与速度方向相同，根据PG＝mgvcosθ可知，落地前的瞬间小球B的重力的瞬时功率大于小球A的重力的瞬时功率，故B错误；设两小球初始时距地面的高度均为h，从开始运动至落地，重力对两小球做功都为mgh，重力对两小球做功相同，故C正确；由竖直方向的分运动可知，从开始运动至落地，小球A运动的时间比小球B更短，根据＝可知，重力对小球A做功的平均功率更大，故D错误。
9．已知动车组列车每节动车的额定功率相同，每节动车与拖车质量相等，动车组运行时所受阻力与其重力成正比。若某动车组由4节动车加8节拖车组成，其运行的最大速率为240 km/h，
则由该4节动车加4节拖车组成的动车组，运行的最大速率为(　　)
A．480 km/h B．360 km/h
C．320 km/h D．240 km/h
答案：B
解析：设每节车质量为m，每节车厢所受阻力为f＝kmg，则4节动车加8节拖车以最大速率运行时，有F牵1＝12f，4Pm＝F牵1vm1，其中vm1＝240 km/h，4节动车加4节拖车以最大速率运行时，有F牵2＝8f，4Pm＝F牵2vm2，联立解得vm2＝360 km/h，故选B。
10．(2024·辽宁省朝阳地区高三上期中)(多选)一辆汽车在水平平直公路上由静止开始匀加速启动，汽车的输出功率与速度的关系如图所示，当汽车的速度达到v0后功率保持不变，汽车能达到的最大速度为2v0。已知汽车的质量为m，运动过程中所受的阻力恒为f，下列说法正确的是(　　)
A．汽车的最大功率为fv0
B．汽车匀加速时的加速度大小为
C．汽车做匀加速直线运动的时间为
D．汽车的速度从v0增加到2v0的过程中，其加速度逐渐减小
答案：BD
解析：汽车达到最大速度vm＝2v0时，牵引力最小，且Fmin＝f，则汽车的最大功率为Pm＝Fminvm＝2fv0，故A错误；汽车匀加速启动时，根据牛顿第二定律有F0－f＝ma0，汽车速度为v0时的牵引力大小F0＝，联立可得汽车匀加速时的加速度大小为a0＝，故B正确；汽车做匀加速直线运动的时间为t＝＝，故C错误；汽车的速度从v0增加到2v0的过程中，根据牛顿第二定律有F－f＝ma，汽车的牵引力为F＝，可得a＝，则汽车的速度v从v0增加到2v0的过程中，加速度逐渐减小，故D正确。
[B组　综合提升练]
11．(2023·山东高考)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为(　　)
A． B．
C． D．nmgωRH
答案：B
解析：由题意可知，水轮每转一圈灌入稻田的水的总质量为m总＝2πRnm×60%＝1．2πRnm，筒车对这些水做的功W＝m总gH，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为P＝，其中T＝，联立解得P＝，故选B。
12．一辆汽车在平直公路上保持恒定功率P0以速度v0匀速行驶，t1时刻驾驶员立即将功率增大到2P0行驶一段时间，t2时刻遇到险情，驾驶员立即将功率减小到P0继续向前行驶。整个过程汽车所受阻力恒定，则该过程中汽车的速度v随时间t变化的关系图像可能正确的是(　　)
答案：B
解析：汽车原来以功率P0、速度v0匀速行驶时，牵引力等于阻力，即F0＝f，t1时刻，功率增大到2P0，由P＝Fv可知，牵引力变为原来的2倍，即2F0，由牛顿第二定律可得2F0－f＝ma，汽车开始做加速运动，之后随着牵引力逐渐减小，加速度减小，当速度增大到2v0时，牵引力减小到与阻力相等；t2时刻，功率减小到P0，牵引力变为原来的一半，即F0，由牛顿第二定律可得f－F0＝ma，汽车开始做减速运动，之后随着牵引力逐渐增大，加速度减小，当速度减小到v0时，牵引力增大到与阻力相等，之后维持匀速运动，B正确。
13．“广湛”高铁将茂名到广州的通行时间缩短至2小时。假设静止的动车启动后沿平直轨道行驶，发动机功率恒定，行车过程中受到的阻力恒为f，已知动车质量为m、最高行驶速度为vm，下列说法正确的是(　　)
A．动车启动过程中所受合外力不变
B．动车发动机功率为fvm
C．从启动到运动至最大速度过程中，动车平均速度为
D．从启动到运动至最大速度过程中，动车牵引力做功为mv
答案：B
解析：动车启动过程中，发动机功率恒定，根据P＝Fv，速度变大，可知牵引力变小，又动车所受合外力F合＝F－f，则该过程动车所受合外力变小，故A错误；动车速度最大时，加速度为零，有F＝f，则动车发动机功率P＝Fvm＝fvm，故B正确；从启动到最大速度过程中，动车做加速度减小的加速运动，其v t图像为上凸曲线，如图所示，图线与时间轴所围图形面积比从静止做匀加速直线运动到vm的图线与时间轴所围图形面积大，又动车匀加速到vm时，其平均速度为，则由＝可知，动车平均速度大于，故C错误；动车从启动到最大速度过程中，根据动能定理有WF－Wf＝mv，其中Wf为动车克服阻力f做的功，且Wf＞0，则动车牵引力做的功WF大于mv，故D错误。
[C组　拔尖培优练]
14．(2021·湖南高考)“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率
均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比(F阻＝kv，k为常量)，动车组能达到的最大速度为vm。下列说法正确的是(　　)
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为2．25P，则动车组匀速行驶的速度为vm
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为mv－Pt
答案：C
解析：动车组在匀加速启动过程中，由牛顿第二定律有F－F阻＝ma，加速度a恒定，F阻＝kv随速度增大而增大，则牵引力也随速度增大而增大，故A错误；若四节动力车厢输出功率均为额定值，由牛顿第二定律有－kv＝ma，可知加速启动的过程，加速度逐渐减小，故B错误；若四节动力车厢输出的总功率为2．25P，动车组匀速行驶时加速度为零，有＝kv1，而以额定功率匀速行驶时有＝kvm，联立解得v1＝vm，故C正确；若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，由动能定理可知4Pt－W阻＝mv－0，可得动车组克服阻力做的功为W阻＝4Pt－mv，故D错误。
1(共67张PPT)
第六章 机械能及其守恒定律
第1讲　功和功率
目录
1
2
3
教材阅读指导
考点一　功
考点二　功率
考点三 变力做功的计算
考点四 机车启动问题
课时作业
4
5
6
教材阅读指导
(对应人教版必修第二册相关内容及问题)
第八章第1节阅读“功”这一部分内容，功的表达式W＝Flcosα中的l指什么？α指什么？
第八章第1节阅读“正功和负功”这一部分内容，总功怎样计算？
第八章第1节“功率”部分的[思考与讨论]。
提示：l指力的作用点的位移；α指力和位移方向的夹角。
提示：几个力对物体做的总功等于各个力分别对物体所做功的代数和，也就是这几个力的合力对物体所做的功。
提示：通过减小速度提高牵引力。
　 第八章第1节[练习与应用]T7。
第八章[复习与提高]A组T3。
提示： (1)如图所示。
(2)重力做功WG＝－mgxsinθ，推力做功WF＝Fx，支持力做功WN＝0，摩擦力做功Wf＝－Ffx＝－μmgxcosθ。
(3)总功W总＝WF＋WG＋Wf＋WN＝Fx－mgxsinθ－μmgxcosθ。
(4)合力F合＝F－mgsinθ－μmgcosθ。
(5)合力做功W合＝F合x＝(F－mgsinθ－μmgcosθ)x，显然W总＝W合。
考点一　功
1．定义：一个物体受到力的作用，如果在__________上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。
2．物理意义：功是__________的量度。
3．做功的两个必要因素
(1)作用在物体上的_____。
(2)物体在__________上发生的位移。
力的方向
能量转化
力
力的方向
4．公式：W＝_______。
(1)α是力与______方向之间的夹角，l为物体对地的位移。
(2)该公式只适用于______做功。
(3)功是_____量。功的正负表示对物体做功的力是动力还是阻力。
Flcosα
位移
恒力
标
正功
5．功的正负
负功
克服
不做功
1．功是标量，功的正负表示大小。(　　)
2．一个力对物体做了负功，说明这个力一定阻碍物体的运动。(　　)
3．滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功；静摩擦力对物体一定不做功。
( 　)
4．作用力做正功时，反作用力一定做负功。(　　)
5．力对物体做功的正负是由力与位移间的夹角大小决定的。(　　)
×
√
×
×
√
1．定性判断力是否做功及做正、负功的方法
(1)看力F的方向与位移l的方向间的夹角α——常用于恒力做功的情形。
(2)看力F的方向与速度v的方向间的夹角θ——常用于曲线运动的情形。
(3)根据动能的变化判断——动能定理描述了合力做功与动能变化的关系，即W合＝ΔEk，当动能增加时合力做正功，当动能减少时合力做负功。
(4)根据功能关系或能量守恒定律判断。
2．合力做功的计算方法
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcosα求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
方法三：先求动能变化ΔEk，再利用动能定理W合＝ΔEk求功。
例1　图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼(忽略扶梯对手的作用)，图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止。下列关于力做功的判断正确的是(　　)
A．甲图中支持力对人做正功
B．甲图中摩擦力对人做负功
C．乙图中支持力对人做正功
D．乙图中摩擦力对人做负功
解析　女士和男士均匀速上楼，均处于平衡状态。对图甲中女士受力分析如图1，受重力和支持力两个力，不受摩擦力，支持力与速度v的夹角为锐角，做正功，故A正确，B错误。对图乙中男士受力分析如图2，受重力、支持力与静摩擦力，支持力与速度v的夹角为90°，不做功，Ff与速度方向相同，做正功，故C、D错误。
例2　如图，长为L的固定斜面与竖直方向夹角为α，质量为m的木块从斜面顶端滑到底端的过程，斜面与木块之间的支持力大小为N，摩擦力大小为f，则(　　)
A．重力做功为mgLsinα
B．支持力做功为NLcosα
C．摩擦力做功为－fLcosα
D．摩擦力做功为－fL
解析　斜面高度为h＝Lcosα，重力做功为WG＝mgh＝mgLcosα，故A错误；支持力的方向与运动方向垂直，故支持力不做功，B错误；摩擦力方向与运动方向相反，做负功，为Wf＝－fL，故C错误，D正确。
1．使用W＝Flcosα应注意的几个问题
(1)位移l
①“l”应取作用点的位移。
②“l”的取值一般以地面为参考系。
(2)力F
①力的独立性原理，即求某个力做的功仅与该力及物体沿该力方向的位移有关，而与其他力是否存在、是否做功无关。
②力只能是恒力。此公式只能求恒力做功。
(3)α是l与F之间的夹角。
2．摩擦力做功的特点
(1)单个摩擦力(包括静摩擦力和滑动摩擦力)可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
(2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零；相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零，且总为负值。
(3)相互作用的一对滑动摩擦力做功过程中会发生物体间机械能转移和机械能转化为内能，内能Q＝Ffl相对，其中l相对为相对路程(即相对运动轨迹的长度)。
考点二　功率
之比
做功的快慢
平均功率
Fv
平均功率
瞬时功率
说明：功率的定义式P＝是普遍适用的，功率与速度的关系式P＝Fv是机械功率的导出公式，此式在其他情况下不一定成立。
5．额定功率与实际功率
(1)额定功率
机械__________时的最大输出功率。
(2)实际功率
机械__________时的功率，要求不大于__________。
正常工作
实际工作
额定功率
例3　质量为2 kg的物体做自由落体运动，经过2 s落地。取g＝10 m/s2。关于重力做功、功率，下列说法正确的是(　　)
A．下落过程中重力做的功是200 J
B．下落过程中重力的平均功率是100 W
C．落地前的瞬间重力的瞬时功率是200 W
D．落地前的瞬间重力的瞬时功率是400 W
例4　(2025·山西省吕梁市高三联考)如图所示，某同学在学校附近山地上练习打高尔夫球。第一次他将高尔夫球沿水平方向击出，落在水平地面的M点；第二次他从同一位置将同一高尔夫球沿水平方向击出，落在水平地面的N点，不计空气阻力，高尔夫球可视为质点。对于两次高尔夫球从击出到落地的过程，下列说法正确的是(　　)
A．两次击出的高尔夫球在空中运动时间不相同
B．第一次击出的高尔夫球的初速度更大
C．两次击出的高尔夫球在空中运动过程中的重力的平均功率相等
D．第二次击出的高尔夫球落地前瞬间重力的瞬时功率更大
考点三　变力做功的计算
考点四　机车启动问题
1．两种启动方式的比较
例8　(2025·安徽省“耀正优＋”高三上12月联考)一质量m＝40 kg的儿童电动汽车在水平地面上由静止开始做直线运动，一段时间内的速度随时间变化的关系图像如图所示，0～3 s内为直线，3 s末功率达到额定功率，之后功率保持不变，10 s末电动汽车的速度达到最大值，14 s末关闭发动机，经过一段时间电动汽车停止运动。整个过程中电动汽车受到的阻力大小恒为60 N，下列说法正确的是(　　)
A．0～3 s内，牵引力的大小为900 N
B．电动汽车的额定功率为180 W
C．电动汽车的最大速度为5 m/s
D．整个过程中，电动汽车所受阻力做的功为3750 J
解决机车启动问题时的四点注意
(1)首先弄清是恒定加速度启动还是恒定功率启动。
(2)若是恒定加速度启动过程，机车功率是不断改变的，但该过程中的最大功率是额定功率，匀加速直线运动阶段的最大速度小于机车所能达到的最大速度，达到额定功率后做加速度减小的加速运动。
(3)若是恒定功率启动过程，机车做加速度减小的加速运动，匀变速直线运动的规律不适用，速度最大值等于，牵引力是变力，牵引力做的功可用W＝P额t计算，但不能用W＝Flcosα计算。
(4)无论哪种启动方式，最后达到最大速度时，均满足P额＝F阻vm，P额为机车的额定功率。
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．质量为m的物体沿倾角为θ的斜面滑到底端时的速度大小为v，则此时重力的瞬时功率为(　　)
A．mgv B．mgvsinθ
C．mgvcosθ D．mgvtanθ
解析：重力与物体的速度之间的夹角为90°－θ，则重力的瞬时功率为P＝mgvcos(90°－θ)＝mgvsinθ，所以B正确。
2．(人教版必修第二册·第八章第1节[练习与应用]T3改编)(多选)一位质量m＝60 kg的滑雪运动员从高h＝10 m的斜坡自由下滑，如果运动员在下滑过程中受到的阻力F＝50 N，斜坡的倾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2，运动员滑至坡底的过程中，关于各力做功的情况，下列说法正确的是(　　)
A．重力做功为6000 J B．阻力做功为1000 J
C．支持力不做功 D．各力做的总功为零
3．(2025·福建省龙岩市高三上仿真模拟)质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。现使斜面向右水平匀速移动一段距离L，物体与斜面的相对位置不变，如图所示，在此过程中摩擦力对物体所做的功为(　　)
A．μmgLcos2θ B．－μmgLcos2θ
C．mgLsinθcosθ D．－mgLsinθcosθ
解析：物体随斜面一起向右水平匀速移动时，受力分析如图所示，由平衡条件可知，物体所受的静摩擦力f＝mgsinθ，摩擦力对物体所做的功为W＝fLcosθ＝mgLsinθcosθ，故选C。
4．一物体所受的力F随位移x变化的图像如图所示，则(　　)
A．力F在0～3 m的过程中对物体做了3 J的功
B．力F在3～4 m的过程中对物体做了－2 J的功
C．物体在4～5 m的过程中克服力F做了1 J的功
D．力F在0～5 m的过程中对物体做了8 J的功
5．(多选)如图所示，建筑工人通过滑轮装置将一质量是100 kg的料车沿30°角的斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L是4 m，若不计滑轮的质量和各处的摩擦力，g取10 N/kg，则对这一过程，下列说法正确的是(　　)
A．人拉绳子的力做功为1000 J
B．人拉绳子的力做功为2000 J
C．料车受到的重力做功为2000 J
D．料车受到的合力对料车做的总功为0
解析：设工人拉绳子的力为F，料车的质量为m，对料车，由平衡条件可知2F＝mgsin30°，解得F＝250 N，工人将料车拉到斜面顶端时，力F作用点的位移s＝2L＝8 m，人拉绳子的力做的功W1＝Fs＝2000 J，故A错误，B正确；料车受到的重力做功W2＝－mgh＝－mgLsin30°＝－2000 J，故C错误；由于料车在斜面上匀速运动，则料车所受的合力始终为0，合力对料车做的总功为0，故D正确。
7．如图所示，一根轻绳绕过轻滑轮(大小、摩擦均不计)，绳的一端拴一质量为m＝10 kg的物体，另一侧沿竖直方向的绳被人拉住。若人的手到滑轮最高点的距离为4 m，拉住绳子前进3 m，使物体匀速上升，
g取10 m/s2。则人拉绳的力所做的功为(　　)
A．500 J B．300 J
C．100 J D．50 J
8．把A、B两相同小球在离地面同一高度处以相同大小的初速度v0分别沿水平方向和竖直方向抛出，不计空气阻力，如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．两小球落地时速度相同
B．两小球落地时，重力的瞬时功率相同
C．从开始运动至落地，重力对两小球做功相同
D．从开始运动至落地，重力对两小球做功的平
均功率相同
9．已知动车组列车每节动车的额定功率相同，每节动车与拖车质量相等，动车组运行时所受阻力与其重力成正比。若某动车组由4节动车加8节拖车组成，其运行的最大速率为240 km/h，则由该4节动车加4节拖车组成的动车组，运行的最大速率为(　　)
A．480 km/h B．360 km/h
C．320 km/h D．240 km/h
解析：设每节车质量为m，每节车厢所受阻力为f＝kmg，则4节动车加8节拖车以最大速率运行时，有F牵1＝12f，4Pm＝F牵1vm1，其中vm1＝240 km/h，4节动车加4节拖车以最大速率运行时，有F牵2＝8f，4Pm＝F牵2vm2，联立解得vm2＝360 km/h，故选B。
12．一辆汽车在平直公路上保持恒定功率P0以速度v0匀速行驶，t1时刻驾驶员立即将功率增大到2P0行驶一段时间，t2时刻遇到险情，驾驶员立即将功率减小到P0继续向前行驶。整个过程汽车所受阻力恒定，则该过程中汽车的速度v随时间t变化的关系图像可能正确的是(　　)

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