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2024-2025 学年北京市某中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知{ }为等差数列，前 项和为 ， 3 + 7 = 6， 11 = 11，则公差 =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
2.已知等比数列{ }的前 项和为 ，若 2 = 1， 4 = 4，则 8 =( )
A. 40 B. 30 C. 13 D. 50
3.如图，小明从街道的 处出发，先到 处与小红会合，再一起到位于 处的老年公寓参加志愿者活动，则小
明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A. 24 B. 18 C. 12 D. 9
4.若数列{ }满足 = 1 + + 2( ≥ 2)， 1 = 2，则 5 =( )
A. 16 B. 20 C. 24 D. 28
5.如图是 = ( )的导函数 ′( )的图象，则下列说法正确的个数是( )
① ( )在区间[ 2, 1]上是增函数；
② = 1 是 ( )的极小值点；
③在区间[ 1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；
④ = 1 是 ( )的极大值点．
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
6.已知函数 ( ) = ，则 ′( 2 )的值为( )
A. 2 B. 2 C. 1 D.
+ 3 ( ≤ 0)
7.若函数 ( ) = 1 3 4 + ( > 0)在定义域上只有一个零点，则实数 的取值范围是( )3
A. > 16 B. < 16 16 163 3 C. ≥ 3 D. ≤ 3
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8.等比数列{ }的公比为 ，前 项和为 .设甲： > 0，乙：{ }是递增数列，则甲是乙的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.已知 0( 30 ≠ 0)是函数 ( ) = + 2 + + 的极大值点，则下列结论不正确的是( )
A. ∈ ， ( ) > ( 0)
B. ( )一定存在极小值点
C.若 = 0，则 0是函数 ( )的极小值点
D.若 = 0，则 < 0
10.已知数列{ }满足 1 = ( > 0)， +1 = + 1，给出下列三个结论：
①不存在 ，使得数列{ }单调递减；
②对任意的 ，不等式 +2 + < 2 +1对所有的 ∈ 恒成立；
③当 = 1 时，存在常数 ，使得 < 2 + 对所有的 ∈ 都成立．
其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.由 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50000 的偶数共有______个. (用数字作答)
12.设函数 ( ) = + ，已知直线 为曲线 = ( )的一条切线，且直线 的斜率为 2，则直线 的方程为
______．
13.已知等差数列{ }的公差为 2，若 1， 3， 4成等比数列，则 2 = ，数列{ }的前 项和 的最小值
是 ．
14.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三
颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有依次为第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的 5 个诸侯
分 60 个橘子，他们分得的橘子个数成公差为 3 的等差数列，问 5 人各得多少橘子．”根据这个问题，可以
得到第二等诸侯分得的橘子个数是______．
15.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹
布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数 ( )，存在一个点 0，使得 ( 0) = 0，那么我们称
该函数为“不动点”函数，而称 0为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是______．
①函数 ( ) = 有 3 个不动点；
②函数 ( ) = 2 + + ( ≠ 0)至多有两个不动点；
③若函数 ( ) = 2 + + ( ≠ 0)没有不动点，则方程 ( ( )) = 无实根；
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④设函数 ( ) = + ( ∈ , 为自然对数的底数)，若曲线 = 上存在点( 0, 0)使 ( ( 0)) = 0
成立，则 的取值范围是[1, ]．
三、解答题：本题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 12 分)
已知数列{ }为等差数列，且满足 2 = 0， 6 = 12，数列{ }的前 项和为 ，且 1 = 1， +1 = 2 + 1．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)证明：{ }是等比数列，并求{ }的通项公式；
(3)若对任意的 ∈ ，不等式 ( +
1
2 ) ≥ 恒成立，求实数 的取值范围．
17.(本小题 12 分)
1
设函数 ( ) = 3
3 2 3 + 1．
(Ⅰ)求 ( )的单调区间；
(Ⅱ)当 ∈ [0,4]时，求 ( )的最大值与最小值．
18.(本小题 12 分)
已知正项数列{ }的前 项和为 ，且 1 = 1， = + 1( ∈ 且 ≥ 2)．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2) 1求数列{ }的前 项和 ． +1
19.(本小题 13 分)
+1
若函数 ( ) = ．
(1)求曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线的方程；
(2) 1判断方程 ( ) = 2解的个数，并说明理由；
(3)当 > 0，设 ( ) = ( ) + 1 22 ，求 ( )的单调区间．
20.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = ，且 ( ) ≥ 0．
(1)求 ；
(2)设 ( ) = ( )，证明： ( ) 1存在唯一的极大值点 0，且 ( 0) < 4．
21.(本小题 13 分)
已知{ }是无穷数列，给出两个性质：
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①对于{ }中任意两项 ， ( > )，在{ }中都存在一项 ，使得 2 = ．
②对于{ }中任意一项 ( 3)，在{ }中都存在两项 ， ，( > )，使得 = 2 ．
(1)若 = 2 ( = 1,2, …)，判断{ }是否满足性质①，说明理由：
(2)若 = 3 ( = 1,2, …)，判断数列{ }是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(3)若{ }是单调递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{ }为等差数列．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.36
12.2 1 = 0
13. 6； 20
14.9
15.②③④
16.解：(1) ∵ 6 2 = 4 = 12，∴ = 3，
∴ = 2 + ( 2) ，即 = 3 6；
(2) ∵ +1 = 2 + 1，∴ = 2 1 + 1( ≥ 2)，
∴ +1 = 2( 1)

，∴ +1 = 3 +1 ( ≥ 2)， = 3(常数)，
又 2 = 2 1 + 1 = 3， 2 = 3 1也成立，
∴ { }是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，
∴ = 3 1．
(3) = 1(1
) 1 3 3 1
1 = 1 3 = 2 ，
3 ∴ ( 1+ 12 2 ) ≥ 3 6 对 ∈
恒成立，
6( 2)
即 ≥ 3 对 ∈
恒成立，
= 2令 3 ， =
2 3 = 2 +7 1 3 3 1 3 ，
当 ≤ 3 时， > 1，当 ≥ 4 时， < 1，
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∴ ( ) = =
1 2
3 27，故 ≥ 6 3 = 9，
即 2的取值范围为[ 9 , + ∞)．
17.解：(Ⅰ)定义域为 ， ′( ) = 2 2 3 = ( + 1)( 3)，
′( ) > 0 < 1 或 > 3， ′( ) < 0 1 < < 3，
故 ( )的单调递减区间为( 1,3)，单调递增区间为( ∞, 1)，(3, + ∞)；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ( )在[0,3]上单调递减，在[3,4]上单调递增，
故 ( ) = (3) = 8
17
，由 (0) = 1 > (4) = 3，故 ( ) = 1．
18.解：(1) ∵ = 1( ≥ 2)，
∴ = ( 1)( + 1)( ≥ 2)，
又 = + 1( ≥ 2, ∈ ), > 0，
∴ 1 = 1( ≥ 2)，
∴数列{ }是以 1 = 1 = 1 = 1 为首项，1 为公差的等差数列，
∴ = 1 + ( 1) = ，∴ = 2 ，
当 ≥ 2 时， = = 2 1 ( 1)2 = 2 1，
当 = 1 时， 1 = 1，满足上式，
∴数列{ }的通项公式为 = 2 1；
(2)由(1)可知， = 2 1，
= 1 + 1 + 1 + + 1 1 2 2 3 3 4 +1
= 11×3 +
1 1 1
3×5 + 5×7 + + (2 1)(2 +1)
= 12 × [(
1 11 3 ) + (
1 1 1 1
3 5 ) + + ( 2 1 2 +1 )]
= 12 × (1
1
2 +1 )
= 2 +1，
∴当 ∈ 时， =

2 +1．
19.解：(1)由于导函数 ′( ) = ，因此 ′(0) = 0，又因为 (0) = 1，因此切线方程为 = 1．
(2) ( ) = 12有两个解．
根据第一问可得，函数 ( )在( ∞,0)上单调递增，在(0, + ∞)上单调递减，
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( )的最大值为 (0) = 1，
当 → ∞时， ( ) → ∞，当 →+∞时， ( ) → 0 1，因此 = 2与函数 ( )有两个焦点，
所以方程 ( ) = 12有两个解．

(3) ( 1)函数 ′( ) = ′( ) + = ( > 0)，

当 = 1 时，导函数 ′( ) = ( 1) ≥ 0，函数 ( )在( ∞, + ∞)上单调递增；
当 > 1 时， < 0，因此 ∈ ( , 0)时，导函数 ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
∈ ( ∞, )和 ∈ (0, + ∞)时，导函数 ′( ) > 0，函数 ( )单调递增；
当 0 < < 1 时， > 0，因此 ∈ (0, )时，导函数 ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
∈ ( ∞,0)和 ∈ ( , + ∞)时，导函数 ′( ) > 0，函数 ( )单调递增；
综上所述：当 = 1 时， ( )的单调增区间为( ∞, + ∞)；
当 > 1 时， ( )的单调减区间为( , 0)，单调增区间为( ∞, )和(0, + ∞)；
当 0 < < 1 时， ( )的单调减区间为(0, )，单调增区间为( ∞,0)和( , + ∞)．
20.解：(1)函数 ( ) = ， ∈ (0, + ∞)， (1) = 0，
′( ) = 1 ，
≤ 0 时， ′( ) ≤ 0，函数 ( )在 ∈ (0, + ∞)上单调递减，
而 (1) = 0，∴ > 1 时， ( ) < 0，不满足题意，舍去．
( 1)
> 0 时， ′( ) = ，
( ) 1 1可得函数 在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增，
∴ = 1 时，函数 ( )取得极小值，而 (1) = 0，
1
因此必然有 = 1，解得 = 1．
(2)证明：函数 ( ) = 1，
( ) = ( ) = 2 ，
′( ) = 2 2 = ( )， (1) = 0，
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1 2(
1)
′( ) = 2 =
2
，
可得函数 ( )在(0, 12 )
1
上单调递减，在( 2 , + ∞)上单调递增，
→ 0+时， ( ) →+∞
1 1
； = 2时，函数 ( )取得极小值， ( 2 ) = 1 + 2 < 0； →+∞时， ( ) →+∞．
∴ 0 ∈ (0,
1
2 )，使得 ( 0) = 0，即 0 = 2 0 2．
且函数 ( )在(0, 0)上单调递增，在( 0, 1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增．
0为函数 ( )的唯一极大值点，
且 ( 0) = 2
0+2 0 2 1
0 0(2 0 2) 0 = 0(2 0) < ( 2 ) = 4．
因此 ( ) 1存在唯一的极大值点 0，且 ( 0) < 4．
21.解：(1)取 = 4， = 3，
由 3 = 8， 4 = 16，2 4 3 = 32 8 = 24，24 不是 2 的次幂，故不存在一项 ，使得 2 = ．
则{ }不满足性质①．
(2)数列{ }同时满足性质①和性质②．
证明：对性质①：∵ , ∈ , > , 2 = 6 3 = 3(2 ), 2 ∈ ．
∴ 2 = 2 ，
取 = 2 ，∴ { }具有性质①；
对性质②：
∵ ∈ ， 3，2 = 3(2 ) = = 3 ，
∴只需 = 2 ，取 = 1， = 2 满足，
∴ { }具有性质②，
则数列{ }同时满足性质①和性质②；
(3)先证明 3 = 2 2 1．
性质②：对于{ }中任意一项 ( 3)，在{ }中都存在两项 ， ，( > )，使得 = 2 ．
可取 = 3，此时 3 = 2 ( > )，
由数列的单调递增可知 > ，
而 3 = + ( ) > ，故 < 3，
此时必有 = 2， = 1，即 3 = 2 2 1 2 1 = 3 2，
所以， 1， 2， 3成等差数列．
下面用数学归纳法证明数列为等差数列．
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假设数列{ }的前 ( 3)项成等差数列，不妨设 = 1 + ( 1) ，(1 )，
因为数列递增，所以 > 0．
由①可得：存在整数 ，满足 = 1 + ( 1) = 2 1 = 1 + > ，
且 = 1 + +1( )
由②得：存在 > ，满足： +1 = 2 = + ( ) > ，
由数列的单调递增可知： < ，
由 = 1 + ( 1) ，(1 )可得：
+1 = 2 = 1 + (2 1) > = 1 + ( 1) ( )，
由( )和( )式可得： 1 + 1 + (2 1) > 1 + ( 1) ，
结合数列的单调递增有： 2 1 > 1，
注意到 ， ， 均为整数，故 = 2 1，
代入( )式，从而 +1 = 1 + ．
综上可得，数列{ }的通项公式为： = 1 + ( 1) ．
即数列{ }为等差数列．
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