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物理
第讲　机械能守恒定律及其应用
(对应人教版必修第二册相关内容及问题)
　第八章第4节阅读“机械能守恒定律”这一部分内容，机械能守恒的条件是什么？
提示：只有重力或弹力做功。
　第八章第4节[练习与应用]T6。
提示：每层楼高度按3 m计算，在喷管喷水口处，设经过Δt的时间喷出水的质量为Δm，喷射速度为v，则Δm＝ρπvΔt，水从离开喷口至最高点的过程中，由机械能守恒定律得Δmgh＝Δmv2，Δt时间内电动机做功完全转化为水的动能时，有PΔt＝Δmv2，计算得电动机最小输出功率P＝4．6×105 W。
　第八章[复习与提高]B组T6。
提示：A受到的拉力是B受到的拉力的两倍，A上升。当A上升hA＝h时，B下降hB＝2h，设此时A、B的速度分别为vA、vB，则vB＝2vA。再根据A、B组成的系统机械能守恒得mghB＝mghA＋mv＋mv，解得vA＝。
考点一　机械能及机械能守恒定律
一、机械能
重力势能、弹性势能与动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。表达式为E＝Ek＋Ep。通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。
二、机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
2．常用的三种表达式
(1)守恒式：E1＝E2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。E1、E2分别表示系统初、末状态时的总机械能。
注意：初、末状态必须用同一零势能面计算势能。
(2)转化式：ΔEk＝或ΔEk增＝ΔEp减。表示系统动能的增加量等于势能的减少量。
注意：应用时关键在于分清势能的增加量或减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差。
(3)转移式：ΔEA＝－ΔEB或ΔEA增＝ΔEB减。表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能。
注意：常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题。
1．物体所受的合力为零，物体的机械能一定守恒。(　　) 2．物体的速度增大时，其机械能可能减小。(　　) 3．物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。(　　) 答案：1．×　2．√　3．√
机械能是否守恒的判断方法
(1)用机械能的定义判断(直接判断)：判断机械能是否守恒可以看物体系统机械能的总和是否变化。
(2)用做功判断：若物体系统只有重力或系统内弹力做功，虽受其他力，但其他力不做功，则机械能守恒。
(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒。
例1　(多选)如图所示，下列情景中，运动的火箭、物体、小球，其中机械能守恒的是(　　)
[答案]　CD
[解析]　火箭升空过程中，火箭做加速运动，火箭的重力势能增大，动能增大，机械能增大，故A错误；力F拉着物体匀速上升过程中，物体的重力势能增大，动能不变，机械能增大，故B错误；小球在水平面内做匀速圆周运动，动能不变，重力势能不变，小球机械能守恒，故C正确；小球在光滑的碗里做复杂的曲线运动，只有重力对小球做功，小球机械能守恒，故D正确。
判断机械能守恒应注意的“两点” (1)机械能守恒的条件绝不是合力的功等于零，更不是合力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”。 (2)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。
考点二　单物体的机械能守恒问题
求解单个物体机械能守恒问题的基本思路
(1)选取研究对象——物体及地球构成的系统。机械能守恒定律研究的是物体系统，如果是一个物体与地球构成的系统，一般只对物体进行研究。
(2)根据物体所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
(3)选取方便的机械能守恒定律方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp)进行求解。若应用方程Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，则首先要选取合适的参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能。若应用方程ΔEk＝－ΔEp，则不用选取参考平面。
(4)解方程，必要时对结果进行讨论，避免出现与实际不符的情形。
例2　(人教版必修第二册·第八章第4节[练习与应用]T3改编)(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．重力对物体做的功为mgh
B．物体在海平面上的重力势能为mgh
C．物体在海平面上的动能为mv－mgh
D．物体在海平面上的机械能为mv
[答案]　AD
[解析]　从地面到海平面重力对物体做的功为mgh，故A正确；地面为零势能面，所以物体在海平面上的重力势能为－mgh，故B错误；物体在地面上的机械能为mv，由机械能守恒定律得，物体在海平面上的机械能也为mv，故D正确；物体在海平面上的动能为mv－(－mgh)＝mv＋mgh，故C错误。
例3　(2025·天津市西青区高三上模拟)(多选)如图所示，劲度系数为k的竖直轻弹簧固定在水平地面上。质量为m的小球从弹簧正上方高h处自由下落，当弹簧的压缩量为x时，小球到达最低点。不计空气阻力，重力加速度为g。此过程中(　　)
A．小球的机械能守恒
B．当弹簧的压缩量为时，小球的动能最大
C．小球最大动能为mg
D．弹簧最大弹性势能为mg(h＋x)
[答案]　BD
[解析]　当小球与弹簧接触后，弹簧的弹力对小球做负功，小球的机械能减少，弹簧的弹性势能增加，小球的机械能不守恒，故A错误；当小球的加速度为0时，小球的动能最大，此时有mg＝kΔx，解得弹簧的压缩量为Δx＝，设此时弹簧的弹性势能为Ep1，根据机械能守恒定律可知，此时小球的动能为Ek＝mg－Ep1，故B正确，C错误；当小球运动到最低点时，小球的动能为零，弹簧的形变量最大，此时弹簧的弹性势能最大，设为Ep2，根据机械能守恒定律可得Ep2＝mg(h＋x)，故D正确。
考点三　多物体的机械能守恒问题
1．速率相等情境：如图所示，轻绳连接的A、B两物体系统。
两点提醒
(1)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
(2)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
2．角速度相等情境：如图所示，轻杆连接的A、B两物体系统。
两点提醒
(1)用杆连接的两个物体，若绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定两物体线速度v的大小关系。
(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
3．某一方向分速度相等情境(关联速度情境)：如图所示，两物体沿绳或沿杆方向的分速度大小相等。
4．含轻弹簧的系统机械能守恒问题
(1)弹簧发生形变时会具有弹性势能，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功，系统机械能守恒。
(2)弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹簧的弹性势能最大。
(3)对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，弹簧的伸长量和压缩量相等时，弹簧的弹性势能相等。
(4)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。
例4　如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　)
A．2R B．
C． D．
[答案]　C
[解析]　设小球B的质量为m，则小球A的质量为2m，小球A刚落地时，两球速度大小都为v，根据机械能守恒定律得2mgR＝×(2m＋m)v2＋mgR，A落地后，小球B继续上升的过程，由动能定理可得－mgh＝0－mv2，联立解得h＝，小球B上升的最大高度为h＋R＝，故选C。
例5　(2025·河南省信阳市高三上一模)如图所示，轻质的粗转轴上沿直径固定两根轻杆，轻杆上固定两个小球A、B，转轴的半径和杆的长度均为R，在粗转轴上缠绕有轻绳，轻绳下端与小球C相连，A、B、C三球质量相同，且都可看作质点。初始时系统处于静止，忽略一切摩擦，且A、B两球在水平线上，轻绳伸直但无拉力，现释放小球C使其从静止开始下落，下列说法正确的是(　　)
A．A、B两球组成系统的机械能不变
B．A球第一次转到最高点过程中轻杆对A球不做功
C．C球下落高度为R时，A球的速度大小为
D．C球下落高度为R时，C球的速度大小为
[答案]　D
[解析]　分析可知，A、B两球的重力势能之和始终保持不变，释放小球C后，小球C的重力势能转化为A、B、C的动能，则A、B两球组成系统的机械能增大，故A错误；小球A第一次转到最高点过程中，重力对小球A做负功，小球A的动能增大，由动能定理可知轻杆对A球做正功，故B错误；C球下落高度为R时，根据圆周运动线速度与角速度的关系有ω＝＝＝，对小球A、B、C组成的系统，根据机械能守恒定律有mgR＝mv＋mv＋mv，解得vA＝，vC＝，故C错误，D正确。
例6　(多选)如图所示，两根圈定的光滑竖直杆与光滑水平杆交于O点，质量均为1 kg的小环P、Q分别套在两杆上，两小环用长L＝1 m的轻直杆连接，将两小环从轻直杆与水平方向夹角为53°时同时由静止开始释放，当轻直杆与水平方向夹角为37°时，P、Q速度大小分别为vP1、vQ1；当P刚要到达O点前瞬间，P、Q速度大小分别为vP2、vQ2。已知重力加速度g取10 m/s2，sin53°＝0．8，cos53°＝0．6，两小环均可视为质点，不计空气阻力，则(　　)
A．vP2＝4 m/s B．vQ2＝3 m/s
C．vP1＝1．6 m/s D．vQ1＝1．2 m/s
[答案]　ACD
[解析]　P的重力势能转化为P、Q的动能，当轻直杆与水平方向夹角为37°时，对P、Q和轻直杆组成的系统，根据机械能守恒定律有mg·(Lsin53°－Lsin37°)＝mv＋mv，由运动的合成与分解可知，vP1sin37°＝vQ1cos37°，得vP1＝1．6 m/s，vQ1＝1．2 m/s，故C、D正确；当P刚要到达O点前瞬间，对P、Q和轻直杆组成的系统，根据机械能守恒定律有mgLsin53°＝mv＋mv，此时vP2与轻直杆垂直，沿杆方向的速度分量为0，由运动的合成与分解可知vQ2＝0，得vP2＝4 m/s，故A正确，B错误。
多物体系统机械能守恒问题的分析方法 (1)正确选取研究对象，合理选取物理过程。 (2)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。 (3)注意寻找用轻绳、轻杆或轻弹簧相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (4)列机械能守恒方程时，从三种表达式中选取方便求解问题的形式。
考点四　机械能守恒定律与动能定理的综合应用
1．机械能守恒定律和动能定理的比较
机械能守恒定律 动能定理
物理意义 重力或系统内弹力做功的过程是动能与势能转化的过程 合力对物体做的功是动能变化的量度
关注角度 能量守恒的角度 功是能量转化的量度
适用情况 只有重力或系统内弹力做功 无任何条件限制
2．机械能守恒定律和动能定理的选择
(1)单个物体只受重力作用时，动能定理和机械能守恒定律表达式在变形后相同。
(2)对两个物体组成的系统，当机械能守恒时，应用机械能守恒定律较方便。
(3)对有摩擦力或其他力做功的情况，只能用动能定理来解题。
例7　如图为一幼儿园的可调臂长的跷跷板的示意图，O为跷跷板的支点。开始时一质量为m的小朋友坐在跷跷板的A端，此时A端恰好着地，跷跷板与水平地面的夹角为θ＝30°。现有一质量为4m的老师坐在跷跷板的B端，经过一段时间后跷跷板到达水平位置。已知OA＝2L，OB＝L，不计空气阻力和跷跷板的质量，重力加速度大小为g，小朋友与老师均可视为质点，则(　　)
A．此过程中小朋友的机械能守恒
B．此过程中小朋友与老师的速度大小之比为1∶2
C．跷跷板处于水平位置时，老师的速度大小为
D．此过程中跷跷板对小朋友做的功为mgL
[答案]　D
[解析]　此过程中小朋友的速度增大，动能增大，重力势能增大，则小朋友的机械能增大，A错误；小朋友与老师的角速度总是相等，由于小朋友与老师绕O点转动的半径之比为2∶1，根据v＝ωr可知此过程中小朋友与老师的速度大小之比为2∶1，B错误；跷跷板处于水平位置时，设老师的速度大小为v，则小朋友的速度大小为2v，对老师、小朋友和跷跷板组成的系统，根据机械能守恒定律可得4mg·Lsin30°－mg·2Lsin30°＝m·(2v)2＋·4mv2，解得v＝，C错误；对小朋友，根据动能定理可得W－mg·2Lsin30°＝m·(2v)2－0，解得此过程中跷跷板对小朋友对物体做功W＝mgL，D正确。
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．如图所示，曲面体P静止于光滑水平面上，物块Q自P的上端由静止释放。Q与P的接触面光滑，Q在P上运动的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．Q对P做功为零 B．Q对P做正功
C．物块Q的机械能守恒 D．物块Q的机械能增加
答案：B
解析：Q在P上运动的过程中，Q对P的作用力斜向左下，则P相对地面向左运动，Q对P做正功，P的机械能增加，由机械能守恒定律可知Q的机械能减少，故B正确，A、C、D错误。
2．(2021·海南高考)水上乐园有一末段水平的滑梯，人从滑梯顶端由静止开始滑下后落入水中。如图所示，滑梯顶端到末端的高度H＝4．0 m，末端到水面的高度h＝1．0 m。取重力加速度g＝10 m/s2，将人视为质点，不计摩擦和空气阻力。则人的落水点到滑梯末端的水平距离为(　　)
A．4．0 m B．4．5 m
C．5．0 m D．5．5 m
答案：A
解析：设人从滑梯顶端由静止滑到滑梯末端的速度为v，根据机械能守恒定律可知mgH＝mv2，解得v＝4 m/s，从滑梯末端水平飞出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据h＝gt2可知落水时间为t＝＝ s＝ s，水平方向做匀速直线运动，则人的落水点到滑梯末端的水平距离为x＝vt＝4× m＝4．0 m，故选A。
3．如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两个相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．M球的机械能守恒 B．M球的机械能增大
C．M和N组成的系统机械能守恒 D．绳的拉力对N做负功
答案：C
解析：细杆光滑，故M、N组成的系统机械能守恒，M向下运动时N向左运动，绳的拉力对N做正功、对M做负功，则N的机械能增加，M的机械能减少，故C正确，A、B、D错误。
4．内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，长度为R的轻杆一端固定有质量为m的小球甲，另一端固定有质量为2m的小球乙。现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图所示，由静止释放后(　　)
A．下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能
B．下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能
C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
D．杆从右向左滑回时，乙球一定不能回到凹槽的最低点
答案：A
解析：环形凹槽内壁光滑，甲、乙两球组成的系统在运动过程中只有重力做功，所以系统机械能守恒，下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能，甲球减少的重力势能等于乙球增加的重力势能与甲、乙两球增加的动能之和，故A正确，B错误；若甲球沿凹槽下滑到槽的最低点，则乙球到达与甲球的初始位置等高处，由于乙球的质量比甲球大，此时甲、乙两球的机械能增加，明显违背机械能守恒定律，故甲球不可能下滑到槽的最低点，故C错误；由于机械能守恒，当两球动能均减为零时，系统的势能应该不变，故杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点，故D错误。
5．质量分别为2 kg、3 kg的物体A和B，系在一根不可伸长的轻绳两端，细绳跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的轻质定滑轮上，此时物体A离地面的高度为0．8 m，如图所示，斜面光滑且足够长，始终保持静止，g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A．物体A落地的速度为4 m/s
B．物体A落地的速度为 m/s
C．物体B沿斜面上滑的最大高度为0．68 m
D．物体B沿斜面上滑的最大高度为0．96 m
答案：B
解析：根据题意可知，物体A下降过程中，物体A、B组成的系统机械能守恒，设物体A落地的速度为v，由机械能守恒定律有mAgh－mBghsin30°＝(mA＋mB)v2－0，解得v＝ m/s，故A错误，B正确；根据题意可知，物体A落地瞬间B沿斜面上滑的距离为x1＝h＝0．8 m，设物体A落地之后B沿斜面上滑的距离为x2，由机械能守恒定律有mBgx2sin30°＝mBv2，解得x2＝0．16 m，则物体B沿斜面上滑的最大距离为x＝x1＋x2＝0．96 m，物体B沿斜面上滑的最大高度为hB＝xsin30°＝0．48 m，故C、D错误。
6．如图所示，粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体，管中液柱总长度为4h，开始时使两边液面高度差为h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：液柱移动时，除了重力做功以外，没有其他力做功，故机械能守恒。此题等效为原右侧高的液柱移到左侧(如图所示)，其重心高度下降了，减少的重力势能转化为液柱整体的动能，设液体的总质量为4m，则有mg·＝(4m)v2，解得v＝，A正确。
7．一轻绳系住一质量为m的小球悬挂在O点，在最低点先给小球一水平初速度，小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动，若在水平半径OP的中点A处钉一枚光滑的钉子，仍在最低点给小球同样的初速度，则小球向上通过P点后将绕A点做圆周运动，当小球到达最高点N时绳子的拉力大小为(　　)
A．0 B．2mg
C．3mg D．4mg
答案：C
解析：小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动，则在最高点有mg＝，解得v＝，从最低点到最高点，由机械能守恒定律可知mv＝2mgR＋mv2，解得初速度v0＝；若在水平半径OP的中点A处钉一枚光滑的钉子，设小球到达最高点N时速度为v′，从最低点到N点，根据机械能守恒定律，有mv＝mgR＋mv′2，在N点有T＋mg＝，联立解得T＝3mg，故C正确。
8．(2024·江西省南昌市高三下三模)蹦极是一项非常刺激的户外运动。一质量为m的体验者(可视为质点)，绑着一根原长为L、劲度系数为k的弹性绳从高台上坠下。已知弹性绳的弹性势能Ep和形变量x的关系为Ep＝kx2。若不计空气阻力、体验者的初速度和绳的质量，则下列说法正确的是(　　)
A．下落过程中该体验者的机械能守恒
B．当弹性绳伸长量等于时，弹性绳的势能达到最大值
C．体验者的最大速度为
D．体验者下落的最大距离为
答案：C
解析：下落过程中，弹性绳的弹力对该体验者做负功，该体验者的机械能不守恒，故A错误；当体验者所受合力为0时，加速度为0，体验者的速度最大，此时kx1＝mg，弹性绳伸长量x1＝，对体验者和弹性绳组成的系统，根据机械能守恒定律有mg·(L＋x1)－kx＝mv，解得vm＝，故C正确；体验者下落至最低点时，速度为零，体验者的动能、重力势能均为最小值，对体验者和弹性绳组成的系统，根据机械能守恒定律，可知弹性绳的势能达到最大值，有mg(L＋x2)＝kx，解得此时弹性绳伸长量为x2＝，体验者下落的最大距离为s＝x2＋L＝L＋，故B、D错误。
9．(2025·辽宁省大连市高三上期中)(多选)如图所示，在竖直平面内有光滑轨道ABCD，其中AB是竖直轨道，CD是水平轨道，AB与BC相切于B点，BC与CD相切于C点。一根长为2R的轻杆两端分别固定着两个质量均为m的相同小球P、Q(视为质点)，将轻杆锁定在图示位置，并使Q与B等高。现解除锁定释放轻杆，轻杆将沿轨道下滑，重力加速度为g，则(　　)
A．小球P、Q和轻杆组成的系统机械能守恒
B．P球到达B点时，P球的速度大小为
C．P球到达C点前，P、Q两球的速度大小始终不相等
D．P球到达C点时Q球的速度大小为2
答案：AB
解析：在下滑的过程中，小球P、Q和轻杆组成的系统只有重力做功，系统的机械能守恒，故A正确；P球到达B点时，P球下降了2R，Q球下降了R，由几何关系知，此时轻杆与水平方向的夹角为30°，由速度的合成与分解可知vQcos30°＝vPcos60°，由机械能守恒定律有mg·2R＋mgR＝mv＋mv，解得P球的速度大小为vP＝，故B正确；P球到达C点前，由速度的合成与分解可知小球P、Q的速度满足vQ′cosθ＝vP′sinθ(θ为轻杆与水平方向的夹角)，则当θ＝45°时P、Q两球的速度大小相等，由几何关系可知，杆的长度2R＞，θ＝45°的情况可以实现，故C错误；P球到达C点时，P球下降了3R，Q球下降了R，P、Q两球速度相等，由机械能守恒定律可知mg·3R＋mgR＝2×mv2，解得Q球的速度大小为v＝2，故D错误。
10．(多选)如图所示，在长为L的轻杆中点和端点分别固定一质量为m、2m的小球A、B，杆可绕光滑的轴O转动，将杆从水平位置由静止释放。重力加速度大小为g，两球均视为质点，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A．当杆转到竖直位置时，两球的速度大小相等
B．当杆转到竖直位置时，B球的速度大小为
C．杆在转动的过程中，A球的机械能守恒
D．杆从水平位置转到竖直位置的过程中，杆对B球做的功为mgL
答案：BD
解析：两球同轴转动，角速度相等，由于B球运动轨迹的半径为A球的2倍，根据v＝ωr可知，当杆转到竖直位置时，B球的速度大小为A球的2倍，A错误；在杆转到竖直位置的过程，对A、B球和杆组成的系统，由机械能守恒定律有mg＋2mgL＝m＋×2m(ωL)2，此时B球的速度大小vB＝ωL，解得vB＝，B正确；设杆从水平位置转到竖直位置的过程中，杆对B球做的功为W，则有2mgL＋W＝×2mv－0，解得W＝mgL，D正确；根据D项分析，杆对B球做正功，B球的机械能增大，由于A、B球和杆组成的系统机械能守恒，可知杆在转动的过程中，A球的机械能减小，C错误。
[B组　综合提升练]
11．(2025·八省联考陕西卷)(多选)如图，倾角为30°且足够长的光滑斜劈固定在水平面上，P、Q两个物体通过轻绳跨过光滑定滑轮连接，Q的另一端与固定在水平面的竖直轻弹簧连接，P和Q的质量分别为4m和m。初始时，控制P使轻绳伸直且无拉力，滑轮左侧轻绳与斜劈上表面平行，右侧轻绳竖直，弹簧始终在弹性限度范围内，弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g。现无初速释放P，则在物体P沿斜劈下滑过程中(　　)
A．轻绳拉力大小一直增大
B．物体P的加速度大小一直增大
C．物体P沿斜劈下滑的最大距离为
D．物体P的最大动能为
答案：AD
解析：释放物体P前，对Q根据平衡条件有mg＝kx1，可得弹簧的压缩量x1＝，设物体P沿斜劈下滑的最大距离为xmax，根据系统机械能守恒可得4mg·xmaxsin30°＝mg·xmax＋k(xmax－x1)2－kx，解得xmax＝，故C错误；设物体P向下运动过程中，弹簧的压缩量为Δx(当弹簧伸长时Δx<0)，根据牛顿第二定律，对P有4mgsin30°－T＝4ma，对Q有T－mg＋kΔx＝ma，可得物体P的加速度a＝，轻绳拉力T＝mg－kΔx，结合C项分析知，Δx的最大值Δxmax＝x1＝，最小值Δxmin＝－(xmax－x1)＝－，即随着Δx减小，物体P的加速度a从大于0逐渐减小到小于0，即其加速度大小先减小后增大，轻绳拉力T大小一直增大，故A正确，B错误；当P的加速度为零时，速度最大，动能最大，此时根据平衡条件，对P有4mgsin30°＝2mg＝T′，对Q有T′＝kx′＋mg，解得弹簧伸长量x′＝，由于x′＝x1，则此时弹簧的弹性势能与初始状态相等，设此时P的动能为Ek，根据动能表达式及P、Q的质量关系可知Q的动能为，对P、Q组成的系统，根据动能定理有4mg(x′＋x1)sin30°－mg(x′＋x1)＝Ek＋－0，解得Ek＝，故D正确。
12．如图所示，不可伸长细绳的一端固定在O点，另一端系着一金属小球，小球的质量为m，细绳长为l。将细绳拉直，让细绳从偏离水平方向30°的位置由静止释放小球，已知重力加速度为g。求：
(1)细绳刚伸直时小球的速度大小；
(2)小球运动到最低点A时细绳受到的拉力。
答案：(1)　(2)3．5mg
解析：(1)小球先做自由落体运动，设细绳刚伸直时小球的速度大小为v1，小球下降的高度
h＝2lsin30°
根据机械能守恒定律得mgh＝mv
解得v1＝。
(2)细绳伸直后瞬间，设小球在垂直细绳方向的速度为v2，根据运动的分解得
v2＝v1cos30°＝
设小球运动到最低点A时的速度为v3，以过A点的水平面为零势能面，根据机械能守恒定律得mv＋mgl(1－sin30°)＝mv
联立解得v3＝
小球在最低点，由牛顿第二定律得
T－mg＝m
解得细绳对小球的拉力T＝3．5mg
由牛顿第三定律可知，小球运动到最低点A时细绳受到的拉力为3．5mg。
[C组　拔尖培优练]
13．如图所示，滑块a穿在固定的光滑竖直杆上，滑块b放在光滑水平地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接。将a从距地面一定高度处由静止释放，a、b均可视为质点，在a着地前的运动过程中，下列说法正确的是(　　)
A．滑块a的机械能先减小后增大
B．滑块a的动能先增大后减小
C．轻杆对a的作用力先增大后减小
D．滑块a的加速度先减小后增大
答案：A
解析：开始时b的速度为零，由于受到杆的推力而加速；在a着地时，根据a、b沿杆方向的速度相等，由速度的分解可知，b的速度也为零，所以在整个过程中，b的速度先增大后减小，动能先增大后减小，对a和b组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，则a的机械能先减小后增大，故A正确。在a下滑过程中，b的速度先增大后减小，在b的速度由0到最大的过程，设轻杆与竖直方向的夹角为θ，根据速度关系有vacosθ＝vbsinθ，所以va＝vbtanθ，这个过程中vb增大，θ增大，所以a的速度增大，则a的动能增大；b的速度由最大减小到0的过程中，b的动能减小，a的重力势能减小，由a、b系统机械能守恒可知，a的动能增大，所以在a着地前的运动过程中，滑块a的动能一直增大，故B错误。在整个过程中，b的速度先增大后减小，动能先增大后减小，则杆对b先做正功，后做负功，因此杆对b的作用力先是推力后是拉力，杆对a的作用力先是推力后是拉力，所以杆对a的作用力有一个先减小后增大的过程，故C错误。由C项分析可知，开始时杆对a的弹力在竖直方向上的分力向上，a的加速度小于g，当b的速度最大，杆的弹力为零时，a的加速度等于g，此后杆对a的弹力在竖直方向上的分力向下，则a的加速度大于g，在此期间，a的加速度增大；而a着地时杆对a的弹力在竖直方向上的分力为零，故a的加速度为g，所以滑块a的加速度有一个先增大后减小的过程，故D错误。
1(共64张PPT)
第六章 机械能及其守恒定律
第3讲 机械能守恒定律及其应用
目录
1
2
3
教材阅读指导
考点一　机械能及机械能守恒定律
考点二　单物体的机械能守恒问题
考点三 多物体的机械能守恒问题
考点四 机械能守恒定律与动能定理的综合应用
课时作业
4
5
6
教材阅读指导
(对应人教版必修第二册相关内容及问题)
第八章第4节阅读“机械能守恒定律”这一部分内容，机械能守恒的条件是什么？
　 第八章第4节[练习与应用]T6。
提示：只有重力或弹力做功。
第八章[复习与提高]B组T6。
考点一　机械能及机械能守恒定律
一、机械能
__________、__________与动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。表达式为E＝Ek＋Ep。通过______或______做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。
二、机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内， _______与_______可以互相转化，而总的机械能__________。
重力势能
弹性势能
重力
弹力
动能
势能
保持不变
2．常用的三种表达式
(1)守恒式：________或__________________。E1、E2分别表示系统初、末状态时的总机械能。
注意：初、末状态必须用同一零势能面计算势能。
(2)转化式：ΔEk＝ _______或ΔEk增＝ _______。表示系统动能的增加量等于势能的减少量。
注意：应用时关键在于分清势能的增加量或减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差。
(3)转移式：ΔEA＝_______或ΔEA增＝_______。表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能。
注意：常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题。
E1＝E2
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2
－ΔEp
ΔEp减
－ΔEB
ΔEB减
1．物体所受的合力为零，物体的机械能一定守恒。(　　)
2．物体的速度增大时，其机械能可能减小。(　　)
3．物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。(　　)
×
√
√
机械能是否守恒的判断方法
(1)用机械能的定义判断(直接判断)：判断机械能是否守恒可以看物体系统机械能的总和是否变化。
(2)用做功判断：若物体系统只有重力或系统内弹力做功，虽受其他力，但其他力不做功，则机械能守恒。
(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒。
例1　(多选)如图所示，下列情景中，运动的火箭、物体、小球，其中机械能守恒的是(　　)
解析　火箭升空过程中，火箭做加速运动，火箭的重力势能增大，动能增大，机械能增大，故A错误；力F拉着物体匀速上升过程中，物体的重力势能增大，动能不变，机械能增大，故B错误；小球在水平面内做匀速圆周运动，动能不变，重力势能不变，小球机械能守恒，故C正确；小球在光滑的碗里做复杂的曲线运动，只有重力对小球做功，小球机械能守恒，故D正确。
判断机械能守恒应注意的“两点”
(1)机械能守恒的条件绝不是合力的功等于零，更不是合力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”。
(2)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。
考点二　单物体的机械能守恒问题
求解单个物体机械能守恒问题的基本思路
(1)选取研究对象——物体及地球构成的系统。机械能守恒定律研究的是物体系统，如果是一个物体与地球构成的系统，一般只对物体进行研究。
(2)根据物体所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
(3)选取方便的机械能守恒定律方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp)进行求解。若应用方程Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，则首先要选取合适的参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能。若应用方程ΔEk＝－ΔEp，则不用选取参考平面。
(4)解方程，必要时对结果进行讨论，避免出现与实际不符的情形。
考点三　多物体的机械能守恒问题
1．速率相等情境：如图所示，轻绳连接的A、B两物体系统。
两点提醒
(1)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
(2)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
2．角速度相等情境：如图所示，轻杆连接的A、B两物体系统。
两点提醒
(1)用杆连接的两个物体，若绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定两物体线速度v的大小关系。
(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
3．某一方向分速度相等情境(关联速度情境)：如图所示，两物体沿绳或沿杆方向的分速度大小相等。
4．含轻弹簧的系统机械能守恒问题
(1)弹簧发生形变时会具有弹性势能，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功，系统机械能守恒。
(2)弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹簧的弹性势能最大。
(3)对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，弹簧的伸长量和压缩量相等时，弹簧的弹性势能相等。
(4)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。
例6　(多选)如图所示，两根圈定的光滑竖直杆与光滑水平杆交于O点，质量均为1 kg的小环P、Q分别套在两杆上，两小环用长L＝1 m的轻直杆连接，将两小环从轻直杆与水平方向夹角为53°时同时由静止开始释放，当轻直杆与水平方向夹角为37°时，P、Q速度大小分别为vP1、vQ1；当P刚要到达O点前瞬间，P、Q速度大小分别为vP2、vQ2。已知重力加速度g取10 m/s2，sin53°＝0．8，cos53°＝0．6，两小环均可视为质点，不计空气阻力，则(　　)
A．vP2＝4 m/s
B．vQ2＝3 m/s
C．vP1＝1．6 m/s
D．vQ1＝1．2 m/s
多物体系统机械能守恒问题的分析方法
(1)正确选取研究对象，合理选取物理过程。
(2)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
(3)注意寻找用轻绳、轻杆或轻弹簧相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(4)列机械能守恒方程时，从三种表达式中选取方便求解问题的形式。
考点四 机械能守恒定律与动能定理的综合应用
1．机械能守恒定律和动能定理的比较
机械能守恒定律 动能定理
物理意义 重力或系统内弹力做功的过程是动能与势能转化的过程 合力对物体做的功是动能变化的量度
关注角度 能量守恒的角度 功是能量转化的量度
适用情况 只有重力或系统内弹力做功 无任何条件限制
2．机械能守恒定律和动能定理的选择
(1)单个物体只受重力作用时，动能定理和机械能守恒定律表达式在变形后相同。
(2)对两个物体组成的系统，当机械能守恒时，应用机械能守恒定律较方便。
(3)对有摩擦力或其他力做功的情况，只能用动能定理来解题。
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．如图所示，曲面体P静止于光滑水平面上，物块Q自P的上端由静止释放。Q与P的接触面光滑，Q在P上运动的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．Q对P做功为零
B．Q对P做正功
C．物块Q的机械能守恒
D．物块Q的机械能增加
解析：Q在P上运动的过程中，Q对P的作用力斜向左下，则P相对地面向左运动，Q对P做正功，P的机械能增加，由机械能守恒定律可知Q的机械能减少，故B正确，A、C、D错误。
2．(2021·海南高考)水上乐园有一末段水平的滑梯，人从滑梯顶端由静止开始滑下后落入水中。如图所示，滑梯顶端到末端的高度H＝4．0 m，末端到水面的高度h＝1．0 m。取重力加速度g＝10 m/s2，将人视为质点，不计摩擦和空气阻力。则人的落水点到滑梯末端的水平距离为(　　)
A．4．0 m B．4．5 m
C．5．0 m D．5．5 m
3．如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两个相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中，
下列说法中正确的是(　　)
A．M球的机械能守恒 B．M球的机械能增大
C．M和N组成的系统机械能守恒 D．绳的拉力对N做负功
解析：细杆光滑，故M、N组成的系统机械能守恒，M向下运动时N向左运动，绳的拉力对N做正功、对M做负功，则N的机械能增加，M的机械能减少，故C正确，A、B、D错误。
4．内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，
长度为R的轻杆一端固定有质量为m的小球甲，另一端固
定有质量为2m的小球乙。现将两小球放入凹槽内，小球乙
位于凹槽的最低点，如图所示，由静止释放后(　　)
A．下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能
B．下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能
C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
D．杆从右向左滑回时，乙球一定不能回到凹槽的最低点
解析：环形凹槽内壁光滑，甲、乙两球组成的系统在运动
过程中只有重力做功，所以系统机械能守恒，下滑过程中甲球
减少的机械能总是等于乙球增加的机械能，甲球减少的重力势
能等于乙球增加的重力势能与甲、乙两球增加的动能之和，
故A正确，B错误；若甲球沿凹槽下滑到槽的最低点，则乙球到达与甲球的初始位置等高处，由于乙球的质量比甲球大，此时甲、乙两球的机械能增加，明显违背机械能守恒定律，故甲球不可能下滑到槽的最低点，故C错误；由于机械能守恒，当两球动能均减为零时，系统的势能应该不变，故杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点，故D错误。
12．如图所示，不可伸长细绳的一端固定在O点，另一端系着一金属小球，小球的质量为m，细绳长为l。将细绳拉直，让细绳从偏离水平方向30°的位置由静止释放小球，已知重力加速度为g。求：
(1)细绳刚伸直时小球的速度大小；
(2)小球运动到最低点A时细绳受到的拉力。
[C组　拔尖培优练]
13．如图所示，滑块a穿在固定的光滑竖直杆上，滑块b放在光滑水平地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接。将a从距地面一定高度处由静止释放，a、b均可视为质点，在a着地前的运动过程中，下列说法正确的是(　　)
A．滑块a的机械能先减小后增大
B．滑块a的动能先增大后减小
C．轻杆对a的作用力先增大后减小
D．滑块a的加速度先减小后增大
解析：开始时b的速度为零，由于受到杆的推力而加速；
在a着地时，根据a、b沿杆方向的速度相等，由速度的分解
可知，b的速度也为零，所以在整个过程中，b的速度先增大
后减小，动能先增大后减小，对a和b组成的系统，只有重力
做功，系统的机械能守恒，则a的机械能先减小后增大，故A正确。在a下滑过程中，b的速度先增大后减小，在b的速度由0到最大的过程，设轻杆与竖直方向的夹角为θ，根据速度关系有vacosθ＝vbsinθ，所以va＝vbtanθ，这个过程中vb增大，θ增大，所以a的速度增大，则a的动能增大；b的速度由最大减小到0的过程中，b的动能减小，a的重力势能减小，由a、b系统机械能守恒可知，a的动能增大，
所以在a着地前的运动过程中，滑块a的动能一直增大，
故B错误。在整个过程中，b的速度先增大后减小，动能先
增大后减小，则杆对b先做正功，后做负功，因此杆对b的
作用力先是推力后是拉力，杆对a的作用力先是推力后是拉力，所以杆对a的作用力有一个先减小后增大的过程，故C错误。由C项分析可知，开始时杆对a的弹力在竖直方向上的分力向上，a的加速度小于g，当b的速度最大，杆的弹力为零时，a的加速度等于g，此后杆对a的弹力在竖直方向上的分力向下，则a的加速度大于g，在此期间，a的加速度增大；而a着地时杆对a的弹力在竖直方向上的分力为零，故a的加速度为g，所以滑块a的加速度有一个先增大后减小的过程，故D错误。

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