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2024~2025 学年度第二学期期中联考
高二数学
本试卷满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题（共9小题，每小题5分，共计 45 分.每小题有且仅有一项符合题目要求）
1.已知函数 则=（ ）
2.在一次数学复习课上，黑板上从左至右分别为直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线5道题.现有6名学生去黑板上作答，甲乙同学先后作答同一道题，丙同学作答的题目不能与甲乙作答的题目相邻，则6名学生的答题方案有（ ）
A. 60种 B. 72种 C. 120种 D. 144种
3.设随机变量X的分布列如下表格，且随机变量X的数学期望 则E（bX+a）=（ ）
0 1 2
A. C. D.
4.若函数 则 的单调递增区间是（ ）
5.·甲罐中有3 个红球、2个黑球·乙罐中有4个红球、2个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐.以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出两个球，以B表示事件“由乙罐取出的两个球均是红球”，则 P（B|A）=（ ）
A. C. D.
则a，b，c的大小关系为（ ）
7. 设 则下列结论中正确的个数为（
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 个
8.千里烟尘书香近，异乡耕耘报国情。离家辛勤育人梦，天下繁花桃李红。越来越多的大学生选择毕业后支教边远山区，这项活动不仅是对孩子们未来的投资，也是这些年轻志愿者自身成长与蜕变的旅程.现有5名大学生，每人从甘肃、贵州、云南地区选择一个地区支教，则至少有2人都选择贵州地区支教的概率为（
9.已知函数 对于 恒有 则实数 的取值范围为（ ）
B.
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共计 30分）
10. 在 的展开式中，x 的系数为 （用数字作答）.
11. 曲线 在x =1处切线的一般式方程为 .
12.在一次高二数学联考中，某校数学成绩X近似服从正态分布N（90，σ ）.
已知P（60≤X≤90）=0.21，则从该校高二学生中任选一名学生，其数学成绩为120分以上的概率为 .
13.2025年，上海合作组织峰会、2025夏季达沃斯论坛双主场齐聚天津！现需将6名工作人员安排到“内宾接待”、“会议保障”、“媒体宣传”三项工作，每人必须安排且只能安排一项工作，若“内宾接待”安排2名工作人员，“会议保障”、“媒体宣传”至少安排1名工作人员，则不同的安排方法有 种（用数字作答）；若三项工作各安排2人，则甲和乙安排相同工作的概率为 .
14.已知函数及其导函数的定义域均为R， 是偶函数， 函数的图象是一条连续不断的曲线， 且，则不等式 的解集为 .
15.已知函数 函数 若方程恰有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 .
三、解答题（本题共5小题，共75分.解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，只有结果的不给分）
16. （本题满分11分）
已知函数
（1）求函数的极值;
（2）若方程在上有两个不相等的实数根， 求实数的取值范围.
17.（本题满分15分）
为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛.
（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率；
（2）设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望
18.（本题满分15分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形， 四边形ADNM 是矩形，ND⊥平面ABCD， AD=2， AM =1， 点E为AB的中点.
（1）求证 AN//平面MEC；
（2）求平面MEC与平面MBC夹角的余弦值；
（3）在直线AM上存在动点P，使得直线PE与平面MBC所成角的余弦值为
求线段PE的长.
19. （本题满分17分）
已知函数
（1）讨论的单调性;
（2）当时， ， 求实数 的最大值.
（3）当时， 设的极大值为， 求证:
20.（本题满分17分）
已知函数 其中a， b∈R）.
（1）当a=2时， 直线是曲线的一条切线， 求实数b的值;
（2）当b =0时， 若， 使得 求实数a的取值范围；
（3）若方程 有两个不同的实数根，
证明：
2024～2025学年度第二学期期中联考高二数学答案
一、选择题（每题5分，共45分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A D D B C B D B D
二、填空题（每题5分，共30分）
10． 11． 12．0.29
13．210； 14． 15．
三、解答题（共75分）
16．（1）．
的定义域为
令，则，
令，则
在单调递减，在单调递增．
极小值，无极大值．
（2）由（1）可知在单调递减，在上单调递增．
17．解：（1）
（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4．
随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
随机变量的数学期望为
18．解（1）设与交于点，
则是的中点．连接
四边形是菱形，是矩形，
所以且，且，
则且，
四边形是平行四边形，
是的中点，，
平面，平面，
平面．
（2）连接，由四边形是菱形，，
为正三角形，
又是的中点，
得，即，
平面，、平面，
，，
以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示
则，，，，，
得，，，
设平面的一个法向量为
则
令，得，，
平面的一个法向量为，
令，得，，，
得，
平面与平面所成角的余弦值为；
（3）设，且，
由（2）知平面的法向量为，
设直线与平面的所成角为，则，
所以，
解得或
或
19．（1）
①当时，
令，；
在上单调递减，在上单调递增．
②当时，
令，或；，
在和上单调递增，在上单调递减．
③当时，，在上单调递增．
④当时，
令，或；，
在和上单调递增，在单调递减．
（2）在恒成立
即对任意恒成立
在恒成立．
令
令
在单增．
，
使得，即，
当时，，此时
当时，，此时
在上单减，在上单增
，
的最大整数值为3．
（3）由（2）知，
当时，的极大值等于；
当时，，单调递增，无极大值；
当时，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的极大值等于，
令，所以，
在上，在上，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
综上所述，．
20．（1）
，．
设切点为
或（舍）
．
切点
代入 ．
（2），
使得
能成立 在能成立．
令，
令
在上单调递减，
因为 时，，此时
时，，此时
在单增，在单减
．
（3）由，得，
若有两个不同的实数解，则，，
两式相减得，所以．
不妨设，，则，
所以在上单调递增，此时，所以．
所以，即，所以①
由，得有两个不同的实数解，
令，，
当时，，单调递增，当时，单调递减，
由，，所以，．
令，则方程有两个不同的实数解，．
，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，则．
所以，则有．
设，，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
此时，即，故，当且仅当时等号成立．
不妨设直线与直线，交点的横坐标分别为，，
则，
所以．②．
综上，．

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