资源简介
2024-2025学年河南省洛阳市高二(下)期中数学试卷
一、单选题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设 ( )是定义域为 的可导函数,若 ′( 0) = 1,则 → 0
( 0 2 ) ( 0)
( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
2.已知 ( ) = 2 ′(1) ,则 ( ) =( )
A. B. 0 C. D. 1
3.从 2,4,8,14 这四个数中任取两个相减,可以得到不相等的差的个数为( )
A. 12 B. 10 C. 6 D. 5
4.( 2 + 2 + )5的展开式中, 5 2的系数为( )
A. 30 B. 40 C. 60 D. 120
5.已知函数 ( ) = 1ln( +1),则函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数 ( ) = 3 3 2 + 2,若函数 ( )在(2 , + 3)上存在最小值,则 的取值范围是( )
A. [ 12 , 1) B. [ 1,
1
2 ) C. [ 1,2) D. [ 1,1)
7.(3 + )12的展开式中系数最大的是( )
A. 2的系数 B. 3的系数 C. 4的系数 D. 5的系数
8.若函数 ( ) = 2 + 2 与函数 ( ) = 2 + 的图象有公共切线,则实数 的取值范围为( )
A. [0, + ∞) B. [ 14 , + ∞) C. [
1
2 , + ∞) D. [1, + ∞)
二、多选题:本题共 3小题,共 18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
A. ( 1 )′ = 1
1
2 B. ( )
1
′ = 10
C. (cos23 )′ = 3 6 D. ( )′ = ( + 1)
第 1页,共 8页
10.如图,正方形网格棋盘,其中 1, 2, 3, 4位于棋盘上一条对角线的 4 个交汇处.在棋盘 , 处的甲、
乙两个质点分别要到 , 处,它们分别随机地选择一条沿网格实线走的最短路径,以相同的速度同时出发,
直到到达 , 处为止,则下列说法正确的有( )
A.甲从 到达 处的走法种数为 20
B.甲从 必须经过 3到达 处的走法种数为 9
C.甲、乙能在 3处相遇的走法种数为 36
D.甲、乙能相遇的走法种数为 164
11.已知 = 2 = 2 = 4(2 2), , 2 ,则下列大小关系中正确的有( )
A. > B. > C. > D. >
三、填空题:本题共 3小题,共 15分。
12.已知(2 + 1)( 1)4 = + + 20 1 2 + 3 3 + 4 54 + 5 ,则 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = ______.
13.已知函数 ( ) = 2 + 3, ( ) = + ,若 ( 1) = ( 2),则 2 1的最小值为______.
14.目前我省高中数学试卷中多选题的计分标准如下:①本题共 3 小题,每小题 6 分,满分 18 分;②每道
小题的四个选项中有两个或三个正确选项,全部选对得 6 分,有选错的得 0 分;③部分选对得部分分.已知
在某次高中数学考试中,洛洛同学三个多选题中第一小题和第二小题都随机地选了两个选项,第三小题随
机地选了一个选项,他的多选题的总得分(相同总分只记录一次)共有 种情况,则7 除以 64 的余数是______.
四、解答题:本题共 6小题,共 77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) = 2 .
(1)求曲线 = ( )在点(1, (1))处切线的方程;
(2)求函数 ( ) = ( ) + 3 4 2 的极值.
16.(本小题 13 分)
用 0,1,2,3,4 组成无重复数字的五位数.
(1)偶数共有多少个?
(2)比 30000 大的偶数共有多少个?
(3)1,2 相邻的偶数共有多少个?
17.(本小题 13 分)
已知 > 0,二项式( + )
( ∈ )展开式中第 2 项与第 4 项的二项式系数相等,且展开式中的常数项
第 2页,共 8页
2
是3.
(1)求展开式的第 5 项;
(2) 设展开式中的所有项的系数之和为 ,所有项的二项式系数之和为 ,求 .
18.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 2 + 2 .
2 2(1)证明:当 > 0 时, ( ) < ln( + 1);
(2) 1函数 ( ) = ( ) ,记 0为函数 ( )的极大值点,求证:4 < ( 0) < 2.
19.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = ( + ) , ∈ .
(1)当 ∈ [0,4]时,函数 ( )的最小值为 ,求实数 的值;
(2)当 < 1 时,试确定函数 ( ) = ( ) 2的零点个数,并说明理由.
20.(本小题 13 分)
1
已知函数 ( ) = 22 , ∈ .
(1)讨论函数 ( )的单调性;
(2) ( ) ( )若“ 1 21, 2 ∈ (0, + ∞), 1 ≠ 2, < ”为真命题,求实数 取值范围.1 2
第 3页,共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
13.2
14.17
15. 1解:(1)因为 ( ) = 2 ,则 ′( ) = 2,
所以 (1) = 2, ′(1) = 1,
所以曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 ( 2) = ( 1)( 1),
即 + + 1 = 0.
(2) ( ) = ( ) + 3 4 2 = 3
2
,定义域为(0, + ∞),
2
( ) = 1 3 + 2 = 3 +2 = ( 1)( 2)′ 2 2 2 ,
令 ′( ) = 0,可得 = 1 或 = 2,
′( ), ( )随 的变化情况列表如下:
(0,1) 1 (1,2) 2 (2, + ∞)
′( ) + 0 0 +
( ) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以,函数 ( )的极大值为 (1) = 1 3 2 = 1,
极小值为 (2) = 2 3 2 1 = 1 3 2.
第 4页,共 8页
16.解:(1)个位为 0 时,有 44 = 24 个,
13
个位为 2 时,有33 = 18 个,
13
个位为 4 时,有33 = 18 个,
综上所述,偶数共有 24 + 18 + 18 = 60 个;
13
(2)万位为 3 时,有33 = 18 个,
万位为 4 时,有 12 33 = 12 个,
综上所述,比 30000 大的偶数共有 18 + 12 = 30 个;
(3)1,2 捆绑在一起,作为一个元素,
22
个位为 0 时,有33 = 12 个,
个位为 4 时,有 1 22 2 22 = 8 个,
个位为 2 时,有 1 22 2 = 4 个,
综上所述,1,2 相邻的偶数共有 12 + 8 + 4 = 24 个.
17.解:(1) 因为二项式( + )
( ∈ )展开式中第 2 项与第 4 项的二项式系数相等,
所以 1 = 3 ,即 = 1 + 3 = 4,
所以二项式( + 4 ) 的通项为 +1 = 4( )
4 ( )
= 4 2 ( = 0,1,2,3,4),
令 2 = 0,即 = 2,
2
所以展开式中的常数项是 2 24 = 3,
又 > 0,所以解得 = 13,
1 2
所以展开式的第 5 项为 = 4 4 25 4 ( 3 ) = 81;
(2)由(1) 1可知,二项式为( + 43 ) ,
= 1 = ( 4令 得,展开式中的所有项的系数之和 )43 ,
又因为所有项的二项式系数之和 = 24,
4
( 4
所以 3
) 16
= 24 = 81.
2
18.(1)证明:令 ( ) = ln( + 1) 2 2 ( ) = ln( + 1) +2 ( > 0),
( ) = 1
2
则 ′ +1
4
( +2)2 = ( +1)( +2)2 > 0,
第 5页,共 8页
∴ ( )在(0, + ∞)上单调递增,又 (0) = 0,
2
∴当 > 0 时, ( ) > 0 2 ,即 ( ) < ln( + 1).
(2) ( ) = 2 + 2 ( ∈ ),则 ′( ) = 2 + 2 ,
令 ( ) = 2 + 2 ,则 ′( ) = 2 ,
令 ′( ) = 0,得 = 2,
当 ∈ ( ∞, 2)时, ′( ) > 0, ( )单调递增,
当 ∈ ( 2, + ∞)时, ′( ) < 0, ( )单调递减,
∴ ( )在 = 2 处取得极大值 ( 2) = 2 2 > 0,
又 ( 1) = 1 < 0, (2) = 6
2 < 0,
∴ ( )有 2 个零点 1 ∈ ( 1, 2), 2 ∈ ( 2,2),
即 ′( )有 2 个零点 1, 2,
且函数 ( )在( ∞, 1)上单调递减,在( 1, 2)上单调递增,在( 2, + ∞)上单调递减,
∵ 0是函数 ( )的一个极大值点,则 0 = 2,
则 ′( 0) = 2 0 + 2 0,∴ 0 = 2 0 + 2,
3 3
又 ′( 2 ) = 5 2 > 0, ′(2) = 6
2 < 0,
∴ ∈ ( 30 2 , 2),
此时 ( 0) = 20 + 2 0 0 = 20 2,
∴ 14 < ( 0) < 2.
19.解:(1)因为 ( ) = ( + ) ,
所以 ′( ) = ( + + 1) ,
由 ′( ) = 0,得 = 1,当 变化时, ( )和 ( )的变化情况如下:
. ( ∞, 1) 1 ( 1, + ∞)
( ) 0 +
( ) 递减 极小值 递增
故 ( )的单调减区间为( ∞, 1);单调增区间为( 1, + ∞).
当 1 ≤ 0,即 ≥ 1 时, ( )在[0,4]上单调递增,
故 ( )在[0,4]上的最小值为 ( ) = (0) = = ,即 = (舍);
当 0 < 1 < 4,即 5 < < 1 时, ( )在(0, 1)上单调递减,在( 1,4)上单调递增,
第 6页,共 8页
故 ( )在[0,4]上的最小值为 ( ) = ( 1) = 1 = ,则 = 2;
当 1 ≥ 4,即 ≤ 5 时, ( )在[0,4]上单调递减,
故 ( )在[0,4]上的最小值为 ( ) = (4) = (4 + ) 4 = ,解得 = 4 3,
综上, = 2;
(2)函数 ( )有且仅有一个零点,理由如下:
由 ( ) = ( ) 2,得方程 = 2,
显然 = 0 为此方程的一个实数解,所以 = 0 是函数 ( )的一个零点,
当 ≠ 0 时,方程可化简为 = ,
设函数 ( ) = ,则 ′( ) = 1,
令 ′( ) = 0,得 = ,当 变化时, ( )和 ′( )的变化情况如下:
( ∞, ) ( , + ∞)
′( ) 0 +
( ) 递减 极小值 递增
即 ( )的单调增区间为( , + ∞);单调减区间为( ∞, ),
所以 ( )的最小值 ( ) = ( ) = 1 > 0,
故此时 ( ) = 0 没有根,
所以 ( ) = ( ) 2的零点个数为 1 个.
20.解:(1) ( )的定义域为(0, + ∞),
2
( ) = = + ′ ,
令 ( ) = 2 + ,则 = 2 + 4 ,
①若 ≤ 0,即 4 ≤ ≤ 0 时, ( ) ≥ 0, ′( ) ≤ 0, ( )是减函数.
2
> 0 < 4 > 0 ( ) = 0 = + +4 =
2+4
②若 ,即 或 时,设 的两根为 1 2 , 2 2 ,
1 + 2 = , 1 2 = ,
< 4 时, 1 > 2 > 0,由 ′( ) > 0,即 ( ) < 0,得 2 < < 1,
由 ′( ) < 0,即 ( ) > 0,得 > 1或 0 < < 2.
> 0 时, 1 > 0 > 2,由 ′( ) > 0,即 ( ) < 0,得 0 < < 1,
由 ′( ) < 0,即 ( ) > 0,得 > 1.
2 2
综上,当 < 4 时, ( ) +4 + +4 的递减区间为(0, 2 )和( 2 , + ∞),
第 7页,共 8页
(
2+4 + 2+4
递增区间为 2 , 2 );
当 4 ≤ ≤ 0 时, ( )的递减区间为(0, + ∞);
2 2
当 > 0 + +4 + +4 时, ( )的递增区间为(0, 2 ),递减区间为( 2 , + ∞).
(2) ( ) ( )不妨设 1 < 2,则由 1 2 < ,1 2
得 ( 1) ( 2) > 1 + 2,即 ( 1) + 1 > ( 2) + 2,
令 ( ) = ( ) + = 1 22 ,∴ ( )为(0, + ∞)上的减函数.
即当 > 0 时, ′( ) ≤ 0 恒成立.又 ′( ) = ,∴
≤ 0,
即 ≤ 2,∵ 2 > 0,∴ ≤ 0,
∴ 的取值范围为( ∞,0].
第 8页,共 8页
展开更多......
收起↑