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2024-2025学年河南省洛阳市高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设 ( )是定义域为 的可导函数，若 ′( 0) = 1，则 → 0
( 0 2 ) ( 0)
( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
2.已知 ( ) = 2 ′(1) ，则 ( ) =( )
A. B. 0 C. D. 1
3.从 2，4，8，14 这四个数中任取两个相减，可以得到不相等的差的个数为( )
A. 12 B. 10 C. 6 D. 5
4.( 2 + 2 + )5的展开式中， 5 2的系数为( )
A. 30 B. 40 C. 60 D. 120
5.已知函数 ( ) = 1ln( +1)，则函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数 ( ) = 3 3 2 + 2，若函数 ( )在(2 , + 3)上存在最小值，则 的取值范围是( )
A. [ 12 , 1) B. [ 1,
1
2 ) C. [ 1,2) D. [ 1,1)
7.(3 + )12的展开式中系数最大的是( )
A. 2的系数 B. 3的系数 C. 4的系数 D. 5的系数
8.若函数 ( ) = 2 + 2 与函数 ( ) = 2 + 的图象有公共切线，则实数 的取值范围为( )
A. [0, + ∞) B. [ 14 , + ∞) C. [
1
2 , + ∞) D. [1, + ∞)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
A. ( 1 )′ = 1
1
2 B. ( )
1
′ = 10
C. (cos23 )′ = 3 6 D. ( )′ = ( + 1)
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10.如图，正方形网格棋盘，其中 1， 2， 3， 4位于棋盘上一条对角线的 4 个交汇处.在棋盘 ， 处的甲、
乙两个质点分别要到 ， 处，它们分别随机地选择一条沿网格实线走的最短路径，以相同的速度同时出发，
直到到达 ， 处为止，则下列说法正确的有( )
A.甲从 到达 处的走法种数为 20
B.甲从 必须经过 3到达 处的走法种数为 9
C.甲、乙能在 3处相遇的走法种数为 36
D.甲、乙能相遇的走法种数为 164
11.已知 = 2 = 2 = 4(2 2)， ， 2 ，则下列大小关系中正确的有( )
A. > B. > C. > D. >
三、填空题：本题共 3小题，共 15分。
12.已知(2 + 1)( 1)4 = + + 20 1 2 + 3 3 + 4 54 + 5 ，则 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = ______．
13.已知函数 ( ) = 2 + 3， ( ) = + ，若 ( 1) = ( 2)，则 2 1的最小值为______．
14.目前我省高中数学试卷中多选题的计分标准如下：①本题共 3 小题，每小题 6 分，满分 18 分；②每道
小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得 6 分，有选错的得 0 分；③部分选对得部分分.已知
在某次高中数学考试中，洛洛同学三个多选题中第一小题和第二小题都随机地选了两个选项，第三小题随
机地选了一个选项，他的多选题的总得分(相同总分只记录一次)共有 种情况，则7 除以 64 的余数是______．
四、解答题：本题共 6小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) = 2 ．
(1)求曲线 = ( )在点(1, (1))处切线的方程；
(2)求函数 ( ) = ( ) + 3 4 2 的极值．
16.(本小题 13 分)
用 0，1，2，3，4 组成无重复数字的五位数．
(1)偶数共有多少个？
(2)比 30000 大的偶数共有多少个？
(3)1，2 相邻的偶数共有多少个？
17.(本小题 13 分)

已知 > 0，二项式( + )
( ∈ )展开式中第 2 项与第 4 项的二项式系数相等，且展开式中的常数项
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2
是3．
(1)求展开式的第 5 项；
(2) 设展开式中的所有项的系数之和为 ，所有项的二项式系数之和为 ，求 ．
18.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 2 + 2 ．
2 2(1)证明：当 > 0 时， ( ) < ln( + 1)；
(2) 1函数 ( ) = ( ) ，记 0为函数 ( )的极大值点，求证：4 < ( 0) < 2．
19.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = ( + ) ， ∈ ．
(1)当 ∈ [0,4]时，函数 ( )的最小值为 ，求实数 的值；
(2)当 < 1 时，试确定函数 ( ) = ( ) 2的零点个数，并说明理由．
20.(本小题 13 分)
1
已知函数 ( ) = 22 ， ∈ ．
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2) ( ) ( )若“ 1 21， 2 ∈ (0, + ∞)， 1 ≠ 2， < ”为真命题，求实数 取值范围．1 2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
13.2
14.17
15. 1解：(1)因为 ( ) = 2 ，则 ′( ) = 2，
所以 (1) = 2， ′(1) = 1，
所以曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 ( 2) = ( 1)( 1)，
即 + + 1 = 0．
(2) ( ) = ( ) + 3 4 2 = 3
2
，定义域为(0, + ∞)，
2
( ) = 1 3 + 2 = 3 +2 = ( 1)( 2)′ 2 2 2 ，
令 ′( ) = 0，可得 = 1 或 = 2，
′( )， ( )随 的变化情况列表如下：
(0,1) 1 (1,2) 2 (2, + ∞)
′( ) + 0 0 +
( ) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，函数 ( )的极大值为 (1) = 1 3 2 = 1，
极小值为 (2) = 2 3 2 1 = 1 3 2．
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16.解：(1)个位为 0 时，有 44 = 24 个，
13
个位为 2 时，有33 = 18 个，
13
个位为 4 时，有33 = 18 个，
综上所述，偶数共有 24 + 18 + 18 = 60 个；
13
(2)万位为 3 时，有33 = 18 个，
万位为 4 时，有 12 33 = 12 个，
综上所述，比 30000 大的偶数共有 18 + 12 = 30 个；
(3)1，2 捆绑在一起，作为一个元素，
22
个位为 0 时，有33 = 12 个，
个位为 4 时，有 1 22 2 22 = 8 个，
个位为 2 时，有 1 22 2 = 4 个，
综上所述，1，2 相邻的偶数共有 12 + 8 + 4 = 24 个．
17.解：(1) 因为二项式( + )
( ∈ )展开式中第 2 项与第 4 项的二项式系数相等，
所以 1 = 3 ，即 = 1 + 3 = 4，
所以二项式( + 4 ) 的通项为 +1 = 4( )
4 ( )
= 4 2 ( = 0,1,2,3,4)，
令 2 = 0，即 = 2，
2
所以展开式中的常数项是 2 24 = 3，
又 > 0，所以解得 = 13，
1 2
所以展开式的第 5 项为 = 4 4 25 4 ( 3 ) = 81；
(2)由(1) 1可知，二项式为( + 43 ) ，
= 1 = ( 4令 得，展开式中的所有项的系数之和 )43 ，
又因为所有项的二项式系数之和 = 24，
4
( 4
所以 3
) 16
= 24 = 81．
2
18.(1)证明：令 ( ) = ln( + 1) 2 2 ( ) = ln( + 1) +2 ( > 0)，
( ) = 1
2
则 ′ +1
4
( +2)2 = ( +1)( +2)2 > 0，
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∴ ( )在(0, + ∞)上单调递增，又 (0) = 0，
2
∴当 > 0 时， ( ) > 0 2 ，即 ( ) < ln( + 1)．
(2) ( ) = 2 + 2 ( ∈ )，则 ′( ) = 2 + 2 ，
令 ( ) = 2 + 2 ，则 ′( ) = 2 ，
令 ′( ) = 0，得 = 2，
当 ∈ ( ∞, 2)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 ∈ ( 2, + ∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
∴ ( )在 = 2 处取得极大值 ( 2) = 2 2 > 0，
又 ( 1) = 1 < 0， (2) = 6
2 < 0，
∴ ( )有 2 个零点 1 ∈ ( 1, 2)， 2 ∈ ( 2,2)，
即 ′( )有 2 个零点 1， 2，
且函数 ( )在( ∞, 1)上单调递减，在( 1, 2)上单调递增，在( 2, + ∞)上单调递减，
∵ 0是函数 ( )的一个极大值点，则 0 = 2，
则 ′( 0) = 2 0 + 2 0，∴ 0 = 2 0 + 2，
3 3
又 ′( 2 ) = 5 2 > 0, ′(2) = 6
2 < 0，
∴ ∈ ( 30 2 , 2)，
此时 ( 0) = 20 + 2 0 0 = 20 2，
∴ 14 < ( 0) < 2．
19.解：(1)因为 ( ) = ( + ) ，
所以 ′( ) = ( + + 1) ，
由 ′( ) = 0，得 = 1，当 变化时， ( )和 ( )的变化情况如下：
. ( ∞, 1) 1 ( 1, + ∞)
( ) 0 +
( ) 递减 极小值 递增
故 ( )的单调减区间为( ∞, 1)；单调增区间为( 1, + ∞)．
当 1 ≤ 0，即 ≥ 1 时， ( )在[0,4]上单调递增，
故 ( )在[0,4]上的最小值为 ( ) = (0) = = ，即 = (舍)；
当 0 < 1 < 4，即 5 < < 1 时， ( )在(0, 1)上单调递减，在( 1,4)上单调递增，
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故 ( )在[0,4]上的最小值为 ( ) = ( 1) = 1 = ，则 = 2；
当 1 ≥ 4，即 ≤ 5 时， ( )在[0,4]上单调递减，
故 ( )在[0,4]上的最小值为 ( ) = (4) = (4 + ) 4 = ，解得 = 4 3，
综上， = 2；
(2)函数 ( )有且仅有一个零点，理由如下：
由 ( ) = ( ) 2，得方程 = 2，
显然 = 0 为此方程的一个实数解，所以 = 0 是函数 ( )的一个零点，
当 ≠ 0 时，方程可化简为 = ，
设函数 ( ) = ，则 ′( ) = 1，
令 ′( ) = 0，得 = ，当 变化时， ( )和 ′( )的变化情况如下：
( ∞, ) ( , + ∞)
′( ) 0 +
( ) 递减 极小值 递增
即 ( )的单调增区间为( , + ∞)；单调减区间为( ∞, )，
所以 ( )的最小值 ( ) = ( ) = 1 > 0，
故此时 ( ) = 0 没有根，
所以 ( ) = ( ) 2的零点个数为 1 个．
20.解：(1) ( )的定义域为(0, + ∞)，
2
( ) = = + ′ ，
令 ( ) = 2 + ，则 = 2 + 4 ，
①若 ≤ 0，即 4 ≤ ≤ 0 时， ( ) ≥ 0， ′( ) ≤ 0， ( )是减函数．
2
> 0 < 4 > 0 ( ) = 0 = + +4 =
2+4
②若 ，即 或 时，设 的两根为 1 2 ， 2 2 ，
1 + 2 = ， 1 2 = ，
< 4 时， 1 > 2 > 0，由 ′( ) > 0，即 ( ) < 0，得 2 < < 1，
由 ′( ) < 0，即 ( ) > 0，得 > 1或 0 < < 2．
> 0 时， 1 > 0 > 2，由 ′( ) > 0，即 ( ) < 0，得 0 < < 1，
由 ′( ) < 0，即 ( ) > 0，得 > 1．
2 2
综上，当 < 4 时， ( ) +4 + +4 的递减区间为(0, 2 )和( 2 , + ∞)，
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(
2+4 + 2+4
递增区间为 2 , 2 )；
当 4 ≤ ≤ 0 时， ( )的递减区间为(0, + ∞)；
2 2
当 > 0 + +4 + +4 时， ( )的递增区间为(0, 2 )，递减区间为( 2 , + ∞)．
(2) ( ) ( )不妨设 1 < 2，则由 1 2 < ，1 2
得 ( 1) ( 2) > 1 + 2，即 ( 1) + 1 > ( 2) + 2，
令 ( ) = ( ) + = 1 22 ，∴ ( )为(0, + ∞)上的减函数．
即当 > 0 时， ′( ) ≤ 0 恒成立．又 ′( ) = ，∴

≤ 0，
即 ≤ 2，∵ 2 > 0，∴ ≤ 0，
∴ 的取值范围为( ∞,0]．
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