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麓山国际2025届高三上学期考前演练卷
数 学
考试时间：120分钟 满分：150分
2025.05
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、考场号、填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束，监考员将试题卷，答题卡一并收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数的共轭复数在复平面内对应的点位（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知函数的定义域，值域，则满足条件的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3．一组数据由小到大排列为，已知该组数据的分位数是9.5，则的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．若，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．已知首项为负数的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形为矩形，，．是等边三角形，是等腰直角三角形，．将和分别沿虚线和翻折，且保持平面平面．当平面时，平面与平面的距离等于（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知，函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 的图象关于轴对称
B. 的最小正周期为
C. 的最大值为
D. 在上的最小值为
10．已知离散型随机变量的分布列为.定义随机变量为自然对数的底数，的分布列如下：
随机变量的数学期望称为随机变量的生成函数，记为.是函数在处的导数，则（ ）
A．
B．若服从两点分布，，则
C．若，则
D．若实数为常数，则
11．已知两点在曲线上，为坐标原点，则（ ）
A．关于原点对称
B．若圆与有公共点，则
C．存在轴上方的两点，使得
D．若点在第一象限，则存在唯一直线，使得点到轴和到直线的距离之积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．函数的最小正周期为 ．
13．定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为 ．
14．已知函数，若存在实数、、，使得，且、、成等差数列，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(13分)三角形ABC的内角的对边分别为
（1）求；
（2）若的面积为，求的周长.
16. (15分)如图，在四棱锥中，底面为矩形，为的中点，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，直线与平面所成角的正切值等于2，求平面与平面夹角的余弦值.
17．(15分)已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上．
(1)求圆心为C的圆的一般方程；
(2)已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值．
18.(17分)已知函数，.
（1）讨论零点的个数；
（2）若，求实数的取值范围.
19. (17分)将所有正整数按照如下规律形成数阵：
第1行 1 2 3 …… 7 8 9
第2行 10 11 12 …… 97 98 99
第3行 100 101 102 …… 997 998 999
第4行 1000 1001 1002 …… 9997 9998 9999
…………
（1）将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，试确定在该数阵中的位置；
（2）将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第行中正整数的个数为.
（i）求，，；
（ii）求.
麓山国际2025届高三上学期考前演练卷
数学参考答案与评分标准
2025.05
单选：1-4BCCB 5-8 CADC 多选：AC AD ACD
12．/ 13．
【13】记为坐标原点，圆的圆心为原点，圆的半径为，

由圆的几何性质可知，，
且，即，即，
当且仅当点时，取最小值，当且仅当点时，取最大值，
故.
故答案为：.
14．/
【详解】因为，
函数的图象是保留函数在上的图象，并去除函数在上的图象，
再将函数在上的图象关于轴翻折，可得到函数的图象，
作出函数的图象如下图所示：
当时，方程的解分别为、、、，
因为，所以，、、为、、、中的三个数，
因为、、成等差数列，且，
所以，、、对应的数为、、或、、，
根据对称性，不妨取、、为对应的、、，
因为，所以，因为，所以，
因为，所以，
令，则，
因为函数为减函数，且，
所以，方程的解为，即，解得，，故.
15.（1）
由得，
因为,
所以，
即，
所以，
所以.
（2）因为三角形面积为，
所以，所以，
由余弦定理知，即，
所以，
故，
所以三角形的周长为.
16.（1）
设为的中点，连接，
因为为的中点，所以，
又，所以，
所以与必相交．
因为，所以，
又，且，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面`．
（2）设，分别为的中点，因为，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，
所以，又，
所以，以为坐标原点，$OA，OG，OP$所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系．
由（1）知平面，所以即为直线与平面所成的角，
所以，设，则，
所以．
因为平面，所以平面的法向量为．
设平面的法向量为，
又，
所以，取，
所以平面与平面夹角的余弦值为
.
17（1）∵圆心C在直线上，不妨设，半径，
则，
∴圆心C坐标为，则圆C的方程为；
其一般方程为.
（2）由（1）知圆C的方程为，
∴，∴P在圆C外，
∴的最大值为，最小值为．
18. （1）
时，，
令，则，
所以，时，在上单调递减，
时，在 上单调递增，
又时，时，，时，，
时，，
所以，①当时，无零点，
②或时，有1个零点，
③当时，有2个零点.
（2）当时，由得，
所以，等价于对恒成立．
即对恒成立，
令，则，
当，当，
在内单调递减，在内单调递增，
，又
对恒成立
所以，时成立，
当时，，显然成立．
当时，
等价于或，
即或
对于，取，得，与矛盾，故不成立，
对于，即，对恒成立，
令，则，
在内单调递减，
，所以，，
综上，实数的取值范围是.
19. （1）设，因为，
，
所以，
所以，当且仅当为偶数时，可以取得正整数，
所以，当且仅当为偶数时，数列有公共项，
所以，，故，
所以，是数阵第4行，第3097个数．
（2）（i）当时，显然．
当时，第2行2位数有90个，其中只有12去掉．
故．
当时，第3行3位数有900个，其中有两种情况去掉：
百位和十位分别为12，此时有10个；十位和个位分别为12，此时有9个．
故．
（ii）当时，将第行个符合条件的位正整数分为两类：
①个位数字不等于2时，个位数字有9种取法，前面位数有种取法，这时位正整数中有个；
②个位数字等于2时，前面位数有种取法，
但这个位正整数中十位数字等于1的个正整数要去掉．
故个位数字等于2且十位数字不等于1的位正整数有－个．
综上，由加法原理知．
设，
所以，，即，
解得，
所以，是首项为，公比为的等比数列；
是首项为，公比为的等比数列；
所以，，
，
所以，当时，，
经检验，当时，也成立
当时，也成立．
综上，．

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