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2024-2025 学年北京大学附中元培学院高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.如图所示，用符号语言可表达为( )
A. ∩ = ， ， ∩ =
B. ∩ = ， ∈ ， ∩ =
C. ∩ = ， ， ，
D. ∩ = ， ∈ ， ∈ ， ∈
2.若复数 满足| + | = 3，则在复平面内，复数 对应的点组成图形的周长为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
3.已知向量 = (2,2)，则与向量 方向相反的单位向量是( )
A. (1,0) B. (1,1) C. ( 2 , 2 ) D. ( 22 2 2 ,
2
2 )
4.如图，四边形 ′ ′ ′ ′表示水平放置的四边形 根据斜二测画法得到的直观图， ′ ′ = 2，
′ ′ = 4， ′ ′ = 2， ′ ′// ′ ′，则 =( )
A. 6
B. 2 3
C. 6
D. 4 2
5.已知△ 是直角三角形，每个边都增加相同的长度，则新的三角形为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断
6.在△ 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ： ： = 1：1：4，则 ： ： =( )
A. 1：1： 2 B. 1：1：2 C. 1：1： 5 D. 1：1： 3
7 3 5 .已知 cos( + 6 ) = 5，则 sin(2 + 6 ) =( )
A. 8 8 7 725 B. 25 C. 25 D. 25
8.如图，“六芒星”是由两个边长为 2 正三角形组成，中心重合于点 且三组对边分别平行，点 ， 是“六
芒星”(如图)的两个顶点，动点 在“六芒星”上(内部以及边界)，则 的取值范围是( )
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A. [ 23 ,
2
3 ] B. [
3 3
2 , 2 ] C. [ 3, 3] D. [ 2, 3]
9.在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水
平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为 1 = 1.00 ，之后将小
镜子前移 = 6.00 ，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为 2 = 0.60 ，已知人的眼睛距离地面
的高度为 = 1.75 ，则钟楼的高度大约是( )
A. 27.75 B. 27.25 C. 26.75 D. 26.25
10.若函数 ( ) = 2 + 3, ∈ (0, )的两个零点分别为 1和 2，则 cos( 1 + 2) =( )
A. 3 1 1 35 B. 5 C. 5 D. 5
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。
11.已知复数 满足 (3 4 ) = 1 + 2 ，则 的虚部是______．
12.已知向量 = (1, 2)， = 5，则| |的最小值是______．
13.若 ( ) = 2 3 + 3 1，则 ( )的最小值为______．
14.在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中，若点 是棱上一点，则满足| | + | 1| = 2 的点 的个数为
______．
15.在△ 中， = 45°，( + 3 ) = 0，以下有关于△ 的 4 个命题．
① = 1010 ；
② = 2；
③ 在 3方向上的投影向量为4
；
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④若| | = 2，则 = 2．
写出全部真命题的序号：______．
三、解答题：本题共 6 小题，共 50 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 8 分)

已知复数 = 1 + ( ∈ , 为虚数单位)， 在复平面上对应的点在第四象限，且满足 = 4( 为 的共轭复
数)．
(1)求实数 的值；
(2)若复数 是关于 的方程 2 + 2 + = 0( ≠ 0，且 ， ∈ )的一个复数根，求 + 的值．
17.(本小题 8 分)
已知向量 ， 满足| | = 2，| | = 1，且 ， 的夹角为 60°．
(1)求| |；
(2)求 在 上的投影向量；
(3)若向量 2 + 7 与向量 + 的夹角为钝角，求实数 的取值范围．
18.(本小题 8 分)
3
已知函数 ( ) = + 3cos2 2 ．
(Ⅰ)求 ( )的单调递增区间；
(Ⅱ)若函数 ( ) = ( ) 3 5的零点为 0，求 cos( 6 2 0)．
19.(本小题 8 分)
3
如图，在平面四边形 中，∠ = 2∠ ， = 3 = 3， = 6， = 3 ．
(1)求四边形 的周长；
(2)求四边形 的面积．
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20.(本小题 9 分)
如图，市政改造工程要在道路 的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段 ，该曲线段是函
2
数 = ( + 3 )( > 0, > 0), ∈ [ 4,0]的图象，且图象的最高点为 ( 1,2)，新步道的中部分为长
1 千米的直线跑道 ，且 / / ，新步道的后一部分是以 为圆心的一段圆弧 ．
(Ⅰ)求曲线段 的解析式和∠ 的大小；
(Ⅱ)若计划在圆弧步道所对应的扇形 区域内建面积尽可能大的矩形区域服务站，并要求矩形的一边
紧靠道路 上，一个顶点 在半径 上，另外一个顶点 在圆弧 上，且∠ = ，若矩形 的面积
记为 ( )，求 ( )的解析式，并求 ( )的最大值以及相应的 值．
21.(本小题 9 分)
= ( + )，其中 = ， = . = ( + )称为非零复数 的三角形式．
(1) = cos( 2 已知 3 ) + (
2
3 ), ( = 0,1,2)，求 对应的点 ( = 1,2,3)所构成三角形的所有边的平方和．
(Ⅱ)已知 ( = 1,2,3,4)是四个复数，满足| | = 1，( = 1,2,3,4)；当 ≠ 时， ≠ 求 对应的点 ( = 1,2,3,4)
所构成四边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值．
(Ⅲ)已知 ( = 1,2, …, )是 个复数，| | = 1，( = 1,2, . . , )；当 ≠ 时， ≠ ，求 所对应的点 ( =
1,2, . . , )所构成 边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.25
12. 5
13. 5 1
14.6
15.①③
16.解：(1)复数 = 1 + ( ∈ , 为虚数单位)，

在复平面上对应的点在第四象限，且满足 = 4，
∴ (1 + )(1 ) = 1 2 = 4，且 < 0，
解得 = 3．
(2)(2)复数 是关于 的方程 2 + 2 + = 0( ≠ 0，且 ， ∈ )的一个复数根，

则 是关于 的方程 2 + 2 + = 0( ≠ 0，且 ， ∈ )的另一个复数根，

+ = 2 = 2
∴ ，解得 = 1， = 4，
= (1 3 )(1 + 3 ) =
∴ + = 5．
17.解：(1)已知向量 ， 满足| | = 2，| | = 1，且 ， 的夹角为 60°．
则 = | || |cos < , >= 2 × 1 × 12 = 1，
则|
2
| = 2 2 +
= 4 2 × 1 + 1 = 3；
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(2) 1在 上的投影向量为| |2 = 4 ；
(3)若向量 2 + 7 与向量 + 的夹角为钝角，
则(2 + 7 ) ( + ) < 0 且量 2 + 7 与向量 + 不共线，
2 2
则 2 + (2 2 + 7) + 7 < 0，
即 2 2 + 15 + 7 < 0，
即 7 < < 12，
设 2 + 7 = ( + )，
则 =± 142 ，
则向量 2 + 7 14 14 1与向量 + 的夹角为钝角时，实数 的取值范围为( 7, 2 ) ∪ ( 2 , 2 )．
18. ( ) ( ) = 1解： 2 2 +
3
2 2 = sin(2 +

3 )，
2 + 2 ≤ 2 +

3 ≤ 2 + 2 ， ∈ ，
5 + ≤ ≤ 解得 12 12 + ， ∈ ，
所以 ( )的单调递增区间为[ 5 12 + ,

12 + ]， ∈ ；
( )因为函数 ( ) = ( ) 35的零点为 0，
所以 ( 0) = (
3 3
0) 5 = sin(2 0 + 3 ) 5 = 0，
cos( 因为 6 2 0) = cos[

2 ( 3 + 2 0)] = sin(2 0 + 3 )，
cos( 所以 6 2 0) =
3
5．
19.解：(1)由 = 33 ，∠ = 2∠
1
，可得 = 2 = 2 2 1 = 3，
在△ 中，．
所以在△ 中， 2 = 2 + 2 2 = 12，
即 2 + 6 2 6 33 = 12，整理得
2 2 2 6 = 0，解得 = 3 2(舍负)．
所以四边形 的周长 + + + = 3 2 + 6 + 4．
(2) 3 6根据 = 3 ， ∈ (0, 2 )，可得 = 1 cos
2 = 3 ，
1 1 6
所以 △ = 2 × × = 2 × 3 2 × 6 × 3 = 3 2．
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由 = 1 1 2 23， ∈ (0, )，可得 = 1 (
2
3 ) = 3 ，
所以 1 1 2 2△ = 2 × × = 2 × 1 × 3 × 3 = 2，
可得四边形 的面积 = △ + △ = 3 2 + 2 = 4 2．
20.解：(Ⅰ) 由题意可得： = 2, 4 = 1 ( 4) = 3，即 = 12，
且 > 0 2 ，则 = = 6，
所以曲线段 的解析式为 = 2 ( 2 6 + 3 )．
当 = 0 时， = = 2 2 3 = 3，
又因为 = 1，则 tan∠ = 3， = 3
可知锐角∠ = 6，所以∠ = 3．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 = 2， = 2 ，且∠ = ∈ (0, 3 )，
则 = = 2 , = 2 , =
2 3
tan = ，3 3
可得 = = 2 2 33 ，
则矩形 的面积为 = = 2 (2
2 3
3 )
4 3 2 3 2 3
= 4 23 sin = 2 2 + 3 2 3
= 4 33 sin(2 +
) 2 3，6 3
又因为 ∈ (0, ) 2 + ∈ ( , 5 3 ，则 6 6 6 )，
可知当 2 + = 6 2，即 = 6时，
4 3
= 3
2 3 = 2 3，3 3
所以矩形 取得最大值2 3．
3
21.解：( )因为 = cos(
2
3 ) + (
2
3 )，其中 = 0，1，2.当 = 0 时， 0 = 1 对应点 0(1,0)，
= 1 = 1当 时， 1 2 +
3
2 ，对应点 (
1
1 2 ,
3
2 )，
当 = 2 1 3 1 3时， 2 = 2 2 ，对应点 2( 2 , 2 )．
因为两点 和 2 的距离平方为| | ，
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故 0， 21的距离为| 0 1| = (1 (
1
2 ))
2 + (0 3 22 ) = (
3 2 3 2 9 3
2 ) + ( 2 ) = 4 + 4 = 3，
， 的距离为| |2 = (0)2 + ( 3)21 2 1 2 = 0 + 3 = 3，
， 2 3 2 3 2 9 32 0的距离为| 2 0| = ( 2 ) + ( 2 ) = 4 + 4 = 3，
所以三条边的平方和：3 + 3 + 3 = 9；
( )因为| | = 1，所以复数 对应的所有点都在单位圆上，所以 2 + 2 = 1，
所以两点 ( , )和 ( , )的距离平方为：
| |2 = ( 2 ) + ( 2 2 2 ) = 2 + + 2 2 + 2 = 2 2( + )，
所有点对的平方和为：
= | |2 = ( 2 2( + ))
1≤ < ≤4 1≤ < ≤4
= 24 × 2 21≤ < ≤4 ( + ) = 12 21≤ < ≤4 ( + )，
因为( 1 + 2 + 3 + )24 =
4 2
=1 + 21≤ < ≤4 ，( 1 + 2 + 3 + 4)
2 = 4 2 =1 + 21≤ < ≤4 ，
所以( 1 + 2 + 2 2
4 4 1
3 + 4) + ( 1 + 2 + 3 + 4) = ( =1 2 + =1 2) + 2 ≤ < ≤4 ( + )．
因为 2 + 2 = 1，所以
4 2 4 2 4 2 4 2
=1 + =1 = 4，所以( =1 ) + ( =1 ) = 4 + 21≤ < ≤4 ( + )，
即1≤ < ≤4 ( + ) =
1
2 ((
4 2 4 2
=1 ) + ( =1 ) 4)，
所以 = 12 2 × 12 ((
4 2 4 2 4 2 4 2 4 2
=1 ) + ( =1 ) 4) = 16 (( =1 ) + ( =1 ) ) = 16 | =1 | ，
当四个点在单位圆上均匀分布(如正方形顶点)，4 =1 = 0，此时 达到最大值： = 16 0 = 16；
( )类似( )，所有点对的平方和为：
= 1≤ < ≤ | |
2 = 1≤ < ≤ ( 2 2( + )) =
2
× 2 21≤ < ≤ ( + )，
利用向量和的性质：
1 21≤ < ≤ ( + ) = 2 (( =1 ) + (
2
=1 ) )，
所以 = ( 1) 2 × 1 (( 2 =1 )
2 + ( 2 =1 ) )
= 2 (( )2 =1 + (

=1 )
2) = 2 | 2 =1 | ，当 个点均匀分布(正 边形)，

=1 = 0，
此时 达到最大值， 2 2 = 0 = ．
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